专题06 平行四边形的判定和性质 带解析

2022-2023学年人教版八年级数学下册精选压轴题培优卷专题06平行四边形的判定和性质一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2022春•南海区校级月考）如图，点E、F是平行四边形ABCD对角线上两点，在条件：①DE＝BF；②∠ADE＝∠CBF；③AF＝CE；④∠AFB＝∠CED中，添加一个条件，使四边形DEBF是平行四边形，可添加的条件是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，AB∥CD，∴∠DAE＝∠BCF，∠DCF＝∠BAE，①DE＝BF时，不能证明△ADE≌△CBF，不能证明四边形DEBF是平行四边形；②∠ADE＝∠CBF时，在△ADE和△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（ASA），∴DE＝BF，∠AED＝∠CFB，∴∠DEF＝∠BFE，∴DE∥BF，∴四边形DEBF是平行四边形；③AF＝CE时，AE＝CF，在△ADE和△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（SAS），∴DE＝BF，∠AED＝∠CFB，∴∠DEF＝∠BFE，∴DE∥BF，∴四边形DEBF是平行四边形；④当∠AFB＝∠CED时，则∠AEB＝∠CFD，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（AAS），∴BE＝DF，∵∠AEB＝∠CFD，∴∠BEF＝∠DFE，∴BE∥DF，∴四边形DEBF是平行四边形；故选：D．2．（2分）（2022春•杭州期中）如图，在▱ABCD中，点E、F分别在CD、BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BF，CF＝，EF＝3，则AB的长是（）A． B．1 C． D．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB＝CD．∵AE∥BD，∴四边形ABDE是平行四边形．∴AB＝DE＝CD，∴AB＝CE∵EF⊥BC，∴∠EFC＝90°．∴CE＝＝＝2，∴AB＝CE＝，故选：D．3．（2分）（2022•宁波模拟）如图，O是▱ABCD对角线AC上一点，过O作EF∥AD交AB于点E，交CD于点F，GH∥AB交AD于点G，交BC于点H，连结GE，GF，HE，HF，若已知下列图形的面积，不能求出▱ABCD面积的是（）A．四边形EHFG B．△AEG和△CHF C．四边形EBHO和四边形GOFD D．△AEO和四边形GOFD解：A、在▱ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，∵EF∥AD，GH∥AB，∴AD∥EF∥BC，AB∥GH∥CD，∴四边形AEOG，BEOH，CFOH，DFOG都是平行四边形，∴S△EOG＝S▱AEOG，S△EOH＝S▱BEOH，S△FOH＝S▱OHCF，S△FOG＝S▱OGDF，∴四边形EHFG的面积＝×▱ABCD的面积，∴已知四边形EHFG的面积，可求出▱ABCD的面积，故A不符合题意；B、∵S△ABC﹣S△AEO﹣S△CHO＝S△ACD﹣S△AOG﹣S△CFO，∴S▱BEOH＝S▱GOFD，∵＝，∴S▱BEOH＝S▱OGDF＝＝2，∴已知△AEG和△CHF的面积，可求出▱ABCD的面积，故B不符合题意；C、已知四边形EBHO和四边形GOFD的面积，不能求出▱ABCD面积，故C符合题意；D、∵＝，∴＝，∴S▱OHCF＝S2▱OGDF•，∴已知△AEO和四边形GOFD的面积，能求出▱ABCD面积；故D不符合题意；故选：C．4．（2分）（2022春•淇滨区校级期末）如图，等边三角形ABC是一块周长为12的草坪，点P是草坪内的任意一点，过点P有三条小路PD，PE，PF，且满足PD∥AC，PE∥AB，PF∥BC，则三条小路的总长度为（）A．12 B．8 C．4 D．3解：延长FP交AB于点G，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC＝4，∠A＝∠B＝∠C＝60°，∵PF∥BC，∴∠AFG＝∠C＝60°，∠AGF＝∠B＝60°，∵PD∥AC，∴∠PDB＝∠A＝60°，∠DPG＝∠AFG＝60°，∴∠PDG＝∠DGP＝∠DPG＝60°，∴△DGP是等边三角形，∴DP＝PG，∴PD+PF＝PG+PF＝FG，∵∠A＝∠AFG＝∠AGF＝60°，∴△AFG是等边三角形，∴FG＝AG，∵FG∥BC，PE∥AB，∴四边形BGPE是平行四边形，∴PE＝BG，∴PD+PF+PE＝AG+BG＝AB＝4，故选：C．5．（2分）（2022春•宁都县期末）在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，∠B＝80°，则∠C的度数为（）A．10° B．40° C．80° D．