数列求和的求解策略（解析版）-高考数学备考复习重点资料归纳

第22讲数列求和的求解策略

【典型例题】

2

例1.（2022•云南模拟）设等差数列｛4｝的前〃项和为S”.若%=8,=57,则数列

anan^\

的前〃项和是（)

C._2!!_

A.——B.会D.—^―

2n+36〃+46/1+4

【解析】解：设等差数列的公差为d，

因为々=8，56=57,

a.+2t7=8

则6《+15d=57'解得J,例=2,

222,1

所以q=3〃一1,所以二、），

ananl}(3〃-1)(3〃+2)33n-l3/1+2

22

所以数列4，的前〃项和为：二一+二一+二一+

2x55x88x11(3〃-1)(3〃+2)

2J1、21I2/11I

过一卢沟一露+…H—(---)=(

33〃一13〃+2tr3/1+2

故选：B.

2

（〃为正奇数）

〃(〃+2)

例2.（2022春•辽宁期中）已知数列｛4｝满足为=•,则数列｛%｝的

n+2］（〃为正偶数）

In

n

前10项和为（)

-2Q

A.-+ln6B.—+/«6C.D.--In2

911119

岛（〃为正奇数）

【解析】解：由于数列凡」

誓,〃为正偶数）

In

4&a

故数列的刖10项和为

故选：B.

例3.（2022秋•蒸湘区校级月考）数列｛凡｝的通项公式是凡=（-1）"（3〃-2）,则该数列的前

100项之和为（）

A.-200B.-150C.200D.150

【解析】解：.q=(T)"(3〃-2),

/.生j+a2k——(3〃-2)+(3〃+1)=3.

S3=(-1+4)+(-7+10)+...+(-295+298)

=3x50=150.

故选：

例4.(2022秋•葫芦岛期末)函数y=/(x),对任意实数x,y均满足/(^)=W)+W)»

且/(3)=3,数列｛七｝,｛a｝满足42,"=与2,则下列说法正确的有

①数列｛%｝为等比数列；

②数列仍“｝为等差数列；

③若S。为数列｛可也｝的前〃项和，则S,=3+(2〃；1)3”+[

④若7；为数列｛——-——｝的前〃项和，则(vl;

_________2

⑤若此为数列(向丽瓦二｝的前〃项和，则凡〈2声.

【解析】解：因为对定义域内任意x,y»/5)满足/(移)=才(%)+4/'(加，

若T，

则〃二「(3")〃3"T)二心)-3吐)=3/(31)+3>"⑶-3/(3"T)

“n-i3〃3加一13〃3〃

=△2=1为常数，

3

故数列｛〃”｝为等差数列，故①错误；

7/(3)=3,f(xy)=xf(y)+yf(x),

.•.当％=y时，/(f)=xf(x)+xf(x)=2#(x),

则f(32)=6/⑶=18=2x3?,

/(33)=32/(3)+3/(32)=33+6X32=3X3\

则f(3")=〃x3",

若瓦,，

〃3"）

则2=_fl_=（〃T）J（3"）=sn=3为常数

加，矿（3"）刃吊如

n-1

则数列｛"｝为等比数列，故②错误；

n2

anbn=n-3,Srt=1-3+2-3+...+/1-3",

23rt+,

3Sa=l-3+2-3+...+n.3,两式相减可得-2S”=3+3?+…+3”一小3川，

=303"）_小3向,化简可得1=3+（2〃-1）3向，故③正确；

1-34

1111

==-------9

an---------〃（〃T）〃一1〃

（=i__L+_L_J.+_+_!__l=故④正确；

223n-\nn

1a“•logh+i="小/。&3'用=J"5+1）,

当〃=1时，R,=V2>—,故⑤错误.

2

故答案为：③④.

例5.（2022•新高考I）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对

称轴把纸对折.规格为2（W/〃xl2d欣的长方形纸，对折1次共可以得到10d>〃xl2而2,

20dmx6dm两种规格的图形,它［匚的面枳之和S〔=240dm2,对折2次共可以得到5dmx\2dm，

\0dnix6d/n,20而?x3加2三种规格的图形，它们的面积之和S?=180而？，以此类推.则对

折4次共可以得到不同规格图形的种数为5；如果对折〃次，那么之5人=—dm2.

