2024年中考数学试题分类汇编：圆的有关计算与证明（29题）含答案及解析

专题24圆的有关计算与证明（29题）

一、单选题

1.（2024.安徽.中考真题）若扇形A05的半径为6,ZAOB=120°,则加5的长为（）

A.27rB.3兀C.47rD.6万

2.（2024・贵州・中考真题）如图，在扇形纸扇中，若ZAOB=150。,04=24,则AB的长为（

A.30KB.25兀C.2071D.IOTI

3.（2024.云南・中考真题）某校九年级学生参加社会实践，学习编织圆锥型工艺品.若这种圆锥的母线长为

40厘米，底面圆的半径为30厘米，则该圆锥的侧面积为（）

A.700兀平方厘米B.900兀平方厘米

C.120071平方厘米D.1600兀平方厘米

4.（2024・四川甘孜・中考真题）如图，正六边形ABCDEF内接于。。，04=1,则AB的长为（)

C.1D.1

5.（2024.广东广州.中考真题）如图,圆锥的侧面展开图是一个圆心角为72。的扇形，若扇形的半径/是5,

侦兀

C.2娓%D.

3

6.（2024.四川遂宁.中考真题）工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积.如图所示，排污管道的横截面是

直径为2米的圆，为预估淤泥量，测得淤泥横截面（图中阴影部分）宽48为1米，请计算出淤泥横截面的

面积（）

11

C.一兀-A/3D.—Ti——

364

7.（2024・四川广安・中考真题）如图，在等腰三角形A8C中，AB=AC=10,NC=70。，以AB为直径作半

圆，与AC,分别相交于点。，E,则0七的长度为（）

「10兀c25兀

C.-----D.——

99

8.（2024.山东威海.中考真题）如图，在扇形A03中，NAO5=90。，点C是49的中点.过点C作CELAO

交于点石，过点石作也垂足为点。.在扇形内随机选取一点尸，则点尸落在阴影部分的概率是

)

二、填空题

9.（2024.四川成者除中考真题）如图，在扇形493中，Q4=6,ZAOB=120°,则45的长为

10.（2024.黑龙江齐齐哈尔.中考真题）若圆锥的底面半径是1cm,它的侧面展开图的圆心角是直角，则该

圆锥的高为cm.

11.（2024.吉林・中考真题）某新建学校因场地限制，要合理规划体育场地，小明绘制的铅球场地设计图如

图所示，该场地由和扇形03。组成，05,0。分别与OO交于点A,DQ4=lm,OB=10m,ZAOD=40°,

则阴影部分的面积为n?（结果保留兀）.

12.（2024•内蒙古呼伦贝尔・中考真题）为了促进城乡协调发展，实现共同富裕，某乡镇计划修建公路.如

图、AB与CD是公路弯道的外、内边线，它们有共同的圆心。，所对的圆心角都是72。，点A,C,。在同

一条直线上，公路弯道外侧边线比内侧边线多36米，则公路宽AC的长是—米・（兀取3.14,计算结果精

确到0.1）

13.（2024・江苏盐城.中考真题）已知圆锥的底面圆半径为4,母线长为5,则圆锥的侧面积是

14.（2024.江苏扬州•中考真题）若用半径为10cm的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的

半径为—cm.

15.（2024・四川自贡・中考真题）龚扇是自贡“小三绝”之一.为弘扬民族传统文化，某校手工兴趣小组将一个

废弃的大纸杯侧面剪开直接当作扇面，制作了一个龚扇模型（如图）.扇形外侧两竹条ABAC夹角为

120°.长30cm,扇面的8。边长为18cm,则扇面面积为co?（结果保留1）.

16.（2024・甘肃・中考真题）甘肃临夏砖雕是一种历史悠久的古建筑装饰艺术，是第一批国家级非物质文化

遗产.如图1是一块扇面形的临夏砖雕作品，它的部分设计图如图2,其中扇形03C和扇形有相同的

圆心。，且圆心角N0=100。，若。4=120cm,OB=60cm,则阴影部分的面积是cm?.（结果用兀

表示）

17.（2024•黑龙江绥化•中考真题）用一个圆心角为126。，半径为10cm的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥

的底面圆的半径为cm.

