专题06 分式方程（练习）（9类题型）

第06讲分式方程目录TOC\o"1-2"\h\u题型过关练 2题型01判断分式方程 2题型02分式方程的一般解法 2题型03错看或错解分式方程问题 2题型04解分式方程的运用（新定义运算） 5题型05根据分式方程解的情况求值 5题型06根据分式方程有解或无解求参数 6题型07已知分式方程有增根求参数 6题型08列方式方程 6题型09利用分式方程解决实际问题 8真题实战练 9重难创新练 13

题型过关练题型01判断分式方程1．关于x的方程①x2−2x=1x；②3x+54x−1=2x−1A．①②③ B．①② C．①③ D．①②④2．给出以下方程：x−34=1，3x=2，x+3x+5A．1 B．2 C．3 D．4题型02分式方程的一般解法1．（2022·广东广州·统考中考真题）分式方程32x=2x+12．（2023广州市一模）分式3−x2−x的值比分式1x−2的值大3，则x为_____3．（2022·广西梧州·统考中考真题）解方程：1−4．（2011·河北·统考中考模拟）解分式方程：32x−45．（2023渭南市一模）解分式方程：xx−2题型03错看或错解分式方程问题1．（2023·河北·统考模拟预测）已知关于x的分式方程mx+6=1，对于方程的解，甲、乙两人有以下说法：甲：当m<4时，方程的解是负数；乙：当m>6时，方程的解是正数．下列判断正确的是（A．只有甲对 B．只有乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都错2．（2023·河北沧州·校考模拟预测）“若关于x的方程ax3x−9=12

下列说法正确的是（

）A．尖尖对，丹丹错 B．尖尖错，丹丹对C．两人都错 D．两人的答案合起来才对3．（2023上·河北邢台·八年级校联考阶段练习）已知关于x的分式方程x−2x+2−mx甲同学的结果：m=0．乙同学的结果：m=−8．关于甲、乙两位同学计算的结果，下列说法正确的是（

）A．甲同学的结果正确 B．乙同学的结果正确C．甲、乙同学的结果合在一起正确 D．甲、乙同学的结果合在一起也不正确4．已知分式方程2x−1(1)若“■”表示的数为4，求分式方程的解；(2)小马虎回忆说：由于抄题时等号右边的数值抄错，导致找不到原题目，但可以肯定的是“■”是−1或0，试确定“■”表示的数．5．（1）以下是小明同学解方程1−xx−3【解析】方程两边同时乘x−3，得1−x=−1−2．第一步解得x=4．第二步检验：当x=4时，x−3=4−3=1≠0．第三步所以，原分式方程的解为x=4．第四步①小明的解法从第___________步开始出现错误；出错的原因是___________．②解分式方程的思想是利用___________的数学思想，把分式方程化为整式方程．A．数形结合

B．特殊到一般

C．转化

D．类比③写出解方程1−xx−3（2）化简：a26．在解分式方程1−xx−2解：方程两边同时乘x−2，得1−x=−1−2

（第一步）解这个整式方程得：x=4

（第二步）……任务一：填空在上述小亮所解方程中，第_____步有错，错误的原因是：_____________________________．任务二：请写出解这个方程的正确过程．任务三：请你根据平时的学习经验，针对解分式方程的注意事项给其他同学再提出一条建议．题型04解分式方程的运用（新定义运算）1．（2023西安铁一中一模）定义一种新运算：ban⋅xn−1dx=an−bA．-2 B．−25 C．2 2．（2023·山东菏泽·校考三模）对于实数a和b，定义一种新运算“⊗”为：a⊗b=11−b2，这里等式右边是实数运算．例如：5⊗3=1A．x=4 B．x=5 C．x=7 D．x=63．（2023·广东深圳·深圳市高级中学校考二模）对于实数a，b，定义一种新运算“θ”为：aθb=1a+b2，例如：1θ2=11+24.（2022·北京海淀·人大附中校考模拟预测）定义运算“※”：a※b=aa−b,a>bbb−a,a<b．若A．52 B．5 C．152 D．10题型05根据分式方程解的情况求值1．（2021·四川雅安·统考中考真题）若关于x的分式方程2−1−kx−2=12−x的解是正数，则k2．（2023慈溪市二模）如果方程1-kx-1-1=21-x3．（2023齐齐哈尔市模拟）若关于x的方程x+mx−3+3m3−x＝3的解为正数，则m的取值范围是4．（2022·湖北黄石·统考中考真题）已知关于x的方程1x+1x+1=x+ax(x+1)5．（2022·山东日照·日照市新营中学校考一模）已知关于x的分式方程m+32x−1=1的解不大于2，则m的取值范围是___________6．（2022·四川南充·统考二模）已知关于x的分式方程xx−1=m2x−2+3的解是非负数，则m题型06根据分式方程有解或无解求参数1．（2021·四川巴中·统考中考真题）关于x的分式方程m+x2−x−3＝0有解，则实数A．m＝﹣2 B．m≠﹣2 C．m＝2 D．m≠22．（2020黄冈市模拟）关于x的分式方程5x=ax−2有解，则字母A．a=2或a=0 B．a≠0 C．a≠5 D．a≠5且a≠03．（2021·内蒙古呼伦贝尔·统考中考真题）若关于x的分式方程2x−3+x+a3−x=2A．3 B．0 C．−1 D．0或34．（2022·黑龙江·统考三模）关于x的分式方程1−axx−2+2=12−x有解，则5．关于x的分式方程2x−2+mxx2−4=题型07已知分式方程有增根求参数1．（2022·湖北襄阳·统考一模）关于x的方程x+2x+3=mx+3有增根，则m的值及增根A．−1，−3 B．1，−3 C．−1，3 D．1，32．（2022·山东潍坊·统考二模）如果解关于x的分式方程2x−1+mx−1x+2A．−6或-3 B．−3 C．−2 D．13．（2023·黑龙江大庆·统考三模）关于x的方程2x+1x−3=m3−x+1有增根，则m4．（2022绥宁县一模）若去分母解分式方程x−2x−3+1=mx−3会产生增根，则m的值为5．（2022·江苏徐州·统考二模）如果关于x的方程2x−3=1−k3−x有增根，那么k=题型08列方式方程1．（2022·内蒙古鄂尔多斯·统考一模）习近平总书记指出，中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”、为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校决定开展名著阅读活动，用3600元购买“四大名著”若干套后，发现这批图书满足不了学生的阅读需求，图书管理员在购买第二批时正赶上图书城八折销售该套书，于是用2400元购买的套数只比第一批少4套，设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x元，则符合题意的方程是（

）A．36000.8x−3600C．24000.8x−36002．（2023·河南驻马店·校考二模）某体育用品商店出售跳绳，售卖方式可批发可零售，班长打算为班级团购跳绳，如果每位同学一根跳绳，就只能按零售价付款，共需800元；如果多购买5根跳绳，就可以享受批发价，总价是720元，已知按零售价购买40根跳绳与按批发价购买50根跳绳付款相同，则班级共有多少名学生？设班级共有x名学生，依据题意列方程得（