100°解：如图，∵AB＝CD，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠B+∠C＝180°，∴∠C＝180°﹣∠C＝180°﹣80°＝100°，故选：D．6．（2分）（2022春•成华区期末）如图，▱ABCD中，AD＞AB，∠ABC为锐角．要在对角线BD上找点N，M，使四边形ANCM为平行四边形，在如图所示的甲、乙、丙三种方案中，正确的方案有（）A．甲、乙、丙 B．甲、乙 C．甲、丙 D．乙、丙解：方案甲中，连接AC，如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，O为BD的中点，∴OB＝OD，OA＝OC，∵BN＝NO，OM＝MD，∴NO＝OM，∴四边形ANCM为平行四边形，故方案甲正确；方案乙中，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABN＝∠CDM，∵AN⊥BD，CM⊥BD，∴AN∥CM，∠ANB＝∠CMD，在△ABN和△CDM中，，∴△ABN≌△CDM（AAS），∴AN＝CM，又∵AN∥CM，∴四边形ANCM为平行四边形，故方案乙正确；方案丙中，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAD＝∠BCD，AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABN＝∠CDM，∵AN平分∠BAD，CM平分∠BCD，∴∠BAN＝∠DCM，在△ABN和△CDM中，，∴△ABN≌△CDM（ASA），∴AN＝CM，∠ANB＝∠CMD，∴∠ANM＝∠CMN，∴AN∥CM，∴四边形ANCM为平行四边形，故方案丙正确；故选：A．7．（2分）（2017春•南开区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F是对角线AC上的两点，给出下列五个条件：①∠ADB＝∠CBD②DE＝BF③∠EDF＝∠EBF④∠DEB＝∠DFB⑤AE＝CF．其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个解：④可以判断四边形DEBF是平行四边形．理由：在OA上取一点E′，使得OE′＝OF，连接DE′，BE′．∵OD＝OB，OF＝OE′，∴四边形DE′BF是平行四边形，∴∠DFB＝∠DE′B，∵∠DEB＝∠DFB，∴∠DEB＝∠DE′B，∴点E与点E′重合，∴四边形DEBF是平行四边形．⑤可以判断四边形DEBF是平行四边形．理由：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OD＝OB，OA＝OC，∵AE＝CF，∴OE＝OF，∴四边形DEBF是平行四边形，故选：C．8．（2分）（2022春•南京期末）如图，为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，然后向右拉动框架，给出如下的判断：①四边形ABCD为平行四边形；②对角线BD的长度不变；③四边形ABCD的面积不变；④四边形ABCD的周长不变，其中所有正确的结论是（）A．①② B．①④ C．①②④ D．①③④解：∵两组对边的长度分别相等，∴四边形ABCD是平行四边形，故①正确，∵向右扭动框架，∴BD的长度变大，故②错误，∵平行四边形ABCD的底不变，高变小了，∴平行四边形ABCD的面积变小，故③错误，∵平行四边形ABCD的四条边不变，∴四边形ABCD的周长不变，故④正确．故所有正确的结论是①④．故选：B．9．（2分）（2022春•临沭县期中）如图1，平行四边形ABCD中，AD＞AB，∠ABC为锐角．要在对角线BD上找点N、M，使四边形ANCM为平行四边形，现有图2中的甲、乙两种方案，则正确的方案是（）A．甲是 B．乙是 C．甲、乙都是 D．甲、乙都不是解：方案甲，连接AC，如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，O为BD的中点，∴OB＝OD，OA＝OC，∵BN＝NO，OM＝MD，∴NO＝OM，∴四边形ANCM为平行四边形，故方案甲正确；方案乙，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABN＝∠CDM，∵AN⊥BD，CM⊥BD，∴AN∥CM，∠ANB＝∠CMD，在△ABN和△CDM中，，∴△ABN≌△CDM（AAS），∴AN＝CM，又∵AN∥CM，∴四边形ANCM为平行四边形，故方案乙正确；故选：C．10．（2分）（2022春•富阳区校级期中）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，BD＝2AD，E，F，G分别是OC，OD，AB的中点，下列结论正确的是（）①EG⊥AB；②EF＝EG；③四边形BEFG为平行四边形；④AC垂直平分线段FG．