18.（2024・广东深圳•中考真题）如图，在矩形ABCD中，BC=^2AB,。为BC中点，OE=AS=4,则扇形

EOF的面积为.

19.（2024・吉林长春・中考真题）一块含30。角的直角三角板A3C按如图所示的方式摆放，边与直线/重

合，AB=12cm.现将该三角板绕点B顺时针旋转，使点C的对应点C'落在直线/上，则点A经过的路径长

至少为cm.（结果保留万）

20.（2024•江苏苏州・中考真题）铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素.如图是一个花瓣造型的花窗示意

图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点。，所在圆的圆心C恰好是

的内心，若AB=2色,则花窗的周长（图中实线部分的长度）=.（结果保留兀）

21.（2024.甘肃临夏・中考真题）如图，对折边长为2的正方形纸片ABC。，为折痕，以点。为圆心，OM

为半径作弧，分别交AD,BC于E,尸两点，则厮的长度为（结果保留兀）.

AED

22.（2024.黑龙江大兴安岭地•中考真题）若圆锥的底面半径为3,侧面积为36兀，则这个圆锥侧面展开图的

圆心角是

23.（2024•吉林长春•中考真题）如图，A8是半圆的直径，AC是一条弦，。是AC的中点，DEJ.AB于氤

E,交AC于点/，交AC于点G,连结AD.给出下面四个结论:

®ZABD=ZDAC^

®AF=FG；

③当。G=2,GB=3时，FG=—；

2

④当BD=2AD，AB=6时，的面积是6.

上述结论中，正确结论的序号有.

三、解答题

24.（2024•广东・中考真题）综合与实践

【主题】滤纸与漏斗

【素材】如图1所示：

①一张直径为10cm的圆形滤纸；

②一只漏斗口直径与母线均为7cm的圆锥形过滤漏斗.

h-7cm-H

图1

【实践操作】

步骤1:取一张滤纸；

步骤2：按如图2所示步骤折叠好滤纸；

步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形；

步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如图1所示漏斗中.

图2

【实践探索】

（1）滤纸是否能紧贴此漏斗内壁（忽略漏斗管口处）？用你所学的数学知识说明.

⑵当滤纸紧贴漏斗内壁时，求滤纸围成圆锥形的体积.（结果保留兀）

25.（2024•黑龙江大兴安岭地•中考真题）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度,

在平面直角坐标系中，AABC的三个顶点坐标分别为A（-U）,8（-2,3）,C（-5,2）.

（1）画出AABC关于y轴对称的,并写出点用的坐标;

（2）画出绕点A逆时针旋转90。后得到的J32c2，并写出点区的坐标;

⑶在（2）的条件下，求点B旋转到点鱼的过程中所经过的路径长（结果保留兀）

26.（2024.山东•中考真题）如图，在四边形ABCD中，AD//BC,4MB=60。，AB=BC=2AD=2.以

点A为圆心，以为半径作OE交A3于点E,以点B为圆心，以防为半径作用所交8c于点P,连接ED

交炉于另一点G,连接CG.

C

D

⑴求证：CG为防所在圆的切线；

（2）求图中阴影部分面积.（结果保留万）

27.（2024・福建・中考真题）如图，在中，ZBAC=90°,AB=AC,以A3为直径的。O交于点。,

AEYOC,垂足为瓦3E的延长线交AZ）于点尸.

⑶求证：AD与E尸互相平分.

28.（2024•陕西・中考真题）问题提出

（1）如图1,在AABC中，AB=15,ZC=30°,作AABC的外接圆。O.则AC2的长为;（结果

保留兀）

问题解决

（2）如图2所示，道路48的一侧是湿地.某生态研究所在湿地上建有观测点D,E,C,线段AD,AC和3C

为观测步道,其中点A和点8为观测步道出入口，已知点E在AC上，且=/ZMB=60。，/ABC=120。,

AB=1200m,AD=BC=900m,现要在湿地上修建一个新观测点P,使/OPC=60。.再在线段AB上选一

个新的步道出入口点尸，并修通三条新步道尸尸，PD,尸C,使新步道尸产经过观测点E,并将五边形A3CPD

的面积平分.

