2025初中数学竞赛专项复习：有理数的运算 讲义（学生版+解析版）

全国初中数学竞赛培优教程

专题04有理数的运算(学生版)

学真题重现

(2024七年级•全国・竞赛)古埃及人处理分数与众不同,他们一般只使用分子为1的分数，例如：用之+；来

表示用？+：+：来表示W现有99个分数：p11

43456023499’100

(1)从这99个分数中挑出4个分数，使它们的和等于：；

(2)能否从这99个分数中挑出9个分数，加上正、负号,使它们的和等于0?若能，求出满足条件的9个分

数；若不能，说明理由.

\考点突破

一、有理数的加减

【学霸笔记】

一、有理数加法

1.同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。

若a〉0,8>0,则a+6=+(|a|+|6|)；

若a<0,6<0,则a+b=-(|a|+向)。

2.异号两数相加，绝对值相等时，和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对

值减去较小的绝对值。

绝对值相等：若a>0,b<0,且|a|=历|,贝！]a+b=0；

绝对值不相等：

①若a>0力<0,且⑷〉回，则a+6=+(|a]—|“)；

②若a<0,6>0,且⑷>回，则a+b=-(|。一回)。

3.一个数与0相加，仍得这个数。

a+0=a

三、有理数减法法则

减去一个数，等于加上这个数的相反数，a—b=a+(-b)

1.较大的数一较小的数=正数，即若a>b,贝"a—6〉0；

2.较小的数一较大的数=负数，即若a<6,贝必一6<0；

3.相等的两个数相减等于0,即若a=b,则a—5=0；

4.0减去任何数都等于这个数的相反数，任何数减去0仍等于这个数.

【典例】（2024八年级•全国・竞赛）设4=999072+888082+777092,则4的个位数字与十位数字之和为

（）.

A.8B.11C.13D.14

【答案】C

【分析】本题考查了数的平方，计算出每个平方数的后两位，再相加即可得到答案.

【详解】解：999072的后两位为49,

888082的后两位为64,

777092的后两位为81,

•••49+64+81=194,

・••个位上的数字为4,十位上的数字为9,4+9=13,

故选：C.

【巩固】（2024七年级.全国.竞赛）甲、乙两个瓶子里都装有水，第一次把乙瓶子里的水倒入甲瓶子里，使

甲瓶子里的水增加一倍；第二次把甲瓶子里的水倒入乙瓶子里，使乙瓶子里现有的水增加一倍；第三次又

把乙瓶子里的水倒入甲瓶子里，使甲瓶子里现有的水增加一倍；第四次再把甲瓶子里的水倒入乙瓶子里，

使乙瓶子里现有的水增加一倍；第五次又把乙瓶子里的水倒入甲瓶子里，使甲瓶子里现有的水增加一倍.这

样一来，两个瓶子里就各有480毫升的水，那么两个瓶子里原有的水相差_________毫升（假定两个瓶子都

足够大）.

二、有理数的乘除

【学霸笔记】

一、有理数乘法法则

1.两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；

2.0与任何数相乘都得0；

3.任何数与1相乘都等于它本身，任何数与一1相乘都等于它的相反数；

4.拓展：

（1）几个不等于。的数相乘，积的符号由负因数的个数决定.当负因数有奇数个时，积为负；当负

因数的个数有偶数个时，积为正；

（2）几个数相乘，如果有一个因数为0,那么积就等于0.反之，如果积为0,那么至少有一个因数

为0.

（3）一般地，在乘法运算中，若有带分数和小数，应先把带分数化为假分数，小数化为分数之后再

计算，方便约分.

二、有理数除法法则

1.除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数；

2.两个不为0的数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；

3.0除以任何一个不为0的数都等于0,0不能作为除数，无意义.

4.一个非零的数除以它的本身等于1.

两数相除要先确定商的符号，再确定绝对值，其中商的符号的确定方法与有理数乘法中积的符号确定方

法相同.

【典例】（2024七年级•全国・竞赛）在2018的左边添加一个数字a,右边添加一个数字b,组成一个六位数

a2018b,且a20188能被45整除,则ab的最大值是（）

A.10B.35C.56D.81

【答案】A

【分析】本题考查有理数的除法运算，根据整除的概念，得出6=0或b=5,根据b的不同取值，讨论ab的

值，即可解题.