A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④解：在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，AD＝BC，OB＝OD，∵BD＝2AD，∴OB＝BC，∵E是OC的中点，∴BE⊥AC，∴∠AEB＝90°，∵G是AB的中点，∴GE＝GB＝GA＝AB，当AE＝BE或∠BAC＝45°时，EG⊥AB，∴没有足够的条件证明①选项，故①选项不符合题意；∵E、F分别是OC、OD的中点，∴EF∥CD，且EF＝CD，∵AB＝CD，∴EF＝EG，故②选项符合题意；∵GE＝GB＝AB，又∵EF＝EG，EF∥CD，∴EF＝GB，EF∥GB，∴四边形BEFG为平行四边形，故③选项符合题意；∵GE＝AG，∴∠GAE＝∠GEA，∵EF∥CD，∴∠AEF＝∠ACD，∵AB∥CD，∴∠GAE＝∠ACD，∴∠GEA＝∠AEF，∵EF＝EG，∴△EFG是等腰三角形，∴AC垂直平分线段FG，故④选项符合题意；综上，正确的选项有：②③④，故选：C．二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2022春•河北区校级月考）如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AD，GH∥AB，EF与GH交于点O，则图中平行四边形的个数是9．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∵AD∥EF，CD∥GH，∴AB∥GH∥CD，AD∥EF∥BC，∴图中平行四边形有：▱ABCD，▱ABHG，▱CDGH，▱BCFE，▱ADFE，▱AGOE，▱BEOH，▱OFCH，▱OGDF共9个．即共有9个平行四边形．故答案为：9．12．（2分）（2022春•抚州期末）如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝5cm，AD＝9cm．点P在AD边上以1cm/s的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上以4cm/s的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时，P、Q同时停止运动，设运动时间为t（s）且t＞0，当以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形时，则t的所有可能值为3.6或6或7.2．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD＝9cm，AD∥BC，∴当DP＝BQ时，以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，①点Q的运动路线是C﹣B，则9﹣4t＝9﹣t，解得：t＝0，不符合题意；②点Q的运动路线是C﹣B﹣C，则4t﹣9＝9﹣t，解得：t＝3.6；③点Q的运动路线是C﹣B﹣C﹣B，则9﹣（4t﹣2×9）＝9﹣t，解得：t＝6；④点Q的运动路线是C﹣B﹣C﹣B﹣C，则4t﹣3×9＝9﹣t，解得：t＝7.2；综上所述，t＝3.6或6或7.2时，以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形，故答案为：3.6或6或7.2．13．（2分）（2022春•宛城区期末）如图，平行四边形ABCD中，AB＞AD，∠ABC为锐角，点O是对角线BD的中点．某数学学习小组要在BD上找两点E、F，使四边形AECF为平行四边形，现总结出如下甲、乙、丙三种方案，其中所有正确的方案是甲、乙、丙．甲：分别取DO、BO的中点E、F乙：作AE、CF分别平分∠DAB、∠BCD丙：分别作AE、CF垂直BD于点E、F解：方案甲，连接AC，如图，∵四边形ABCD是平行四边形，O为BD的中点，∴OB＝OD，OA＝OC，∵E、F分别为DO、BO的中点，∴OE＝DE，OF＝BF，∴OE＝OF，∴四边形AECF为平行四边形，故方案甲正确；方案乙，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAD＝∠BCD，AD＝CB，AD∥CB，∴∠ADE＝∠CBF，∵AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，∴∠DAE＝∠BCF，在△DAE和△BCF中，，∴△DAE≌△BCF（ASA），∴AE＝CF，∠AED＝∠CFB，∴∠AEF＝∠CFE，∴AE∥CF，∴四边形AECF为平行四边形，故方案乙正确；方案丙，∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴AE∥CF，∠AED＝∠CFB＝90°，在△DAE和△BCF中，，∴△DAE≌△BCF（AAS），∴AE＝CF，∴四边形AECF是平行四边形，故方案丙正确；故答案为：甲、乙、丙．14．