请问：是否存在满足要求的点P和点F?若存在，求此时PF的长；若不存在，请说明理由.(点A,B,C,

P,。在同一平面内，道路A3与观测步道的宽、观测点及出入口的大小均忽略不计，结果保留根号)

29.(2024•江苏连云港•中考真题)【问题情境】

(1)如图1,圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面

积的几倍？小昕将小正方形绕圆心旋转45°(如图2),这时候就容易发现大正方形面积是小正方形面积的

由此可见，图形变化是解决问题的有效策略;

图2

【操作实践】

(2)如图3,图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边。、b、c、d之间存在某种数量关系.小昕按所示

步骤进行操作，并将最终图形抽象成图4.请你结合整个变化过程，直接写出图4中以矩形内一点P为端点

的四条线段之间的数量关系;

d

①②③④

图3

【探究应用】

(3)如图5,在图3中“④”的基础上，小昕将△PDC绕点P逆时针旋转，他发现旋转过程中NZMP存在最

大值.若PE=8,PF=5,当NDA尸最大时，求AO的长;

图5

(4)如图6,在RtZXABC中，ZC=90°,点。、E分别在边AC和8C上，连接DE、AE、BD.若AC+CD=5,

BC+CE=8,求AE+BD的最小值.

图6

专题24圆的有关计算与证明（29题）

一、单选题

1.（2024.安徽.中考真题）若扇形AQ3的半径为6,ZAOB=120°f则加5的长为（）

A.27rB.3兀C.4万D.6万

【答案】C

【分析】此题考查了弧长公式，根据弧长公式计算即可.

【详解】解：由题意可得，AB的长为与守=4万，

180

故选：C.

2.（2024・贵州•中考真题）如图，在扇形纸扇中，若403=150。，04=24,则相的长为（）

A.30兀B.25TIC.20TID.IOTT

【答案】C

【分析】本题考查了弧长，根据弧长公式：/=2三求解即可.

【详解】解：403=150。，01=24,

,,,..1507ix24M

,•AB的长为77T=207t,

loll

故选：C.

3.（2024.云南・中考真题）某校九年级学生参加社会实践，学习编织圆锥型工艺品.若这种圆锥的母线长为

40厘米，底面圆的半径为30厘米，则该圆锥的侧面积为（）

A.700兀平方厘米B.900兀平方厘米

C.120071平方厘米D.1600兀平方厘米

【答案】C

【分析】本题考查了圆锥的侧面积，先求出圆锥底面圆的周长，再根据圆锥的侧面积计算公式计算即可求

解，掌握圆锥侧面积计算公式是解题的关键.

【详解】解：圆锥的底面圆周长为271x30=6071厘米，

，圆锥的侧面积为:X60TIX40=1200无平方厘米，

故选：C.

4.（2024•四川甘孜・中考真题）如图，正六边形A3CDE/内接于。0,OA=1,则48的长为（）

A.2B.6C.1D.1

【答案】C

【分析】本题考查了正六边形的性质，等边三角形的判定和性质，由正六边形的性质得到4403=60。，得

到AAOB为等边三角形，进而得到。4=AS=1,判断出JOB为等边三角形是解题的关键.

【详解】解：*/ABCDEF是正六边形，

360°

ZAOB=——=60°,

6

•/OA=OB,

...AAOB为等边三角形，

Q4=AB=1,

故选：C.

5.（2024.广东广州•中考真题）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为72。的扇形，若扇形的半径/是5,

【答案】D

【分析】本题考查了弧长公式，圆锥的体积公式，勾股定理，理解圆锥的底面周长与侧面展开图扇形的弧

长相等是解题关键，设圆锥的半径为厂，则圆锥的底面周长为2万r,根据弧长公式得出侧面展开图的弧长,

进而得出厂=1,再利用勾股定理，求出圆锥的高，再代入体积公式求解即可.

