2024-2025学年新教材高中数学第11章立体几何初步11.2平面的基本事实与推论教案新人教B版必修第四册

PAGE1-11.2平面的基本领实与推论学习目标核心素养1.驾驭平面的画法及表示方法．(一般)2．驾驭平面的基本领实及推论．(重点)3．能用图形、文字、符号三种语言描述平面的基本领实，并能解决空间线面的位置关系问题．(难点)1.通过平面画法的学习，培育直观想象的数学核心素养．2．借助平面基本领实及推论，培育逻辑推理的数学核心素养.通过前面的学习，我们直观相识了点、线、面之间的位置关系，空间中的点、线、面都是我们抽象出来的一些数学概念，如从安静的水面中可抽象出平面的概念．现在我们将在直观相识的基础上来论证空间点、线、面之间的关系，以进一步培育同学们的空间想象实力和逻辑推理实力．思索：空间中的3个点需具备怎样的条件才能确定一个平面？1．平面的基本领实公理内容图形符号作用基本领实1经过不在一条直线上的3个点，有且只有一个平面A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α①确定平面的依据；②判定点、线共面基本领实2假如一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内A∈α，B∈α⇒直线AB⊂α①判定直线是否在平面内；②推断一个面是否是平面基本领实3假如两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P∈α，P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l①判定两个平面相交的依据；②判定点在直线上；③证明三点共线或三线共点2.平面基本领实的推论推论1经过一条直线与直线外一点，有且只有一个平面(图①)．推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面(图②)．推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面(图③)．1．思索辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)三点可以确定一个平面． ()(2)一条直线和一个点可以确定一个平面． ()(3)四边形是平面图形． ()(4)两条相交直线可以确定一个平面． ()[提示](1)错误．不共线的三点可以确定一个平面．(2)错误．一条直线和直线外一个点可以确定一个平面．(3)错误．四边形不肯定是平面图形．(4)正确．两条相交直线可以确定一个平面．[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．如图所示的平行四边形MNPQ表示的平面不能记为()A．平面MN B．平面NQC．平面α D．平面MNPQA[MN是平行四边形MNPQ的一条边，不是对角线，所以不能记作平面MN.]3．能确定一个平面的条件是()A．空间三个点 B．一个点和一条直线C．多数个点 D．两条相交直线D[不在同一条直线上的三个点可确定一个平面，A，B，C条件不能保证有不在同一条直线上的三个点，故不正确．]4．如图，填入相应的符号：A________平面ABC，A________平面BCD，BD______平面ABC，平面ABC∩平面ACD＝________.[答案]∈∉⊄AC线共点问题【例1】如图，已知平面α，β，且α∩β＝l.在梯形ABCD中，AD∥BC，且AB⊂α，CD⊂β.求证：AB，CD，l共点(相交于一点)．[证明]因为在梯形ABCD中，AD∥BC，所以AB，CD是梯形ABCD的两腰．所以AB，CD必定相交于一点．设AB∩CD＝M.因为AB⊂α，CD⊂β，所以M∈α，M∈β.所以M∈α∩β.又因为α∩β＝l，所以M∈l.即AB，CD，l共点(相交于一点)．证明线共点问题的方法(1)方法1：可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上．(2)方法2：先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点．eq\o([跟进训练])1．如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2，求证：(1)E，F，H，G四点共面．(2)EG与HF的交点在直线AC上．[证明](1)因为BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2，所以GH∥BD．因为E，F分别为AB，AD的中点，所以EF∥BD，所以EF∥GH.所以E，F，H，G四点共面．(2)因为G，H不是BC，CD的中点，所以EF∥GH，且EF≠GH，所以EG与FH必相交，设交点为M，因为EG⊂平面ABC，HF⊂平面ACD，所以M∈平面ABC，且M∈平面ACD，因为平面ABC∩平面ACD＝AC，所以M∈AC，所以EG与HF的交点在直线AC上．点、线共面问题【例2】已知四条直线两两相交，且不共点，求证：这四条直线在同一平面内．[思路探究]四条直线两两相交且不共点，可能有两种状况：一是有三条直线共点；二是随意三条直线都不共点，故要分两种状况．[解]已知：a，b，c，d四条直线两两相交，且不共点，求证：a，b，c，d四线共面．证明：(1)若a，b，c三线共点于O，如图所示，∵O∉d，∴经过d与点O有且只有一个平面α.∵A，B，C分别是d与a，b，c的交点，∴A，B，C三点在平面α内．由基本领实1知a，b，c都在平面α内，故a，b，c，d共面．(2)若a，b，c，d无三线共点，如图所示，∵a∩b＝A，∴经过a，b有且仅有一个平面α，∴B，C∈α.由基本领实1知c⊂α.同理，d⊂α，从而有a，b，c，d共面．综上所述，四条直线两两相交，且不共点，这四条直线在同一平面内．证明点、线共面问题的常用方法(1)先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用纳入法．