2025高考数学冲刺复习：三角函数与解三角形归类（原卷版）

培优冲刺06三角函数图像性质与解三角形归类

籍优题型大集合

目录

题型一：图像求解析式........................................................1

题型二：恒等变形与性质.....................................................3

题型三：利用对称性求零点和.................................................3

题型四：能成立与恒成立求参数...............................................4

题型五：图形1：四边形型...................................................5

题型六：图形2：中线型.....................................................6

题型七：图形3：角平分线型.................................................7

题型八：图形5：三角形高...................................................7

题型九：图形6：中线与重心型...............................................8

题型十：图形综合：定比分点型...............................................9

题型十一：范围与最值1：基础型.............................................9

题型十二：范围与最值2:边系数不对称型.....................................10

题型十三：范围与最值3:无边长型...........................................10

题型十四：范围与最值4：比值型.............................................11

题型十五：范围与最值5:角边互错型.........................................12

题型十六：范围与最值6：角度最值型.........................................12

题型十七：范围与最值7:范围综合型.........................................12

题型十八：相等角度转化型....................................................13

题型十九：压轴19题1：三角与数列结合型....................................13

题型二十：压轴19题1：三角函数型新定义....................................14

暗优丝理_大_槎由

题型一：图像求解析式

形如函数y=Asin((ax+(p)的图像及性质

(1)图像变换：

①相位变换：y=sinx—y=sin(x+9)的规则是：左加(夕>0)或右减“<0)1夕|个单位；

②周期变换：y=sin(x+p)Ty=sin(cox+夕)的规则是：纵坐标不变，将横坐标缩小(伸长)为原来的臼倍；

③振幅变换：y=sin(ox+0)-y=Asin(ox+p)的规则是：横坐标不变，将纵坐标缩小(伸长)为原来的|A|

倍；

幺

注意：y=sinox—y=sin(ox+夕)变换规则是：先提取后者x的系数o,然后在左(右)平移|°|个单位；

(2)基本性质：①定义域：解三角函数不等式用“数形结合”②值域：由内向外③单调性：同增异

减

2兀

(3)周期公式：gy=Asin(s：+9)(^y=Acos@x+9))的最小正周期T=两②y=|Asin(s+9)|的周期T

71

⑶对称性：换元思想，将＞=加皿5+9)中的“s+g”看成y=sinx中的“%”，采用整体代入求解.

71

①对称轴：最值处，令sin(公r+g)=1,则5:+9=析+，(无£2),可求得对称轴方程；

②对称中心：零点处，令sinOx+g)=0,cox+(p=kTi(k^Z),可求得对称中心的横坐标；

正弦“第一零点"：x=2ki、正弦“第二零点"：x=7i+2k7i

JFTT

余弦“第一零点”：X=——+2左万；余弦“第二零点"：x=一+2左不

22

1.(2024・甘肃•一模)如图，角a(aeR)的始边为x轴非负半轴，终边与单位圆交于点P,过点尸作》轴

的垂线，垂足为到直线0P的距离为|MA个若将|同|关于角。的函数关系记为y=/(x).

⑴求y=〃x)的解析式；

(2)将/(x)图象上所有点的横坐标缩短为原来的《(纵坐标不变),再将所得图象向左平移g个单位长度,

得到函数g(x)的图象，求g(x)在0微的单调递增区间.

2.(23-24高三上.安徽•阶段练习)函数/。)=须皿8+小＞0,。＞0,|初苦]的部分图象如图所示.

⑴求函数y=/(x)的解析式；

(2)将函数y=/(x)的图象向左平移刍个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的9倍，纵坐标不

12/

TT

变，得到函数y=g(x)的图象，求函数g。)在0,-上的值域.

3.(2023•河北.模拟预测)已知函数〃x)=gsin(s+e)的部分图象如图所示，其中。＞0,网＜],且

ZACB=90°.

c

（1）求。与夕的值；

⑵若斜率为学的直线与曲线y=“X）相切，求切点坐标.