【详解】解：设圆锥的半径为广，则圆锥的底面周长为2万厂，

V圆锥的侧面展开图是一个圆心角为72。的扇形，且扇形的半径/是5,

••・扇形的弧长为7胃,77"3X5=2万，

180

•••圆锥的底面周长与侧面展开图扇形的弧长相等,

2JIY=2乃，

圆锥的高为一F=2屈，

；•圆锥的体积为工万xfx2&=友万,

33

故选：D.

6.（2024.四川遂宁•中考真题）工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积.如图所示，排污管道的横截面是

直径为2米的圆，为预估淤泥量，测得淤泥横截面（图中阴影部分）宽48为1米，请计算出淤泥横截面的

面积（）

【答案】A

【分析】本题考查了垂径定理,勾股定理，等边三角形的判定和性质，求不规则图形的面积,过点。作8,AB

于。，由垂径定理得AO=8O=[A3=1m,由勾股定理得0。=1m,又根据圆的直径为2米可得

OA=OB^AB,得到AAC®为等边三角形，即得NAO3=60。，再根据淤泥横截面的面积=S扇形AOB-S^AOB即

可求解，掌握垂径定理及扇形面积计算公式是解题的关键.

【详解】解：过点。作钻于£>,则4£>=3£>=工43=工111,ZADO=90°,

22

•••圆的直径为2米,

OA=OB=1m，

6

.•.在KAAOD中，OD^ylo^-AD2——m,

2

'：OA=OB=AB,

・・・AAQB为等边三角形,

・・・ZAC®=60。，

二・淤泥横截面的面积=s扇形=粤展:兀一乎m2,

Jot）z2（64）

故选：A.

7.（2024.四川广安•中考真题）如图，在等腰三角形A3C中，AB=AC=10,ZC=70°,以AB为直径作半

圆，与AC,分别相交于点。，E,则OE的长度为（）

【答案】C

【分析】本题考查了求弧长.根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求得NA的度数，证明O石〃AC,

再由。4=QD,再由等腰三角形的性质和平行线的性质求得NDO£的度数，利用弧长公式即可求解.

【详解】解：连接O。，0E,

u：AB=AC,

：.ZABC=ZC=70°,

•：OE=OB,

：.ZOEB=ZB=70°,

：.ZOEB=ZC=70°

：.OE//AC,

在AA6C中，ZA+Zz4BC+ZC=180°,

・・・ZA=180°-ZABC-ZC=180°-70°-70°=40°,

XOA=OD=-AB=5

29

,：OE\\AC

・・・ZA=ZADO=40°=ZDOE,

.40兀x510K

••OE的长度为飞鼠二6，

故选：C.

8.(2024•山东威海・中考真题)如图，在扇形A03中，NAO6=90。，点C是AO的中点.过点C作CELAO

交A8于点E,过点E作EDLOB,垂足为点£).在扇形内随机选取一点尸，则点尸落在阴影部分的概率是

()

2

D.

3

【答案】B

【分析】本题考查的是求不规则图形的面积，几何概率，根据阴影部分面积等于扇形。班的面积，即可求

解.

【详解】解：VZAOB=90°,CE1AO,EDVOB

••四边形OCD£是矩形，

・

•q2AoeE―~q2QDE

,•S阴影部分=S&ODE+SBDE=S扇形OBE

.•点。是49的中点

*.OC=-OE=DE

2

\sinZEOD=—=-

OE2

・・/EOD=3U0

2222

'V_c_i_c一,、_30KxAO_TixAO_90KxAO_TixAO

,”阴影部分°AODE十OBDE」‘扇形OBE36012扇形4OB3604

7CXAO2

点P落在阴影部分的概率是萍生==2

S扇形.OB兀3

4

故选：B.

二、填空题

9.（2024.四川成都・中考真题）如图，在扇形AOB中，OA=6,ZAOB=120°,则A8的长为

【分析】此题考查了弧长公式，把己知数据代入弧长公式计算即可.

