2025年湘教新版高二数学下册月考试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年湘教新版高二数学下册月考试卷647考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共9题，共18分)1、在数列{an}中，an＋1＝an＋a(n∈N*，a为常数)，若平面上的三个不共线的非零向量，满足＝a1＋a2010，三点A、B、C共线且该直线不过O点，则S2010等于()A.1005B.1006C.2010D.20122、不等式的解集为A.B.C.D.3、【题文】若实数的最小值是A.0B.1C.D.94、【题文】利用“直接插入排序法”给按从大到小的顺序排序；

当插入第四个数时；实际是插入哪两个数之间（）

A与B与C与D与5、若直线同时平分一个三角形的周长和面积，则称直线为该三角形的“Share直线”，已知△ABC的三边长分别为3、4、5，则这样的“Share直线”（）A.存在一条B.存在三条C.存在六条D.不存在6、已知函数上任一点处的切线斜率则该函数的单调减区间为()A.[-1,+]B.(-2]C.(--1),(-1,2)D.[2,+)

7、“a≠5且b≠﹣5”是“a+b≠0”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既非充分条件也非必要条件8、已知集合A=[0，6]，集合B=[0，3]，则下列对应关系中，不能看作从A到B的映射的是（）A.f：x→y=xB.f：x→y=xC.f：x→y=xD.f：x→y=x9、已知AB

两点均在焦点为F

的抛物线y2=2px(p>0)

上，若|AF|+|BF|=4

线段AB

的中点到直线x=p2

的距离为1

则P

的值为(

)

A.1

B.1

或3

C.2

D.2

或6

评卷人得分二、填空题(共8题，共16分)10、如果p：x＞2，q：x≥2，那么p是q的____条件．11、已知变量x，y满足条件若目标函数z=ax+y（其中a＞0），仅在（4，2）处取得最大值，则a的取值范围是____．12、已知向量=（1，0，1），=（-2，-1，1），=（3，1，0）则=____．13、若集合则实数____________．14、不等式：≤1的解集是____15、过点A（2，1）的所有直线中，距离原点最远的直线方程为______．16、复数z=（1+2i）（3-i），其中i为虚数单位，则z的实部是______．17、已知P

是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)

上一点，F1

和F2

是其左、右焦点，直线PF2隆脥x

轴，交椭圆于另一点Q

若鈻�F1PQ

为等边三角形，则椭圆的离心率为______．评卷人得分三、作图题(共8题，共16分)18、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

19、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）20、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）21、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

22、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）23、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）24、分别画一个三棱锥和一个四棱台．评卷人得分四、解答题(共2题，共12分)25、【题文】已知圆若椭圆的右顶点为圆的圆心，离心率为．

（1）求椭圆C的方程；

（2）若存在直线使得直线与椭圆分别交于两点，与圆分别交于两点，点在线段上，且求圆的半径的取值范围．26、数列{an}中，a1=1，n≥2时，其前n项的和Sn满足Sn2=an（Sn-）

（1）求Sn的表达式；

（2）设bn=数列{bn}的前n项和为Tn，求．评卷人得分五、计算题(共4题，共20分)27、如图，已知正方形ABCD的边长是8，点E在BC边上，且CE=2，点P是对角线BD上的一个动点，求PE+PC的最小值．28、1.（本小题满分12分）已知函数在处取得极值.(1)求实数a的值；(2)若关于x的方程在[，2]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围；(3)证明：(参考数据：ln2≈0.6931).29、1.（本小题满分12分）分别是椭圆的左右焦点,直线与C相交于A,B两点（1）直线斜率为1且过点若成等差数列，求值（2）若直线且求值.30、1.（本小题满分12分）已知投资某项目的利润与产品价格的调整有关，在每次调整中价格下降的概率都是．设该项目产品价格在一年内进行2次独立的调整，记产品价格在一年内的下降次数为对该项目每投资十万元，取0、1、2时，一年后相应的利润为1.6万元、2万元、2.4万元．求投资该项目十万元，一年后获得利润的数学期望及方差．评卷人得分六、综合题(共4题，共16分)31、如图，在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过AB，C三点的抛物的对称轴为直线l，D为对称轴l上一动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求当AD+CD最小时点D的坐标；

（3）以点A为圆心；以AD为半径作⊙A．

①证明：当AD+CD最小时；直线BD与⊙A相切；

②写出直线BD与⊙A相切时，D点的另一个坐标：____．32、如图，在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过AB，C三点的抛物的对称轴为直线l，D为对称轴l上一动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求当AD+CD最小时点D的坐标；