题型二：恒等变形与性质

利用二倍角和降幕公式等进

1.角度不一致，可以“打散”：角度不一致，可以拆开

2.“重组”：系数次易一致，合并为正弦余弦，便于使用辅助角“化一

进行恒等变形

1.（2024•北京顺义・二模）已知函数/（力=0052卜-葭）+7§^!1N-羡｝0$卜-葭其中网检

⑴若〃0）=；,求夕的值；

⑵已知了目0间（加＞0）时，单调递增，再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，使函数

存在，求机的最大值.

条件①：=T；

条件②：3“⑶;

条件③：y=/（》）的图像与直线y=g的一个交点的横坐标为己.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

2.(2024.山东聊城.一模)在梯形ABC。中，AD//BC,设NB4O=tz,AABD=(3,已知

cos(tz-4)=2sinsin.

⑴求ZADB；

(2)若C£>=2,AD=3,BC=4,求AB.

3.(2024・四川成都.模拟预测)已知AASC是斜三角形.

(1)证明：cos2A+cos2B+cos2C+2cosAcosBcosC=1；

(2)^cos2/l+cos2B+2cos2C=-2,求tanC的取值范围.

题型三：利用对称性求零点和

1.（22-23高三•山西忻州•开学考试）已知函数〃尤）=JIsinoxcosG尤-.

⑴若“X）的图象关于直线尤=年对称，。式1,不，求“X）的单调递增区间；

⑵在⑴的条件下，当xe0,-时，4和三是的两个零点，求〃3+々)-〃7的值和加的取值范围.

2.(22-23高三・上海杨浦•阶段练习)已知定义域为R的函数/■(x)=sin(0x+0)(0>O,O<0<%)的最小正周

期为兀，且直线工二-5是其图像的一条对称轴.

⑴求函数y=/(x)的金析式，并指出该函数的振幅、频率、圆频率和初始相位；

(2)将函数y=/(X)的图像向右平移9JT个单位，再将所得图像上的每一点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标

不变)，得到新的函数y=g(x)，已知函数尸(x)=f(x)+Xg(x)(/l为常数且%GR)在开区间(0,〃兀)("GN且«>1)

内恰有2021个零点，求常数九和w的值.

3.(23-24高三上.吉林白城•阶段练习)已知函数"x)=gsin(s+夕)+1-2cos2］笠2，0>0,网<?为

奇函数，且/(x)图象的相邻两条对称轴间的距离为I，

⑴求的解析式与单调递减区间；

(2)将函数/(x)的图象向右平移夕个单位长度，再把横坐标缩小为原来的;(纵坐标不变)，得到函数

y=g(x)的图象，当小寸，求方程2g«)+岛(切-3=。的所有根的和.

题型四：能成立与恒成立求参数

一般地，已知函数y=/(x),xe[a,6],y=g(x),xe[c,d]

(1)相等关系

记y=句的值域为A,y=g(x),xe[c,d]的值域为B,

①若"e[a,b],Hxje[c,J],有〃％)=g(/)成立,则有AgB；

②若叫e[a,b],Vx,&[c,d\,有〃％)=g(x?)成立，则有A=3；

③若叫e[a,b],HX2&[c,d],有〃％)=g(%)成立，故Ac3w0；

(2)不等关系

⑴若％e[a,司,也€匕司，总有/(%)<g(X2)成立,故“X)1mx<g(x)1nin；

(2)若％&[c,d\,有/(%)<g(%)成立,故“小一⑺1rax；

(3)若叫e[a,b],V^e[c,c?],有/(%)<g®)成立，故/⑺曲,<g(Ain；

(4)若马句。回，叫€卜,同，有/(石)<8(%2)成立，故"xLvgG)1mx.

1.(2023・山东济宁•二模)已知函数/(x)=cos4x-sin4x+sin(2x-，|.

⑴求函数/⑺在圈］上的单调递增区间；

(2)将函数/(x)的图象向左平移。，<e<；J个单位长度后得到函数g(x)的图象，若函数g(x)的图象关于点

［去。)成中心对称，在上的值域为,求a的取值范围.

2.（2023・山西•模拟预测）已知函数Fa）=2sin（ox+0）（。＞（）,|同＜金）的部分图象如图所示.

⑴求的解析式，并求"%）的单调递增区间；

⑵若对任意xe仁,者R有〃同/[一仁）一141,求实数r的取值范围.