【详解】解：；a20186能被45整除,

'.b=0或b=5,

当b=0时,ab=0；

当6=5时，a+2+0+l+8+5=a+16能被9整除，则a=2,故ab的最大值为5x2=10.

故选：A.

【巩固】（2024七年级•全国・竞赛）若正整数机、n、p、4满足;=彳=：=|，则山+n+「+（?的最小值

为.

三、有理数的乘方

【学霸笔记】

一、有理数乘方的意义

求相同因数的积的运算叫做乘方，相同因数叫做底数，相同因数的个数叫做指数，乘方的运算结果叫

做幕.

Qj*Qj*Ch....Qj

一般地，'------C--------1记作，读作的n次方”，其中。叫做底数，n叫做指数，当。九看作a

几个

的n次方的计算结果时，也可以读作“a的n次舞”.

1.乘方与累不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幕是乘方运算的结果；

2.一个数可以看作是它本身的一次方，指数1可省略不写；

3.底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来；

4.当负数或分数作为底数时，底数必须用括号括起来；

5.一个数的二次方又称为这个数的平方，一个数的三次方又称为这个数的立方.

二、有理数乘方的运算

1.有理数乘方运算的符号法则

(1)正数的任何次暴都是正数；

(2)负数的奇数次嘉是负数，负数的偶数次幕是正数；

(3)0的任何正整数次哥都是0；

(4)任何一个数的偶数次幕都是非负数.

2.有理数的乘方运算

计算一个有理数的乘方时，应先将乘方运算转化为乘法运算，先确定累的符号，再计算事的绝对值.

3.拓展：

(1)1的任何次事都是1;

(2)-1的偶数次累是1,-1的奇数次累是一1；

(3)平方等于它本身的数有。和1,立方等于它本身的数有0,1,-1.

【典例】(2024八年级•全国•竞赛)设爪=焉+法\+高=+“,+焉=，则机所在的范围是()•

A.3<m<4B.2<m<3C.1<m<2D.0<m<1

【答案】D

【分析】本题考查了有理数的乘方及乘法,熟练掌握有理数的乘方运算是解题的关键.由m=嬴+品n+

22。：+2+…+22。：2T中每一项都为正数得7n>°，由771<嬴■+就l+…+舄五=薪T*22011=1得巾<1,

从而即可得解.

=2011201120122011201120112011

【详解】解:E22011+2+1+2+2+…+2-1<2+2+…+2=2~

又。m>O

0<m<1.

故选：D.

【巩固】(2024七年级.全国.竞赛)已知一个五位数而可;能被72整除，则支、+必=.

四、有理数的混合运算

【典例】（2024七年级.全国・竞赛）计算：—24xQ——2）—8+（—§+3X（—.

【答案】25

【分析】本题考查的是有理数的计算，正确掌握有理数的运算顺序和运算法则是解题的关键.按照有理数

混合运算的顺序，先乘方后乘除最后算加减，有括号的先算括号里面的计算即可.

【详解】解：一24x©一：一专）一8+（—|）3+3[x（一5）=-6+4+打27—；25.

故答案为：25.

【巩固】（2024八年级•全国•竞赛）为求1+2+22+23+…+22。16的值，可令S=i+2+2?+2^+…+

22016,贝12s=2+22+23+24+…+22°16+22。"，因此2s-S=22°17一1,即s=22017—1.仿照以上

方法，可得1+3+32+33+•­•+32°16=.

*模拟演练

1.（2024七年级•全国・竞赛）从1、2、3、4、5、6、7、8、9、10这10个数中选取3个数相加，和为偶数的

取法共有（）

A.60种B.70种C.80种D.90种

2.（2024七年级•全国・竞赛）计算机利用的是二进制数，它共有两个数码0、1,将一个十进制数转化为二进

制，只需把该数写出若干2n数的和，依次写出1或0即可.如：

4321

21（10）=1X2+0X2+1X2+0X2+1=IOIOIQ）,贝U十进制数30是二进制下的（）

A.11101B.10111C.11110D.11100

3.（2024七年级•全国・竞赛）如图，水平桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形空容器，底面的面积之比为4:2:1,

甲容器5cm高度处有一根管子与乙容器相连通（连通管的影响忽略不计），乙容器3cm高度处有一根管子与

丙容器相连通，且两根连通管相同.现在向甲容器匀速注水，记注水时间为t分钟，若t=5时，甲容器里的

水开始流向乙容器.当乙容器里的水比丙容器里的水高1cm时，t的值为（）

C.5.5或7D.7或7.5

4.（2024七年级•全国・竞赛）若六位数s=12al2b能被45整除，记s的最大值为M,最小值为小，则M-

m=____

5.（2024七年级•全国・竞赛）已知“（T作为一种运算符号满足如下性质：aQb=3+ab）\a-b\,贝奴。4

的值为.