3355

【解析】解：易知有20dmxjdm,1Odrtixdm,5dmx3dm,—dmx6cbn,—dmx12dm,共5种

规格;

240（&+1）

由题可知，对折2次共有&+1种规格，且面积为三，故&

~~21-

则£&=240汽祟,记[力祟，呜片力资,

A=lM=1乙A=lZ乙i=l乙

1弋女+1（左+1]/铲欠+2。氏+1、n+\

•・3%—乙小乙一]+（2乙/+1）一―向

乙£=14i=!/Jt=l乙4=14乙

l（i__L）

4'2"“）〃+13〃+3

=1+—---------------------=-------------,

।2""22""

1—

2

〃+3

T=3-

nT

〃n+3

.•.X\=240(3--).

故答案为：5；240(3--).

2n

例6.数列｛%｝满足q+2+(T)”&=3〃T，前16项和为540,则生=_-2_.

【解析】解：因为数列｛%｝满足*2+(T严4=3〃-1,

当门为奇数时，a„+2+an=3n-\,

所以4+q=2,Oy+«5=14»4+4=26,45+43=38,

则q+q+%+%+2+4i+《3+%=80,

当n为偶数时，。“+2-a”=3〃-1,

所以q—%=5,-a,=11»勾一。6=17,60-4=23,ai2-ai0=29,-al2=35,

46-4=41，

故4=5+生，4=16+生，％=33+%,%0=56+/，。缄=85+4,=120+d2,

《6=161+生»

因为前16项和为540,

所以4+/+4+仆+4。+。12+au+。16=540-80=460，

所以8%+476=460,解得出=-2.

故答案为：-2.

例7,（2022•西安一模）已知数列｛凡｝的前〃项和为S.,满足

4=1%=2,2（S,+2+S”）=4S,X+1,则数列｛勺｝的前16项和第=B4.

【解析】解：2（SE+S.）=4S.J1,化为（Sm-SQ—（S〃+「S"）=g,即%--=；，

,.•&-q｛凡｝为等差数列：公差d=',q=T，

...id+S」=84.

16222

故答案为:84.

例8.（2022春•广元期中）已知等差数列｛q｝,满足。p=a20Pl+每叩2,其中R,P,P?三

点共线，则数列1。」的前16项和s,=8.

例9.（2022春•播州区校级月考）已知递增等差数列｛q｝的前〃项和为S”，且生+怎=42,

4,由，小成等比数列.

(I)求数列｛凡｝的通项公式；

(0)设2--!-----且数列出,｝的前〃项和7；,求证；Tn<-.

44+16

【解析】解：(I)设递增等差数列伍“｝的首项％,公差d>0.................1分

%+=42,q,%,al3成等比数列.

+2d+5q+10d=42„

\12___(3分)

[(«1+3d)~=。](4+12d)

又•・•〃>()，

解得q=3,d=2................(5分)

=4+(〃-l)d=2〃+1..............(6分)

(II)：.h=—--=-------------=—(--------------).....................(9分)

4/A+I(2〃+1)(2〃+3)22〃+12〃+3

4一4+4+…+与

1

,H---------（10分）

2〃+12〃+3)

-(-———)<-.............（12分）

232/1+36

例10.（2022•衡阳二模）已知数列｛为｝是递增的等差数列，%=7,且4是4与小的等比

中项.

（1）求数列伍“｝的通项公式；

（2）①"=%•（《）"；②"=,'；③>=—!—,从上面三个条件中任选一个，求

数列｛"｝的前〃项和

【解析】解：（1），｛q｝是递增的等差数列，二数列｛品｝的公差d>0.