3.（2022•浙江三模）已知函数/（x）=2sinx-sin[x+F]

（1）求〃尤）的单调递增区间；

⑵若对任意xef,|,都有了（同一日4日，求实数,的取值范围.

题型五：图形1：四边形型

四边形，一般适当的连接对角线，分解为有公共边俩三角形。如果是有外接圆，则要充分运用对角互补这

个隐形条件

四边形面积最值型，一般用某一条对角线，把四边形分为两个三角形，有公共边的两个三角形个再各自用

余弦定理，构建数量关系

1.（2022•湖南长沙•模拟预测）如图，在凸四边形ABCD中，已知=4。=2,BC=3.

⑴若cosC=sinZADB=—,求cosZ.BDC的值；

(2)若CD=2,四边形ABCD的面积为4,求cos(A+C)的值.

2.（2023•辽宁•模拟预测）如图，在平面凸四边形ABC。中，CDLDB,CD=1,DB=#＞,DA=2.

⑴若NDW=60。，求cosNACB；

⑵求"2+3C2+AC2的取值范围.

3.(2023•山西模拟预测)如图，四边形ABCD中，AB=2AD=4,BD=BC,NDBC='/DAB=9,

(1)求△ABD的面积；

(2)求线段AC的长度.

题型六：图形2：中线型

.中线的处理方法

―■1—■—-

1.向量法：A0=—(AB+AC)O

一2

---»2]/--*2--►---»---

AD=-^AB+2ABAC+AC

2.余弦定理法(补角法)：

如图设3D=OC,

在AASD中，由余弦定理得A5?=">2+5D2—2xADxBDxcosZAr>5,①

在"⑦中，由余弦定理得AC?=AD2+£)c2-2xAr>xr)CxcosNADC,②

因为NADB+NADC=7l,所以COSN4DB+8SNA£>C=0

所以①+②式即可

3.延伸补形法：如图所示，延伸中线，补形为平行四边形

4.中线分割的俩三角形面积相等

1.(2023•福建福州•模拟预测)在“WC中，角A,B,C的对边分别是〃,6,c,且asinC=csinB,C=手.

⑴求8；

⑵若"LBC面积为主叵，求8c边上中线的长.

2.(2024•北京东城•一模)在AABC中，acosC+ccosA=-----bcosB.

3

(1)求4；

(2)若。=12，。为5C边的中点，且AD=3,求8的值.

3.(2024•四川泸州•三模)"LBC的内角A,B,C的对边分别为。，b,J已知/=/十02一48,且&4BC

的面积为6石.

⑴求tanA的值；

⑵若。是AC边的中点，B=|,求5D的长.

题型七：图形3：角平分线型

(1)求角c;

(2)若C。是/ACB的角平分线，且CD=生8,c=2s]3,求AASC的面积

3

JT—R

2.(23-24高三山东•阶段练习)/1BC的内角A,3,C的对边分别为"c,满足asin1一=6sinA

⑴求8；

(2)ZABC的角平分线与AC交于点D、BD=6求2a+c的最小值.

3.(23-24高三黑龙江哈尔滨•阶段练习)在AABC中，内角AB,C的对边分别是0,瓦j且

csinB+A/3&COSC=,b=超

(1)求角3；

⑵若〃+c=2,求边AC上的角平分线长.

题型八：图形5：三角形高

三角形高的处理方法：

1.等面积法：两种求面积公式

如S=46csinA=L2CxAD=Lc2

222

2.三角函数法：

在A5C。中，BD=ABcosZABD,AD=ABsinZABD,

1.(22-23高三上•湖北•阶段练习)在AASC中，角A,B,C的对边分别为a,b,JB.a<b<c,三角形

三边上的高之比为2:3:4.

(1)求cosC的值；

(2)若£为边AC上一点，ZCEB=30°,BC=3,求8E的长.

2.(江苏省南通市2022-2023学年高三上学期数学试题)在“1SC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,

且asinB+6cosA=0,cosB+V2cosC=y/5.

⑴求tanB；

(2)若边AB上的高为1,求AABC的面积.

3.(安徽省滁州市定远县第三中学2022-2023学年高三数学试题)AASC中，内角A、B、C所对的边分别为

a、b、c,:两足Zr=+c~.