6.（2024七年级.全国.竞赛）在一次聚会中，主持人发现了一个有趣的现象：①能找到10名年龄各不相同

的与会者；②对于任意两名与会者A和B,一定能找到另外两名与会者C和。，使得A和B的年龄之和等于C

和D的年龄之和.这次聚会的与会者至少有名.

7.（2024七年级.全国.竞赛）如图1,将数字1,2,3,4,5,6,7,8分别填写在八边形力BCDEFGH的8

个顶点上，并且以Si，S2，S3,…,58分别表示（AB,C）,（B,C,D）,…，（H,4B）8组相邻3个顶点上的数字之和.

⑴请给出一种填法，使得Si，52,S3,…,58都不小于12,在图2中完成；

（2）是否存在一种填法，使得S1,S2，S3,…,S8都不小于13?证明你的结论.

8.（2024七年级•全国•竞赛）定义：a是不为1的有理数，把詈定义为a的“和差分数”，如2的和差分数为善=

-3,-2的和差分数为了沼=-；.已知的=3的的和差分数为42,的和差分数为。3,。3的和差分数为

…，求。2012的值•

9.（2024七年级.全国•竞赛）一只蚂蚁从数轴上的某点为，第一次向左爬1个单位到点4，第二次由点儿向

右爬2个单位到点出，第三次由点4向左爬3个单位到点45,第四次由点力3向右爬4个单位到点①，…，如

此爬了2012次时，蚂蚁落在数轴上的点42012处，若点人2012所表示的数是888,求点4。所表示的数.

10.（2024八年级•全国•竞赛）某超市用3000元购进某种干果销售，由于销售状况良好，超市又调拨9000

元资金购进该种干果，但这次的进价比第一次的进价提高了20%,购进干果数量是第一次的2倍还多300

千克，如果超市按每千克10元的价格出售，当大部分干果售出后，余下的600千克按售价的9折售完.

（1）该种干果的第一次进价是每千克多少元？

（2）超市销售这种干果共盈利多少元？

11.(2024七年级•全国•竞赛)贝贝为了计算1x2+2x3+3x4+…+99x100的值，作了如下探究:

Ix2=|(lx2x3-Oxlx2),2x3=*2x3x4-1x2x3),

3x4=|(3x4x5-2x3x4),将这三个等式的两边相加，

得到1x2+2x3+3x4=[x3x4x5=20.

(1)请帮贝贝计算1X2+2X3+3X4+…+99x100的值；

⑵请直接写出s=11x12+12x13+13x14+■■■+49x50的值，s=.

(3)聪明的贝贝将算式类比到如下形式，请计算该算式的值.

Ix2x3+2x3x4+3x4x5d----1-20x21x22.

12.（2024七年级•全国・竞赛）图1表示象棋盘的一部分，一个棋子“’从a点出发向B点行进（现规定

只能向上走，或向右走），会有多种不同的走法，其中从a点出发到某些交叉点的走法数已在图2中标出.

1

上1

12

卒

A4I

图1图2

⑴根据图2的提示，算出从4点出发到达其余交叉点的走法数,将数字填入图2的空圆中，并回答从4点出

发到达B点的走法共有多少种？

（2）算出从4点出发到达B点，但禁止通过交叉点C的走法有多少种？

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专题04有理数的运算（解析版）

学真题重现

（2024七年级•全国・竞赛）古埃及人处理分数与众不同，他们一般只使用分子为1的分数，例如：用之+；来

表示.用,+：+,来表示竟现有99个分数：七’击.

（1）从这99个分数中挑出4个分数，使它们的和等于不

⑵能否从这99个分数中挑出9个分数，加上正、负号，使它们的和等于0?若能，求出满足条件的9个分

数；若不能，说明理由.

【答案】⑴二+二+工+工=三

一21510124

（2）能，+-+—+-+—+—+^-+—+-=0

\'261220304256729

【分析】（1）本题考查了对题干的理解，以及有理数的加法运算，根据用：来表示：，将:化为2个分子为

2444

1的分数相加，再继续分解下一个分数，得到4个分子为1的分数相加，即可解题.

