2024-2025学年高中数学第一章集合课时作业4全集与补集含解析北师大版必修1

PAGEPAGE4课时作业4全集与补集时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题1．记全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{1,2,3,5}，B＝{2,4,6}，则图中阴影部分所表示的集合是(C)A．{4,6,7,8} B．{2}C．{7,8} D．{1,2,3,4,5,6}解析：由Venn图，可知图中阴影部分可表示为∁U(A∪B)．因为A∪B＝{1,2,3,4,5,6}，所以∁U(A∪B)＝{7,8}．故选C.2．若P＝{x|x<1}，Q＝{x|x>1}，则(D)A．P⊆Q B．Q⊆PC．∁RP⊆Q D．Q⊆∁RP解析：依题意，知∁RP＝{x|x≥1}，依据集合间的包含关系，可得Q⊆∁RP.故选D.3．已知全集U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，则(∁UA)∪B为(C)A．{1,2,4} B．{2,3,4}C．{0,2,4} D．{0,2,3,4}解析：本小题考查了集合的补集与并集运算．∁UA＝{0,4}，(∁UA)∪B＝{0,2,4}．4．若全集U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{2,3}，N＝{1,4}，则集合{5,6}等于(D)A．M∪N B．M∩NC．(∁UM)∪(∁UN) D．(∁UM)∩(∁UN)解析：本题主要考查集合的运算．(∁UM)∩(∁UN)＝{1,4,5,6}∩{2,3,5,6}＝{5,6}．5．设全集是实数集R，M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{x|x<1}，则(∁RM)∩N等于(A)A．{x|x<－2} B．{x|－2<x<1}C．{x|x<1} D．{x|－2≤x<1}解析：∵M＝{x|－2≤x≤2}，∴∁RM＝{x|x>2，或x<－2}，∴(∁RM)∩N＝{x|x<－2}．故选A.6．如图阴影部分可表示为(D)A．(A∪B)∩∁U(A∩B)B．∁U(A∪B)C．∁U(A∩∁UB)D．[∁U(A∪B)]∪(A∩B)解析：结合Venn图及集合的运算可得正确选项．7．设集合A，B都是全集U＝{1,2,3,4}的子集，已知(∁UA)∩(∁UB)＝{2}，(∁UA)∩B＝{1}，则A＝(C)A．{1,2}B．{2,3}C．{3,4}D．{1,4}解析：解除法：∵(∁UA)∩(∁UB)＝{2}，∴2∈(∁UA)，∴2∉A，解除选项A、B.又∵(∁UA)∩B＝{1}，∴1∈(∁UA)，∴1∉A.解除D，故选C.8．已知M＝{x|x<－2或x≥3}，N＝{x|x－a≤0}，若N∩∁RM≠∅(R为实数集)，则a的取值范围是(C)A．{a|a≤3} B．{a|a>－2}C．{a|a≥－2} D．{a|－2≤a≤2}解析：由题意知∁RM＝{x|－2≤x<3}，N＝{x|x≤a}．因为N∩∁RM≠∅，所以a≥－2.二、填空题9．设全集U＝{2,4,1－a}，A＝{2，a2－a＋2}，若∁UA＝{－1}，则a的值为2.解析：由题意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－a＝－1，,a2－a＋2＝4))，解得a＝2.此时U＝{2,4，－1}，A＝{2,4}，∁UA＝{－1}．满意题意．10．设全集U＝{0,1,2,3}，集合A＝{x∈U|x2＋mx＝0}．若∁UA＝{1,2}，则实数m＝－3.解析：∵∁UA＝{1,2}，∴A＝{0,3}，故m＝－3.11．设全集U＝R，A＝{x|x>1}，B＝{x|x＋a<0}，B∁RA，实数a的取值范围为a≥－1.解析：∵A＝{x|x>1}，如图所示，∴∁RA＝{x|x≤1}．∵B＝{x|x<－a}，要使B∁RA，则－a≤1，即a≥－1.三、解答题12．设U＝R，集合P＝{y|y＝x2－3x＋1，x∈R}，Q＝{x|－2≤x<3}．(1)求P∩(∁RQ)，(∁RP)∩Q；(2)求(∁RP)∩(∁RQ)，∁R(P∩Q)．解：(1)因为P＝{y|y＝x2－3x＋1，x∈R}＝{y|y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))2－eq\f(5,4)，x∈R}＝{y|y≥－eq\f(5,4)}＝{x|x≥－eq\f(5,4)}，所以∁RP＝{x|x<－eq\f(5,4)}．又Q＝{x|－2≤x<3}，所以∁RQ＝{x|x<－2或x≥3}．所以P∩(∁RQ)＝{x|x≥－eq\f(5,4)}∩{x|x<－2或x≥3}＝{x|x≥3}，(∁RP)∩Q＝{x|x<－eq\f(5,4)}∩{x|－2≤x<3}＝{x|－2≤x<－eq\f(5,4)}．(2)(∁RP)∩(∁RQ)＝{x|x<－eq\f(5,4)}∩{x|x<－2或x≥3}＝{x|x<－2}，因为P∩Q＝{x|x≥－eq\f(5,4)}∩{x|－2≤x<3}＝{x|－eq\f(5,4)≤x<3}，所以∁R(P∩Q)＝{x|x<－eq\f(5,4)或x≥3}．13．设A＝{x|a≤x≤a＋3}，B＝{x|x<－1，或x>5}，当a为何值时，(1)A∩B≠∅；(2)A∩B＝A；(3)A∪(∁RB)＝∁RB.解：(1)A∩B≠∅，因为集合A的区间长度为3，所以由图可得a<－1或a＋3>5，解得a<－1或a>2，∴当a<－1或a>2时，A∩B≠∅.(2)∵A∩B＝A，∴A⊆B.由图得a＋3<－1或a>5.即a<－4或a>5时，A∩B＝A.(3)由补集的定义知：∁RB＝{x|－1≤x≤5}，∵A∪(∁RB)＝∁RB，∴A⊆∁RB.由右图得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≥－1，,a＋3≤5，))解得－1≤a≤2.——实力提升类——14．设全集U＝{x||x|<4，且x∈Z}，集合S＝{－2,1,3}．若P⊆U，(∁UP)⊆S，则这样的集合P共有(D)A．5个B．6个C．7个D．8个解析：U＝{－3，－2，－1,0,1,2,3}．∵∁U(∁UP)＝P，∴存在一个∁UP，即有一个相应的P(如当∁UP＝{－2,1,3}时，P＝{－3，－1,0,2}，当∁UP＝{－2,1}时，P＝{－3，－1,0,2,3}等)．∵(∁UP)⊆S，S的子集共有8个，∴P也有8个．故选D.15．已知全集U＝R，集合A＝{x∈R|x2－3x＋b＝0}，B＝{x∈R|(x－2)(x2＋3x－4)＝0}．(1)若b＝4时，存在集合M使得AMB，求出全部这样的集合M；(2)集合A，B能否满意∁UB∩A＝∅？若能，求实数b的取值范围；若不能，请说明理由．解：(1)易知A＝∅，且B＝{－4,1,2}，由已知M应当是一个非空集合，且是B的一个真子集，∴用列举法可得这样的集合M共有如下6个：{－4}，{1}，{2}，{－4,1}，{－4,2}，{1,2}．(2)由∁UB∩A＝∅得A⊆B.当A＝∅时，A是B的一个子集，此时Δ＝9－4b<0，∴b>eq\f(9,4).当A≠∅时，可得B＝{－4,1,