(1)当A为何值时，函数y=2sin2A+cos(CFj取到最大值，最大值是多少？

⑵若一等于边AC上的高〃，求sin[F]的值.

题型九：图形6：中线与重心型

1.(2022春•河北邢台•高三统考)记A/WC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知

2A^(COS2C-cos2A)=(A-b)sinB,且AABC外接圆的半径为石.

(1)求C的大小；

(2)若G是AABC的重心，求AACG面积的最大值.

2.(2023春•河北秦皇岛•高三校考阶段练习)AABC的内角AB,C的对边分别为a也j且

a(V3sinB-cosC)=(c-6)cosA.从下列①②③这三个条件中选择一个补充在横线处，并作答.

①。为AABC的内心；②。为AABC的外心；③。为AASC的重心.

⑴求A；

(2)若6=6,c=10,求△0BC的面积.

注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.

3.(2023秋•四川内江高三四川省内江市第六中学校考阶段练习)"8C的内角A,B,C所对的边分别为a,

/I.B+C

b,c,a=6,0sm-------=asmB.

2

⑴求A的大小；

(2)M为AABC内一点，AM的延长线交BC于点D,求△48C的面积.

请在下面三个条件中选择一个作为已知条件补充在横线上，使AABC存在，并解决问题.

①M为AABC的外心，AM=4；

②M为AABC的重心，AM=26；

③M为AABC的内心，AD=3A/3.

(注：三角形的三边中垂线的交点称为外心，三角形的三条中线的交点称为重心，三角形的三条角平分线的

交点称为内心)

题型十：图形综合：定比分点型

1.(2024・全国•模拟预测)在AABC中，角A,B,C所对的边分别为。涉,J且满足

2sin(A+C)cosA-sinCcosA=sinAcosC.

(1)求角A；

(2)若点。在线段BC上，且满足BL»=3Z)C,A£>=3,求AABC面积的最大值.

2.(2024•全国•模拟预测)已知AABC中，角A、B、C的对边分别是a,b,c,6&-csinA=疯7cosc.

⑴求角A的大小；

⑵若a=3,。为BC边上一点，|AT)|=2,2BD=DC,求AABC的面积.

3.(2024•广东佛山•二模)在AABC中，o,b,c分别是角A,B,C所对的边，点。在边AC上，且满足

3sinA=tanZABCcosC+sinC,csinC=3BZ)sinZBDC.

(1)求2的值；

a

(2)若AD=3QC,求sin/ABD.

题型十一：范围与最值1:基础型

在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选

择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：

(1)若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；

(2)若式子中含有。、b、c的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；

(3)若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；

(4)代数式变形或者三角恒等变换前置；

(5)含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；

(6)同时出现两个自由角(或三个自由角)时，要用到三角形的内角和定理.

1.(2023・广西•模拟预测)在AABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为S,在下列三个条件

中任选一个，解答下面的问题.①b=0csi”A+£|,②$=；(/+62_02),③b=asinC+ccosA.

(1)求角C的大小；

(2)若AASC外接圆的面积为2兀，求S的最大值.

A+「

2.(2024•全国•模拟预测)在中,内角A,B,C的对边分别为a,6,c,其中6=3,且csin、一=3sinC.

⑴求3的大小；

（2）求AABC面积的最大值.

3..（2024・河南•方城第一高级中学校联考模拟预测）记AASC的内角A,B,C的对边分别为b,c,

1-cosB

且tan2C=

1+cosB

（1）证明：B=2C；

（2）若b=2,求当AASC面积最大时cos8的值.

题型十二：范围与最值2：边系数不对称型

解三角形：最值范围

1.可以用余弦定理+均值不等式来求解。

2.可以利用正弦定理，结合角与角所对应的边，转化为角的形式，再进行三角恒等边形，化一，求解最值与范

围，要注意三角形是否有“锐角、钝角”三角形的角度范围限制

1.（2024.上海嘉定.二模）在AASC中，角A、B、C的对边分别为。、b、Jcos2B-sin2B=-1.

⑴求角B,并计算sin,+^l的值；

⑵若6=百，且AABC是锐角三角形，求a+2c的最大值.