（2）本题考查有理数的加减运算，以及分数的规律，根据；+；+?+2+怖+尚+2+9=1-3将此

261220304256729

式再减去1加上即可解题.

【详解】（1）解…可以用/掉表示

1,13

--1--=~

244

1lX(l+2)__2_1_1_1_

44x(l+2)-12十12—6十12’

1,1,13

—I---1----=

26124

()2

1_lX2+3+3=表+表，

66x(2+3)6x(2+3)6x(2+3)

（类似的去分解表也可）.

（2）解：••=+2+专+/+表+专+专+点

11111

-----1-------1F•••H1-----

1x22x33x4------7x88x9

111111111

-1-------F-----------1-------------1-•••H-------------1-----------

223347889

=1.

.11.1,1,1,1,1.1,1y

•♦]+&+石+K+.+豆+«+另+§=1'

_&+&+石+高+.+g+京+豆+§=°,

考点突破

一、有理数的加减

【学霸笔记】

一、有理数加法

2.同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。

若a〉0,b>0,则a+b=+（|a|+|6|）；

若a<0,b<0,则a+b=-（|a|+回）。

2.异号两数相加，绝对值相等时，和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对

值减去较小的绝对值。

绝对值相等：若a>0,6<等且⑷=历|*则a+b=0；

绝对值不相等：

③若a>0/<0,且|a|>回，贝!|a+b=+（|a]一向）；

④若a<0,6〉0,且⑷〉回，则a+b=-（|。一向）。

3.一个数与0相加，仍得这个数。

a+0=a

三、有理数减法法则

减去一个数，等于加上这个数的相反数，a—b=a+Qb）

5.较大的数一较小的数=正数，即若a>b,则a—b>0；

6.较小的数一较大的数=负数，即若a<6,贝客一b<0；

7.相等的两个数相减等于0,即若a=b,则a—5=0；

8.0减去任何数都等于这个数的相反数，任何数减去0仍等于这个数.

【典例】（2024八年级.全国・竞赛）设4=999072+888082+777092,贝必的个位数字与十位数字之和为

（）.

A.8B.11C.13D.14

【答案】C

【分析】本题考查了数的平方，计算出每个平方数的后两位，再相加即可得到答案.

【详解】解：999072的后两位为49,

888082的后两位为6%

777092的后两位为81,

v49+64+81=194,

・••个位上的数字为4,十位上的数字为9,4+9=13,

故选：C.

【巩固】(2024七年级•全国•竞赛)甲、乙两个瓶子里都装有水，第一次把乙瓶子里的水倒入甲瓶子里，使

甲瓶子里的水增加一倍；第二次把甲瓶子里的水倒入乙瓶子里，使乙瓶子里现有的水增加一倍；第三次又

把乙瓶子里的水倒入甲瓶子里，使甲瓶子里现有的水增加一倍；第四次再把甲瓶子里的水倒入乙瓶子里，

使乙瓶子里现有的水增加一倍；第五次又把乙瓶子里的水倒入甲瓶子里，使甲瓶子里现有的水增加一倍.这

样一来，两个瓶子里就各有480毫升的水，那么两个瓶子里原有的水相差_________毫升(假定两个瓶子都

足够大).

【答案】330

【分析】本题考查有理数的加减运算，运用倒推法，

(480,480)-(240,720)-(600,360)-(300,660)-(630,330)-(315,645),进而得出答案.

【详解】解：运用倒推法，

(480,480)-(240,720).(600,360)-(300,660)-(630,330)-(315,645),645-315=330(毫

升).

故答案为：330.

二、有理数的乘除

【学霸笔记】

一、有理数乘法法则

5.两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；

6.0与任何数相乘都得0；

7.任何数与1相乘都等于它本身，任何数与一1相乘都等于它的相反数；

8.拓展：

(4)几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定.当负因数有奇数个时，积为负；当负

因数的个数有偶数个时，积为正；

(5)几个数相乘，如果有一个因数为0,那么积就等于0.反之，如果积为0,那么至少有一个因数

为0.

(6)一般地，在乘法运算中，若有带分数和小数，应先把带分数化为假分数，小数化为分数之后再

计算，方便约分.

二、有理数除法法则

5.除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数；

6.两个不为0的数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；

7.0除以任何一个不为。的数都等于0,0不能作为除数，无意义.