）A．50×800x=C．40×800x=3．（2022·四川宜宾·统考中考真题）某家具厂要在开学前赶制540套桌凳，为了尽快完成任务，厂领导合理调配，加强第一线人力，使每天完成的桌凳比原计划多2套，结果提前3天完成任务．问原计划每天完成多少套桌凳？设原计划每天完成x套桌凳，则所列方程正确的是（

）A．540x−2−540x=3 B．540x+24．（2022·广东佛山·佛山市华英学校校考三模）A，B两地相距80千米，一辆大汽车从A地开出2小时后，又从A地开出另一辆小汽车，已知小汽车的速度是大汽车速度的3倍，结果小汽车比大汽车早40分钟到达B地，求两种汽车每小时各走多少千米．设大汽车的速度为xkm/h，则下面所列方程正确的是（

A．80x−80C．80x−2=805．（2023福州文博中学模拟）某厂计划加工120万个医用口罩，按原计划的速度生产6天后，疫情期间因为任务需要，生产速度提高到原来的1.5倍，结果比原计划提前3天完成任务．若设原计划每天生产x万个口罩，则可列方程为（

）A．120x=120C．120−6xx=120−6x6．（2021·山东临沂·统考中考真题）某工厂生产A、B两种型号的扫地机器人．B型机器人比A型机器人每小时的清扫面积多50%；清扫100m2所用的时间A型机器人比B型机器人多用40分钟．两种型号扫地机器人每小时分别清扫多少面积？若设A型扫地机器人每小时清扫xm2A．1000.5x=100C．100x+27．（2023西峡县三模）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为x天，则可列出正确的方程为（

）A．900x+3=2×900C．900x−1=2×9008．（2022·浙江丽水·统考中考真题）某校购买了一批篮球和足球．已知购买足球的数量是篮球的2倍，购买足球用了5000元，购买篮球用了4000元，篮球单价比足球贵30元．根据题意可列方程50002x=4000x−30A．足球的单价 B．篮球的单价 C．足球的数量 D．篮球的数量题型09利用分式方程解决实际问题1．（2021·山东泰安·统考中考真题）接种疫苗是阻断新冠病毒传播的有效途径，针对疫苗急需问题，某制药厂紧急批量生产，计划每天生产疫苗16万剂，但受某些因素影响，有10名工人不能按时到厂．为了应对疫情，回厂的工人加班生产，由原来每天工作8小时增加到10小时，每人每小时完成的工作量不变，这样每天只能生产疫苗15万剂．（1）求该厂当前参加生产的工人有多少人？（2）生产4天后，未到的工人同时到岗加入生产，每天生产时间仍为10小时．若上级分配给该厂共760万剂的生产任务，问该厂共需要多少天才能完成任务？2．（2022·江苏扬州·统考中考真题）某中学为准备十四岁青春仪式，原计划由八年级（1）班的4个小组制作360面彩旗，后因1个小组另有任务，其余3个小组的每名学生要比原计划多做3面彩旗才能完成任务．如果这4个小组的人数相等，那么每个小组有学生多少名？3．（2022·山东菏泽·统考中考真题）某健身器材店计划购买一批篮球和排球，已知每个篮球进价是每个排球进价的1.5倍，若用3600元购进篮球的数量比用3200元购进排球的数量少10个．(1)篮球、排球的进价分别为每个多少元?(2)该健身器材店决定用不多于28000元购进篮球和排球共300个进行销售，最多可以购买多少个篮球?真题实战练1．（2023·上海·统考中考真题）在分式方程2x−1x2+x22x−1=5A．y2+5y+5=0 B．y2−5y+5=0 C．2．（2023·四川宜宾·统考中考真题）分式方程x−2x−3A．2 B．3 C．4 D．53．（2023·湖南·统考中考真题）将关于x的分式方程32x=1A．3x−3=2x B．3x−1=2x C．3x−1=x D．3x−3=x4．（2023·山东日照·统考中考真题）若关于x的方程xx−1−2=3m2x−2解为正数，则A．m>−23 B．m<43 C．m>−23且5．（2023·山东聊城·统考中考真题）若关于x的分式方程xx−1+1=m1−x的解为非负数，则A．m≤1且m≠−1 B．m≥−1且m≠1 C．m<1且m≠−1 D．m>−1且m≠16．（2023·黑龙江·统考中考真题）已知关于x的分式方程mx−2+1=x2−x的解是非负数，则A．m≤2 B．m≥2 C．m≤2且m≠−2 D．m<2且m≠−27．（2023·山东淄博·统考中考真题）已知x=1是方程m2−x−1x−2=3A．−2 B．2 C．−4 D．48．（2023·云南·统考中考真题）阅读，正如一束阳光．孩子们无论在哪儿，都可以感受到阳光的照耀，都可以通过阅读触及更广阔的世界．某区教育体育局向全区中小学生推出“童心读书会”的分享活动．甲、乙两同学分别从距离活动地点800米和400米的两地同时出发，参加分享活动．甲同学的速度是乙同学的速度的1.2倍，乙同学比甲同学提前4分钟到达活动地点．若设乙同学的速度是x米/分，则下列方程正确的是（

）A．x800−1.2x400=4 B．1.2x8009．（2023·广东深圳·统考中考真题）某运输公司运输一批货物，已知大货车比小货车每辆多运输5吨货物，且大货车运输75吨货物所用车辆数与小货车运输50吨货物所用车辆数相同，设有大货车每辆运输x吨，则所列方程正确的是（

）A．75x−5=50x B．75x=10．（2023·四川达州·统考中考真题）某镇的“脆红李”深受广大市民的喜爱，也是馈赠亲友的尚佳礼品，首批“脆红李”成熟后，当地某电商用12000元购进这种“脆红李”进行销售，面市后，线上订单猛增供不应求，该电商又用11000元购进第二批这种“脆红李”，由于更多“脆红李”成熟，单价比第一批每件便宜了5元，但数量比第一批多购进了40件，求购进的第一批“脆红李”的单价．设购进的第一批“脆红李”的单价为x元/件，根据题意可列方程为（

）A．12000x=11000C．12000x+5+40=1100011．（2023·四川广安·统考中考真题）为了降低成本，某出租车公司实施了“油改气”措施．如图，y1、y2分别表示燃油汽车和燃气汽车所需费用y（单位：元）与行驶路程

A．25x=103x−0.1 B．25x=12．（2023·湖北随州·统考中考真题）甲、乙两个工程队共同修一条道路，其中甲工程队需要修9千米，乙工程队需要修12千米．已知乙工程队每个月比甲工程队多修1千米，最终用的时间比甲工程队少半个月．若设甲工程队每个月修x千米，则可列出方程为（