2.（2024•山西吕梁•一模）设44BC的内角AB,C的对边分别为a,b,c,已知从osC+2acosA=—eosB.

⑴求A；

⑵设A的角平分线交BC于点AM=1,求b+4c的最小值.

3.（2024•广东湛江•一模）已知在AABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且

acos（B-C）+acosA-2^csinBcosA=0.

⑴求A；

（2）若AASC外接圆的直径为2—,求2c-b的取值范围.

题型十三：范围与最值3：无边长型

有角无边型

L一个角为定值，则另外俩角和为定值，所以可以消角。

2.注意锐角三角形，或者钝角三角形对角的范围的限制，如果有这样限制，要对每个角都要用不等式范围求解。

3.有角无边型，如果出现边，多为边的比值齐次式型，一般可以用正弦定地来边化角转化

1.（2024•河南・一模）~N4BC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足分-跳=」.

⑴求证：B=2A；

⑵若AABC为锐角三角形，求而（。-④]sin'的取值范围.

2.（2024•河北沧州•模拟预测）已知在“1SC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且

asinA—csinC=（a—b）sinB.

⑴求c;

⑵求sin?A+sin?B的最大值.

3.（2024•辽宁•一模）在AABC中，内角A3,C所对的边分别为ddJ满足60+。）=/.

⑴求证：C=2B；

（2）若AABC为锐角三角形，求2sinC+cos8-sinB的最大值.

题型十四：范围与最值4：比值型

最值范围：分式比值型

化边为角型

1.通过正余弦定理，把边转化为角。

2.利用特殊角，消角，以分母角度为住元，消去分子角度，转化为分母角度的单变量函数形式

3.对单变量（单角）求最值。

角化变型：

主要用余弦定理，然后再借助均值不等式进行转化

1.（2024•山西朔州.一模）已知AABC的内角的对边分别为a,dj向量

m=^a+b,c^,n=（sinA-sinC,sinA-sinB）,且历〃万.

⑴求B；

2

⑵求-hJ的最小值.

a'+c

2.（2023•山东潍坊•模拟预测）在锐角AABC中，角ABC所对的边分别为“也J满足好="上吧0

bsinA-sinC

（1）求角c；

⑵求2b的取值范围.

a

3.（23-24高三上•山东枣庄・）在44BC中，角A,8,C所对的边分别为。力,c.若2a+Z>cosA—c=ZrtanBsinA.

⑴求8；

⑵若AASC为锐角三角形，求包竺缪0的取值范围.

sinC

题型十五：范围与最值5：角边互错型

正弦定理转化，要以有长度的边为主转化，消边化角求最值范围

1.(2023・江西•校联考二模)在中，角所对的边分别为。，瓦J已知

sinAsinB+cos2A+cos2B+sin2C=2.

(1)求角C；

(2)若AABC为锐角三角形，且人=2,求"LBC面积的取值范围.

2.(2023•全国•高三专题练习)在AABC中，角4,B,C的对边分别是a,b,c,满足bsinA=asin(_B+§

⑴设。=3,c=2,过8作2。垂直AC于点。点E为线段2。的中点，求面.雨的值；

(2)若AABC为锐角三角形，c=2,求AABC面积的取值范围.

3.(2022・湖南・湘潭一中高三阶段练习)AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知

(2a—c)sinA+(2c—a)sinC=2bsinB.

⑴求8；

(2)若AABC为锐角三角形，且c=2,求AABC周长的取值范围.

题型十六：范围与最值6：角度最值型

锐钝角限制型

注意锐角三角形，或者钝角三角形对角的范围的限制，如果有这样限制，要对每个角都要用不等式范围求解

1.(22-23高三浙江宁波•阶段练习)记锐角AABC的内角为A5,C,已知sin2A=sinBsinC.

(1)求角A的最大值；

(2)在锐角瓦G中，当角A为角A的最大值时，求2cos瓦+cosC的取值范围.

2.(2021•黑龙江大庆•一模)已知AABC的内角A,B,C的对边分别为。，6,。，且a(l+cos3)=b(2—cosA).

(1)求角3的最大值.

(2)若8取(1)中最大值，<2>1,c=b+g,当AABC的周长最小时，求。的值.