（2分）（2022春•青羊区期末）如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC边上的点，BE＝CD且BE⊥CD，若∠A＝30°，BD＝1，CE＝2，M，N分别为DE，BC的中点，则线段MN的长＝．解：解法一：如图，取BE中点G，连接GM，GN，过点M作MH⊥NG于H，∵M是DE的中点，G是BE的中点，∴MG是△EDB的中位线，∴MG＝BD＝，MG∥BD，∴∠ABE＝∠MGE，同理得：GN是△BEC的中位线，∴GN＝CE＝，GN∥CE，∴∠EGN＝∠AEB，∵∠A＝30°，∴∠AEB+∠ABE＝150°，∴∠EGN+∠EGM＝150°，∴∠MGH＝30°，∴MH＝MG＝，GH＝，∴HN＝+＝，在Rt△MNH中，由勾股定理得：MN＝＝＝；解法二：如图，连接DN并延长至F，使NF＝DN，连接CF，BF，EF，过点F作FH⊥AC，交AC的延长线于H，∵N是BC的中点，∵BN＝CN，∴四边形BDCF是平行四边形，∴CF＝BD＝1，CF∥BD，∴∠HCF＝∠A＝30°，∴FH＝CF＝，CH＝，∵CE＝2，∴EH＝CE+CH＝2+＝，由勾股定理得：EF＝＝＝，△DEF中，M是DE的中点，N是DF的中点，∴MN是△DEF的中位线，∴MN＝EF＝．故答案为：．15．（2分）（2022春•丹阳市期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝9，BC＝15，点D、E分别AB、BC的中点，点F在CA的延长线上，且∠FDA＝∠BAE，则四边形AFDE的周长为24．解：∵∵点D、E分别AB、BC的中点，∴DE∥AC，AE＝CE＝BE，DE＝AC＝4.5，∵∠FDA＝∠BAE，∴AE∥DF，∴四边形AFDE是平行四边形，∴四边形AFDE的周长＝2ED+2AE＝9+15＝24，故答案为：24．16．（2分）（2022春•越秀区期中）如图，分别以Rt△ABC的直角边AC，斜边AB为边向外作等边△ACD和△ABE，F为AB的中点，连接DF、EF，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，则以下4个结论：①AC⊥DF；②四边形BCDF为平行四边形；③DA+DF＝BE；④S△ACD：S四边形BCDE＝1：7，其中正确的是①②④．解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，∴∠BAC＝60°，AC＝AB，∵△ACD是等边三角形，∴∠ACD＝60°，∴∠ACD＝∠BAC，∴CD∥AB，∵F为AB的中点，∴BF＝AB，∴BF∥AB，CD＝BF，∴四边形BCDF为平行四边形，故②正确；∵四边形BCDF为平行四边形，∴DF∥BC，又∵∠ACB＝90°，∴AC⊥DF，故①正确；∵DA＝CA，DF＝BC，AB＝BE，BC+AC＞AB，∴DA+DF＞BE，故③错误；设AC＝x，则CD＝AC＝x，AB＝2x，如图，过A作AG⊥CD于G，则CG＝DG＝CD＝x，∴AG＝＝＝x，∴S△ACD＝CD•AG＝xx＝x2，同理S△ABE＝x2，∵BC＝＝＝x，∴S△ACB＝AC•BC＝x•x＝x2，∴＝＝，故④正确；故答案为：①②④．17．（2分）（2022春•南京期末）如图，在▱ABCD中，AB＝6cm，AD＝10cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动．点Q在BC边上以每秒4cm的速度从点C出发，在CB之间往返运动．两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止运动），设运动时间为t秒．当5＜t＜10时，运动时间t＝秒或8秒时，以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形．解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴PD∥BQ．若要以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形，则PD＝BQ．当5＜t≤时，AP＝tcm，PD＝（10﹣t）cm，CQ＝（4t﹣20）cm，BQ＝（30﹣4t）cm，∴10﹣t＝30﹣4t，解得：t＝；当＜t≤10时，AP＝tcm，PD＝（10﹣t）cm，BQ＝（4t﹣30）cm，∴10﹣t＝4t﹣30，解得：t＝8．综上所述：当运动时间为秒或8秒时，以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形．故答案为：秒或8秒．18．（2分）（2021春•朝阳期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（9，0），点C的坐标为（3，3），四边形OABC是平行四边形，点D、E份别在边OA、BC上，且OD＝OA，CE＝4．动点P、Q在平行四边形OABC的一组邻边上，以点D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，其面积为或或．