【详解】解：由题意得A8的长为

故答案为：4兀

10.（2024•黑龙江齐齐哈尔.中考真题）若圆锥的底面半径是1cm,它的侧面展开图的圆心角是直角，则该

圆锥的高为cm.

【答案】V15

【分析】本题考查了圆锥的计算.设圆锥的母线长为R根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长

等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到2万•：!=告等，然后解方程即可得母线

长，然后利用勾股定理求得圆锥的高即可.

【详解】解：设圆锥的母线长为上

根据题意得2万J=2黑，

lot）

解得：R=4.

即圆锥的母线长为4cm,

•,＜圆锥的高="不-I2=

故答案是：屈.

11.（2024・吉林・中考真题）某新建学校因场地限制，要合理规划体育场地，小明绘制的铅球场地设计图如

图所示，该场地由。。和扇形组成，。8,。。分别与。。交于点4。.OA=lm,O3=10m,ZAOD=40°,

则阴影部分的面积为n?（结果保留兀）.

【答案】11万

【分析】本题考查了扇形面积公式，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键.

利用阴影部分面积等于大扇形减去小扇形面积，结合扇形面积公式即可求解.

【详解】解：由题意得：S"40%（l°T）=lbr'

阴影360

故答案为：11%.

12.（2024•内蒙古呼伦贝尔・中考真题）为了促进城乡协调发展，实现共同富裕，某乡镇计划修建公路.如

图、A8与CD是公路弯道的外、内边线，它们有共同的圆心O,所对的圆心角都是72。，点A,C,。在同

一条直线上，公路弯道外侧边线比内侧边线多36米，则公路宽AC的长是一米.（无取3.14,计算结果精

确到0.1）

【答案】28.7

【分析】本题考查了弧长公式，解一元一次方程等知识，利用弧长公式并结合题意可得出

=36,进而得出-72：。jC=36,然后解方程并按要求取近似数即可.

180loOlot）

▼、斗必、的4•口丰口口石土/日772^•OA.727r•℃*

【详斛】解：根据题思，得lAB=180，/CD=RO，

•••公路弯道外侧边线比内侧边线多36米，

.72rok72noe»

••—36,

180180

,尸叱也即生”=36

180180

解得AC='90.P9208.7,

it3.14

故答案为：28.7.

13.（2024・江苏盐城・中考真题）已知圆锥的底面圆半径为4,母线长为5,则圆锥的侧面积是

【答案】20万

【分析】结合题意，根据圆锥侧面积和底面圆半径、母线的关系式计算，即可得到答案.

【详解】解：•••圆锥的底面圆半径为4,母线长为5

圆锥的侧面积S=/rx4x5=20万

故答案为：20万.

【点睛】本题考查了圆锥的知识，解题的关键是熟练掌握圆锥的性质，从而完成求解.

14.（2024•江苏扬州•中考真题）若用半径为10cm的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的

半径为—cm.

【答案】5

【分析】本题考查了圆锥的计算.用到的知识点为：圆锥的侧面展开图弧长等于底面周长.

根据题意得圆锥的母线长为10cm,以及圆锥的侧面展开图的弧长，也就是圆锥的底面周长，除以2万即为

圆锥的底面半径.

【详解】解：圆锥的侧面展开图的弧长为2万x10+2=10万（cm）,

，圆锥的底面半径为10万+2万=5（cm）,

故答案为：5.

15.（2024.四川自贡・中考真题）龚扇是自贡“小三绝”之一.为弘扬民族传统文化，某校手工兴趣小组将一个

废弃的大纸杯侧面剪开直接当作扇面，制作了一个龚扇模型（如图）.扇形外侧两竹条AB,AC夹角为

120°.A3长30cm,扇面的边长为18cm,则扇面面积为cm?（结果保留］）.

A

【答案】252万

【分析】根据扇形公式进行计算即可.本题考查了扇面面积计算，掌握扇面面积等于两个扇形面积相减是

解题的关键.