8.一个非零的数除以它的本身等于1.

两数相除要先确定商的符号，再确定绝对值，其中商的符号的确定方法与有理数乘法中积的符号确定方

法相同.

【典例】（2024七年级.全国・竞赛）在2018的左边添加一个数字a,右边添加一个数字b,组成一个六位数

a20186,且a20186能被45整除,则ab的最大值是（）

A.10B.35C.56D.81

【答案】A

【分析】本题考查有理数的除法运算，根据整除的概念，得出b=0或b=5,根据b的不同取值，讨论的

值，即可解题.

【详解】解：能被45整除,

b—0或b=5,

当b-0时，ab-0；

当6=5时，a+2+0+l+8+5=a+16能被9整除，则a=2,故ab的最大值为5x2=10.

故选：A.

【巩固】（2024七年级.全国・竞赛）若正整数/«、"、p、0满足：=；=：=1，则爪+n+p+q的最小值

为.

【答案】65

【分析】本题考查有理数的乘除及正整数的概念.根据题意，将施用含q的式子表示，再由相、〃、p、q

为正整数即可求解.

【详解】解：•.•'=巴=巳=[,

npq2

333

.-m=-n,n=-p,p=-q,

22LL2，

・27

.-m=­q,

8，

m>n、p、q为正整数，

.•.q的最小值为8,贝物=12,n=18,m=27,

...ni+7i+p+q—27+18+12+8=65,

-,-m+n+p+q的最小值为65.

故答案为：65

三、有理数的乘方

【学霸笔记】

一、有理数乘方的意义

求相同因数的积的运算叫做乘方，相同因数叫做底数，相同因数的个数叫做指数，乘方的运算结果叫

做霹

CL*CL*CL..........CL

一般地，------7--------记作a”,读作“a的n次方”，其中a叫做底数，n叫做指数，当a"看作a

n个

的n次方的计算结果时，也可以读作的n次哥”.

6.乘方与累不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幕是乘方运算的结果；

7.一个数可以看作是它本身的一次方，指数1可省略不写；

8.底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来；

9.当负数或分数作为底数时，底数必须用括号括起来；

10.一个数的二次方又称为这个数的平方，一个数的三次方又称为这个数的立方.

二、有理数乘方的运算

4.有理数乘方运算的符号法则

(5)正数的任何次赛都是正数；

(6)负数的奇数次暴是负数，负数的偶数次幕是正数；

(7)0的任何正整数次哥都是0；

(8)任何一个数的偶数次暴都是非负数.

5.有理数的乘方运算

计算一个有理数的乘方时，应先将乘方运算转化为乘法运算，先确定幕的符号，再计算幕的绝对值.

6.拓展：

(1)1的任何次幕都是1:

(2)-1的偶数次幕是b-1的奇数次幕是一1；

(3)平方等于它本身的数有0和1,立方等于它本身的数有0,1,-1.

【典例】(2024八年级•全国•竞赛)设爪=肃+募石+扁费+…+品=，则根所在的范围是(),

A.3<m<4B.2<m<3C.1<m<2D.0<m<1

【答案】D

【分析】本题考查了有理数的乘方及乘法,熟练掌握有理数的乘方运算是解题的关键.由6=嬴+品n+

220：+2+…+220112T中每一项都为正数得7n>°，由小(就？+就l+…+就？=就IX22011=1得巾<

从而即可得解.

=

【详解】解:瓶22011+22011+1+22011+2+…+22012-1<22011+22011+…+22011=22011X2=］，

又；m>0,

0<m<1.

故选：D.

【巩固】(2024七年级•全国•竞赛)已知一个五位数装同能被72整除，则6+妙=.

【答案】17

【分析】本题考查的是有理数的乘方运算，代数式的求值，数的整除，由72=23x32可得五位数而可;是

偶数，且能被9整除，再分类讨论即可.

