2024年中考数学专项复习：二次函数背景下的倍、半角角度问题（解析版）

专题二次函数背景下的

倍、半角南度问题

例题精讲

【例1】.如图1,抛物线y=/+6x+c交无轴于A,B两点，其中点A的坐标为(1,0),与

y轴交于点C(0,-3).

(1)求抛物线的函数解析式；

(2)点。为y轴上一点，如果直线8。与直线BC的夹角为15°,求线段C。的长度;

(3)如图2,连接AC,点P在抛物线上，且满足/B48=2/AC。，求点P的坐标.

解：(1)..•抛物线y=/+fec+c交》轴于点A(1,0),与y轴交于点C(0,-3),

.(0=l+b+c

"lc=-3

解得：产2,

lc=-3

抛物线解析式为：y=/+2x-3；

(2):抛物线y=f+2x-3与x轴交于A,3两点，

...点8(-3,0),

:点8(-3,0),点C(0,-3),

：.OB=OC=3,

：.ZOBC=ZOCB=45°,

如图1,当点。在点C上方时,

：.ZOBD=30°,

：.tanZDBO=^-=^-,

BO3

；.0O=近X3=M，

3

:.CD=3-V3；

若点。在点C下方时，

■:/DBC=15°,

：.ZOBD=60°,

tanN£)8。=型=我，

BO

；.0。=36，

：.DC=3yf3-3,

综上所述：线段CD的长度为3-我或3我-3；

(3)如图2,在2。上截取。石=。4,连接CE,过点E作EP_LAC,

图2

;点A(1,0),点C(0,-3),

；.OA=1,0c=3,

AC=VOA2X)C2==VIo'

'：OE=OA,ZCOE=ZCOA=90°,OC=OC,

.♦.△OCE<△OCA(SAS),

ZACO=ZECO,CE=AC=V10，

ZECA^2ZACO,

'：ZPAB=2ZACO,

：.ZPAB^ZECA,

S^AEC=—AEXOC=AACXEF,

22

.^_2X3_3V10

••乜r-f―—---------f

V105

:,CF=VCE2-EF2=J10喈=，

：.tanZECA=^-=^-,

CF4

如图2,当点P在AB的下方时，设A尸与y轴交于点N,

,：ZPAB=ZECA,

tanNECA=tanNB42=^^=旦，

AO4

；.ON=旦，

4

，点N(0,一旦)，

4

又：点A(1,0),

直线AP解析式为：y^lx-1,

44

f33

联立方程组得：｛44,

y=x2+2x-3

'9

乂1=1X2=W

解得：或，

)1=039'

后=下

...点尸坐标为：(-9,-29),

416

当点尸在AB的上方时，同理可求直线AP解析式为:y='4X+T

33

联立方程组得：

y=x2+2x-3

15

*1=1x2=~

解得：或，

Yl=057

y2^

.••点尸坐标为：（-至，红）,

416

综上所述：点P的坐标为（-至，旦■）或（-且,

4164一奢

A变式训练

【变17].如图，在平面直角坐标系中，抛物线>=以2+磊h。交x轴于点4点2,交y

轴于点C.直线y=-yx+2经过于点C、点B,

（1）求抛物线的解析式;

（2）点。为第一象限抛物线上一动点，过点。作y轴的平行线交线段8c于点E,交x

轴于点。，当。E=5E。时，求点。的坐标;

