2025版高考数学总复习 第二章 函数

第二章函数

2.1函数的概念及其表示

课程标准有的放矢

1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系

刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中

的作用.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域.

2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、

解析法）表示函数，理解函数图象的作用.

3.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用.

必备知识温故知新

【教材梳理】

1.函数的概念

（1）函数的概念：一般地，设a,B是非空的实数集,如果对于集合a中的

任意一个数%,按照某种确定的对应关系/,在集合B中都有唯一确定的数V和它

对应，那么就称/：aTB为从集合4到集合B的一个函数，记作y=/（%）,%E

4其中，久叫做自变量,K的取值范围a叫做函数的定义域;与光的值相对应的y

值叫做函数值,函数值的集合｛/（%）|%G小叫做函数的值域.值域是集合B的子

集.

（2）函数的三要素：定义域,对应关系,值域.

（3）两个函数相等：如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一

致，则称这两个函数相等（或称它们是同一个函数）.

2.函数的表示法

（1）函数的常用表示方法：解析法、列表法和图象法.

（2）分段函数：如果一个函数在其定义域内，对于自变量的不同取值区

间，有不同的对应关系,则称其为分段函数.

3.几个常用概念

（1）常数函数：也称常值函数，即值域是只含一个元素的集合的函数.

（2）有界函数、无界函数：值域是有界集的函数称为有界函数，否则称为

无界函数.

（3）抽象函数：没有给出具体解析式的一类函数.

（4）基本初等函数与初等函数：一般地，常数函数、基函数、指数函数、

对数函数和三角函数这五类函数叫做基本初等函数.以上五类函数以及由它们通

过有限次四则运算（加、减、乘、除）及有限次复合得到的函数叫初等函数.

（5）函数方程：未知量是函数的方程称为函数方程.使函数方程中的等号能

里画里的函数,叫做这一函数方程的解.

常用结论

教材中的几个重要函数

函数定义图象

绝对..>0,

y=1"二%<o

值函

数

“双y—ax+(ab>0)

勾”函

数

最值M(x)=max{/(%),g(%)},以/(%)=x,g(x)=4为

函数m(%)=min{/(%),g(%)},

其中M(%),m(x)分则表示/(%),g(%)中的最大

者、最小者

取整y=[%],其中[久]表示不超过％的最大整数

函数

符号(l,x>0,y

1--------

函数y=sgnx={0,汽=0,

{—l,x<0~Ox

-T

自主评价牛刀小试

1.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“，错误的画“X

(1)若4=R，B-{x\x>0],/：xy-\x\,其对应是从2到B的函数.

(X)

(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等.(X)

(3)已知/(%)=3(xGR),则/(久2)=9.(X)

(4)函数/(%)的图象与直线%=0最多有一个交点.(J)

(5)分段函数是两个或两个以上函数.(X)

2.已知函数/(%+1)=2%—l,x>1,则(D)

A./(%)—2x+l,x>1B.f(x)—2x+l,x>2C./(%)—lx—

3,x>1D./(%)—lx—3,x>2

解：令％+1=3则％=t—1.因为％>1,所以t〉2.所以/(。=2(亡一1)—

1=2t-3,即/(%)=2%-3(%>2).故选D.

3.[2021年浙江卷]已知aGR,函数/(%)=『之二?：j2,若小，•(伤))=

Xo|ICLfX乙,\/

3,则a=(D)

A.-3B.0C.1D.2

解:/(/(V6))=/(6—4)=/(2)=|2-3|+a=3,故。=2.故选D.

4.[2022年北京卷]函数/(久)=：+VT=的定义域是(—8,0)u(0,1].

解：由｛；瑟2°,解得久W1，且％H0.故函数/(%)的定义域为(一8,0)u(0,1].

故填(-8,0)U(0,1].

核心考点精准突破

考点一函数的概念

例1下列函数为同一函数的是(C)

A.f(%)=g与g(%)={]：B./(%)=«•7x+1与g(%)—

XIA-fU

+1)

C./(%)=x2—2x—1与g(t)=t2—2t—1D./(%)=1与g(x)=%0(%W0)

解：对于A,/(%)=巴=定义域是(一组0)u(0,+8),g(x)=

久lA.fX<U,

尸定义域为R,两函数的定义域不同，不是同一函数.

1—1,x<0,

对于B,/(%)-y[x-V%+1=+1),定义域是[0,+8),g(%)=

Jx(x+1),定义域为(一8,—1]U[0,+oo),两函数的定义域不同，不是同一■函

数.