【详解】解：：72=23X32,

，五位数x679y是偶数，且能被9整除，其中0<y<9,x,y为整数，

.,.y—0或y=2或y—4或y=6或y=8,

当y=0时，则x+6+7+9+0=x+22,且能被9整除,

，x=5此时不能被8整除，舍去，

当y=2时，则x+6+7+9+2=x+24,且能被9整除,

x=3,此时符合题意；

；.二+产=32+23=9+8=17；

当y=4时，贝！J久+6+7+9+4=尤+26,且能被9整除,

.\x-1,此时不符合题意；

当y=6时，则%+6+7+9+6=%+28,且能被9整除,

'.x-8,此时不符合题意；

当y=8时，则x+6+7+9+8=x+30,且能被9整除,

；.久=6,此时不符合题意，舍去，

综上：+y*=32+23=9+8=17；

故答案为：17

四、有理数的混合运算

【典例】（2024七年级•全国•竞赛）计算：—24XQ——城）—8++3^x（—卷）=

【答案】25

【分析】本题考查的是有理数的计算，正确掌握有理数的运算顺序和运算法则是解题的关键.按照有理数

混合运算的顺序，先乘方后乘除最后算加减，有括号的先算括号里面的计算即可.

【详解】解：一24X总）-8+（-I?+3"（—（）=-6+4+2+27-；25.

故答案为：25.

【巩固】（2024八年级•全国•竞赛）为求1+2+22+23+…+22。16的值，可令S=i+2+2?+23+…+

22°16,则2s=2+22+23+24+…+22016+22017,因此2s—s=22°17一1,即s=22017一1.仿照以上

方法，可得1+3+32+33+…+32016=.

【答案W（32017一1）

【分析】设s=1+3+32+33+…+32016,贝I]3s=3+32+33+…+32016+32017,得至U2s=32017-1

即可得到答案.本题考查了有理数的混合运算，数字类规律，熟练掌握运算方法是解答本题的关键.

【详解】解：设S=1+3+32+33+…+32016,

/.3s=3+32+33+…+32016+32017,

.,.3S-S=32017-1,

：.2s=320"_1,

...s=I(32017—1),

故答案为：!(32017-l)

■模拟演练

1.（2024七年级•全国・竞赛）从1、2、3、4、5、6、7、8、9、10这10个数中选取3个数相加，和为偶数的

取法共有（）

A.60种B.70种C.80种D.90种

【答案】A

【分析】本题主要考查有理数的加法运算，理解并掌握“偶数+奇数+奇数=偶数；偶数+偶数+偶数=偶数”

是解题的关键.

【详解】解：根据题意，偶数+奇数+奇数=偶数；偶数+偶数+偶数=偶数，

：.2,4,6,8,10这5个数中的1个与1,3,5,7,9这5个数中的2个组合，共有50种，

2,4,6,8,10这5个数中的3个组合，共有10种，

，和为偶数的取法共有50+10=60（种），

故选：A.

2.（2024七年级•全国・竞赛）计算机利用的是二进制数，它共有两个数码0、1,将一个十进制数转化为二进

制，只需把该数写出若干2n数的和，依次写出1或0即可.如：

21（10）=1x24+0x23+1x22+0x21+1=10101⑵，则十进制数30是二进制下的（）

A.11101B.10111C.11110D.11100

【答案】C

【分析】本题考查了有理数的混合运算,此题只需估计最高位是乘以2的几次方，由=32>30,24=16<

30,再逐步确定即可.

【详解】解：3O（io）-1X24+1X23+1X22+1X21+0=11110⑵.

故选：C.

3.（2024七年级.全国・竞赛）如图，水平桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形空容器，底面的面积之比为4:2:1,

甲容器5cm高度处有一根管子与乙容器相连通（连通管的影响忽略不计），乙容器3cm高度处有一根管子与

丙容器相连通，且两根连通管相同.现在向甲容器匀速注水，记注水时间为t分钟，若t=5时，甲容器里的

水开始流向乙容器.当乙容器里的水比丙容器里的水高1cm时，t的值为（）

A.5.5B.5.5或7.5C.5.5或7D.7或7.5

【答案】C

【分析】本题考查有理数的应用，分类讨论是解决问题的关键.根据题意，分两种情况，①乙容器水高1cm,

丙容器无水时；②丙中进水，乙中水到达与丙连接的管子处时，丙到达2cm时，计算求解即可.

【详解】解：t=5时，甲容器里的水开始流向乙容器，即甲中水上升了5cm,甲中注水速度为5+5=

l(cm/min),

甲、乙、丙的底面的面积之比为4:2:1,则注水的速度之比为1:2:4,

二乙的注水速度为2cm/min,丙的注水速度为4cm/min,

当乙容器里的水比丙容器里的水高1cm时，

①乙容器水高1cm,丙容器无水，t=5+1+2=5.5；

②丙中进水，乙中水到达与丙连接的管子处时，用时5+3+2=6.5(min),假设在此之后注水x分钟，乙

比丙高1cm,则丙要到达2cm,

•1.x=24-4=0.5,

t=6.5+0.5=7,

综上所述，t的值为5.5或7.