）A．9x−12x+1=12 B．13．（2023·辽宁·统考中考真题）某校八年级学生去距离学校120km的游览区游览，一部分学生乘慢车先行，出发1h后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达．已知快车的速度是慢车速度的1.5倍，求慢车的速度，设慢车的速度是A．120x+1=1201.5x B．120x−1=14．（2023·湖北宜昌·统考中考真题）某校学生去距离学校12km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，汽车的速度是（A．0.2km/min B．0.3km/min15．（2023·重庆·统考中考真题）若关于x的不等式组x+23>x2+14x+a<x−1的解集为x<−2，且关于y的分式方程16．（2023·湖南永州·统考中考真题）若关于x的分式方程1x−4−m4−x=117．（2023·浙江台州·统考中考真题）3月12日植树节期间，某校环保小卫士组织植树活动．第一组植树12棵；第二组比第一组多6人，植树36棵；结果两组平均每人植树的棵数相等，则第一组有________人．18．（2023·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）甲、乙两船从相距150km的A，B两地同时匀速沿江出发相向而行，甲船从A地顺流航行90km时与从B地逆流航行的乙船相遇．甲、乙两船在静水中的航速均为30km/h，则江水的流速为________km/h．19．（2023·广东·统考中考真题）某学校开展了社会实践活动，活动地点距离学校12km，甲、乙两同学骑自行车同时从学校出发，甲的速度是乙的1.2倍，结果甲比乙早到1020．（2023·重庆·统考中考真题）某公司不定期为员工购买某预制食品厂生产的杂酱面、牛肉面两种食品．(1)该公司花费3000元一次性购买了杂酱面、牛肉面共170份，此时杂酱面、牛肉面的价格分别为15元、20元，求购买两种食品各多少份？(2)由于公司员工人数和食品价格有所调整，现该公司分别花费1260元、1200元一次性购买杂酱面、牛肉面两种食品，已知购买杂酱面的份数比牛肉面的份数多50％21．（2023·四川乐山·统考中考真题）为了践行习近平总书记提出的“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某地计划在规定时间内种植梨树6000棵．开始种植时，由于志愿者的加入，实际每天种植梨树的数量比原计划增加了20%22．（2023·江苏扬州·统考中考真题）甲、乙两名学生到离校2.4km的“人民公园”参加志愿者活动，甲同学步行，乙同学骑自行车，骑自行车速度是步行速度的4倍，甲出发30min重难创新练1．（2023·河北·统考中考真题）根据下表中的数据，写出a的值为_______．b的值为_______．x结果代数式2n3x+17b2x+1a12．（2021·广西贺州·统考中考真题）如M={1,2,x}，我们叫集合M，其中1，2，x叫做集合M的元素．集合中的元素具有确定性（如x必然存在），互异性（如x≠1，x≠2），无序性（即改变元素的顺序，集合不变）．若集合N={x,1,2}，我们说M=N．已知集合A={1,0,a}，集合B={1a,|a|,ba}，若A．－1 B．0 C．1 D．23．（2022·重庆·统考中考真题）为进一步改善生态环境，村委会决定在甲、乙、丙三座山上种植香樟和红枫．初步预算，这三座山各需两种树木数量和之比为5:6:7，需香樟数量之比为4:3:9，并且甲、乙两山需红枫数量之比为2:3．在实际购买时，香樟的价格比预算低20%，红枫的价格比预算高25%，香樟购买数量减少了6.25%，结果发现所花费用恰好与预算费用相等，则实际购买香樟的总费用与实际购买红枫的总费用之比为____

第06讲分式方程答案解析题型过关练题型01判断分式方程1．关于x的方程①x2−2x=1x；②3x+54x−1=2x−1A．①②③ B．①② C．①③ D．①②④【答案】B【分析】根据分式方程的定义对各方程进行逐一分析即可．【详解】解：方程①是分式方程，符合题意；方程②分母中含有未知数，符合题意；方程③是整式方程，不符合题意；方程④是整式方程，不符合题意；故其中是分式方程的有：①②，故选：B．【点睛】本题考查的是分式方程的定义，熟知分母中含有未知数的方程叫做分式方程是解答此题的关键．2．给出以下方程：x−34=1，3x=2，x+3x+5A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】利用分式方程的定义：分母中含有未知数的方程，进行逐一判断即可．【详解】解：x−343xx+3x+5x3共有两个是分式方程，故B正确．故选：B．【点睛】本题主要考查的是分式方程的定义，掌握定义并进行准确判断是解题的关键．题型02分式方程的一般解法1．（2022·广东广州·统考中考真题）分式方程32x=【答案】x=3【分析】先去分母，将分式方程转化成整式方程求解，再检验即可求解；【详解】解：方程两边同时乘以2x(x+1)，得3(x+1)=4x3x+3=4xx=3，检验：把x=3代入2x(x+1)=2×3(3+1)=24≠0，∴原分式方程的解为：x=3．故答案为：x=3．【点睛】本题考查解分式方程，解分式方程的基本思想是将分式方程转化成整式方程求解，注意：解分式方程一定要验根．2．（2023广州市一模）分式3−x2−x的值比分式1x−2的值大3，则x为【答案】1【分析】先根据题意得出方程，求出方程的解，再进行检验，最后得出答案即可．【详解】根据题意得：3−x2−x-1方程两边都乘以x-2得：-（3-x）-1=3（x-2），解得：x=1，检验：把x=1代入x-2≠0，所以x=1是所列方程的解，所以当x=1时，3−x2−x的值比分式1【点睛】本题考查了解分式方程，能求出分式方程的解是解此题的关键．3．（2022·广西梧州·统考中考真题）解方程：1−【答案】x=5【分析】先方程两边同时乘以(x−3)，化成整式方程求解，然后再检验分母是否为0即可．【详解】解：方程两边同时乘以(x−3)得到：x−3+2=4，解出：x=5，当x=5时分式方程的分母不为0，∴分式方程的解为：x=5．【点睛】本题考查了分式方程的解法，属于基础题，计算过程中细心即可．4．（2011·河北·统考中考模拟）解分式方程：32x−4【答案】x=【分析】根据解分式方程的步骤，因式分解、去分母、移项、合并同类项、系数化“1”、验根、下结论即可．【详解】解：3整理得32方程两边同乘最简公分母2x−2得3−2x=x−2移项得3+2=x+2x，合并同类项得3x=5，系数化“1”得x=5检验：当x=53时，∴x=5【点睛】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤，不要忘记验根是解决问题的关键．5．（2023渭南市一模）解分式方程：xx−2【答案】x=4【分析】先将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：xx−2方程两边乘(x−2)2得：x(x−2)−解得：x=4，检验：当x=4时，（x所以原方程的解为x=4．【点睛】本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．题型03错看或错解分式方程问题1．（2023·河北·统考模拟预测）已知关于x的分式方程mx+6=1，对于方程的解，甲、乙两人有以下说法：甲：当m<4时，方程的解是负数；乙：当m>6时，方程的解是正数．下列判断正确的是（A．只有甲对 B．只有乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都错【答案】B【分析】首先解方程表示出分式方程的解，然后根据参数的取值范围求解即可．【详解】m去分母得，m=x+6，解得x=m−6，要使分式方程有解，x+6≠0，∴m−6+6≠0，∴m≠0，∴当m<4时，m−6<4−6，∴x<−2，∴当m<4，且m≠0时，方程的解是负数，故甲说法错误；当m>6时，m−6>6−6，∴x>0，∴乙说法正确．故选：B．【点睛】本题考查分式方程含参数问题，解题的关键是熟练掌握分式方程的增根的定义：使分式方程的最简公分母等于0的根叫做分式方程的增根．2．（2023·河北沧州·校考模拟预测）“若关于x的方程ax3x−9=12下列说法正确的是（