（3）在（2）的条件下，点M为第二象限抛物线上一动点，连接。M,交线段OC

于点H,点尸在线段08上，连接“RDF、DC,DB,当HF=旦,ZCDB=2ZMDF

2

坐

：.C(0,2),

令y=0,贝！j0=-/x+2,

.•.x=4,

：.B(4,0),

将点2,C坐标代入抛物线y=o?+卷x+c中，得<16a+E><4+c=0

5

c=2

.•.抛物线的解析式为＞=-1X2+HA+2；

66

(2)如图1,由(1)知，抛物线的解析式为y=-且/+工工X+2,

66

设点D坐标为Cm,-王■根2+」二：〃+2),

66

\'DE±x轴交BC于E,直线BC的解析式为y=-^x+2,

.,.D(m,-—m+2),

2

:.DE=-—,n2+—m+2-(--m+2^=-立汴+也〃z,DQ=-—m+2,

662632

\"DE=5EQ,

=5(--lm+2),

632

；.m=3或根=4(点2的横坐标，舍去)，

：.D(3,3)；

(3)如图2,

由(2)知,D(3,3),

由(1)知，B(4,0),C(0,2),

：.DB=410,DC=\[10,BC=2炳,

:.DC=DB,DB?+DC2=BC2,

...△8OC是等腰直角三角形，

：.ZBDC=9Q°,

■:BDC=2NFDM=90°,

：.ZFDM=45°,

过点。作DP_Ly轴于尸，则£＞0=£＞尸，。尸=3,

：.CP=1=BQ,

：./\DPC^/\DQB(SAS),

在C尸的延长线取一点G,使尸G=QF=〃，

JO尸=3-n,0G=3+〃，

・•・4DPG学ADQF(SAS),

:,DG=DF,ZPDG=ZQDF9

：.ZFDG=/PDG+/PDF=ZQDF+ZPDG=ZPDQ=90°

：.ZGDM=90°-ZFDM=45°=/GDM,

*：DH=DH,

:•△GDg^FDH(SAS),

：.GH=FH=^-,

2

：.OH=OG-GH=3+n-$=〃+工，

22

在RtZ\HO/中，根据勾股定理得，(〃+工)2+(3-n)2=空，

24

.1=1或〃=旦(此时，OH=w+1-=2,所以点H与点C重合，舍去),

22

：.H(0,爸)，

2

VC(3,3),

直线CH的解析式为y=»1■①，

:抛物线的解析式为y=-§/+』Lt+2②，

66

fx——1

联立①②解得，;或(由于点M在第二象限，所以舍去)，

yj-ly=-l

ly5

：.M(--1,1).

55

图2

【例2].如图，直线y=^-x+c与x轴交于点8(4,0),与y轴交于点C,抛物线y=l^+bx+c

44

经过点8,C,与x轴的另一个交点为点A.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点P是直线BC下方的抛物线上一动点,求四边形ACPB的面积最大时点P的坐标；

(3)若点〃是抛物线上一点，请直接写出使的点M的坐标.

故抛物线的表达式为：y=^-x2+bx-3,

4

将点3坐标代入上式并解得：b=-―,

4

故抛物线的表达式为：-lx-3①;

44

(2)过点尸作尸H〃y轴交于点”，

设点尸（尤，S/-2X-3）,则点H（X,2■龙-3）,

444

S四边形4CP8=Sz\A8C+S△尸CB，

,.,SaABC是常数，故四边形面积最大，只需要最大即可,

SAPCB=AXOBXP//=AX4（且x-3-3/+9关+3）=-3/+6x,

224442

V--<0,，SMCB有最大值，此时，点尸(2,-—)；

22

(3)过点8作N4BC的角平分线交y轴于点G,交抛物线于,设/MBC=//ABC

=2a,

过点8在BC之下作角度数为a的角，交抛物线于点M,

过点G作GKLBC交BC于点K,延长GK交于点X,则G2=BH,2C是GH的中

垂线，

图2

。2=4,0c=3,贝UBC=5,

设：OG=GK=m,贝UCK=CB-HB=5-4=1,

由勾股定理得：（3-M2=m2+l,解得：m=—,

3

则。G=GK=4,GH=2OG=里,点G（0,-A）,

333

在RtaGCK中，GK=OG=—,GC=OC-OG=3-2=5,

333

则cosNCGK=^=9,sin/CGK=工，

GC55

则点K(4,-」2),点K是点GH的中点，则点”(旦，-丝),

55515

则直线BH的表达式为：尸型x-丝…②，

99

同理直线BG的表达式为：y=…③

,33

联立①②并整理得：27?-135x+100=0,

解得：或4(舍去4),

27

则点M(空,翳;

27

联立①③并解得:x=-5

9

5

故点M'(-,-27)；

9

故点M(2殳,翳或(

27

A变式训练

【变2-1].如图，抛物线yn/+bx+d交x轴于A(-1,0)、B(3,0)两点，交y轴于点

C,连接BC.