对于C,/(%)=/_2%—1,定义域是R,g(t)-t2—2t—1,定义域为R,两

函数的定义域相同，对应关系也相同，是同一■函数.

对于D,/(久)=1,定义域是R,g(x)-x°-1,定义域为(—8,0)u(0,+8),

两函数的定义域不同，不是同一函数.故选C.

【点拨】根据函数的定义，直线％=a(a是常数)与函数y=/O)的图象

至多有1个交点.同一函数要求定义域和对应关系都相同.

变式1【多选题】下列各图中，可能是函数图象的是(ACD)

解：B中，当％>0时，有两个y值与之对应，不是函数.其他均符合函数的定义.

故选ACD.

考点二求函数的定义域

命题角度1已知解析式求函数定义域

例2函数/(%)=与^-log2%的定义域为(A)

A.(0,2]B.(-8,2)C.(-00,0)U(0,2]D.[2,+03)

2—%>0,

解：由题意，得久A0,解得0<久工2,所以/(%)的定义域为(0,2].故选A.

(%>0,

【点拨】求函数定义域的原则：用列表法表示的函数的定义域，是指表格

中实数久的集合；用图象法表示的函数的定义域，是指图象在%轴上的投影所对

应的实数的集合；当函数y=/(%)用解析法表示时，函数的定义域是指使解析

式有意义的实数》的集合，一般通过列不等式(组)求其解集.常见的限制条件

有：分式的分母不等于0,对数的真数大于0,偶次根式下的被开方数大于或等

于0等.

变式2

(1)函数/(%)=的定义域是(A)

A.(0,1)U(1,4]B.(0,4]C.(0,1)D.(0,1)U[4,+8)

-%2+3%+4>0,[-1<x<4,

解：由%>0,解得力>0,

.InxH0,1%H1,

即0<%W4且%丰1.所以函数/(%)的定义域是(0,1)U(1,4].故选A.

(2)已知函数/(为)=”久2一2久—a—1的定义域为R,则实数a的取值范围是

(A)

A.(—oo,—2]B.(—oo,—2)C.[—2,+oo)D.(—2,+oo)

解：由题意及二次函数性质，知4—4—4(—CL—1)W0,解得a<—2,即ae

(一8,-2].故选A.

命题角度2求抽象函数的定义域

例3若函数/(久)的定义域是[2,4],则函数/(SE)的定义域是国均_.

解：因为函数/(久)的定义域是[2,4],

所以2<VxTT<4,解得3<%<15.

所以函数/(V7TT)的定义域是[3,15].

故填[3,15].

【点拨】求抽象函数的定义域常用转移法.若y=/(%)的定义域为(a,b),则

解不等式a<gO)<b即可求出y=/(g(%))的定义域；若y=的定义域

为(a,5),则求出g(%)在(a,匕)上的值域即得/(久)的定义域.

变式3已知函数/(%)=2%+1的定义域为[—2,2],则y=/(%-1)+f(x+1)的

定义域为

解：由题意，得m3'解得T《%工1•故所求定义域为[TJ]•故填

[—1,4

考点三求函数的解析式

例4

(1)已知f(%)是一次函数，且3/(%+1)-2/(%-1)=2%+17,则/(%)=

2%+7.

解：因为/(%)是一次函数，

可设/(%)=ax+b(a。0),

所以3[a(%+1)+b]—2[d(x-1)+b]=2x+17,

即a%+(5a+b)=2x+17.

所以｛需,=17,解得｛1

所以/(%)的解析式是/(%)=2%+7.故填2工+7.

(2)已知/(«+1)=3、+«,则f(%)的解析式为f(%)=34—5%+2.k之

1.

解：令①+1=七总21,则%=(七一1)2,所以/(。=3(1—1)2+七一1=

3t2—5t+2.所以f(x)=3x2—5%+2,%>1.

故填f(%)=3x2—5x+2/>1.

(3)设函数/(%)=2/(3+L则/(10)=(B)

1

A.1B.-1C.10D.—

/(%)=2屋)+1,

解：由已知，得=2/(%)+1,联立消去/©,得

/3=2/(%)+1,

/(%)=-1.所以f(10)=-1.

故选B.

【点拨】函数解析式的求法如下.①待定系数法.已知函数的类型(如一次函

数、二次函数等)，可用待定系数法.②换元法.已知复合函数/(g(%))的解析

式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.③配凑法.由已知条件/(g(%))=

F(x),可将F(%)改写成关于g(%)的表达式，然后以％替代g(%),便得/(%)的解

析式.④消去法(即函数方程法).已知/(%)与/(；)或/(-久)之间的关系式，可根

据已知条件再构造出另外一个等式，两等式组最方程组，通过解方程组求出

/(%).