）A．尖尖对，丹丹错 B．尖尖错，丹丹对C．两人都错 D．两人的答案合起来才对

【答案】D【分析】根据分式方程无解情况①去分母后方程无解，②解出的解是增根，两类讨论即可得到答案；【详解】解：由题意可得，去分母可得，ax=12+3x−9，移项合并同类项得，(a−3)x=3，当a−3=0时，即a=3时方程无解，当a−3≠0时，即a≠3时，x=3∵方程ax3x−9即x=3a−3是方程的增根，可得：3x−9=0，解得：∴3=3a−3，解得：故选D；【点睛】本题考查分式方程无解的情况，解题的关键是熟练掌握分式方程无解情况①去分母后方程无解，②解出的解是增根．3．（2023上·河北邢台·八年级校联考阶段练习）已知关于x的分式方程x−2x+2−mx甲同学的结果：m=0．乙同学的结果：m=−8．关于甲、乙两位同学计算的结果，下列说法正确的是（

）A．甲同学的结果正确 B．乙同学的结果正确C．甲、乙同学的结果合在一起正确 D．甲、乙同学的结果合在一起也不正确【答案】D【分析】解分式方程，用含m的代数式表示出x，当分式方程无解时，求出的x的值无意义或为增根，由此可解．【详解】解：x−2x+2去分母，得x−22解得x=8∵关于x的分式方程x−2x+2∴x=8m+4无意义或使当x=8m+4无意义时，解得m=−4，当x=8m+4∴8m+4=2解得m=0或m=−8，综上可知，m=−4或m=0或m=−8，因此甲、乙同学的结果合在一起也不正确，故选：D．【点睛】本题考查根据分式方程解的情况求值，解题的关键是掌握分式方程无解的条件．4．已知分式方程2x−1(1)若“■”表示的数为4，求分式方程的解；(2)小马虎回忆说：由于抄题时等号右边的数值抄错，导致找不到原题目，但可以肯定的是“■”是−1或0，试确定“■”表示的数．【答案】(1)x=(2)0【分析】（1）根据题意列出分式方程，求出解即可；（2）把−1和0分别代入方程，求出解判断即可．【详解】（1）解：根据题意得：2x−1去分母得：2−x=4x−4，解得：x=6检验：把x=65代入得：∴分式方程的解为x=6（2）解：当“■”是−1时，2x−1+x当“■”是0时，2x−1+x1−x=0∴“■”表示的数是0．【点睛】本题考查了解分式方程，以及分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法是解本题的关键．5．（1）以下是小明同学解方程1−xx−3【解析】方程两边同时乘x−3，得1−x=−1−2．第一步解得x=4．第二步检验：当x=4时，x−3=4−3=1≠0．第三步所以，原分式方程的解为x=4．第四步①小明的解法从第___________步开始出现错误；出错的原因是___________．②解分式方程的思想是利用___________的数学思想，把分式方程化为整式方程．A．数形结合

B．特殊到一般

C．转化

D．类比③写出解方程1−xx−3（2）化简：a2【答案】（1）①一；去分母时整数漏乘；②C；③见解析；（2）a−3【分析】（1）①第一步去分母时整数漏乘；②解分式方程的思想是利用转化的数学思想，把分式方程化为整式方程；③根据解分式方程的步骤，先确定最简公分母，然后去分母，解整式方程，检验，得出解．（2）先将括号内的进行通分后，把除法转换为乘法，再进行约分即可得到答案．【详解】（1）①小明的解法从第一步开始出现错误．错误的原因是去分母时整数项漏乘；故答案为：一，去分母时整数项漏乘；②解分式方程的思想是利用转化的数学思想，把分式方程化为整式方程，故选：C；③方程两边同时乘x−3，得1−x=−1−2x−3解得，x=4．检验：当x=4时，x−3=4−3=1≠0．所以，原分式方程的解为x=4；（2）a=a=a−3=a−3a【点睛】本题考查了分式的混合运算以及解分式方程的问题，解分式方程时确定最简公分母，然后去分母是解分式方程的首要步骤，在去分母时不要漏乘，注意解分式方程要检验．6．在解分式方程1−xx−2解：方程两边同时乘x−2，得1−x=−1−2