(1)求抛物线的解析式;

(2)点尸是抛物线上一点，设尸点的横坐标为祖.

①当点P在第一象限时，过点尸作尸轴，交BC于点。，过点。作Z)E_Ly轴，垂足

为E,连接PE,当△「£)£和△BOC相似时，求点尸的坐标；

②请直接写出使的点P的坐标.

2

解：(1):抛物线y=a?+fcv+4交x轴于A(-1,0)、B(3,0)两点,

a-b+4=0

9a+3b+4=0

4

与

解得，

8_

3

.♦•抛物线的解析式为：y=-1x24x+4；

(2)令X=0,得y=X+4=4,

：.C(0,4),

JOC=4,

•:B(3,0),

/.05=3,

设直线BC的解析式为（ZWO）,则

n=4

3ktn=0

,4

解得，\

n=4

直线BC的解析式为：y=^x+4,

3

设P(m,m+4)，则D(m,_4m+4),

3

.•・£）尸=卷山2+以，DEm,

.PD4,

DE3

■:NB0C=NPDE=9U°,

・•・当△PDE和△BOC相似时，有两种情况:

当△尸。打6\50。时,GPm+4=

2则黑*4T

解得，m=29,

16

•.P(>需;

当△PD£S2\COB时,贝喘嗡’即3m+44

解得，m=2,

：.P(2,4).

综上，当△2£)£1和△BOC相似时，点尸的坐标(丝，西或(2,4)；

1664

②过8作平分/ABC,交抛物线于点P,交0c于点M,过M作MNL2C于点N,

如图1,

则0M=MN,

2

在RtABOM和RtABNM中，

IMO=MN，

:.RtABOM咨RSNM(HL),

:.BN=B0=3,

设0M=/,则M7V=M0=/,CM=4-t,

CN=BC-BN=432+42-3=2,

■:MV+cM=Me,

.\?+22=(4_t)2,

•••l,—-3-,

2

：.M(0,3),

2

设的解析式为：y=mx+—(ZMNO),

2

代入2(3,0)得，m=」，

2

直线的解析式为：＞=-**玲，

5

29

yl^

取M（0,3）关于X轴的对称点，K（0,-旦），连接3K,延长BK,交抛物线于点P1,

22

贝！]ZABP=^ZABC,

2

设直线BK的解析式为尸（p力0）,

代入8（3,0）得，p=—>

2

直线BK的解析式为：尸Lx卫，

2x2

X2=~

35

丫2二一

816

综上，使的点P的坐标为（至，—）或（』，小»）.

2816816

【例3].已知如图，抛物线y^a^+bx-4（a#0）交x轴于A、B两点（A点在B点的左侧），

交y轴于点C.已知。4=OC=2O8.