3.(20-21高三・河南南阳)在中，内角A,B,C的对边分别为。，b,c,且2sinAcosC+sinB=0.

(1)求角8的最大值；

(2)当角8最大时，若b=6,求AABC的面积.

题型十七：范围与最值7：范围综合型

1.(23-24三•浙江模拟)在中，角A民。所对的边分别为a八J且满足2asinC-gc=0

(1)求角A的值；

⑵若a=2V§■且求万-1的取值范围.

2.(2024高三•全国・专题练习)在AABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知

a2+accosB+becosA=b2+ac.

(1)求角B的大小；

(2)若。=2,且AABC为锐角三角形，求AABC的周长的取值范围；

⑶若廿=",且AASC外接圆的半径为2,圆心为O,P为圆。上的一动点，试求可.而的取值范围.

3.(22-23晨)二辽宁鞍山•期中)在①J^c=J5acosB+bsinA,@(b+a)(sinB-sinA)=c(sinB-sinC),③

/-62=accos2-：6c这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.

在锐角AABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且_________.

⑴求A；

(2)若。=3,2而=前，求线段长的最大值.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

题型十八：相等角度转化型

A

1.(23-24高三・湖南衡阳•阶段练习)在锐角“LBC中，内角A8,C的对边分别为。，瓦J且acos3+6sin1=c.

⑴求A；

(2)若D是边BC上一点(不包括端点)，且求:一的取C值D范围.

AD

2.(2024.陕西安康.模拟预测)已知锐角AABC中，角A,B,。所对的边分别为。，b,J其中a=8,

arsin2A-sin2c口一

-=1+------------,且owe.

csin2B

⑴求证：B=2C；

⑵已知点"在线段AC上，且=求3M的取值范围.

3.(2024.全国.模拟预测)在金。中，。也c分别为角A,B,。所对的边，点M为BC的中点.

(1)若ZB=60°,c=2,AM=2^/3,求b的值；

(2)若/BAM=ZS+ZC,求㈣4的值.

tan3

题型十九：压轴19题1：三角与数列结合型

1.(2024•上海青浦・二模)若无穷数列｛%｝满足：存在正整数T,使得。“+r=4对一切正整数〃成立，则称

｛%｝是周期为T的周期数列.

(1)若a“=sin[&+?](其中正整数机为常数，〃eN,”21),判断数列｛4｝是否为周期数列，并说明理由；

⑵若.=a“+sina“(〃eN,7*l),判断数列｛%｝是否为周期数列，并说明理由；

(3)设电｝是无穷数列,已知%=%+sina“(〃eN,〃21).求证：“存在内，使得｛%｝是周期数列”的充要条件

是“｛〃,｝是周期数列”.

2.(2024.河南开封.二模)在密码学领域，欧拉函数是非常重要的，其中最著名的应用就是在RSA加密算

法中的应用.设p,q是两个正整数，若p,q的最大公约数是1,则称p,q互素.对于任意正整数“，欧拉

函数是不超过“且与”互素的正整数的个数，记为夕(〃).

⑴试求。(3),姒9),0⑺,。⑵)的值;

⑵设”是一个正整数，p,g是两个不同的素数.试求。(3"),(p[pq)与中(p)和夕⑷的关系；

(3)RSA算法是一种非对称加密算法，它使用了两个不同的密钥：公钥和私钥.具体而言：

①准备两个不同的、足够大的素数p,q；

②计算〃=取欧拉函数e(");

③求正整数太使得kq除以矶〃)的余数是1；

④其中(〃闯)称为公钥，(〃㈤称为私钥.

已知计算机工程师在某RSA加密算法中公布的公钥是(187,17).若满足题意的正整数/从小到大排列得到

一列数记为数列出｝,数列£｝满足80%=，+47,求数列｛tancjtanc用｝的前〃项和7“.

3.(2024・上海・二模)固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱布尼茨等

XX

得出“悬链线”方程),=c(e；+e-),其中c为参数.当。=1时，就是双曲余弦函数2(尤)=以二，悬链线的

原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程.类比三角函数的三种性质：①平方关系：

I(sin-cosx

sin2；c+cos2x=l；②两角和公式：cos(x+y)=cosxcosy-sin尤siny