（第一步）解这个整式方程得：x=4

（第二步）……任务一：填空在上述小亮所解方程中，第_步有错，错误的原因是：_．任务二：请写出解这个方程的正确过程．任务三：请你根据平时的学习经验，针对解分式方程的注意事项给其他同学再提出一条建议．【答案】任务一：一，在去分母时整数项没有乘x−2；任务二：过程见解析，原方程无解；任务三：解分式方程一定要检验或在去括号时，要注意括号前面的负号【分析】任务一：根据解分式方程的步骤即可得出答案；任务二：根据解分式方程的步骤即可得出答案；任务三：根据解分式方程的步骤即可得出答案．【详解】任务一：第一步有错，错误的原因是：在去分母时整数项没有乘x−2，任务二：去分母得：1−x=−1−2x−2解得x=2，经检验x=2是原方程的增根，所以原方程无解；任务三：解分式方程一定要检验或在去括号时，要注意括号前面的负号．【点睛】本题考查解分式方程，掌握解分式方程的步骤正确计算是解题的关键．题型04解分式方程的运用（新定义运算）1．（2023西安铁一中一模）定义一种新运算：ban⋅xn−1dx=an−bA．-2 B．−25 C．2 【答案】B【分析】根据新定义运算得到一个分式方程，求解即可.【详解】根据题意得，5mm则m=−2经检验，m=−2故选B.【点睛】此题考查了解分式方程，弄清题中的新定义是解本题的关键．2．（2023·山东菏泽·校考三模）对于实数a和b，定义一种新运算“⊗”为：a⊗b=11−b2，这里等式右边是实数运算．例如：5⊗3=1A．x=4 B．x=5 C．x=7 D．x=6【答案】C【分析】根据题中的新定义化简，转化为分式方程，解分式方程即可．【详解】由题意化简：x⊗2=1∴2x−4−1=−1经检验：x=7是原分式方程的解，故选：C．【点睛】此题考查了解分式方程，以及实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．3．（2023·广东深圳·深圳市高级中学校考二模）对于实数a，b，定义一种新运算“θ”为：aθb=1a+b2，例如：1θ2=1【答案】x=−72【分析】利用题中的新定义化简，计算即可求出解．【详解】解：∵aθb=1∴xθ−2=2去分母得：1=2−2x+4解得：x=−7检验：当x=−72时，∴分式方程的解是x=−7故答案为：x=−【点睛】此题考查了解分式方程，以及实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．4.（2022·北京海淀·人大附中校考模拟预测）定义运算“※”：a※b=aa−b,a>bbb−a,a<b．若A．52 B．5 C．152 D．10【答案】D【分析】根据公式分两种情况列方程解答．【详解】解：当5>x时，得55−x=2，解得经检验x=5当5<x时，得xx−5=2，解得经检验，x=10是分式方程的解；故选：D．【点睛】此题考查了解分式方程，正确理解题意得到分式方程并掌握解分式方程的步骤是解题的关键．题型05根据分式方程解的情况求值1．（2021·四川雅安·统考中考真题）若关于x的分式方程2−1−kx−2=12−x【答案】k<4且k≠0【分析】根据题意，将分式方程的解x用含k的表达式进行表示，进而令x>0，再因分式方程要有意义则x≠2，进而计算出k的取值范围即可．【详解】解：2(2−x)+1−k=14−2x−k=0x=根据题意x>0且x≠2∴4−k∴k<4∴k的取值范围是k<4且k≠0．【点睛】本题主要考查了分式方程的解及分式方程有意义的条件、一元一次不等式组的求解，熟练掌握相关计算方法是解决本题的关键．2．（2023慈溪市二模）如果方程1-kx-1-1=2【答案】k<4且【分析】先将分式方程的解用关于k的代数式表示出来，再结合题意和分式有意义的条件求解即可．【详解】解：1-1-x=4-∵该分式方程解为正数和使分式有意义的条件，∴4-k>0且∴k<4且k故答案为：k<4且k【点睛】本题考查了分时方程的解，解决本题的关键是注意分式有意义的条件．3．（2023齐齐哈尔市模拟）若关于x的方程x+mx−3+3m3−x＝3的解为正数，则m的取值范围是【答案】m＜92且m【分析】根据解分式方程的方法求出题目中分式方程的解，然后根据关于x的方程x+mx−3+3m3−x=3【详解】解：x+mx−3方程两边同乘以x﹣3，得x+m﹣3m＝3（x﹣3）去括号，得x+m﹣3m＝3x﹣9移项及合并同类项，得2x＝﹣2m+9系数化为1，得x＝−2m+92∵关于x的方程x+mx−3+3m∴{−2m+9解得，m＜92且m≠【点睛】本题考查分式方程的解，解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．4．（2022·湖北黄石·统考中考真题）已知关于x的方程1x+1x+1=【答案】a<1且a≠0【分析】把a看作常数，去分母得到一元一次方程，求出x的表达式，再根据方程的解是负数及分母不为0列不等式并求解即可．【详解】解：由1x+1∵关于x的方程1x∴x<0x≠0x≠−1，即a−1<0a−1≠0a−1≠−1，解得a<1a≠1故答案为：a<1且a≠0．【点睛】本题考查解分式方程，根据题意及分式的分母不等于零列出不等式组是解决问题的关键．5．（2022·山东日照·日照市新营中学校考一模）已知关于x的分式方程m+32x−1=1的解不大于2，则m的取值范围是【答案】m≤0，且m≠-3【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据解不大于2且最简公分母不为0，求出m的范围即可．【详解】解：m+3去分母得：m+3=2x-1，解得：x=m+42，且2x-1≠0，即x≠1根据题意得：m+42≤2，且x≠解得：m≤0，且m≠-3，故答案为：m≤0，且m≠-3．【点睛】此题考查了分式方程的解，需注意在任何时候都要考虑分母不为0．6．（2022·四川南充·统考二模）已知关于x的分式方程xx−1=m2x−2+3【答案】m≤6且m≠2【分析】首先去分母，将分式方程表示为整式方程，用m表示出方程的解，然后根据方程的解为非负数求出m的取值范围即可．【详解】∵x∴去分母得：2x=m+3(2x−2)，∴x=6−m∵x为非负数，∴6−m4≥0∵x≠1，∴6−m4≠1故答案为：m≤6且m≠2．【点睛】本题考查分式方程的解以及分式有意义的条件，根据题意求解即可．题型06根据分式方程有解或无解求参数1．（2021·四川巴中·统考中考真题）关于x的分式方程m+x2−x−3＝0有解，则实数A．m＝﹣2 B．m≠﹣2 C．m＝2 D．m≠2【答案】B【分析】解分式方程得：m+x=6−3x即4x=m−6，由题意可知x≠2，即可得到6−m≠8.【详解】解：m+x方程两边同时乘以2−x得：m+x−6+3x=0，∴4x=m−6，∵分式方程有解，∴2−x≠0，∴x≠2，∴6−m≠8，∴m≠−2，故选B.【点睛】本题主要考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，理解分式方程有意义的条件是解题的关键.2．（2020黄冈市模拟）关于x的分式方程5x=ax−2有解，则字母A．a=2或a=0 B．a≠0 C．a≠5 D．a≠5且a≠0【答案】D【分析】先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“关于x的分式方程5x=ax−2有解”，即x≠0且【详解】解：5x去分母得：5（x-2）=ax，去括号得：5x-10=ax，移项，合并同类项得：（5-a）x=10，∵关于x的分式方程5x∴5-a≠0，x≠0且x≠2，即a≠5，系数化为1得：x=10∴105−a≠0且即a≠5，a≠0，综上所述：关于x的分式方程5x=ax−2有解，则字母a的取值范围是故选：D．【点睛】此题考查了求分式方程的解，由于我们的目的是求a的取值范围，根据方程的解列出关于a的不等式．另外，解答本题时，容易漏掉5-a≠0，这应引起同学们的足够重视．3．（2021·内蒙古呼伦贝尔·统考中考真题）若关于x的分式方程2x−3+x+a3−x=2A．3 B．0 C．−1 D．0或3【答案】C【分析】直接解分式方程，再根据分母为0列方程即可．【详解】解：2x−3去分母得：2﹣x﹣a＝2（x﹣3），解得：x＝8−a3当8−a3解得a=−1．故选：C．【点睛】本题考查了分式方程无解，解题关键是明确分式方程无解的条件，解方程，再根据分母为0列方程．4．（2022·黑龙江·统考三模）关于x的分式方程1−axx−2+2=12−x有解，则【答案】a≠1且a≠2【分析】先求出使分式方程无意义时，a的取值范围，再用逆向思维求出当分式方程有解时a的取值范围．【详解】解：∵1−axx−2∴a=2x−2∵1−axx−2则x−2≠0或2−x≠0，∴x≠2，当x=2时，a=2x−2故a的取值是1，当x≠2时，1−axx−2两边同乘(x−2)，1−ax+2(x−2)=−1，∴x=2当2-a=0时，方程无解，此时a=2，故答案为：a≠1且a≠2．【点睛】本题考查分式方程的解，以及分式方程无意义的解，能够熟练掌握解分式方程的方法是解决本题的关键．5．关于x的分式方程2x−2+mxx2【答案】1或6或−4【分析】方程两边都乘以x+2x−2【详解】解：∵2∴2∴2x+2∴m−1当m=1时，显然方程无解，又原方程的增根为：x=±2，当x=2时，m−1=−5，∴m=−4，当x=−2时，m−1=5，∴m=6，综上当m=1或m=−4或m=6时，原方程无解．故答案为：1或6或−4．【点睛】本题考查的是分式方程无解的知识，掌握分式方程无解时的分类讨论是解题的关键．题型07已知分式方程有增根求参数1．（2022·湖北襄阳·统考一模）关于x的方程x+2x+3=mx+3有增根，则m的值及增根A．−1，−3 B．1，−3 C．−1，3 D．1，3【答案】A【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根，所以先确定增根的可能值，让最简公分母x+3=0，得到x=−3，然后代入化为整式方程的方程求出m的值．【详解】解：原分式方程两边都乘以x+3，得：x+2=m，∵原方程有增根，∴最简公分母x+3=0，解得：x=−3，将x=−3代入x+2=m，得：−3+2=m，解得：m=−1，∴m的值及增根x的值分别为−1，−3，故选：A．【点睛】本题考查分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：让最简公分母为0；化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关未知数的值．2．（2022·山东潍坊·统考二模）如果解关于x的分式方程2x−1+mx−1x+2A．−6或-3 B．−3 C．−2 D．1【答案】A【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值．【详解】解：∵分式方程2x−1去分母整理，得2x+4+m=x−1，∴m=−x−5；∵原分式方程有增根，则x=1或x=−2，∴m=−6或m=−3；故选：A．【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．3．（2023·黑龙江大庆·统考三模）关于x的方程2x+1x−3=m3−x+1【答案】−7【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，求出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值．【详解】解：去分母得：2x+1=−m+x−3，解得x=−m−4，由分式方程有增根，得到x−3=0，即x=3，∴−m−4=3，解得：m=−7．故答案为：−7．【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．4．（2022绥宁县一模）若去分母解分式方程x−2x−3+1=mx−3会产生增根，则【答案】1【分析】首先解分式方程，再根据方程产生增根，列方程，即可求解．【详解】解：去分母，得：x−2+x−3=m，移项、合并同类项，得：2x=5+m，解得：x=5+m∵方程有增根，∴5+m解得m=1，故答案为：1．【点睛】本题考查了利用分式方程根的情况求参数，熟练掌握解分式方程是解决本题的关键．5．（2022·江苏徐州·统考二模）如果关于x的方程2x−3=1−k3−x【答案】2【分析】根据分式方程的增根是使分式方程无意义的根来分析解题．【详解】解：2x−3方程两边同时乘以x-3，2=x−3+k，∴k=5−x,∵分式方程的增根是x=3，∴k=2；故答案为：2．【点睛】本题主要考查分式方程增根的意义，难度适中，熟练掌握解分式方程的步骤和分式方程的增根的意义是解此题的关键题型08列方式方程1．（2022·内蒙古鄂尔多斯·统考一模）习近平总书记指出，中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”、为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校决定开展名著阅读活动，用3600元购买“四大名著”若干套后，发现这批图书满足不了学生的阅读需求，图书管理员在购买第二批时正赶上图书城八折销售该套书，于是用2400元购买的套数只比第一批少4套，设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x元，则符合题意的方程是（