%+2d=7

由题意得:

(4+=%.(%+12d)

解得：4=3,d=2,

an=3+2(w-1)=2n+1：

(2)选①时，"=凡=(2〃+1).3”，

<=々+3+h++^=3.3'+5-32+7-33++(2w+l)-3\

则37；=3・32+5了+7・34++(2/i+1)3",

两式作差得：-27；=3-3,+2-32+2-33+...+2-3,,-(2n+l)-3n+,=-2/i-3rt+,,

选②时，1=2(〃+1)+1=2〃+3,

7T__i(V27n-^T5),

b——---——.----

“MJ2n+\+>/2〃+322

Tn=b、+h2+by+-■+bn=——•[^^3~y/5)+(\/5—)4-(>/7—\/9)+•••+(\/2〃+1—，2〃+3)]

=j2〃+3-石

2

选③时，b=---=-------------=-(---------—)»

““q+1(2〃+1)(2〃+3)22n+\2〃+3

,7；w+8+a++a」d」+1」+..+^---L-)

"123"235572〃+12〃+3

n

6〃+9

例11.（2022秋•鼓楼区月考）已知数列｛q｝是公比为q的等比数列，前〃项和为S”，且满

足4+q=2g+1,S3=3%+1*

（1）求数列伍“｝的通项公式；

勺+1-%，〃为奇数

（2）若数列｛々｝满足勿=3%物，求数列电｝的前2"项和心.

—；-------，n/v怙数

14可一汹+1

【解析】解：(1)>。[+。3=2夕+1，$3=3生+1,

/.4+a闯2=2q+\,q+a/=2qq+1,

解得q=l,q=2.

“2-

--为奇数

（2）.数列也｝满足2=<一^—，〃为偶数'

也一54+1

••5t=%厂%-=22n--2*2=2*2=4-'；

b.3%,—3x2*_1________1_

2n-,2rt+,

2"-5a2n+14x(221)2-5x222+12-l2-1

/.数列出｝的前2〃项和

L=他+瓦+…++瓦+……+bG=a+4+4'+,..+4-T)+(白一七+七一七+”.+^7i—籍+1-^^=

21

nH-----;~~:.

例12.（2022秋•鼓楼区校级月考）已知数列｛可｝的前〃项和为S”，且q=2,\+13s.+2,

数列｛4｝满足〃=2,媪=七吆，其中〃eN*.

(1)分别求数列｛%｝和｛a｝的通项公式；

(2)在勺与4“之间插入〃个数，使这〃+2个数组成一个公差为g的等差数列，求数列

电%｝的前〃项和

【解析】解：(1)•S»|=3S”+2,

二九.2时，。川=5/「5”=3用+2-(3北+2)，化为­=3。”,

〃=1时，2+a2=3x2+2,解得々2=6,则〃2=34，满足上式，

.••数列｛〃"｝是等比数列，公比为3,首项为2,

.•.q=2x3—

・・,数列｛2｝满足〃=2,^-=—,其中〃eN*.

,bb.b.b、b、i〃+lnn-\43八,.、

b=-n---———•...­—•—•/>.=-----------------—x-x2=n(n+\)=n+n2.

如bn_2bn_4b2b、n-\n-2n-321

(2)在勺与a向之间插入〃个数，使这〃+2个数组成一个公差为c”的等差数列，

则2x3"=2x3"“+(〃+l)cn,解得q=±•3”T，

n+\

3=4〃.3f

••・数列｛"q』的前〃项和(=4(1+2x3+3x32+…+〃・3”T),

21n

37；f=4{3+2x3+...+(/i-l)y+w-3],

邛-1

相减可得：-27；=4(1+3+32+…+3°T一小3")=4G------小3")，

3-1

化为：7；=(2n-l)r+l.

【同步练习】

一.选择题

I.(2022•岳阳二模)德国数学家高斯是近代数学奠基者之一，有“数学王子”之称，在历

史上有很大的影响.他幼年时就表现出超人的数学天赋，10岁时，他在进行1+2+3+…+100

的求和运算时，就提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定

的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法.已知某数列通项。“=2〃-100,则

2n-101

A.98B.99C.100D.101

2w-1002(101-〃)-1002n-1002/:-102

【解析】解：由题总，a,+a,.„=--------+—-------------=--------+--------=2o,

fs2W-1012(101-72)-1012zz-1012〃一101

所以4+4uo=%+%=..•=%+4-

所以q+生+…+q0n=(at+a1(l0)=(a2+agg)+---+(%+«51)=50x2=100.