变式4

(1)已知一次函数/(%)满足/(/(%))=4%-1,则f(尤)=2%-=或-2%+1.

7c2=4,

解：设/(久)=kx+b(/cA0),则/(/(%))=炉％+比+b.所以所

kb+b=—1,

k=2

(b__工或｛人Z]2做/(%)=2x—1或/(%)=—2%+1.故填2%—1或—2%+1.

(2)已知/(%—=/+*，则/*(%)=/+2.

2

解：/(%_1=%2+妥=(%—：)+2,所以/(%)=%2+2.故填%2+2.

(3)已知f(%)+2/(—%)=3%+1,则/(%)=(A)

11

A.-3xH—B.-3xC.-3%+1D.-xH—

33

解：因为/(%)+2/(-%)=3%+1①，

所以/(—%)+2/(%)=-3%+1②，

联立①②，解得/(%)=-3%+点故选A.

(4)若函数/(%)满足/(%-y)-/(%)+/(y)-2xy,则/(%)的解析式为

f(%)=K2.

解：由题意，令％=y=0,得/(0)=0.令)7=%,得/(%—K)=/(%)+/(无)一

2x2—0,则/(%)=/.故填/(%)=X2.

考点四分段函数

例5

(1)已知函数/(%)=［富：：:1,若/(。)=2,则a=4.

解：依题意，当》<1时，函数/(%)=2》单调递增，/(%)<2；当为21时，

/(%)=log2%单调递增，/(%)之。.因此由/(a)=2,得log2a=2,解得a=4.

故填4.

n(x)X<L

it'则当g(%)=e^T时，使得/(%)<2成立的％的

(X3,x>1,

取值范围是(一8,8］：当9(%)=1时，使得/(%+1)>/(2%)成立的久的取值范围

是91).

解：若g(%)=e*T,则当％<1时，ex-1<2,解得％Wl+ln2,所以％<1.

1

当久21时，<2,解得%£8,所以1£%W8.

综上，支的取值范围是(一8,8］.

若g(£)=1,则％+1与2%均小于等于1不可能.当％+1>1且2%>1时，由

111

/(%+1)>/(2x),得(％+1)3>(2%)3,%+1>2%=>-4％<1;当％+121且

1-1

2%<1时，由+1)>/(2x),得(％+1)3>1=>%>0=>0<%<3.综上，

0<%<1.

故填(—8,8］;(0,1).

(3)已知函数/(久)=］>。'的值域为［1,+8),则a的最小值为

(A)'一

A.1B.2C.3D.4

解：当％>0时，/(%)=%2-2%+2=(%—1)2+1,值域为［1,+8)；当%£0

时，/(%)——X+a,值域为［a,+8).因为函数/(%)的值域为［1,+8),所以a2

1,贝Ua的最小值为1.故选A.

【点拨】①此类分段函数与方程交汇问题，关键点是抓住“分段问题、分

段解决”的核心思想，结合函数单调性及参数的特点分区间讨论，最后将结果

合并起来.②解决分段函数的单调性问题,要注意“通观全局”，即对于分段函数

在R上单调，需满足每一段具有相同的单调性，还需要分段点两侧的值也符合该

单调性.③已知分段函数的值域或最值求参数范围，可先求函数在各区间段的值

域或最值，再结合已知条件建立不等式(组)求解.必要时可先分析函数性质，

再画图实现数形结合.

变式5

⑴已知函数/⑺羡I：。若/(2-。2)>/(*则实数。的取值范

围是(C)

A.(—oo,—l)U(2,4-00)B.(-1,2)

C.(-2,1)D.(—00,—2)U(1,4-00)

解：因为y=/+2%在［0,+8)上单调递增，y=—/+2%在(-8,0)上单调递

增，且/(%)在久=0处连续，所以函数/(%)在R上单调递增.

所以/(2—a2)>/(a)等价于2—a?>°,解得—2<a<1.所以实数a的取值范

围是(—2,1).故选C.

(2)已知/(%)=*1—2；)“+:［久<1，的值域为7?,那么实数a的取值范围是

Iin%,x

(C)

A.(-8,—1］B.(-l,|)C.［-1,j)D.(0,》

解：当％21时，In%Z0.栗使函数/(%)的值域为R,如图所示，需使

£1+3a解得一1-a<?即实数。的取值范围是［一1，)故选C.