（1）求抛物线的解析式；

（2）已知直线y=2x+〃z,若直线与抛物线有且只有一个交点£,求△ACE的面积；

（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P,使NE4B=NEAC,若存在，请直接写

出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

解：(1)对于抛物线y=a/+加;-4,

令％=0,贝！J)=-4,

：.C(0,-4),

・•・。。=4,

U：OA=OC=2OB,

，OA=4,05=2,

AA(-4,0),B(2,0),

，・,点A,3在抛物线＞=苏+法-4上,

.(16a_4b_4=0

14a+2b_4=0

f1

b=l

，抛物线的解析式为＞=■!/+尤-4；

2

(2)由(1)知，抛物线的解析式为了=工/+尤-4①,

2

..•直线y=2x+/②与抛物线有且只有一个交点E,

(_124

联立①②得，y节x+XY

y=2xtm

—x1-x-(4+m)=0,

2

A=1+4XA(4+m)=0,

2

..m—9,

2

—x2-x--=0,

22

•*XI~~X2^1,

：.E(1,-5),

2

直线AE的解析式为y=-lx-2

如图1,记直线AE与y轴的交点为R则尸(0,-2),

/.5AAC£=—CFX|X£-XA|=—X2X|1-(-4)|=5；

22

(3)由(2)知，E(1,-C),

2

I、当点P在X轴上方时，如图2,

将线段AE以点E为旋转中心顺时针旋转90°得到线段EG,连接AG,则NEAG=45°,

在RtZ\AOC中，OA=OC,

：.ZOAC=45°=ZEAG,

：.ZCAE=ZOAG,

：.点尸是AG与抛物线的交点，

过点E作MN//x,过点A作AM1MN于M,过点G作GN1MN于G,

VA(-4,0),E(1,-$),

2

：.AM=^,ME=5,

2

:./AME=NENG=90°,

：.ZMAE+ZAEM=90°,

由旋转知，AE=EG,ZA£G=90°,

:.NAEM+/NEG=90°,

：.NMAE=NNEG,

:.AAME咨4ENG(AAS),

：.EN=AM=—,GN=ME=5,

2

：.N(工，-2)，G(工，5),

2222

...直线AG的解析式为y=2x+4③，

33

•・,抛物线的解析式为-4④，

2

联立③④解得，1F或，”，

1y=020

vy=9

:.p（a，型），

39

II、由1知，点G的坐标为G（工，5）,N（工，-立），

2222

二点G与点N关于x轴对称，

...点P是直线AN与抛物线的交点，

VA（-4,0）,

直线AN的解析式为y=--&⑤，

33

'.4

X=

fx=-4T

联立④⑤，解得，或，z

1y=0

9

：.p（A,-西），即满足条件的点尸的坐标为P（2L型）或（生一西）.

39S939

\k

图2

w"

图1

A变式训练

【变37].如图，已知：抛物线y=a（无+1）（x-3）与,『轴相交于A、8两点，与y轴的交

于点C(0,-3).

(1)求抛物线的解析式的一般式.

(2)若抛物线上有一点尸，满足NAC0=NPC8,求P点坐标.

(3)直线/：y=fcv-4+2与抛物线交于£、厂两点，当点B到直线/的距离最大时，求4

解：(1)把C(0,-3)代入y=a(x+1)(x-3),

得-3〃=-3,解得〃=1,

所以抛物线解析式为y=(x+1)(x-3),即y=/-2x-3；

(2)当点尸在直线BC的下方时，如图1,过点2作BEL2C交CP的延长线于点E,

过点E作EMLx轴于点M,

'•'y=(x+1)(x-3),

.•.y=0时，％=-1或%=3,

/.A(-1,0),B(3,0),

.0A1

・,tan/ACO

ULo

•・・O3=OC=3,

AZABC=45°,BC=3近,

NACO=/PCB,

BPi

••^nZACO=tanZPCB-，

DUO

:,BE=®

u：ZCBE=90°,

：.ZMBE=45°,

：.BM=ME=lf

：.E(4,-1),

设直线CE的解析式为y=kx+b,

.f4k_3=_l

,lb=-3，

(k=l

解得：,2,

b=-3

直线CE的解析式为y=/x-3,

'_1

y=x2-2x-3

解得x「O.X2='|'，

当点尸在直线BC的上方时，过点2作BFLBC交CP于点F,如图2,

图2

同理求出8尸=&,FN=BN=\,

：.F(2,1),

求出直线CF的解析式为y=2尤-3,

.[y=x2-2x-3

••<9

y=2x-3

解得：xi=O,X2=4,

：.P(4,5).