（3）以点A为圆心；以AD为半径作⊙A．

①证明：当AD+CD最小时；直线BD与⊙A相切；

②写出直线BD与⊙A相切时，D点的另一个坐标：____．33、（2015·安徽）设椭圆E的方程为+=1(ab0),点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足=2直线OM的斜率为34、已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，S3=0．参考答案一、选择题(共9题，共18分)1、A【分析】试题分析：数列是公差为的等差数列又三点A、B、C共线且该直线不过O点．考点：1．向量共线的充要条件；2．等差数列定义及求和．【解析】【答案】A2、A【分析】试题分析：因为的两根为-2,3，所以不等式的解集为．考点：不等式的解法．【解析】【答案】A3、B【分析】【解析】满足条件的点的可行域如下图。

由图可知，在点处取到最小值0，所以目标函数在此处取到最小值1，故选B【解析】【答案】B4、B【分析】【解析】略【解析】【答案】B5、A【分析】【解答】（1）直线过的某个顶点，如图，假设直线过点A．若直线平分的面积则有此时，AC>AB；所以周长相等不可能．同理直线过B；C也不存在．

若直线交AB、BC于点M、N．如下图，设．设则作由得．接着根据解得或者（舍）；即这样的直线存在，且只有一条，综上，同时平分这个三角形周长和面积的直线只有1条．故选A．

6、B【分析】解答：易得令故选B分析：简单题，函数的导数即过该点的切线的斜率7、D【分析】【解答】解：a≠5且b≠﹣5推不出a+b≠0，例如：a=2，b=﹣2时a+b=0；

a+b≠0推不出a≠5且b≠﹣5，例如：a=5，b=﹣6；

故“a≠5且b≠﹣5”是“a+b≠0”的既非充分条件也非必要条件；

故选：D．

【分析】根据充分必要条件的定义，分别证明其充分性和必要性，从而得到答案．8、D【分析】解：选项A；B、C可以；

因为当x=6时；在集合B中找不到8与之对应，则选项D不可以．

故选D．

由映射的定义可得；在集合A中的每一个元素在集合B中都有唯一确定的元素与之对应．

本题考查了映射的定义，属于基础题．【解析】【答案】D9、B【分析】解：分别过AB

作交线lx=鈭�p2

的垂线；垂足分别为CD

设AB

中点M

在准线上的射影为点N

连接MN

设A(x1,y1)B(x2,y2)M(x0,y0)

根据抛物线的定义；得|AF|+|BF|=|AC|+|BD|=4

隆脿

梯形ACDB

中，中位线MN=12(|AC|+|BD|)=2

可得x0+p2=2x0=2鈭�p2

隆脽

线段AB

的中点到直线x=p2

的距离为1

可得|x0鈭�p2|=1

隆脿|2鈭�p|=1

解之得p=1

或p=3

．

故选：B

．

分别过AB

作交线lx=鈭�p2

的垂线，垂足分别为CD

设AB

中点M

在准线上的射影为点N

连接MN

根据抛物线的定义，得|AF|+|BF|=|AC|+|BD|=4

梯形ACDB

中，中位线MN=12(|AC|+|BD|)=2

由线段AB

的中点到直线x=p2

的距离为1

设M(x0,y0)

可得|x0鈭�p2|=1

由此能求出P

．

本题考查抛物线中参数的求法，考查抛物线、直线方程等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．【解析】B

二、填空题(共8题，共16分)10、略

【分析】

因为p：x＞2；⇒q：x≥2；但是x≥2；不能说是x＞2；

所以么p是q的充分不必要条件．

故答案为：充分不必要．

【解析】【答案】直接利用充要条件的判断方法判断即可．

11、略

【分析】

条件对应的平面区域如图：

因为目标函数z=ax+y（其中a＞0）；仅在（4，2）处取得最大值；

所以目标函数z=ax+y的位置应如图所示；故其斜率需满足k=-a＜-1⇒a＞1．

故答案为：a＞1．

【解析】【答案】先画出可行域；根据题中条件目标函数z=ax+y（其中a＞0），仅在（4，2）处取得最大值得到目标函数所在位置，求出其斜率满足的条件即可求出a的取值范围．

12、略

【分析】

∵向量=（1，0，1），=（-2，-1，1），=（3；1，0）

∴-+2=（9；3，0）

∴==3

故答案为：3

【解析】【答案】由已知中向量=（1，0，1），=（-2，-1，1），=（3，1，0），我们可以计算出向量-+2的坐标；代入向量模的计算公式，即可得到答案．

13、略

【分析】【解析】试题分析：根据题意，由于集合那么可知3是集合A中的元素，故可知m=3，因此答案为3.考点：交集【解析】【答案】314、{x|﹣1≤x≤0}【分析】【解答】解：不等式：≤1化为x（x+1）﹣（﹣1）≤1，即x2+x≤0；解得﹣1≤x≤0．