解：如图，过点C作CH⊥OA于点H，∵A的坐标为（9，0），∴OA＝9，∵OD＝OA，∴OD＝3，∵点C的坐标为（3，3），∴OH＝3，CH＝3，∴D，H重合，∵CE＝4．∴BE＝BC﹣CE＝OA﹣CE＝9﹣4＝5，AD＝OA﹣AD＝9﹣3＝6，动点P、Q在平行四边形OABC的一组邻边上，以点D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，则可分以下情况：①点P在OC上，点Q在BC上，如图，当点P与点O重合，∴S平行四边形PDEQ＝PD•CH＝3×3＝9；当DE是对角线时，如图，∴S平行四边形PDQE＝PD•CD＝3×3＝9；②点Q在OC上，点P在OA上，如图，点C与Q重合，∴S平行四边形QDPE＝PD•CD＝4×3＝12；③点Q在OC上，点P在AB上，如图，点P与B重合，∴S平行四边形DQPE＝PE•CD＝5×3＝15；综上所述：平行四边形面积为或或．故答案为：或或．19．（2分）（2018•武汉模拟）如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点M，点F在AD上，AF＝6cm，BF＝12cm，∠FBM＝∠CBM，点E是BC的中点，若点P以1cm/秒的速度从点A出发，沿AD向点F运动；点Q同时以2cm/秒的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P运动到F点时停止运动，点Q也同时停止运动．当点P运动3或5秒时，以点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠ADB＝∠CBD，∵∠FBM＝∠CBM，∴∠FBD＝∠FDB，∴FB＝FD＝12cm，∵AF＝6cm，∴AD＝18cm，∵点E是BC的中点，∴CE＝BC＝AD＝9cm，要使点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形，则PF＝EQ即可，设当点P运动t秒时，点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形，根据题意得：6﹣t＝9﹣2t或6﹣t＝2t﹣9，解得：t＝3或t＝5．故答案为：3或5．20．（2分）（2021春•珠海校级期中）如图在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，CF交BE于点G，若BE＝3，则GE＝．解：取BE的中点H，连接FH、CH，如图：∵F是AE的中点，H是BE的中点，∴FH是△ABE的中位线，∴FH∥AB，FH＝AB，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∵E是CD的中点，∴EC＝CD，∴FH∥EC，FH＝EC，∴四边形FHCE是平行四边形，∴GE＝GH＝EH．∵BE＝3，H是BE的中点，∴EH＝，∴GE＝．故答案为：．三．解答题（共8小题，满分60分）21．（6分）（2020春•林芝市期末）如图所示，在平行四边形ABCD中，E、F分别为AB、CD的中点，求证四边形AECF是平行四边形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，又∵E、F分别为AB、CD的中点，∴AE＝AB，CF＝CD，∴AE＝CF，又∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形．22．（6分）（2022春•温州校级月考）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是斜边AB上的一点，作DE⊥BC，垂足为E，延长DE到F，连结CF，使∠A＝∠F．（1）求证：四边形ADFC是平行四边形．（2）连接CD，若CD平分∠ADE，CF＝10，CD＝12，求四边形ADFC的面积．（1）证明：∵∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，∵DE⊥BC，延长DE到F，∴AC∥DF，∴∠A＝∠BDF，∵∠A＝∠F，∴∠BDF＝∠F，∴CF∥AB，又∵AC∥DF，∴四边形ADFC是平行四边形；（2）解：∵CD平分∠ADE，∴∠ADC＝∠FDC，在△ADC和△FDC中，，∴△ADC≌△FDC（AAS），∴AD＝DF，由（1）得：四边形ADFC是平行四边形，∴S四边形ADFC＝2S△CDF，AD＝CF＝DF＝10，设EF＝x，则DE＝10﹣x，在Rt△CED中，由勾股定理得：CE2＝CD2﹣DE2，在Rt△CEF中，由勾股定理得：CE2＝CF2﹣EF2，∴122﹣（10﹣x）2＝102﹣x2，解得：x＝，∴CE＝＝＝，∴S四边形ADFC＝2S△CDF＝2×DF•CE＝2××10×＝96．23．（6分）（2022春•南湖区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，BD是它的一条对角线，过A、C两点分别作AE⊥BD，CF⊥BD，E、F为垂足．（1）求证：四边形AFCE是平行四边形．