(3)函数y=|尤+1|+1%-2|的值域为［3,+8).

—2%+1,x工一1,

解：函数y=3,—1<%V2,作出函数的图象如图所示.

2x—1,%>2,

根据图象，知函数y=|x+l|+|x—2|的值域为[3,+8).故填[3,+8).

课时作业知能提升

【巩固强化】

1.下列图形中可以表示以M={%|0<%<1}为定义域，N={y|0<y<1}为值

解：A中的值域不满足题意，B中的定义域不满足题意，D项不是函数的图象，

由函数的定义可知C正确.故选C.

2.函数/(%)=/言+(%-1)。的定义域为(C)

A.(|,+8)B.[|,1)U(1,+8)C.(|,1)U(1,+8)D.向+8)

解：要使函数/(%)有意义，则仔，言“解得%>1，且%A1.所以函数/(%)的

定义域为G，l)U(1,+8).故选c.

3.下列各点函数中表示同一函数的是(B)

A./(%)=elnx,g(t)=tB./(%)=ln(ex),g(t)=t

C./(%)=%+!，g(%)=%+：D./(%)=%+4，。(%)=苦手

Dax—q

解：A中，/(%)的定义域是{%阿>0},g(%)的定义域是R,不是同一函数.

B中，两个函数的定义域都是R,且/(%)=%,是同一函数.

C中，/(%)的定义域是{K|%W0},g(%)的定义域是R,不是同一函数.

D中，/(%)的定义域是R,g(%)的定义域是{%|%H4},不是同一函数.

故选B.

+

4.【多选题】已知函数/(%)=P22；—?则下列结论正确的是(BD)

A./(%)的定义域为RB./(%)的值域为(-8,4)

C./(/(-I))=3D.若/(久)=3,则%=百

解：对于A,易知/(%)的定义域为(一8,-1]u(―1,2)=(―8,2),A错误.

对于B,当久工一1时，%+2<1；当一1<%<2时，0W/v4.所以/(%)的值

域为(-8,1]u[0,4)=(―8,4),B正确.

对于C,/(/(-I))=/(I)=1,C错误.

对于D,当无£—1时，由/(%)=3,得X+2=3,解得％=1(舍去)；当一1<

%<2时，由/(%)=3,得％2=3,解得％=g或%=—g(舍去).综上，x-

V3,D正确.故选BD.

5.【多选题】已知函数/(%)的定义域和值域均为［-3,3］,则(ABC)

A.函数/(%-2)的定义域为［-1,5］B.函数答的定义域为［-1,1)

C.函数/(%-2)的值域为［—3,3］D,函数;(2%)的值域为［—6,6］

解：函数/(%—2)中，一3£%—2£3,解得一1W%W5,故函数/(久一2)的定

义域为［—1,5］,A正确.

函数3中，厂解得一1《％<］,故函数侬的定义域为［一1,1),B

x-11%—1WU,x-lL/

正确.

函数/(%-2)和/(2%)的值域都为［—3,3］,C正确，D错误.故选ABC.

6.已知/⑺=£")［20,则啕+«)=(B)

A.-2B.4C.2D.-4

解：因为/©=”(一3=/(一9=/(1)=£所以/(9+/(—匀=4.故

选B.

7.已知函数/(%)=j2,若/(a)=I，则实数a=-1.

解：当a>2时，/(a)=log2a=%所以<2=鱼(舍去).当aW2时，/(a)=

2。=%所以a=—1,符合题意.故填一1.

8.求函数/(%)的解析式：

(1)/(%)是二次函数,且满足/(0)=I/O+1)-/(%)=2%;

解：设所求的二次函数为/(%)=ax2+bx+c(a丰0).

因为f(0)=c-1,所以/(%)=ax2+bx+1.

又/(X+1)-/(%)=2x,

所以a(x+l)2+b(x+1)+1—(ax2+bx+1)=2x,

即2a%+a+b=2x.

由恒等式性质，得匕2I/，所以胃=1，

所以f(%)=x2-x+1.

(2)/(%)满足2/(%)+/G)=3X.

［答案］

因为2/(%)+/。=3x①，

所以2/(£)+/(%)=：②.

①x2—②，得3/(%)=6久_：

故/(%)=2%—：(%大0).

【综合运用『2

9.若/(I-2%)=--(%H0),则/0=(A)

A.8B.3C.1D.30

解：(方法一)令1—2%=3得%=—(tHl),则/(t)

2

则窿)=1371=8.