因此不等式的解集为{x|﹣1≤x≤0}．

故答案为：{x|﹣1≤x≤0}．

【分析】利用行列式的运算法则可得：x（x+1）﹣（﹣1）≤1，再利用一元二次不等式的解法即可得出．15、略

【分析】解：只有当直线l与OA垂直时；原点到l的距离最大；

此时kOA=则kl=-2；

所以方程为y-1=-2（x-2）；

即2x+y-5=0；

如图示：

故答案为：2x+y-5=0．

经过点A（2；1）的所有直线中距离原点最远的直线是与直线OA垂直的直线，利用斜率计算公式；点斜式即可得出．

本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、点斜式，属于基础题．【解析】2x+y-5=016、略

【分析】解：z=（1+2i）（3-i）=5+5i；

则z的实部是5；

故答案为：5．

利用复数的运算法则即可得出．

本题考查了复数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．【解析】517、略

【分析】解：如图，设2(c,0)鈻�PQF1

为等边三角形，可得：32?2b2a=2c

隆脿2ca=3b2=3(a2鈭�c2)

可得2e=3鈭�3e2

解得e=33

隆脿

该椭圆离心率为：33

．

故答案为：33

．

设2(c,0)

根据已知条件容易判断|PQ|

与2c

的关系，列出方程即可求出离心率．

考查椭圆的标准方程，椭圆上的点和椭圆几何量的关系，椭圆的离心率及计算公式的应用．【解析】33

三、作图题(共8题，共16分)18、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

19、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．20、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．21、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

22、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．23、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．24、解：画三棱锥可分三步完成。

第一步：画底面﹣﹣画一个三角形；

第二步：确定顶点﹣﹣在底面外任一点；

第三步：画侧棱﹣﹣连接顶点与底面三角形各顶点．

画四棱可分三步完成。

第一步：画一个四棱锥；

第二步：在四棱锥一条侧棱上取一点；从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段；

第三步：将多余线段擦去．

【分析】【分析】画三棱锥和画四棱台都是需要先画底面，再确定平面外一点连接这点与底面上的顶点，得到锥体，在画四棱台时，在四棱锥一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段，将多余线段擦去，得到图形．四、解答题(共2题，共12分)25、略

【分析】【解析】

试题分析：；

(1)从圆的标准方程得到圆心的坐标即为椭圆的右顶点,即可得到a值，再由椭圆离心率、a值结合、abc之间的关系可得到b值,即得到椭圆的标准方程。

(2)联立直线与椭圆方程并利用弦长公式可用斜率k表示弦长|AB|,|GH|.由对称性得到|AB|=|GH|,得到r关于k的表达式,再根据表达式可以利用函数值域求法中的换元法解得r的取值范围.

试题解析：

(1)设椭圆的焦距为2C，因为a=所以椭圆C的方程为

(2)设A联立直线与椭圆方程得则又因为点M()到直线l的距离d=所以显然若点H也在直线AB上,则由对称性可知,直线y=kx就是y轴与已知矛盾,所以要使得|AG|=|BH|,只要|AB|=|GH|,所以

当k=0时,当k时,由于综上

考点：椭圆方程极其性质弦长【解析】【答案】(1)(2)26、略

【分析】

（1）因为n≥2，由sn-sn-1=an，代入已知等式中求出sn，然后利用做差法得出为等差数列即可求出通项公式，化简可得sn；（2）要求Tn的极限，先要求出Tn的通项公式而Tn为数列{bn}的前n项和，所以先求bn的通项，可利用第一问中sn的通项代入到bn=中，化简得出bn后，利用做差法得到Tn；求出极限即可．

此题考查学生会利用数列的递推式推导数列的通项公式，以及掌握利用做差法求数列和的数学思想解题．本题是中档题．【解析】解：（1）n≥2，sn2=（sn-sn-1）（sn-）