综合以上可得点P的坐标为(4,5)或(旦，-1)；

24

(3):直线/：y=kx-k+2,

：.y-2=k(x-1),

Ax-1=0,y-2=0,

J直线y=依-左+2恒过定点H(1,2),如图3,连接当3"，直线/时，点B到直

线/的距离最大时,

图3

求出直线BH的解析式为y=-x+3,

k=1,

直线/的解析式为y=x+l,

.y=x+l

y=x"-2x-3

，X[=-1

(X2=4

解得：＜，"»

71=0/2=5

：.E(-1,0),F(4,5),

••S^BEF+X4X5=10.

意

实战演练

1.如图，已知直线AB：y=x-3与尤、y轴分别交于A、B两点;抛物线y=/-2x-m与y

轴交于C点，与线段AB交于。、E两点(。在E左侧)

(1)若。、E重合，求加值；

(2)连接C。、CE,若NBCD=/BEC,求加值；

(3)连接。。，若OD=CE,求加值.

:•△=9-4(3-m)=4根-3=0,

⑵-3与x、y轴分别交于A、B两点；抛物线y=?-2x-相与y轴交于C点,

：.B（0,-3）,C（0,-m）,

.\BC=3-m,

3+V4m-3

x2=2

解方程组｛2得，，

y=x-2x-m-3W4m-3

y2=12—

，3H4m-3-3W4m-3、-3+V4m_3-3+V4in-3

,22)'Ez(22―

.fj?V2(3-V^3)g£=VW+V«J

22

:/BCD=NBEC,ZCBD=ZEBC,

:.△BCDs^BEC,

ABC_^BD；gpB^^BD'BE,

BEBC

2V2(3-V4m-3)V2(3+V4m-3)

二------------------------------------♦-------------------------------------

解得，m=l或3,

当m=3时，5与C重合，不符合题意，舍去,

••TYl^~1;

(3)VOD=CE,

・・・。。2=。序，

.,3-V4m-3、2/-3^\/4m-3、2,3W4m-3、，-3+V4m-3、2

••（一2一）+（—2—）=（―2—）（—2一—），

即占用_）2_（土"作）2叩

解得，m=0,或优=5±近§,

当根=0时，J说百无意义，应舍去，

当“2=5+/石时，C点在2点下方，不合题意，舍去，

m=5-VT3，

2.如图①，抛物线＞=/-（。+1）x+。与天轴交于A、2两点（点A位于点B的左侧），与

y轴交于点C.己知△ABC的面积为6.

（1）求这条抛物线相应的函数表达式；

（2）在抛物线上是否存在一点尸，使得/POB=/CBO,若存在，请求出点P的坐标;

若不存在，请说明理由；

（3）如图②，M是抛物线上一点，N是射线CA上的一点，且M、N两点均在第二象限

内，A、N是位于直线同侧的不同两点.若点〃到无轴的距离为d,△MNB的面积

为2d,且NAMN=/AN8,求点N的坐标.

解：(1)当y=0时，/-(a+1)x+a—Q,

解得xi=l,xi=a,

•.•点A位于点8的左侧，

...点A坐标为(a,0),点8坐标为(1,0),

当x=0时，y=a,

.•.点C坐标为(0,a),

.'.AB=1-a,OC=-a,

：△ABC的面积为6,

••卷(1-a)•(-a)=6,

•*Cl\~~-3,42=4,

V«<0,

・•.〃=-3,

，丁=7+2%-3；

（2）设直线BC：y=kx-3,则0=女-3,

・•・左=3；

①当点尸在x轴上方时，直线。尸的函数表达式为y=3x,

ry=3x

则9，

y=x+2x-3

1-后

xl=一2—x2=―2—

3+3/133-3713，

丫11了2「一

/.点P坐标为（上YH_,3+3后）；

②当点尸在X轴下方时，直线。尸的函数表达式为y=-3x,

,y=-3x

则9

y=x^+2x-3

，f-5-V§7

.xl=—2-x2=—2—

15-3何'I15+3西'