(2)先由其中一部分点、线确定一个平面α，其余点、线确定另一个平面β，再证平面α与β重合，即用同一法．(3)假设不共面，结合题设推出冲突，用反证法．eq\o([跟进训练])2．一条直线与三条平行直线都相交，求证：这四条直线共面．[解]已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C．求证：直线a，b，c，l共面．证明：法一：∵a∥b，∴a，b确定一个平面α，∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈α，B∈α，故l⊂α.又∵a∥c，∴a，c确定一个平面β.同理可证l⊂β，∴α∩β＝a且α∩β＝l.∵过两条相交直线a，l有且只有一个平面，故α与β重合，即直线a，b，c，l共面．法二：由法一得a，b，l共面α，也就是说b在a，l确定的平面α内．同理可证c在a，l确定的平面α内．∵过a和l只能确定一个平面，∴a，b，c，l共面．点共线问题[探究问题]1．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，设A1C∩平面ABC1D1＝E.能否推断点E在平面A1BCD[提示]如图，连接BD1，∵A1C∩平面ABC1D1＝E∴E∈A1C，E∈平面ABC1D1∵A1C⊂平面A1BCD1∴E∈平面A1BCD1.2．上述问题中，你能证明B，E，D1三点共线吗？[提示]由于平面A1BCD1与平面ABC1D1交于直线BD1，又E∈BD1，依据基本领实3可知B，E，D1三点共线．【例3】如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点M，N，E，F分别是棱CD，AB，DD1，AA1上的点，若MN与EF交于点Q，求证：D，A，Q[证明]因为MN∩EF＝Q，所以Q∈直线MN，Q∈直线EF，又因为M∈直线CD，N∈直线AB，CD⊂平面ABCD，AB⊂平面ABCD．所以M，N∈平面ABCD，所以MN⊂平面ABCD．所以Q∈平面ABCD．同理，可得EF⊂平面ADD1A1.所以Q∈平面ADD1A又因为平面ABCD∩平面ADD1A1＝AD所以Q∈直线AD，即D，A，Q三点共线．点共线的证明方法(1)方法1：证明多点共线通常利用基本领实3，即两相交平面交线的唯一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上．(2)方法2：选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在此直线上．eq\o([跟进训练])3．如图所示，四边形ABCD中，已知AB∥CD，AB，BC，DC，AD(或延长线)分别与平面α相交于E，F，G，H，求证：E，F，G，H必在同始终线上．[证明]因为AB∥CD，所以AB，CD确定平面AC，因为AB∩α＝E，所以E∈平面AC，E∈α，由基本领实3可知，E必在平面AC与平面α的交线上．同理F，G，H都在平面AC与平面α的交线上，因此E，F，G，H必在同始终线上．确定两平面的交线(截面)问题【例4】如图，在四面体ABCD中作截面PQR，若RP，DC的延长线交于点M，试画出平面PQR与平面BCD的交线．[解]∵M∈CD，M∈RP，直线PR⊂平面PQR，直线CD⊂平面BCD，∴M是平面PQR与平面BCD的一个公共点，即点M在平面PQR与平面BCD的交线l上．同理，设RQ，DB的延长线交于点N，则点N也在l上．连接MN，则直线MN即为平面PQR与平面BCD的交线l.如图所示．确定两平面交线的方法画两个平面的交线只需两个公共点即可确定，作图时应充分利用几何体本身供应的线面、面面平行等条件，可以更快地确定交线的位置．另外，画几何体的截面，关键是画截面与几何体各面的交线，转化为画两个平面的交线问题．eq\o([跟进训练])4．已知正方体ABCD­A1B1C1D1的体积为1，点M在线段BC上(点M异于B，C两点)，点N为线段CC1的中点．若平面AMN截正方体ABCD­A1B1C1D1所得的截面为四边形，则线段A．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3))) B．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))C．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，1)) D．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))B[当点M为线段BC的中点时，由题意可得截面为四边形AMND1.当0＜BM≤eq\f(1,2)时，截面为四边形，当BM＞eq\f(1,2)时，截面为五边形．所以要想平面AMN截正方体ABCD­A1B1C1D1所得的截面为四边形，则线段BM长度的取值范围为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).故选B．]学问：三个基本领实的作用基本领实1及平面基本领实的推论——确定平面及判定点共面、线共面的依据．基本领实2——判定直线在平面内的依据．基本领实3——判定点共线、线共点的依据．方法：了解三线共点、三点共线、点线共面的证明方法，详见例题后的规律方法，此处不再赘述．1．在下列各种面中，不能被认为是平面的一部分的是()A．黑板面 B．乒乓球桌面C．篮球的表面 D．安静的水面C[篮球的表面是曲面，不能认为是平面的一部分．]2．空间中四点可确定的平面个数有()A．1个 B．3个C．4个 D．1个或4个或多数个D[当四个点共线时，确定多数个平面；当四个点不共线时，若四点共面，可确定1个平面，若四点不共面，可确定4个平面，∴空间中四点可确定的平面有1个或4个或多数个．]3．设平面α与平面β交于直线l，A∈α，B∈α，且直线AB∩l＝C，则直线AB