）A．36000.8x−3600C．24000.8x−3600【答案】B【分析】设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x元，则第一批购买了3600x套，第二批购买了24000.8x套，根据用【详解】解：设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x元，由题意得，3600x故选：B【点睛】此题考查了分式方程的应用，读懂题意，找到等量关系列出方程是解题的关键．2．（2023·河南驻马店·校考二模）某体育用品商店出售跳绳，售卖方式可批发可零售，班长打算为班级团购跳绳，如果每位同学一根跳绳，就只能按零售价付款，共需800元；如果多购买5根跳绳，就可以享受批发价，总价是720元，已知按零售价购买40根跳绳与按批发价购买50根跳绳付款相同，则班级共有多少名学生？设班级共有x名学生，依据题意列方程得（

）A．50×800x=C．40×800x=【答案】C【分析】根据“按零售价购买40根跳绳与按批发价购买50根跳绳付款相同”建立等量关系，分别找到零售价与批发价即可列出方程．【详解】设班级共有x名学生，依据题意列方程有：40×800故选C．【点睛】本题主要考查列分式方程，读懂题意找到等量关系是解题的关键．3．（2022·四川宜宾·统考中考真题）某家具厂要在开学前赶制540套桌凳，为了尽快完成任务，厂领导合理调配，加强第一线人力，使每天完成的桌凳比原计划多2套，结果提前3天完成任务．问原计划每天完成多少套桌凳？设原计划每天完成x套桌凳，则所列方程正确的是（

）A．540x−2−540x=3 B．540x+2【答案】C【分析】设原计划每天完成x套桌凳，根据“提前3天完成任务”列出分式方程即可．【详解】解：设原计划每天完成x套桌凳，根据题意得，540x故选：C．【点睛】本题考查了列分式方程，理解题意是解题的关键．4．（2022·广东佛山·佛山市华英学校校考三模）A，B两地相距80千米，一辆大汽车从A地开出2小时后，又从A地开出另一辆小汽车，已知小汽车的速度是大汽车速度的3倍，结果小汽车比大汽车早40分钟到达B地，求两种汽车每小时各走多少千米．设大汽车的速度为xkm/h，则下面所列方程正确的是（

A．80x−80C．80x−2=80【答案】C【分析】设大汽车的速度为xkm/h，则小汽车的速度为3xkm/h，根据题意可得，同样走80千米，小汽车比大汽车少用【详解】解：设大汽车的速度为xkm/h，则小汽车的速度为3x由题意得，80x故选C．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．5．（2023福州文博中学模拟）某厂计划加工120万个医用口罩，按原计划的速度生产6天后，疫情期间因为任务需要，生产速度提高到原来的1.5倍，结果比原计划提前3天完成任务．若设原计划每天生产x万个口罩，则可列方程为（

）A．120x=120C．120−6xx=120−6x【答案】C【分析】根据6天之后，按原计划的生产时间＝提速后生产时间+3，可得方程．【详解】解：若设原计划每天生产x万个口罩，由题知：120−6x故选：C．【点睛】本题考查了分式方程的实际应用问题，根据题意列出方程式即可．6．（2021·山东临沂·统考中考真题）某工厂生产A、B两种型号的扫地机器人．B型机器人比A型机器人每小时的清扫面积多50%；清扫100m2所用的时间A型机器人比B型机器人多用40分钟．两种型号扫地机器人每小时分别清扫多少面积？若设A型扫地机器人每小时清扫xm2A．1000.5x=100C．100x+2【答案】D【分析】根据清扫100m2所用的时间A型机器人比B型机器人多用40分钟列出方程即可．【详解】解：设A型扫地机器人每小时清扫xm2，由题意可得：100x故选D．【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系．7．（2023西峡县三模）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为x天，则可列出正确的方程为（