【详解】解：扇面面积=扇形R4c的面积一扇形D4E的面积

_120x^-x302120x^-x（30-18）2

—360360

=300»-487r

=252»（加2）,

故答案为：252Tl.

16.（2024・甘肃・中考真题）甘肃临夏砖雕是一种历史悠久的古建筑装饰艺术，是第一批国家级非物质文化

遗产.如图1是一块扇面形的临夏砖雕作品，它的部分设计图如图2,其中扇形03c和扇形OAD有相同的

圆心O,且圆心角N0=100。，若Q4=120cm,OB=60cm,则阴影部分的面积是cm?.（结果用兀

表示）

【答案】3000万

【分析】根据扇形面积公式计算即可.本题考查了扇形面积公式，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键.

【详解】•.,圆心角NO=100。，CM=120cm,OB=60cm,

=3000万cm2

故答案为：3000万.

17.（2024•黑龙江绥化•中考真题）用一个圆心角为126。，半径为10cm的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥

的底面圆的半径为cm.

【答案】|

【分析】本题考查了弧长公式，根据圆锥的底面圆的周长等于侧面的弧长，代入数据计算，即可求解.

【详解】解：设这个圆锥的底面圆的半径为Rem,由题意得，^xlOx7t=27rT?

180

7

解得：R=~

7

故答案为：—.

2

18.（2024・广东深圳・中考真题）如图，在矩形ABCD中，BC=^2AB,。为8c中点，OE=AB=4,则扇形

EOF的面积为.

BOC

【答案】4万

【分析】本题考查了扇形的面积公式，解直角三角形.利用解直角三角形求得N3OE=45。，NCOF=45。,

得到/EO尸=90。，再利用扇形的面积公式即可求解.

【详解】解：：BC=^AB,AB=4,

8c=40,

：。为2C中点,

：.OB=OC=-BC=2y[2,

2

OE=A,

在RWE中，cosNBOE=^=乎岑,

：.N3OE=45°,

同理/CO/=45°,

NEOF=180°-45°-45°=90°,

•••扇形EOF的面积为90"=4万,

360

故答案为：4万.

19.（2024.吉林长春•中考真题）一块含30。角的直角三角板A3C按如图所示的方式摆放，边AB与直线/重

合，AB=12cm.现将该三角板绕点3顺时针旋转，使点C的对应点C'落在直线/上，则点A经过的路径长

至少为.cm.（结果保留万）

【分析】本题主要考查了旋转的性质、弧长公式等知识点，掌握弧长公式成为解题的关键.

由旋转的性质可得/钻。=/4'8。=60。,即//阴=120°,再根据点A经过的路径长至少为以B为圆心,

以为半径的圆弧的长即可解答.

【详解】解：•••将该三角板绕点8顺时针旋转，使点C的对应点C'落在直线/上,

ZABC=ZABC=60°,即ZA'BA=120°,

120°•万J020万

•••点A经过的路径长至少为

180°3

故答案为：平

20.（2024.江苏苏州・中考真题）铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素.如图是一个花瓣造型的花窗示意

图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点。，A8所在圆的圆心C恰好是

△ASO的内心，若AB=26,则花窗的周长（图中实线部分的长度）=.（结果保留无）

【答案】87t

【分析】题目主要考查正多边形与圆，解三角形,求弧长，过点C作CEJLAB，根据正多边形的性质得出“103

为等边三角形，再由内心的性质确定，C4O=NC4E=/CBE=30。，得出/ACB=120。，利用余弦得出

AC=T;=2,再求弧长即可求解，熟练掌握这些基础知识点是解题关键・

cos30

【详解】解：如图所示：过点C作CELA5,

O

:六条弧所对应的弦构成一个正六边形,

ZAOB=60°,OA=OB,

”03为等边三角形，

圆心C恰好是AABO的内心，

ZCAO=NCAE=/CBE=30°,

：.ZACB=nQ0,

AB=2^/3,

：.AE=BE=5

.’4

，花窗的周长为：—7ix6=8;t,

故答案为：87r.

