微创新++概率、统计与其他知识的综合问题+讲义 高三数学二轮复习

微创新概率、统计与其他知识的综合问题考点一概率、统计和数列的综合问题例1(2024·新课标全国Ⅰ)设m为正整数，数列a1，a2，…，a4m+2是公差不为0的等差数列，若从中删去两项ai和aj(i<j)后剩余的4m项可被平均分为m组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列a1，a2，…，a4m+2是(i，j)-可分数列.(1)写出所有的(i，j)，1≤i<j≤6，使数列a1，a2，…，a6是(i，j)-可分数列；(2)当m≥3时，证明：数列a1，a2，…，a4m+2是(2，13)-可分数列；(3)从1，2，…，4m+2中一次任取两个数i和j(i<j)，记数列a1，a2，…，a4m+2是(i，j)-可分数列的概率为Pm，证明：Pm>18[规律方法]概率问题与数列的交汇，综合性较强，主要有以下类型：(1)求通项公式：关键是找出概率Pn或均值E(Xn)的递推关系式，然后根据构造法(一般构造等比数列)，求出通项公式.(2)求和：主要是数列中的倒序相加法求和、错位相减法求和、裂项相消法求和.(3)利用等差、等比数列的性质，研究单调性、最值或求极限.跟踪演练1一口袋中装有10个小球，其中标有数字1，2，3，4，5的小球各两个，这些小球除数字外其余均相同.(1)某人从中一次性摸出4个球，设事件A为“摸出的4个球中至少有一个数字是5”，事件B为“摸出的4个球中恰有两个数字相同”，分别求事件A和事件B的概率；(2)现有一游戏，游戏规则是：游戏玩家每次有放回地从袋中随机摸出一球，若摸到5号球，则游戏结束；否则继续摸球，当摸到第n(n≥2)个球时，无论摸出的是几号球游戏都结束.设X表示摸球的次数(1≤X≤n，X∈N*)，求随机变量X的期望.考点二概率、统计和函数的综合问题例2(2024·衡水模拟)已知甲口袋有m(m≥1，m∈N*)个红球和2个白球，乙口袋有n(n≥1，n∈N*)个红球和2个白球，小明从甲口袋有放回地连续摸球2次，每次摸出一个球，然后再从乙口袋有放回地连续摸球2次，每次摸出一个球.(1)当m=4，n=2时，①求小明4次摸球中，至少摸出1个白球的概率；②设小明4次摸球中，摸出白球的个数为X，求X的数学期望；(2)当m=n时，设小明4次摸球中，恰有3次摸出红球的概率为P，则当m为何值时，P最大？[规律方法]构造函数求最值时，要注意变量的选取，以及变量自身的隐含条件对变量范围的限制.跟踪演练2(2024·沧州模拟)某景区的索道共有三种购票类型，分别为单程上山票、单程下山票和双程上下山票.为提高服务水平，现对当日购票的120人征集意见，当日购买单程上山票、单程下山票和双程票的人数分别为36，60和24.(1)若按购票类型采用按比例分配的分层随机抽样的方法从这120人中随机抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，求随机抽取的4人中恰有2人购买单程上山票的概率；(2)记单程下山票和双程票为回程票，若在征集意见时要求把购买单程上山票的2人和购买回程票的m(m>2且m∈N*)人组成一组，负责人从某组中任选2人进行询问，若选出的2人的购票类型相同，则该组标为A，否则该组标为B，记询问的某组被标为B的概率为p.①试用含m的代数式表示p；②若一共询问了5组，用g(p)表示恰有3组被标为B的概率，试求g(p)的最大值及此时m的值.