）A．900x+3=2×900C．900x−1=2×900【答案】B【分析】根据快、慢马送到所需时间与规定时间之间的关系，可得出慢马送到所需时间为(x+1)天，快马送到所需时间为(x−3)天，再利用速度=路程÷时间，结合快马的速度是慢马的2倍，即可得出关于x的分式方程，此题得解．【详解】解：∵规定时间为x天，∴慢马送到所需时间为(x+1)天，快马送到所需时间为(x−3)天，又∵快马的速度是慢马的2倍，两地间的路程为900里，∴900x−3故选：B．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．8．（2022·浙江丽水·统考中考真题）某校购买了一批篮球和足球．已知购买足球的数量是篮球的2倍，购买足球用了5000元，购买篮球用了4000元，篮球单价比足球贵30元．根据题意可列方程50002x=4000x−30A．足球的单价 B．篮球的单价 C．足球的数量 D．篮球的数量【答案】D【分析】由50002x=4000【详解】解：由50002x由50002x表示的是足球的单价，而4000∴x表示的是购买篮球的数量，故选D【点睛】本题考查的是分式方程的应用，理解题意，理解方程中代数式的含义是解本题的关键．题型09利用分式方程解决实际问题1．（2021·山东泰安·统考中考真题）接种疫苗是阻断新冠病毒传播的有效途径，针对疫苗急需问题，某制药厂紧急批量生产，计划每天生产疫苗16万剂，但受某些因素影响，有10名工人不能按时到厂．为了应对疫情，回厂的工人加班生产，由原来每天工作8小时增加到10小时，每人每小时完成的工作量不变，这样每天只能生产疫苗15万剂．（1）求该厂当前参加生产的工人有多少人？（2）生产4天后，未到的工人同时到岗加入生产，每天生产时间仍为10小时．若上级分配给该厂共760万剂的生产任务，问该厂共需要多少天才能完成任务？【答案】（1）30人；（2）39天【分析】（1）设当前参加生产的工人有x人，根据每人每小时完成的工作量不变列出关于x的方程，求解即可；（2）设还需要生产y天才能完成任务．根据前面4天完成的工作量＋后面y天完成的工作量＝760列出关于y的方程，求解即可．【详解】解：（1）设当前参加生产的工人有x人，依题意得：168(x+10)解得：x=30，经检验，x=30是原方程的解，且符合题意．答：当前参加生产的工人有30人．（2）每人每小时的数量为16÷8÷40=0.05（万剂）．设还需要生产y天才能完成任务，依题意得：4×15+40×10×0.05×y=760，解得：y=35，35+4=39（天）答：该厂共需要39天才能完成任务．【点睛】本题考查分式方程的应用和一元一次方程的应用，分析题意，找到合适的数量关系是解决问题的关键．2．（2022·江苏扬州·统考中考真题）某中学为准备十四岁青春仪式，原计划由八年级（1）班的4个小组制作360面彩旗，后因1个小组另有任务，其余3个小组的每名学生要比原计划多做3面彩旗才能完成任务．如果这4个小组的人数相等，那么每个小组有学生多少名？【答案】每个小组有学生10名．【分析】设每个小组有学生x名，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果．【详解】解：设每个小组有学生x名，根据题意，得3603x解这个方程，得x＝10，经检验，x＝10是原方程的根，∴每个小组有学生10名．【点睛】此题考查了分式方程的应用，弄清题意是解本题的关键．3．（2022·山东菏泽·统考中考真题）某健身器材店计划购买一批篮球和排球，已知每个篮球进价是每个排球进价的1.5倍，若用3600元购进篮球的数量比用3200元购进排球的数量少10个．(1)篮球、排球的进价分别为每个多少元?(2)该健身器材店决定用不多于28000元购进篮球和排球共300个进行销售，最多可以购买多少个篮球?【答案】(1)每个篮球的进价为120元，每个排球的进价为80元．(2)100个【分析】（1）设每个排球的进价为x元，则每个篮球的进价为1.5x元，根据“用3600元购进篮球的数量比用3200元购进排球的数量少10个”得到方程；即可解得结果；（2）设健身器材店可以购进篮球a个，则购进排球（300﹣a）个，根据题意得不等式组即可得到结果．【详解】（1）设每个排球的进价为x元，则每个篮球的进价为1.5x元根据题意得36001.5x解得x＝80．经检验x＝80是原分式方程的解．∴1.5x＝120（元）．∴篮球的进价为120元，排球的进价为80元答：每个篮球的进价为120元，每个排球的进价为80元．（2）设该体育用品商店可以购进篮球a个，则购进排球（300﹣a）个，根据题意，得120a+80（300﹣a）≤28000．解得a≤100．答：该健身器材店最多可以购进篮球100个．【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，分式方程的应用，找准数量关系是解题的关键．真题实战练1．（2023·上海·统考中考真题）在分式方程2x−1x2+x22x−1=5A．y2+5y+5=0 B．y2−5y+5=0 C．【答案】D【分析】设2x−1x2=y【详解】解：设2x−1x2=y即y2故选：D.【点睛】本题考查了利用换元法解方程，正确变形是关键，注意最后要化为整式方程.2．（2023·四川宜宾·统考中考真题）分式方程x−2x−3A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】根据分式方程的解法直接求解即可得到答案．【详解】解：x−2x−3方程两边同时乘以x−3得到x−2=2，∴x=4，检验：当x=4时，x−3=4−3=1≠0，∴x=4是原分式方程的解，故选：C．【点睛】本题考查分式方程的解法，对于分式方程求解验根是解决问题的关键步骤．3．（2023·湖南·统考中考真题）将关于x的分式方程32x=1A．3x−3=2x B．3x−1=2x C．3x−1=x D．3x−3=x【答案】A【分析】方程两边都乘以2xx−1【详解】解：∵32x去分母得：3x−1整理得：3x−3=2x，故选A．【点睛】本题考查的是分式方程的解法，熟练的把分式方程化为整式方程是解本题的关键．4．（2023·山东日照·统考中考真题）若关于x的方程xx−1−2=3m2x−2解为正数，则A．m>−23 B．m<43 C．m>−23且【答案】D【分析】将分式方程化为整式方程解得x=4−3m2，根据方程的解是正数，可得4−3m2【详解】解：x2x−2×22x−4x+4=3m−2x=3m−4x=∵方程xx−1∴4−3m2>0∴m<43故选：D．【点睛】此题考查了解分式方程，根据分式方程的解的情况求参数，解不等式，将方程化为整式方程求出整式方程的解，列出不等式是解答此类问题的关键．5．（2023·山东聊城·统考中考真题）若关于x的分式方程xx−1+1=m1−x的解为非负数，则A．m≤1且m≠−1 B．m≥−1且m≠1 C．m<1且m≠−1 D．m>−1且m≠1【答案】A【分析】把分式方程的解求出来，排除掉增根，根据方程的解是非负数列出不等式，最后求出m的范围．【详解】解：方程两边都乘以x−1，得：x+x−1=−m，解得：x=1−m∵x−1≠0，即：1−m2∴m≠−1，又∵分式方程的解为非负数，∴1−m2∴m≤1，∴m的取值范围是m≤1且m≠−1，故选：A．【点睛】本题考查了分式方程的解，根据条件列出不等式是解题的关键，分式方程一定要检验．6．（2023·黑龙江·统考中考真题）已知关于x的分式方程mx−2+1=x2−x的解是非负数，则A．m≤2 B．m≥2 C．m≤2且m≠−2 D．m<2且m≠−2【答案】C【分析】解分式方程求出x=2−m2，然后根据解是非负数以及解不是增根得出关于【详解】解：分式方程去分母得：m+x−2=−x，解得：x=2−m∵分式方程mx−2∴2−m2≥0，且∴m≤2且m≠−2，故选：C．【点睛】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式组，正确得出关于m的不等式组是解题的关键．7．（2023·山东淄博·统考中考真题）已知x=1是方程m2−x−1x−2=3A．−2 B．2 C．−4 D．4【答案】B【分析】将x=1代入方程，即可求解．【详解】解：将x=1代入方程，得m解得：m=2故选：B．【点睛】本题考查分式方程的解，解题的关键是将x=1代入原方程中得到关于m的方程．8．（2023·云南·统考中考真题）阅读，正如一束阳光．孩子们无论在哪儿，都可以感受到阳光的照耀，都可以通过阅读触及更广阔的世界．某区教育体育局向全区中小学生推出“童心读书会”的分享活动．甲、乙两同学分别从距离活动地点800米和400米的两地同时出发，参加分享活动．甲同学的速度是乙同学的速度的1.2倍，乙同学比甲同学提前4分钟到达活动地点．若设乙同学的速度是x米/分，则下列方程正确的是（