故选：C.

4.(2024七年级•全国・竞赛)若六位数s=12al2b能被45整除,记s的最大值为M,最小值为小，则M-

【答案】4005

【分析】本题主要考查有理数的除法运算，掌握整除的概念，有理数的除法运算是解题的关键.

能被45整除的数，个位是0或5,且各个数位上的数字之和为9的倍数，由此即可求解.

【详解】解：根据题意，0WaW9,0<b<9,且45=5x9,

:要能被45整除，

.•.个位上：b=0或b=5,

当b=0时，l+2+a+l+2+0=6+a,

：6+a是9的倍数，

...当a=3时，s的值最小，即s=m=123120；

当6=5时,l+2+a+l+2+5=ll+a,

：11+a是9的倍数，

当a=7时，s的值最大,即s=M=127125；

：.M-m=127125-123120=4005,

故答案为：4005.

5.(2024七年级•全国•竞赛)已知“。”作为一种运算符号满足如下性质：aOb=(<?+ab)\a-b\,贝眨。4

的值为.

【答案】12

【分析】本题主要考查了新定义，含乘方的有理数混合计算，正确根据新定义得到2。4=(24+2X4)+

|2-4|,据此计算求解即可.

【详解】解：由题意，

2(14=(24+2x4)4-|2-4|

=(16+8)+2

=24+2

=12,

故答案为：12.

6.(2024七年级.全国.竞赛)在一次聚会中，主持人发现了一个有趣的现象：①能找到10名年龄各不相同

的与会者；②对于任意两名与会者A和B,一定能找到另外两名与会者C和D,使得A和B的年龄之和等于C

和D的年龄之和.这次聚会的与会者至少有名.

【答案】18

【分析】本题主要考查了有理数的加法运算.熟练掌握有理数的加法有理数的大小顺序，是解决问题的关

键.

设年龄最小的4名与会者的年龄为的<a2<a3<a4,只有(23+a4=+a2>推出的=a2=a3=a4,得

到年龄最小的至少有4名，同理得到年龄最大的至少有4名.设其他8名年龄互不相同的与会者年龄从小

到大依次为瓦力2也，“・，如只有+br=a4+九，得到年龄为名的与会者至少有2名，同理得到年龄为仇的

与会者也至少有2名.推出这次聚会的与会者至少有18名.

【详解】设年龄最小的4名与会者的年龄为&<a2<a3<a4,

对于的+a2,

只目匕=a1+0,2，

••Q1-Cl2=。3"，

即年龄最小的至少有4名，

同理年龄最大的至少也有4名.

•.•至少有10个互不相同的年龄，

设其他8名年龄互不相同的与会者年龄从小到大依次为瓦4力3,…力8・

对于+瓦，

只能&3+瓦=+4，

...年龄为瓦的与会者至少有2名，

同理年龄为演的与会者也至少有2名.

这次聚会的与会者至少有，

4x2+2x2+8—2=18(名).

例如:30,30,30,30,31,31,32,33,34,35,36,37,38,38,39,39,39,39.

故答案为：18.

7.(2024七年级•全国・竞赛)如图1,将数字1,2,3,4,5,6,7,8分别填写在八边形力BCDEFGH的8

个顶点上，并且以SiS，S3,…,58分别表示(AB,C),(B,C,D),…,(H,A,B)8组相邻3个顶点上的数字之和.

A

B

，VJ

E

图1图2

（1）请给出一种填法，使得S1”2，S3,…,S8都不小于12,在图2中完成；

（2）是否存在一种填法，使得S1，S2，S3,…,S8都不小于13?证明你的结论.

【答案】（1）见解析

（2）不存在，证明见解析

【分析】本题考查了数字规律的探索，根据题意找到数字填写规律是解答本题的关键.

（1）找到规律使得a,S2，S3,…,S8都不小于12,即可；

（2）假设存在满足条件的填法，那么1和2,1和3都不能出现在同一个三数组中，从而得到1,2,3的

填法如下图所示：（旋转或调换2,3的位置不影响结果），最后得到结论不满足条件，从而得到结论.