（2）若AD＝13cm，AE＝12cm，AB＝20cm，求四边形AFCE的面积．（1）证明：如图，连接AC交BD于点O，∵四边形ABCD为平行四边形，∴OA＝OC，OD＝OB，AD∥BC，AD＝BC，∴∠ADE＝∠CBF，∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AED＝∠CFB＝90°，在△AED和△CFB中，，∴△AED≌△CFB（AAS），∴DE＝BF，∴OD﹣DE＝OB﹣BF，∴OE＝OF，∵OA＝OC，∴四边形AFCE是平行四边形；（2）解：∵四边形AECF是平行四边形，∴AE＝CF＝12cm，∵AD＝BC＝13cm，∵AE⊥BD，CF⊥BD，AB＝20cm，∴BF＝＝5cm，BE＝＝16cm，∴EF＝BE﹣BF＝11cm，∵S四边形AFCE＝AE•EF＝11×12＝132cm2，∴四边形AFCE的面积为132cm2．24．（8分）（2022春•锦江区校级期中）如图，在等边△ABC中，D、E两点分别在边BC、AC上，BD＝CE，以AD为边作等边△ADF，连接EF，CF．（1）求证：△CEF为等边三角形；（2）求证：四边形BDFE为平行四边形；（3）若AE＝2，EF＝4，求四边形BDFE的面积．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝∠ABC＝60°，∵△ADF是等边三角形，∴AD＝AF，∠DAF＝60°，∴∠BAC＝∠DAF＝∠ACB＝60°，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAF﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAF，在△BAD和△CAF中，，∴△BAD≌△CAF（SAS），∴∠ACF＝∠ABD＝60°，BD＝CF，∵BD＝CE，∴CF＝CE，∴△CEF是等边三角形；（2）证明：由（1）可知，△CEF是等边三角形，∴∠CEF＝60°，EF＝CE，∴∠CEF＝∠ACB＝60°，∴EF∥BD，∵BD＝CE，∴EF＝BD，∴四边形BDFE是平行四边形；（3）解：如图，过E作EG⊥BC于G，则∠EGC＝90°，由（2）可知，CE＝EF＝4，∴AC＝AE+CE＝2+4＝6，∵△ABC是等边三角形，∴BC＝AC＝6，∠ACB＝60°，∴∠CEG＝90°﹣∠ACB＝30°，∴CG＝CE＝2，∴EG＝＝＝2，∵四边形BDFE为平行四边形，∴BD＝EF＝4，∴S平行四边形BDFE＝BD•EG＝4×2＝8．25．（8分）（2022春•宝安区期末）已知：如图，在四边形ABCD中，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E，F，延长DE、BF，分别交AB于点H，交BC于点G，若AD∥BC，AE＝CF．（1）求证：四边形ABCD为平行四边形；（2）若∠DAH＝∠GBA，GF＝2，CF＝4，求AD的长．（1）证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠AED＝∠CFB＝90°，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠BCF，在△DAE和△BCF中，，∴△DAE≌△BCF（ASA），∴AD＝CB，∵AD∥BC，∴四边形ABCD为平行四边形；（2）解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠DAH＝∠BCG，AB∥CD，∴∠CGB＝∠GBA，∵∠DAH＝∠GBA，∴∠CGB＝∠BCG，∴BG＝BC，在Rt△CFB中，∵BF＝BG﹣FG＝BC﹣2，CF＝4，∴BC2＝BF2+CF2，∴BC2＝（BC﹣2）2+42，∴BC＝5．∴AD＝BC＝5．26．（8分）（2022春•海淀区期末）在等边△ABC中，D，E，F分别是边AB，BC，CA上的动点，满足DE＝EF，且∠DEF＝60°．作点E关于AC的对称点G，连接CG，DG．（1）当点D，E，F在如图1所示的位置时，请在图1中补全图形，并证明四边形DBCG是平行四边形；（2）当AD＜BD，AB＝DE时，求∠BDE的度数．解：（1）如图1，即为补全的图形，证明：在等边△ABC中，∠A＝∠B＝∠ACB＝60°，∵点E，点G关于AC对称，∴∠ACG＝∠ACB＝60°，CE＝CG，∴∠A＝∠ACG，∴AB∥CG，即BD∥CG，∵∠DEF＝60°，∠BED+∠CEF+∠DEF＝180°，∴∠BED+∠CEF＝120°，在△BDE中，∠BDE+∠BED＝180°﹣∠B＝120°，∴∠BDE＝∠CEF，在△BDE与△CEF中，，∴△BDE≌△CEF（AAS），∴CE＝BD，∴CG＝CE＝BD，∵BD∥CG，∴四边形DBCG是平行四边形；（2）∵四边形DBCG是平行四边形，∴BC＝DG，∠DGC＝∠B＝60°，∵BC＝AB，AB＝DE，∴DG＝DE，∵DE＝EF，∠DEF＝60°，∴△DEF是等边三角形，∴DE＝DF，∵点