）A．x800−1.2x400=4 B．1.2x800【答案】D【分析】设乙同学的速度是x米/分，根据乙同学比甲同学提前4分钟到达活动地点，列出方程即可．【详解】解∶设乙同学的速度是x米/分，可得：800故选∶D．【点睛】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．9．（2023·广东深圳·统考中考真题）某运输公司运输一批货物，已知大货车比小货车每辆多运输5吨货物，且大货车运输75吨货物所用车辆数与小货车运输50吨货物所用车辆数相同，设有大货车每辆运输x吨，则所列方程正确的是（

）A．75x−5=50x B．75x=【答案】B【分析】根据“大货车运输75吨货物所用车辆数与小货车运输50吨货物所用车辆数相同”即可列出方程．【详解】解：设有大货车每辆运输x吨，则小货车每辆运输x−5吨，则75x故选B【点睛】本题考查分式方程的应用，理解题意准确找到等量关系是解题的关键．10．（2023·四川达州·统考中考真题）某镇的“脆红李”深受广大市民的喜爱，也是馈赠亲友的尚佳礼品，首批“脆红李”成熟后，当地某电商用12000元购进这种“脆红李”进行销售，面市后，线上订单猛增供不应求，该电商又用11000元购进第二批这种“脆红李”，由于更多“脆红李”成熟，单价比第一批每件便宜了5元，但数量比第一批多购进了40件，求购进的第一批“脆红李”的单价．设购进的第一批“脆红李”的单价为x元/件，根据题意可列方程为（

）A．12000x=11000C．12000x+5+40=11000【答案】A【分析】设购进的第一批“脆红李”的单价为x元/件，则购进第二批“脆红李”的单价为x−5元/件，根据购进的第二批这种“脆红李”比第一批多购进了40件，列出方程即可．【详解】解：设购进的第一批“脆红李”的单价为x元/件，则购进第二批“脆红李”的单价为x−5元/件，根据题意得：12000x故选：A．【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系式．11．（2023·四川广安·统考中考真题）为了降低成本，某出租车公司实施了“油改气”措施．如图，y1、y2分别表示燃油汽车和燃气汽车所需费用y（单位：元）与行驶路程

A．25x=103x−0.1 B．25x=【答案】D【分析】先求出燃油汽车每千米所需的费用为3x−0.1元，再根据函数图象可得燃油汽车所需费用为25元时与燃气汽车所需费用为10元时，所行驶的路程相等，据此列出方程即可得．【详解】解：由题意得：燃油汽车每千米所需的费用为3x−0.1元，由函数图象可知，燃油汽车所需费用为25元时与燃气汽车所需费用为10元时，所行驶的路程相等，则可列方程为253x−0.1故选：D．【点睛】本题考查了列分式方程、函数图象，读懂函数图象，正确获取信息是解题关键．12．（2023·湖北随州·统考中考真题）甲、乙两个工程队共同修一条道路，其中甲工程队需要修9千米，乙工程队需要修12千米．已知乙工程队每个月比甲工程队多修1千米，最终用的时间比甲工程队少半个月．若设甲工程队每个月修x千米，则可列出方程为（

）A．9x−12x+1=12 B．【答案】A【分析】设甲工程队每个月修x千米，则乙工程队每个月修x+1千米，根据“最终用的时间比甲工程队少半个月”列出分式方程即可．【详解】解：设甲工程队每个月修x千米，则乙工程队每个月修x+1千米，依题意得9x故选：A．【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是分析题意，找准关键语句，列出相等关系．13．（2023·辽宁·统考中考真题）某校八年级学生去距离学校120km的游览区游览，一部分学生乘慢车先行，出发1h后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达．已知快车的速度是慢车速度的1.5倍，求慢车的速度，设慢车的速度是A．120x+1=1201.5x B．120x−1=【答案】B【分析】设出慢车的速度，再利用慢车的速度表示出快车的速度，根据所用时间差为1小时列方程即可．【详解】解：设慢车的速度是x km/h，则快车的速度为1.5x依题意得120x故选：B．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．14．（2023·湖北宜昌·统考中考真题）某校学生去距离学校12km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，汽车的速度是（A．0.2km/min B．0.3km/min【答案】D【分析】设骑车学生的速度为xkm/min，则汽车的速度为2xkm/min，根据题意可得，乘坐汽车比骑自行车少用【详解】解：设骑车学生的速度为xkm/min，则汽车的速度为2x由题意得：12x解得：x=0.3，经检验：x=0.3是原方程的解，且符合题意，所以，骑车学生的速度为0.3km∴汽车的速度为0.3×2=0.6故选：D．【点睛】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验．15．（2023·重庆·统考中考真题）若关于x的不等式组x+23>x2+14x+a<x−1的解集为x<−2，且关于y的分式方程【答案】13【分析】先求出一元一次不等式组中两个不等式的解集，从而可得a≤5，再解分式方程可得a>−2且a≠1，从而可得−2<a≤5且a≠1，然后将所有满足条件的整数a的值相加即可得．【详解】解：x+23解不等式①得：x<−2，解不等式②得：x<−a+1∵关于x的不等式组x+23>x∴−a+1解得a≤5，方程a+2y−1+y+2解得y=a+2∵关于y的分式方程a+2y−1∴a+23>0解得a>−2且a≠1，∴−2<a≤5且a≠1，则所有满足条件的整数a的值之和为−1+0+2+3+4+5=13，故答案为：13．【点睛】本题考查了一元一次不等式组、分式方程，熟练掌握不等式组和分式方程的解法是解题关键．16．（2023·湖南永州·统考中考真题）若关于x的分式方程1x−4−m4−x=1【答案】x=4【分析】根据使分式的分母为零的未知数的值，是方程的增根，计算即可．【详解】∵关于x的分式方程1x−4−m∴x−4=0，解得x=4，故答案为：x=4．【点睛】本题考查了分式方程的解法，增根的理解，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．17．（2023·浙江台州·统考中考真题）3月12日植树节期间，某校环保小卫士组织植树活动．第一组植树12棵；第二组比第一组多6人，植树36棵；结果两组平均每人植树的棵数相等，则第一组有________人．【答案】3【分析】审题确定等量关系：第一组平均每人植树棵数＝第二组平均每人植树棵数，列方程求解，注意检验．【详解】设第一组有x人，则第二组有(x+6)人，根据题意，得12去分母，得12(x+6)=36x解得，x=3经检验，x=3是原方程的根．故答案为：3【点睛】本题考查分式方程的应用，审题明确等量关系是解题的关键，注意分式方程的验根．18．（2023·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）甲、乙两船从相距150km的A，