【详解】（1）解：填法如下：（答案不唯一）

（2）不存在满足要求的填法，证明如下：

假设存在满足条件的填法，那么1和2,1和3都不能出现在同一个三数组中，从而得到1,2,3的填法如

下图所示：（旋转或调换2,3的位置不影响结果）

2和3之间只能是8,

设另外四个位置上的数分别是a,b,c,d,

则a+b212,c+d>12,a+b+c+d>24,①

又a+b+c+d=4+5+6+7=21<22,②

与②矛盾，所以不存在满足条件的填法.

8.（2024七年级•全国・竞赛）定义：a是不为1的有理数，把詈定义为a的“和差分数”，如2的和差分数为善=

-3,-2的和差分数为了沼=-；.已知的=［的的和差分数为42,的和差分数为。3,。3的和差分数为

。4，…，求。2012的值•

【答案】

【分析】本题考查了新定义运算，根据新定义，分别算出由、。2、。3、。4、的值，找到规律即可求解，

根据新定义运算找到规律是解题的关键.

［详解］解：的=3C12===3,CZ3=售=-2,a==-|,a=4个数一个周期，

z1--1—341—351—（—R1Z

而2012=503x4,

1

'a2012=^4=-

9.（2024七年级.全国・竞赛）一只蚂蚁从数轴上的某点A。，第一次向左爬1个单位到点4，第二次由点4向

右爬2个单位到点出，第三次由点4向左爬3个单位到点45,第四次由点力3向右爬4个单位到点①，…，如

此爬了2012次时，蚂蚁落在数轴上的点4012处，若点人2012所表示的数是888,求点4。所表示的数.

【答案】-118

【分析】本题考查了在数轴上表示有理数，有理数的加减混合运算，一元一次方程.熟练掌握在数轴上表

示有理数，有理数的加减混合运算，一元一次方程是解题的关键.设4。点所表示的数为X，贝以2012所表示

的数分别为：X-1+2-3+---+2010-2011+2012,由题意知：X-1+2-3+---+2010-2011+

2012=888,计算求解即可.

【详解】解：设40点所表示的数为工，则42012所表示的数分别为：X-1+2-3+-+2010-2011+2012,

由题意知：X-1+2-3+---+2010-2011+2012=888,

：.x+l+14--••+1=888,即x+1006=888,

解得，x=-118.

答：蚂蚁的初始位置4点所表示的数为-118.

10.（2024八年级•全国•竞赛）某超市用3000元购进某种干果销售，由于销售状况良好，超市又调拨9000

元资金购进该种干果，但这次的进价比第一次的进价提高了20%,购进干果数量是第一次的2倍还多300

千克，如果超市按每千克10元的价格出售，当大部分干果售出后，余下的600千克按售价的9折售完.

（1）该种干果的第一次进价是每千克多少元？

（2）超市销售这种干果共盈利多少元？

【答案】（1）该种干果的第一次进价是每千克5元；

⑵超市销售这种干果共盈利8400元

【分析】（1）设该种干果第一次的进价是每千克尤元，则第二次的进价是每千克（1+20%）久元，根据购进

干果数量是第一次的2倍还多300千克列方程，解方程并检验即可得到答案；

（2）用总收入减去总支出即可得到超市销售这种干果共盈利的钱数；

此题考查了分式方程的应用、有理数混合运算的应用，读懂题意，正确列出方程是解题的关键.

【详解】(1)解：设该种干果第一次的进价是每千克x元，则第二次的进价是每千克(1+20%)x元,

90003000

(1T2O%>=2X—+3°°

解得x=5，

经检验，x=5是方程的解且符合题意.

答：该种干果的第一次进价是每千克5元;

(2)(3000+5+9000+6—600)X10+600X10X90%一(3000+9000)=8400(元)

答：超市销售这种干果共盈利8400元.

11.(2024七年级•全国•竞赛)贝贝为了计算1X2+2X3+3X4+…+99x100的值，作了如下探究:

1x2=1(1x2x3-0x1x2),2x3=*2x3x4-1x2x3),

3x4=j(3x4x5-2x3x4),将这三个等式的两边相加，

得到1x2+2x3+3x4=|x3x4x5=20.

(1)请帮贝贝计算1X2+2X3+3X4+…+99X100的值；

⑵请直接写出s=11x12+12x13+13x14+■■■+49x50的值，s=.

(3)聪明的贝贝将算式类比到如下形式，请计算该算式的值.

1x2x3+2x3x4+3x4x54--•