故选：C.

二.多选题

2.(2022秋•烟台期末)己知各项均为正数的等比数列｛q｝满足q=3,^=144,其前〃

项和为S..数列电｝的通项公式〃=4—,设也｝的前.〃项和为7；,则下列说法正确的

S屋s“+i

是()

A.数列｛q｝的通项公式为6,=3x2”“

B.S,=3x2”—1

C.，随〃的增大而增大

D.-,.T<-

9"n3

【解析】解：对于选项A：设等比数列｛q｝的公比为q,则q>0,

q=3,a2a4=44•=a；q'=9q4=144.

:.q=16,.1.q=2,

.•.a”=a"T=3・2~,故选项A正确，

对于选项B:S==3(2”-1)=3x2”-3,故选项B错误，

n：_；)

nnn+,

对于选项C:勺=32，an+l=3-2,Sn=3x2-3,Sfl+1=3x2-3,

心32”2n111、

/.b=----------------------：------=----------------：-----=—x(z---------------；),

”n(3x2d-3)(3x2rt+,-3)3(2--1)(2t-1)32"-12n+l-V

・F=4U)+("+……+(上一』-7)］』(1一g—)，

"33372n-l2w+,-l32M+,-l7

•/W—随着〃的增大而减小，

2w+,-1

.•・7；随着〃的增大而增大，故选项C正确，

对于选项。；7；=」x(1-2—),7；随着〃的增大而增大，

32”-1

又J—>0.

2M+1-1

二9,7；<上1，故选项D正确,

9"3

故选：ACD.

3.（2022秋•烟台期末）已知数列1,1』,±2』,1,2,3/，…，贝I"）

233444

A.数列的第迪里2项均为1B.竺是数列的第90项

213

C.数列前50项和为28D.数列前50项和为“

2

【解析】解：由题意，可将题干中的数列转化为1,•L,2,J.,2,3,_L,2,3,W

1223334444

则可发现该数列分母为1,2,3,4,...

且分母是几对应的就有几项，

n[n+i)

=1+2+...+〃

2

二数列的第迪士2项为分母〃的对应的最后一项4=1,故选项A正魂,

2n

工是分母为13的倒数第二项，

13

而1+2+...+13」3X（"⑶

2

二.上10是数列的第91-1=90项，故选项B正确，

13

令少+1）,,50,即，2（〃+n,100,

2

当〃=9时，9xl0=90<100,

当〃=10时，10xll=110>100,

.••数列前50项为分母10的第5项，即为上，

10

出I'为IMucmTn”，I1+21+2+31+2+...+91+2+...+5

/.数列刖50项和为1+----+-------+...+-----------+-----------

3456789103

+-+—+—+—+—+—+—+—+—

222222222

=—,故选项O正确，选项C错误.

2

故选：ABD.

三.填空题

【解析】解：满足=片+/O6，其中6，P，g三点共线，

可得《2+%=1，

由等差数列｛%)，可得4+《6=《+《5=।，

则Si6=gxl6(4+46)=8・

故答案为：8.

4.(2022•杨浦区三模)若两整数*力除以同一个整数相，所得余数相同，即虫a=Z(ZwZ),

m

则称a、力对模，"同余，用符号。三〃(wd〃?)表示，若。三10()Md6)(。＞10),满足条件

的a由小到大依次记为q,生…/，…，则数列丹」的前依项和为976.

【解析】解：由两数同余的定义，

〃，是一个正整数，对两个正整数a、b,若a-b是〃，的倍数，

则称a、b模小同余，

我们易得若a=10(mod6)(。＞10),

则a-10为6的整数倍，

则4=6/2+10，

故a=16,22,28,…均满足条件.

由等差数列｛%｝的前〃项公式S”=//+若Id,

则S|6=16XI6+SX(16T)X6=976.

故答案为：976.

•淮南一模)已知数列满足a2a+82则

5.(2022｛6｝q=1,4=2,n+2=(1+cos-~^n＞°~~♦

该数列的前16项和为546.