答案精析例1(1)解(1，2)，(1，6)，(5，6).(2)证明当m=3时，删去a2，a13，其余项可分为以下3组：a1，a4，a7，a10为第1组，a3，a6，a9，a12为第2组，a5，a8，a11，a14为第3组，当m>3时，删去a2，a13，其余项可分为以下m组：a1，a4，a7，a10为第1组，a3，a6，a9，a12为第2组，a5，a8，a11，a14为第3组，a15，a16，a17，a18为第4组，a19，a20，a21，a22为第5组，…a4m-1，a4m，a4m+1，a4m+2为第m组，可知每组的4个数都能构成等差数列，故数列a1，a2，…，a4m+2是(2，13)-可分数列.(3)证明易知a1，a2，…，a4m+2是(i，j)-可分数列⇒1，2，…，4m+2是(4p+1，4q+2)-可分数列，其中p，q∈{0，1，…，m}.当0≤p≤q≤m时，删去4p+1，4q+2，其余项按从小到大的顺序排列，每4项分为1组，可知每组的4个数都能构成等差数列，故数列1，2，…，4m+2是(4p+1，4q+2)-可分数列，可分为(1，2，3，4)，…，(4p-3，4p-2，4p-1，4p)，…，(4(q+1)-1，4(q+1)，4(q+1)+1，4(q+1)+2)，…，(4m-1，4m，4m+1，4m+2).p，q的可能取值方法数为Cm+12+m易知a1，a2，…，a4m+2是(i，j)-可分数列⇒1，2，…，4m+2是(4p+2，4q+1)-可分数列，其中p，q∈{0，1，…，m}.当q-p>1时，删去4p+2，4q+1，将1~4p与4q+3~4m+2按从小到大的顺序排列，每4项分为1组，可知每组的4个数成等差数列.考虑4p+1，4p+3，4p+4，…，4q，4q+2是否可分，等同于考虑1，3，4，…，4t，4t+2是否可分，其中t=q-p>1，可分为(1，t+1，2t+1，3t+1)，(3，t+3，2t+3，3t+3)，(4，t+4，2t+4，3t+4)，…，(t，2t，3t，4t)，(t+2，2t+2，3t+2，4t+2)，每组的4个数都能构成等差数列.故数列1，2，…，4m+2是(4p+2，4q+1)-可分数列，p，q且q-p>1的可能取值方法数为Cm+12-m从而Pm≥(=m2+m跟踪演练1解(1)从中一次性摸出4个球有C104n(A)=210-C84n(B)=C51·C42·C∴P(A)=140210=2P(B)=120210=4(2)X的取值可能为1，2，3，…，n，当1≤k≤n-1时，P(X=k)=45k−1当k=n时，P(X=k)=45X123…k…nP(45)0×(45)1×(45)2×…(45)k-1×…(45)n∴E(X)=1×450×15+2×451×15+3×452×15+…+(n-1)×45n−2×令S=450+2×451+3×452+…+(则45S=451+2×452+…+(n-2)×45n−2相减得15S=450+451+452+…+45n−2-(n-1)×45n−1=1−45∴E(X)=5-4×45例2解(1)小明从甲口袋有放回地摸出一个球，摸出白球的概率为24+2=1从乙口袋有放回地摸出一个球，摸出白球的概率为22+2=1①设“小明4次摸球中，至少摸出1个白球”为事件A，则“小明4次摸球中，摸出的都是红球”为事件A，且P(A)=1−132×1−所以P(A)=1-P(A)=1-19=8②X的所有可能取值为0，1，2，3，4，由①得P(X=0)=P(A)=19P(X=1)=C21×1−13×13×1−122+1−1P(X=2)=132×1−122+1−132×122+C21×P(X=3)=132×C21×1−12×12+=16P(X=4)=132×12所以E(X)=0×19+1×13+2×1336+3×16+4×(2)由m=n，可视为小明从甲口袋中有放回地摸出一个球，连续摸4次，相当于4次独立重复试验，设小明每次摸出一个红球的概率为k(0<k<1)，则P(k)=C43k3(1-k)=4(k3-k4因为P'(k)=-16k2k−所以当0<k<34时，P'(k)>0当34<k<1时，P'(k)<0所以P(k)在区间0，34所以当k=34时，P(k此时k=mm+2=解得m=6，故当m=6时，P最大.跟踪演练2解(1)因为购买单程上山票、单程下山票和双程票的人数之比为3∶5∶2，所以这10人中，购买单程上山票、单程下山票和双程票的人数分别为10×310=310×510=5，10×210故随机抽取的4人中恰有2人购买单程上山票的概率P=C72C(2)①从m+2人中任选2人，有Cm+22种选法，其中购票类型相同的有C则询问的某组被标为B的概率p=1-C=1-m=4m②由题意，5组中恰有3组被标为B的概率g(p)=C53p3(1-p=10p3(1-2p+p2)=10(p3-2p4+p5)，所以g'