7T

V

(方法二)令1-2%="导x=]，故/©=H=8.

\3/

故选A.

x

G),X<1,

10.若函数/(%)=的值域为(a,+8),则a的取值范围为(B)

a+G)Z>1

1

A七，+8)B•k

解：当％<1时，/(%)=3屋6+8).

当％>1时,/(%)=a+(J£(a,a+j.

因为函数f(%)的值域为(a,+8),

,1.1

a+二之一，-1-1

所以；即aC[[卓.故选B.

11.已知函数/(%)=黄”不仇则关于％的不等式/⑺>团的解集为

3%+6,x<0,

T1..

解：由题意，可得22242%或{斤+°62T,解得。。，或-评"6

故不等式的解集为［―|,1］.故填［―|,1］.

12.已知函数/(%)——X+1,g(%)=(%—1)2,xER.

(1)在同一直内坐标系中，分别画出函数/(久)，g(x)的图象;

解：函数/(%)和g(%)的图象如图1所示.

(2)X/xeR,用m(X)表示/(%),g(£)中的最小者，记为7no)=

min{/(x),g(%)},请分别用血象法和解析法表示函数机(工).

［答案］

；二(71；；整理得/r=°，解得久=。或久=1

联立

结合图1,得当第V0时，7H(%)=min{/(%),g(%)}=—%+1.

当0<x<1时，m(x)=min{f(%)应(%)}=(%—I)2.

当%>1时,m(x)=min[/(%),g(%)}=—x+1.

—X+1,%V0,

所以函数m(x)的解析式为?■n(x)=(%—1)2,0<X<1,

—X+1,%>1.

函数小(%)的图象如图2所示.

【拓广探索】

13.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称

号.设％eR,用因表示不超过％的最大整数，则)/=因称为高斯函数.例如：

[一5.1]=-6,[n]=3.已知函数/(%)=£、,则函数y=[/(%)]的值域为(B)

A.{-1}B.[-1,0}“C.{1}D.[0,1}

解：因为％eR,/(-%)=-/(%),

所以/(%)是R上的奇函数.

当”>。时，o</(x)=^<£=|)

所以当％GR时，/(%)G

从而y=[/(%)]的值域为{-1,0}.故选B.

专题突破2函数的值域

核心考点精准突破

例1求下列函数的值域：

/、、3%+1

⑴y=­

解：、=会=里土芋=3+工.因为工。0,所以33.所以函数的值

Jx-2x-2x-2x-2x-2

域为{yeR\y。3}.

(2)y=2x+V1—%；

［答案］

令t=V1-x(t>0),贝!J%=1—t2.

2

所以y=2(1—y)+t=-2t2+t+2=—2——+?.因为t>0,所以y<J

OO

故函数的值域为(一8,^］.

/C、2X2-X+2

(3)"哀百

［答案］因为％2+%+1>0恒成立，所以函数的定义域为R.由y=笠詈，得

(y—2)x2+(y+l)x+y-2=0.当y—2=0,即y=2时，上式化为3%+0=

0,所以久=0CR.当y-2H0,即yH2时，因为当％eR时，方程(y-2)/+

(y+1)%+y-2=0恒有实根，所以A=(y+1)2-4x(y-2)2之0,所以1W

y<5且y丰2.故函数的值域为［1,5］.

/彳、1-sinx

(4)y-------------.

2-cosx

［答案］

(方法一)由)/=得y(2—cos%)=1—sin%,即sin%—ycosx=1—2y.

由辅助角公式，得Jl+y2sin(%-<p)=1-2y,所以sin(x-(p)-(其中

V1+y

tamp=y),则|暴卜L解得。<7<:故函数的值域为%］.

(方法二)y=-_n表示单位圆上的点p(cos%,sin%)与点M(2,l)连线的斜率的

2—cosx

范围.

如图，设过点M的直线方程为y—1=々(％—2),即丫=Zx—2/c+1,则圆心

0(0,0)到直线的距离d=等或WL解得0Wk故函数的值域为［0,f］.

V1+KZ33

【点拨】求函数值域常用方法：①分离常数法；②反解法；③配方法；④

不等式法；⑤单调性法；⑥换元法；⑦数形结合法；⑧导数法.

变式1求下列函数的值域：

(1)y—yj—x2—6%—5；

解：令t=—x2—6x—5,贝Ut>0,即一5<%<—1.而t=—x2—6x—5—

-(x+3)2+4,所以0<t<4.故y=V-%2-6x-5=VtG［0,2］,故函数的值

域为［0,2］.