【解析】解：当〃=22-1伏CAT)时。，^,=^.,+1,数列｛4-｝为等差数列，

=a1+2-1=&;

k

当1=22/wM)时,a2k+2=2a2k,数列｛%上｝为等比数列，a2k=2.

该数列的前16项和儿=(%+%+…+/)+(4+%+…+/)

=(1+2+..,+8)+(2+2"+…+2")

8x(l+8)2X(28-1)

=------------H-------:--------

22-1

=36+2l2

546.

故答案为：546.

6.设数列｛a.｝的通项公式为an=2n-l(neN*),则|q|+|/1+…I。”1=

6〃-/J釉3,〃eN*

??一6〃+18,.4,〃wN'

【解析】解「•数列｛%｝的通项公式为4=2〃-7(』eM),

=

由Qn2〃—7..0,得n..,

=-1<0,tz4=1>0»

a｝=2—7=—5,d=a2—=(2x2—7)—(2x1—7)=2,

/.S“=〃x(-5)+—x2=/一6〃.

当啜巾3,时，|q|+|出l+..[4l=—S〃=6〃—〃2,

22

当几.4,nuN"时，|<i||+1«21+...|<?n|=5n—2s3=n-6n-2(9-18)=w-6w+18.

・•卬+⑷+…""叱2_6〃+]8.4”广

故答案为：尸；-加1釉3,〃eN*.

n-6〃+18,几.4,〃€N

7.已知在数列｛〃“｝中，4=一2,4=一2,且为+2-4=1+(-1)"，贝1」58=525

[解析1解：*,1。“+2-4=1+(-1)£，

/.数列｛a„｝的偶数项构成以2为公差的等差数列，奇数项构成常数列，

又<4=-2,4=-2,

J-2,〃为奇数

a"〃-4,〃为偶数’

J5Q2+48)

..djo=-2・25H----------------

=25.21

=525,

故答案为：525.

8.(2022♦合肥一模)在平面直角坐标系xO)，中，点4(2","+(：)”")(〃£%“),记4

2

“22

A?.」怎人e的面积为S“，则=_(2n--)4w+-_.

【解析】解：4(2”,〃+(；)?(〃£“),可得

2+,

4“TQ2”T，0),4.(2筋，2〃)，^+1(2",0),

贝I」面积为S“_g・2〃《22”.i_22”T)_3〃・220T,

设S=力5=3(1.2+2*23+3・2$+...+“di),

/=1

4s=3(1.23+2.25+3.27+...+心，,

两式相减可得一3s=3(2+2之+2$+…+-心”

=3(^2-",

1-4

化简可得S=(2〃—.0+:.

77

故答案为：⑵7-4)4+3

33

四.解答题

4

9.已知正项数列｛4｝的前〃项和为S“，满足2s“=q+3.

an

(1)求数列｛4｝的前〃项和S.；

4

(2)设么——,求｛"｝的前〃项的和

S”+

4

【解析】解：⑴因为2s,=%+土，

%

4

所以，当〃=1时，由S]=q,得2S]=£H—»

因为4>0,所以&=4=2,

44

当几.2时，由2s“二4十一，得2S〃=S〃-S,i十.，

/5”-Ei

整理得，s；-s3=4,

所以数列｛S；｝是首项为2,公差为4的等差数列，

所以S：=2+(n-l)x4=4w-2,

所以句=，4〃一2；

(2)b=-----------=/4/=J4〃+2-x/4/1-2>

S“+SZI+1j4〃+2+J4―2

(=4+4+4+......+="一\/2+\/10—>/6+Vi4-V10+.....+，4〃+2—,4〃-2=—42++2

10.（2022秋•天津期中）设数列｛《,｝的前〃项和为S“，且S”=Z7”-2.数列｛4｝满足:

bf=b“+T,且仇=2.其中〃eM.

(1)求｛q｝，｛4｝的通项公式；

(2)记数列｛c“｝满足q,=—————证明：c,+c+...+C<-.