|yl=~2—|y2=—2—

点P坐标为15-37^7>

综上可得点P坐标为（1毛百，3+3*）或,15-y？）；

（3）过点A作于点E,过点N作NFd_8M于点孔设AM与8N交于点G,延

长MN与x轴交于点〃；

：AB=4,点M到x轴的距离为d,

.,.S^AMB-—X-ABXd=—'X4Xd=2d,

22

,*SAMNB=2CI,

SAAMB=SAMNB,

•,-yXBMXAE=yXBMXNF，

:・AE=NF,

*：AELBM,NFIBM,

・•・四边形AE/W是矩形，

：.AN//BM,

*.*/MAN=/ANB,

:・GN=GA,

\9AN//BM,

:・/MAN=/AMB,/ANB=/NBM,

：./AMB=/NBM,

:・GB=GM,

:・GN+GB=GA+GM即BN=MA,

，AM=NB

在和△2\^“中＜ZAMB=ZNBM

MB=BM

，丛AMB丝丛NBM(SAS),

ZABM=NNMB,

・・・QA=0C=3,ZAOC=90°,

：.ZOAC=ZOCA=45°,

又•：AN〃BM,

：.ZABM=ZOAC=45°,

：.ZNMB=45°,

:・NABM+/NMB=90°,

AZBHM=90°,

：.M,N、H三点的横坐标相同，且

•・•“是抛物线上一点，

.••可设点M的坐标为(6P+2t-3),

1-t—F+2/-3,

ti=-4,t2=l(舍去)，

・••点N的横坐标为-4,

可设直线AC：y=kx-3,贝!J0=-3k-3,

:・k=-1,

••y=-x-3,

当x=-4时，y=-(-4)-3=1,

・••点N的坐标为(-4,1).

3.如图1,抛物线Ci：y=a/+c的顶点为A,直线/：与抛物线C1交于A,C两点,

与无轴交于点8(1,0),且04=202,SAOAC=4.

(2)求抛物线。与x轴的交点坐标；

(3)如图2,将抛物线Ci向下平移机(m>0)个单位得到抛物线C,且抛物线C的顶

点为尸，交x轴负半轴于点交射线于点N,轴于点。，当NP平分NMNQ

时，求相的值.

解：⑴；B(1,0),

.•.08=1,

"：OA=2OB,

：.OA=2,

：.A(0,-2),

设直线/的解析式为>=区+6,

..[k+b=0,

・1b=-2'

解得任=2,

lb=-2

直线l的解析式为y=2x-2；

(2)VSAOAC=4,

,

xc=4

，xc=4,

，y=8-2=6,

：.C(4,6),

将A(0,-2),C(4,6)代入>=苏+。，

.f16a+c=6

'lc=-2

解得「至，

c=-2

.♦•抛物线Ci与的解析式为丫=/*2-2；

令y=°，yx2-2=0'

解得x=±2,

J抛物线G与工轴的交点坐标为(2,0),(-2,0).

(3)设抛物线C表达式为：y=^x2-2-m,设点M(〃，0),

则1诏-2-m=0,抛物线C表达式为：%2-…③，

222

联立②③并解得：x=2-〃或2+小则点N(2-〃，2-2M),

贝I」N0=2-2n,MQ=2-2n,

.•.△MN0为等腰直角三角形，则/WAQ=45°,

又点p(0,-A„2),即点M(小0),

2

设直线MN与y轴的交点为H,则OH=OM,则点H(0,-n),

作NK_Ly轴于点K,在ANKH中,NK=KH,

则(2-n),又HP=OH+OP=1-n,

：PN为角平分线，则NMNP=/PNQ=22.5°,

故NH=HP,

则(2-n)=—ii2-n,

2

解得："=2或-(舍去2),

—zz2-2-m=0,解得：m=2.