(2)y—2x+V1—%2；

［答案］

令％=cost(0<t<ii),所以y=2cost+sint=V5sin(t+<p)(其中cos?=

*丽二为

因为0<t<TT，所以3<t+(p<Tl+(p.

所以sin(n+(p~)<sin(t+<p)<1.

故函数的值域为［-2,遮］.

(3)y—|x—1|+|x+4|；

-2%—3,%V—4,

［答案］y=|%—1I+|%+4|=5,-4<%<1,当久<—4时，y>5；当％>1

2x+3,x>1.

时，y>5；当一4<久41时,y=5.薪函数的值域为［5,+8).

/彳、2、

(4)y--2-%----%-+-1,%>-.

/2X-1\2/

［答案］

1

2X2-X+1_x(2x-l)+l

y=------="+七=”—/金+鸿为”＞；,所以“一"0.

72%-12x-l

111

故久一工(%--)-—V2,当且仅当X一乙=，T，即久=匕史时,

2x--\2/x--2x--2

2、22

等号成立.

故y=2：;广+:即函数的值域为［/+a+8).

课时作业知能提升

1.当XE［0,2)U(2,+8)时，函数y=£的值域为(C)

A.(—8,0)B.［1,+oo)C.(—8,0)U［1,+oo)D.［0,2)

解：令2—%=3则/(t)=：.因为％C[0,2)U(2,+8),所以tC(―8,0)U(0,2].

当tG(—8,0)时，/(t)<0.当tC(0,2]时,函数/(t)单调递减，则f(t)>/(2)=

1.所以原函数的值域为(—8,0)U[1,+8).故选C.

2.min{a,b}表示a,b中的最小者,设f(%)=min{x+3,9-则/(%)的最大值

为(C)

A.4B.5C.6D.7

解：令％+3>9—%,解得%>3；令％+3W9—%，解得无W3.

所以"%)={=片晨:

故当久£3时，/(%)单调递增；当％>3时，/(久)单调递减.则/(%)的最大值为

/(3)=6.故选C.

3.下列各函数中，值域为(0,+8)的是(C)

2X

A.y=log2(%+2%—3)B.y=V1—2

C.y-2-2%+1D.y=3x+1

222

解：x+2x—3-(x+l)—4>—4,所以y=log2(%+2x—3)的值域是R,

不满足题意.

因为0£1-2X<1,所以y=—2久的值域为[0,1),不满足题意.

y=2-2X+I>0,即函数的值域为(0,+8),满足题意.

1

y—3x+iE(0,1)U(1,+oo),不满足题意.

故选C.

4.已知函数/(%)=2七则函数/(/(%))的值域是(B)

A.(0,+oo)B.(1,+oo)C.[1,4-00)D.R

解：函数f(%)=2*的值域为(0,+8).

令t=2久，贝亚>0,所以/(/(%))=/(。=2[〉2。=1.故所求函数的值域为

(1,+8).故选B.

5.【多选题】下列函数中，最小值为2的函数是(BD)

A1°X2+2

A.y=x——B.y=——

JXJV%2+1

C.y=2*+2D.y=%2—2%+3

解：对于A,当％=1时，y=0,所以2不是y=%—：的最小值.或由y=%—：

在(-8,0),(0,+8)上单调递增，得其值域为R.故A错误.

对于B,y=M三的定义域为令，％2+1=♦(「之1),则％2=t2—1,所以

y=^=t+^t>l\

又「+工22口=2,当且仅当t=l时取等号，故)/=弃乙的最小值为2,故

2

t7tJVx+i

B正确.

对于C,因为2乂>0,所以乃+2>2,所以y=2*+2无最小值，故C错误.

对于D,因为y=/—2%+3图象的对称轴为％=1,所以在(一8,1)上单调递

减,在(1,+8)上单调递增，所以当久=1时，ymin=2,故D正确.故选BD.

6.函数y=与上三的最小值为4—2

/x2+2x+4

4%2-4x4-4_4(%2+2%+4)-12(%+1)

解：(方法一)当久大-1时，y==4—

X2+2X+4X2+2X+4

12>4——,12=4-2V3,当且仅当％+1=旦>0,即％=旧一1

(x+l)+系2，+1)言A】

时，等号成立.当％=—1时，y=4.故所求最小值为4—2遮.