%山：22

【解析】解(1)由5“=2%-2①(〃£"),

可得2②，

②一①得q+1=2a”(〃€N*),

所以数列｛q｝是公比为2的等比数列，

①式中令〃=1,可得q=E=2«[-2,解得4=2,

所以4=2"(〃eM)；

由么+I-2=1,易知数列｛2｝是公差为1的等差数列，

.又/>2=々+1=2.所以〃]=1.

所以”=〃(〃eN*)；

，1+2

(2)证明：c=一,=--------!一r,

“〃(〃+1)・2"“〃・2"(〃+1)・2向

1

所以q+c2+...+cw=(-^-—^)-(—++)

1»ZZ»ZZ»Z(〃+1)・2

111

=------------------r<一.

2(〃+l)・2”"2

11.(2022•南京模拟)已知数列｛册｝是递增的等差数列，生=3,若%,%%+七成

等比.

(1)求数列｛4｝的通项公式；

(2)若a=3%,数歹1/-^一华-----1的前〃项和S.,求S..

【解析】解：(1)由｛4｝是递增的等差数列，

又4=3,..4=3-d,a5-a3=2df%+a2=6+5d,

又q,4一4，生+生成等比数列，

.•.(2d)2=(3-d)(6+5d),

又d>0,/.d=2；

/.4=1,an=2n-l；

2n-,2n+,

(2)由(1)bn=3A+1=3,

4b_l11、

・・----------------l-i-----------——lz----------------------------/9

电+1)(%+1)22+1%+I

G1,111I11、1,11、11

S=一(-----------1------------卜・・・H-------------)=-(------------)=------：—：---

n2rt+,

"2b.+lA+lA+l&+1b+1“7+12a+1br+.+182-3+2

12.已知数列｛/｝满足q=(,且当他.2时，有《7一%=4%啊.

(1)求证：数列｛-i-｝为等差数列；

<2)令2=上辿，求数列｛2｝的前〃项和S”.

%

【解析】证明：(1)数列｛4｝满足4=(,且当〃..2时，有/_1=4a,"a”，

整理得：-——-=4(常数)，

4%

所以数列｛上｝是以5为首项，4为公差的等差数列.

an

解：(2)由(1)得：-l=5+4(〃-l)=4〃+l；

an

当⑴〃为奇数时，〃+1为偶数；

所以50=Sw+1-bn^=2(n+1)-[4X(n+1)+1]=-2n-3,

(ii)当〃为偶数时，由于4+8=4,by+b4=4,h2k_t+b2k=4,

故S”=—x4=2n；

2

卜2〃-3(〃为奇数)

2/1(〃为偶数).

13.(2022秋・泉州期中)已知数列｛可｝满足A=3%+2(〃..2),且q=2,数歹U[bn]满

足：■+/+%+……+A_=2/1(〃eN*).

234n+\

(1)求数列｛4｝与｛"｝的通项公式；

(2)求数列｛《+2｝的前〃项和

【解析】解：(1)数列｛〃"｝满足a“=3。〃_]+2(〃..2),且q=2,可得数列｛4｝满足

q+1=3(%+1)(〃..2)

n

,所以数列｛。“+1｝是以首项为3,公比为3的等比数列，可得%+1=3"，an=3-l.

数列｛2｝满足:△+%+%+……+上」=2〃(〃wN*).

234〃+1

〃..2时，2+久+%+……+如=2〃-2两式相减可得2=2,

234nn+\

所以，bn=2(w+l),又A=4,满足通项公式，

所以2=2(〃+1).

(2),.•可+2=3"+2〃+1,

数列｛%+a｝的前〃项和

。小02035、cur小I、、3(1-3")(3+2〃+1)〃3，t+，2r3

S=(3+3+3'+…+3)+(3+5+7+…+(2〃+1))=-----+--------=--+n+2〃—-

1-3222

14.(2022•沙坪坝区校级二模)已知数列｛4｝的前〃项和为S“，其中q=l.己知向量

〃=(2吗)，b=(〃+l,S,)(〃eN”)，且存在常数义，使。=劝.