∴sn=

即-=2（n≥2）

∴=2n-1故sn=

（2）bn===（-）

Tn=（1-+-+-++-）=（1-）

∴Tn=五、计算题(共4题，共20分)27、略

【分析】【分析】要求PE+PC的最小值，PE，PC不能直接求，可考虑通过作辅助线转化PE，PC的值，从而找出其最小值求解．【解析】【解答】解：如图；连接AE；

因为点C关于BD的对称点为点A；

所以PE+PC=PE+AP；

根据两点之间线段最短可得AE就是AP+PE的最小值；

∵正方形ABCD的边长为8cm；CE=2cm；

∴BE=6cm；

∴AE==10cm．

∴PE+PC的最小值是10cm．28、略

【分析】【解析】

(1)f'(x)＝1＋，由题意，得f'(1)＝0Þa＝02分(2)由(1)知f(x)＝x－lnx∴f(x)＋2x＝x2＋bóx－lnx＋2x＝x2＋bóx2－3x＋lnx＋b＝0设g(x)＝x2－3x＋lnx＋b(x＞0)则g'(x)＝2x－3＋＝4分当x变化时，g'(x)，g(x)的变化情况如下表。x(0，)(，1)1(1，2)2g'(x)＋0－0＋G(x)↗极大值↘极小值↗b－2＋ln2当x＝1时，g(x)最小值＝g(1)＝b－2，g()＝b－－ln2，g(2)＝b－2＋ln2∵方程f(x)＋2x＝x2＋b在[，2]上恰有两个不相等的实数根高考+资-源-网由ÞÞ＋ln2≤b≤28分(3)∵k－f(k)＝lnk∴nk＝2ó(n∈N，n≥2)设Φ(x)＝lnx－(x2－1)则Φ'(x)＝－＝当x≥2时，Φ'(x)＜0Þ函数Φ(x)在[2，＋∞)上是减函数，∴Φ(x)≤Φ(2)＝ln2－＜0Þlnx＜(x2－1)∴当x≥2时，∴＞2[(1－)＋(－)＋(－)＋(－)＋()]＝2(1＋－)＝.∴原不等式成立.12分'【解析】【答案】(1)a＝0(2)＋ln2≤b≤2(3)原不等式成立.29、略

【分析】【解析】

（1）设椭圆半焦距为c，则方程为设成等差数列由得高考+资-源-网解得6分（2）联立直线与椭圆方程：带入得12分【解析】【答案】（1）（2）30、略

【分析】由题设得则的概率分布为4分。012P故收益的概率分布为。1.622.4P所以=28分12分【解析】【答案】=2六、综合题(共4题，共16分)31、略

【分析】【分析】（1）由待定系数法可求得抛物线的解析式．

（2）连接BC；交直线l于点D，根据抛物线对称轴的性质，点B与点A关于直线l对称，∴AD=BD．

∴AD+CD=BD+CD；由“两点之间，线段最短”的原理可知：D在直线BC上AD+CD最短，所以D是直线l与直线BC的交点；

设出直线BC的解析式为y=kx+b；可用待定系数法求得BC直线的解析式，故可求得BC与直线l的交点D的坐标．

（3）由（2）可知，当AD+CD最短时，D在直线BC上，由于已知A，B，C，D四点坐标，根据线段之间的长度，可以求出△ABD是直角三角形，即BC与圆相切．由于AB⊥l，故由垂径定理知及切线长定理知，另一点D与现在的点D关于x轴对称，所以另一点D的坐标为（1，-2）．【解析】【解答】解：

（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）．（1分）

将（0；3）代入上式，得3=a（0+1）（0-3）．

解；得a=-1．（2分）∴抛物线的解析式为y=-（x+1）（x-3）．

即y=-x2+2x+3．（3分）

（2）连接BC；交直线l于点D．

∵点B与点A关于直线l对称；

∴AD=BD．（4分）

∴AD+CD=BD+CD=BC．

由“两点之间；线段最短”的原理可知：

此时AD+CD最小；点D的位置即为所求．（5分）

设直线BC的解析式为y=kx+b；

由直线BC过点（3；0），（0，3）；

得

解这个方程组，得

∴直线BC的解析式为y=-x+3．（6分）

由（1）知：对称轴l为；即x=1．

将x=1代入y=-x+3；得y=-1+3=2．

∴点D的坐标为（1；2）．（7分）

说明：用相似三角形或三角函数求点D的坐标也可；答案正确给（2分）．

（3）①连接AD．设直线l与x轴的交点记为点E．

由（2）知：当AD+CD最小时；点D的坐标为（1，2）．

∴DE=AE=BE=2．

∴∠DAB=∠DBA=45度．（8分）

∴∠ADB=90度．

∴AD⊥BD．

∴BD与⊙A相切．（9分）

②∵另一点D与D（1；2）关于x轴对称；

∴D（1，-2）．（11分）32、略

【分析】【分析】（1）由待定系数法可求得抛物线的解析式．

（2）连接BC；交直线l于点D，根据抛物线对称轴的性质，点B与点A关于直线l对称，∴AD=BD．

∴AD+CD=BD+CD；由“两点之间，线段最短”的原理可知：D在直线BC上AD+CD最短，所以D是直线l与直线BC的交点；

设出直线BC的解析式为y=kx+b；可用待定系数法求得BC直线的解析式，故可求得BC与直线l的交点D的坐标．

（3）由（2）可知，当AD+CD最短时，D在直线BC上，由于已知A，B，C，D四点坐标，根据线段之间的长度，可以求出△ABD是直角三角形，即BC与圆相切．由于AB⊥l，故由垂径定理知及切线长定理知，另一点D与现在的点D关于x轴对称，所以另一点D的坐标为（1，-2）．【解析】【解答】解：

（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）．（1分）

将（0；3）代入上式，得3=a（0+1）（0-3）．

解；得a=-1．（2分）∴抛物线的解析式为y=-（x+1）（x-3）．

即y=-x2+2x+3．（3分）

（2）连接BC；交直线l于点D．