(方法二)因为％2+2%+4>0恒成立，所以函数定义域为R.由y=竽竺把，

得(y—4)x2+(2y+4)x+4y—4=0.当y=4时，％=—1.当yW4时，由4=

(2y+4)2—4(y-4)(4y—4)之0,得4—2V3<y<4+2V3>且y。4.故所求

最小值为4一2次.故填4一2V3.

2.2函数的基本性质

第1课时函数的单调性与最大(小)值

课程标准有的放矢

借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解

它们的作用和实际意义.

必备知识温故知新

【教材梳理】

L函数的单调性

(1)增函数与减函数.

名增函数减函数

称

定一般地，设函数/(%)的定义域为。，区间/CD:如果V/,x2EI,

义当久1<&时，都有f(久。<f(久2)，当久1<&时，都有f(久。>f(久2)，

那么就称函数/(%)在区间/上单调递那么就称函数/(%)在区间/上单调递

增.特别地，当函数/(%)在它的定义域减.特别地，当函数/(%)在它的定义域

上单调递增时，我们就称它是增函数上单调递减时，我们就称它是减函数

自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的

(2)函数的单调性与单调区间:如果函数y=/(%)在区间/上单调递增或单

调递减，那么就说函数y=/(%)在这一区间具有(严格的)单调性，区间/叫做

y=外幻的单调区间.

2.函数的最大(小)值

名称最大值最小值

条件一般地，设函数y=/(%)的定义域为。，如果存在实数M满足：X/xeD,

都有

/(%)<M/(%)>M

Bx0ED,使得f(&)=M

结论称M是函数y=的最大值称M是函数y=f(%)的最小值

几何y=/(久)图象上最高点的纵坐标y=/(%)图象上最低点的纵坐标

意义

常用结论

判断函数单调性的主要方法(结论)

(1)定义法.

设%i，%2e(a,5),且为i丰&，记-XI~%2，Ay=一/(女)，那么

e>0(△K•Ay>0)Q/(%)在(a,b)上单调递增；名<()(△%・Ay<0)Q/(%)在

乞b)上单调递减.其几何意义：单调递增(减)函鬟图象上任意两点

(久1，/(%1)),(%2，/(久2))连线的斜率恒大于(或小于)零.

(2)性质法.

①当常数c>0时，y=c,/(%)与y=/(%)的单调性相同；当常数c<0时，

y=c•/(%)与y=/(%)而单调性相反，特别地，函数y=-/(%)与y=/(%)的单

调性相反.

②当y=/(%)恒为正或恒为负时，y=总与y=/(%)的单调性相反.

③若c为常数，则函数y=/(%)与函数y:/(%)+c的单调性相同.

④一/'(%)与g(与都是增(减)函数,则f(%)+g(%)仍是增(减)函数.

⑤若/(%)>0且g(x)>0,/(%)与g(%)酎是增(减)函数，则也

是增(减)函数；若/(%)<0且g(%)<0,/(%)与g(%)都是增(减)函数，则

/(%)-。(%)是减(增)函数.

⑥奇(偶)函数在其对称区间上的单调性相同(相反).

(3)同增异减法.

对于复合函数/(g(%)),如果y=/Q)和a=g(O的单调性相同，那么y=

/(g(%))是增函数；加果y=/Q)和虱=g(%)的单调性相反，那么y=/(g(%))

是减函数.在应用这一结论时，必须注意：函数虱=g(%)的值域必须是y=/Q)

的单调区间的子集.

(4)导数法.

(5)图象法.

自主评价牛刀小试

1.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“，错误的画“x”.

(1)若定义在R上的函数/(%),有/(一1)</(3),则函数/(%)在R上单调递增.

(x)

(2)函数y=:的单调递减区间是(一8,0)U(0,+8).(X)

(3)所有的单脑函数都有最值.(X)

(4)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都单调递增，则这个函数在

定义域上单调递增.(X)

(5)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取得.(V)

2.[2021年全国甲卷]下列函数中是增函数的为(D)

A./(%)——XB./(%)=仔)C./(%)—x2D./(%)=\[x

解：由一次函数性质，可知/(%)=-%在R上单调递减，不符合题意.

由指数函数性质，可知/(%)=仁)”在R上单调递减，不符合题意.

由二次函数的性质，可知/(%)=久2在R上不单调，不符合题意.

根据露函数性质，可知/(%)=正在R上单调递增，符合题意.

故选D.