(1)求数列他“｝的通项公式；

fl+,

(2)若数列也｝满足岫+a2b2+...+anbn=2+(n-1).2(wGN*),求数列｛4+"｝的前〃项

和小

【解析】解：(1)•.,存在常数％,使万=加d/区,

/.2Sn=(n+1)<7„,①

••・252=(〃+2)%,②

②一①，得：为““=(〃+2)与+]—(〃+1)%，

整理，得且也=&对任意的恒成立，

〃+1n

,｛%｝是常数列，二工二幺汽，

nn1

(2)\岫+a2b2+...+anbn=2+1)・2""(〃eN"),

+2

岫+a2b2+...+an+ibn+l=2+n»2'(〃e2V*),

两式相减，得=(〃+1)・2川，

n+,

由(1)知%=w+1,z.bn^=2,

..."=2",n..2,

*/4伪=2,♦，.b]=2,

"=2"(〃€N").

23z,

.-.7；/=(l+24-3+...+n)+(24-2+2+...+2)

«（??+1）2（1-2"）

=------------1--------------

21-2

=〃（»1）+2日-2.

2

15.（2022秋•云阳县校级月考）已知数列｛〃"｝满足，％=卜”22鳖,4=1・

一2,〃为偶数时，

（1）若数列｛2｝为数列｛%｝的奇数项组成的数列，｛%｝为数列｛勺｝的偶数项组成的数列，

求出6，。2，。3,并证明：数列色J为等差数列；

（2）求数列｛q｝的前22项和.

【解析】解：（。]=

1）4=4+1=2,-c2=a4=+1=a2-2+1=1,

6=。6=%+1=。4-2+]=0,

由题意知,一]，所以数列｛，｝是首项为公

%='+]=4fl=2=44+1-2=4".]-1=21,

差为-1的等差数列.

⑵《向=4“+2=4e+1=4.-2+1=4.一1=。”一1,所以数列｛c.｝是首项为2,公差为T

的等差数列，结合（1）可知，｛%｝的奇数项和偶数项都是以-1为公差的等差数列，

所以

+吗+瓦1ll011l0

S2=a,+a2++/2=（4+6+J+（/+q++%）=（«+&+）+（q+q++c,|）=lxll+^x（-l）+2xll+^x（-|）=-77

16.（2022春•青山湖区校级期中）已知数列｛4｝是公差为2的等差数列，%,生成等

比数列.

（1）求｛6｝的通项公式；

(2)令包=%-3,求数列的前〃项和S-

a4八

【解析】解：(1)因为数列｛〃“｝是公差为2的等差数列，q,6，生成等比数列,

所以裙=4%，

所以(q+4>=q(q+12),

解得q=4,

所以4=4+(〃-1)x2=2〃+2；

(2)bn=an-3=2n-i,

s、i8〃8〃11

所以,、—------;------7=-------------------------y，

飒I(2〃-1)2(2〃+1)2(2〃-1)2(2〃+1)2

因此,x

5n=(4--4)+(4-4-)+(4-4-)++(————

nI23232525272(2〃一1)2(2〃+1尸(2n+l)2

17.设数列｛4｝的前〃项和为S”，且q=l,〃..2时，(〃一1电=2瓯_1+〃(〃-1).

(1)证明｛1+1｝为等比数列，并求数列｛%｝的通项公式，

n

(2)若数列｛"｝满足4=2,当九.2时，+-J—+!—的值.

1

2"a-1b2-1€>2021-

【解析】解：(1)证明：•.(〃-1)S“=2〃SE+〃(〃-D，(九⑵，

q2。

.•鼻='曰+1,(〃..2),

n〃一1

VV，

：.-^+1=2(-^-+1),(几.2),又‘+l=q+l=2,

nn-\1

.•・｛2+1｝是以首项为2,公比为2的等比数列，

n

...义+1=2",

n

S”=〃(2”-l),

，a”=S”-S“T

=w2w-«-(n-l)-2M-,+(/2-1)

又q=l也满足上式，

(2)由(1)知当〃..2时，=土军=2〃，

又足伪=2也满足上式，

/.bn=2n,(«€N*),

.111,11、

b”l4n2-l22n-I2〃+l

111

・・与+0+・・・+

b；-1b；-1