2

4.如图，直线y=/x+2与x轴交于点A,与y轴交于点B,抛物线y=-1■x2+bx+c经过4、

8两点，与无轴的另一个交点为C

(1)求抛物线的解析式；

(2)点。是直线AB上方抛物线上的一动点，

①求D到AB的距离最大值及此时的D点坐标；

②若NDAB=NBAC,求。点的坐标.

解：(1)由>=工彳+2可得：

,2

当尤=0时，y=2；当y=0时，x=-4,

AA(-4,0),B(0,2),

把A、B的坐标代入y=--^x1+bx+c得:

c=2

“1，

qxi6-4b+c=0

解得：2,

,c=2

...抛物线的解析式为：y=-工)-lx+2.

22

(2)①如图1,过点。作ONL4c于N,交AB于R作。ALLAB于",

图1

VA(-4,0),B(0,2),

：.OA=4,OB=2,

.•.AB=<^OA2-H3B2=V4+16=2炳’

:NFAN+NAFN=9G,ZFDH+ZDFH=90°,ZAFN=ZDFH,

：.ZFAN=ZFDH,

：.cosZFAN=cosZFDH,

•.•,AO—二DH,

ABDF

.4-DH

..可IF

：.DH=^^-DF,

5

.•.当。尸有最大值时，。”有最大值，

设点。(m,2vm+2)，/(m,-^-m+2),

2="2

，DF=-^-m-2ir£(m+2)+2,

当机=-2时，DF有最大值为2,

.♦.o”的最大值为生叵，

5

当点。(-2,3)时，。到AB的距离最大值为生叵；

5

②如图2,延长CB,AD交于点E,

图2

,/抛物线y=--2x+2与x轴交于点A,点C,

22

.,.点C(1,0),

:.oc=\,

:强」=胆，ZAOB=ZBOC,

OB2OA

：.ZBAO=ZCBO,

'：ZBAO+ZABO=90°,

：.ZABO+ZCBO=90°,

AZABC=90°,

'：ZDAB=ZBAC,AB^AB,ZABC=ZABE^90°,

/.△ABC^AABE(ASA),

：.BC=BE,

\'B(0,2),点C(1,0),

:,点E(-1,4),

直线AE的解析式为y=1x+^-,

33

416

y=3x4V

联立方程组：＜

y=—^x^^~x+2

y22

5

Xj=-4X2-万

解得：

yi=028

了25

.,.点。(-9

3

5.如图，抛物线》=0?+公+。(aWO)与左轴交于A(-2,0)、B(8,0)两点，与y轴交

于点C(0,4),连接AC、BC.

(1)求抛物线的表达式；

(2)。为抛物线上第一象限内一点，求△OCB面积的最大值；

(3)点P是抛物线上的一动点，当时，求点P的坐标.

备用图

解：(1):抛物线yuo?+fer+c(a/0)与x轴交于A(-2,0)、B(8,0)两点，与y

轴交于点C(0,4),

4a_2b+c=0

64a+8b+c=0,

c=4

解得：＜

.••抛物线的表达式为＞=-1X2+1X+4；

42

(2)如图，过点。作。E〃y轴交BC于点E,交x轴于点尸,

备用图

,:B(8,0),C(0,4),

直线BC解析式为y=--lx+4,

设。--m2+—m+4),

42

则E(m,-—zw+4),

2

•：D为抛物线上第一象限内一点，

2

：.DE=DF-EF=(-工m2+旦机+4)_(_Am+4)=-lm+2m,

4224

△£>CB面积=工X8XDE=4(-—n-r+2m)=-m2+Sm=-(m-4)2+16,

24

，当机=4时，△QCB面积最大，最大值为16；

(3)①当点尸在8c上方时，如图，

；/PCB=NABC,

J.PC//AB,

.•.点C,尸的纵坐标相等，

.•.点尸的纵坐标为4,

令y=4,贝！j-—^+―x+4=4,

,42

解得：x=0或x=6,

：.P(6,4)；

②当点尸在BC下方时，如图,

设PC交x轴于点H,

ZPCB=ZABC,

：.HC=HB.