3.若函数y=/(%)在R上单调递增，且/(2m-3)>/(-m),则实数m的取值范

围是(C)

A.(—oo,—l)B.(—1,4-00)C.(1,4-00)D.(-8,1)

解：因为/(%)在R上单调递增，/(2m—3)>/(—m),所以2m—3>—m.解得

m>1.所以实数TH的取值范围为(1,+8).故选C.

4.已知％G[1,8],则函数/(%)=%：的最大值与最小值的和为也.

解：由对勾函数的性质，知/(%)=%+:在[1,3]上单调递减，在(3,8]上单调递

增，所以/(%)min=/(3)=6.又因为/(I)=10,/(8)=8+-<10,所以

8

/(%)max=I。.所以/(%)max+/(%)min=10+6=16.故填16.

核心考点精准突破

考点一确定函数的单调性与单调区间

例1

(1)已知函数/(%)=log。(一%2-2%+3)(a>0且a彳1),若/(0)<0,则此

函数的单调递增区间是(C)

A.(-03,-1]B.[—1,+8)C.[-1,1)D.(-3,-1]

解：令g(x)=———2%+3,由题意知g(%)>0,可得—故函数

/(%)的定义域为{K|一3<久<1}.根据/(0)=loga3<0,可得0<a<l,则即

求函数g(x)在(一3,1)内的单调递减区间.又。(久)在定义域(—3,1)内的单调递减区

间是[一1,1),所以/(%)的单调递增区间为[一1,1).故选C.

(2)函数/(%)=72x2一％一3的单调递增区间为(C)

1r/1

A.(—8,—]B.(—8,—1]C.,+8)D.[―,+8)

解：由题意，得2/—%—320,即(2%—3)(%+1)20,解得％W—1或％2*

根据二次函数及复合函数的性质，可知/(%)=”2久2—%-3的单调递增区间为

[|,+8).故选C.

(3)求函数f(的=|/—4%+3]的单调区间.

解：先作出函数y=/一4%+3的图象，由于绝对值的作用，把图象在％轴下方

的部分翻折到上方，可得函数y=1/-4%+3]的图象，如图所示.由图可知

/(%)在(—8,1]和[2,3]上单调递减，在[1,2]和[3,+8)上单调递增，故/(%)的单

调递增区间为[1,2],[3,+8),单调递减区间为(—8,1],[2,3].

【点拨】①求函数的单调区间，应先求定义域.②函数单调性的判断方法及相关

结论见本节常用结论.

变式1

(1)[2023年北京卷]下列函数中，在区间(0,+8)上单调递增的是(C)

A./(%)=—In%B./(%)=/C./(%)=~~D./(%)=3比一”

解：在(0,+8)上，显然A,B单调递减，C单调递增.”

对于D,因为/Q)=3。臼=噎=瓜/⑴=311Tl=3。=1/(2)=312Tl=

3,显然/(%)=31久一”在(0,+8)上不单调，D错误.故选C.

(2)求函数/(%)=—X2+2\x\+3的单调区间.

解：/(%)=尸?其图象如图所示，所以函数y=/(%)的单调

I-xz—2x+3,x<0,

递增区间为(一8,-1］和［0,1］,单调递减区间为［—1,0］和［1,+8).

例2设函数/(%)=7x2+1-2%,证明：函数/(%)在区间[0,+8)上单调递减.

e00

证明：设％1，X2[0>+)，且为1<%2，

则/(%1)-/(%2)=VX1+1-yJx2+1-2%1+2%2

-2(%!—%2)

-01-%2)Xi+%2

因为0<%!<%2，所以

所以(无1一%2)

所以f(%l)—/(%2)>O即/(%1)>/(%2).

所以函数/(%)在区间［0,+8)上单调递减.

【点拨】证明函数在某区间上的单调性有两种方法.①定义法.基本步骤为取

值、作差或作商、变形、判断.②导数法.函数单调性定义的等价形式见本节常用

结论.

变式2【多选题】下列函数中，满足“V%I，%2C(2,+8),且为1彳％2都有

fg匕f(生)<0"的是(AB)

X-L-X2

A./(%)=-B./(%)=-3%+1

C./(%)=%2+4%+3D./(%)=x+-

解：由题意，知/(%)在(2,+8)上单调递减,八国显然满/C在(-2,+8)上单调

递增，不满足，D在(1,+8)上单调递增，不满足.故选AB.

考点二函数单调性的应用

命题角度1比较函数值的大小

例3已知函数/(久)的定义域为R,其图象关于直线X=2对称，且对任意打，%2G

(2,+oo),都有［/(右)―/(%2)］(%1—％2)<0，设a=/(—1),b=c-

/(