设HB=HC=m,

：.OH=OB-HB=8-

在RtZSTOH中，

222

OC+OH=CHf

42+(8-m)2=m2,

解得：m=5,

JOH=3,

：.H(3,0).

设直线PC的解析式为y=kx^n,

.fn=4

•13k4n=0'

解得：3,

n=4

4.

/.y=--x+4,

3

：.p(丝，--1M).

39

综上所述，点尸的坐标为(6,4)或(丝，-独).

39

6.已知：在平面直角坐标系xOy中，抛物线丫二加+区经过点A(5,0)、8(-3,4),抛

物线的对称轴与x轴相交于点D.

(1)求抛物线的表达式；

(2)联结OB、BD.求/BDO的余切值；

(3)如果点尸在线段3。的延长线上，且NB4O=NBA。，求点尸的坐标.

25a+5b=0

解：(1)将A(5,0),2(-3,4)代入得:

9a-3b=4

A

解得：

b=4-

...所求抛物线的表达式为y=工/-互尤.

66

（2）:抛物线的表达式为>=上/-立x,

66

...抛物线的对称轴为直线尤=5,

2

...点。的坐标为（20）.

2

过点2作BCLx轴，垂足为点C,如图1所示.

:点8的坐标为（-3,4）,点。的坐标为（9,0）,

2

ABC=4,OC=3,CZ)=3+5=11

22

：.cotZBDO=—=—

CB8

（3）设点尸的坐标为Gn,〃），过点尸作PQLx轴，垂足为点。，如图2所示.

贝!JPQ=-n,OQ=m,AQ=5-m.

在Rt/XABC中，ZACB=90°，

cotNBAC=9=g=2

BC4

'：ZPAO=ZBAO,

.,.cotNE4O=旭■=.'1n=2,即m-2〃=5①.

PQ-n

：8CJ_x轴，尸0_Lx轴,

：.ZBCO=ZPQA=90°,

J.BC//PQ,

•BC=0C

"PQOQ'

=—,即4m=-3”②.

-nm

由①、②得：卜-2n=5,

I4m=-3n

20

7.抛物线y=/+6x+c经过点A(-3,0)和点8(2,0),与y轴交于点C.

(1)求该抛物线的函数表达式；

(2)点P是该抛物线上的动点，且位于y轴的左侧.

①如图1,过点P作PD±x轴于点D,作PE±y轴于点E,当PD=2PE时，求PE的长；

②如图2,该抛物线上是否存在点P,使得/ACP=/OCB?若存在，请求出所有点P的

坐标：若不存在，请说明理由.

.(Q=4+2b+c

10=9-3b+c

解得：0=1,

Ic="6

抛物线解析式为：y^x2+x-6；

(2)①设点P(a,a2+a-6),

:点尸位于y轴的左侧，

...“VO,PE=-a,

•:PD=2PE,

|tz2+«-6|=-la,

^2+tz-6=-2〃或cP'+a-6=2。，

解得：m=fl2=-3+Vo3(舍去)或.3=-2,44=3(舍去)

22

；.PE=2或上诋1；

2

②存在点P,使得/ACP=/OCB,

理由如下，

,/抛物线y=7+x-6与y轴交于点C,

...点C(O,-6),

：.OC=6,

:点B(2,0),点A(-3,0),

0B=2,OA=3,

•**BC=A/OB-HOC=44+36—2VT5，

AC=VOA2OC2=V9+36=3A/5，

如图，过点4作AH，CP于H,

△ACHsMBCO,

•.•-B-C--B-O--