21.（2024•甘肃临夏•中考真题）如图，对折边长为2的正方形纸片A5CD,O”为折痕，以点。为圆心，OM

为半径作弧，分别交AD,BC于E,尸两点，则斯的长度为（结果保留兀）.

【答案】胃2万中2

【分析】本题主要考查了弧长的计算、正方形的性质及翻折变换（折叠问题），解直角三角形，熟知正方形

的性质、图形翻折的性质及弧长的计算公式是解题的关键.

由对折可知，/EOM=NFOM,过点E1作的垂线，进而可求出/EQW的度数，则可得出/EO尸的度

数，最后根据弧长公式即可解决问题.

【详解】解：：折叠，且四边形ABC。是正方形

四边形AOMD是矩形，ZEOM=ZFOM,

则OM=AD=2,DM=-CD=l.

2

过点E作于P,

则EP=DM=!O)=1,

2

•.•OE=OAf=AD=2,CD=AD=2,

:.EP=-OE.

2

EP1

在Rt^EOP中，sin/EOP=----=—,

OE2

:.ZEOP=30°,

贝！JNEOFMBOOXZMGO。，

60-71-22TI

.•.EF的长度为：———=—

loU3

故答案为：

22.（2024•黑龙江大兴安岭地•中考真题）若圆锥的底面半径为3,侧面积为36兀，则这个圆锥侧面展开图的

圆心角是°.

【答案】90

【分析】此题主要考查了圆锥的侧面积公式以及与展开图扇形面积关系，求出圆锥的母线长是解决问题的

关键.根据圆锥的侧面积公式S=7r〃求出圆锥的母线长，再结合扇形面积公式即可求出圆心角的度数.

【详解】根据圆锥侧面积公式：S-nrl,可得兀x3x/=367t

解得：I=12,

解得n—90,

二侧面展开图的圆心角是90。.

故答案为：90.

23.（2024•吉林长春・中考真题）如图，是半圆的直径，AC是一条弦，。是AC的中点，DE，AB于息

E,交AC于点F，DB交AC于点G,连结AD.给出下面四个结论：

①ZABD=〃AC；

@AF=FG；

③当。G=2,GB=3时，FG=—；

2

④当BD=2AD，AB=6时，的面积是由.

上述结论中，正确结论的序号有.

【分析】如图：连接DC,由圆周角定理可判定①；先说明/BDE=NAGD、ZADE=NDAC可得DF=FG、

AF=FD,即AF=FG可判定②；先证明AADGSAB"可得丝=丝，即=丝，代入数据可得

AD=y/10,然后运用勾股定理可得AG=JiX，再结合人尸=而即可判定③；如图：假设半圆的圆心为O,

连接OD,CO,CD,易得NA8=NDOC=60。，从而证明AA8,AODC是等边三角形，即ADCO是菱形，

然后得到NZMC=/（MC=30。，再解直角三角形可得Z）G=2g,根据三角形面积公式可得，曲=66,

最后根据三角形的中线将三角形平分即可判定④.

【详解】解：如图：连接。C,

是AC的中点,

***AD=DC^

：.ZABD=ZDAC,即①正确;

*.*是直径，

・•・ZADB=90°,

：.ZDAC+ZAGD=90°,

•:DEJ.AB

：.?BDE2ABD90?,

ZABD=ZDACf

：.ZBDE=ZAGDf

：.DF=FG,

9：?BDE?ABD90?,ZBDE+ZADE=90°,

・•・ZADE=ZABD,

•・•ZABD=ZDACf

：.ZADE=ZDAC,

：・AF=FD,

・•.”=/G,即②正确；

在△ADG和△BD4,

[ZADG=ZBDA=90°

[ZDAG=ZDBA

：.AADGSRDA,

,ADGDADGD

・・---=---,艮RJn------------=-----

BDADDG+BGAD

.AD_2

=-'一,即AD=VTo,

1*2+3AD

AG=4AET+DG1=s/14，

•：AF=FG,

：.FG=-AG=~,即③正确；

22

如图：假设半圆的圆心为O,连接ORCO,。，

AB=6,。是AC的中点，

AD=DC=-AB,

3

/.ZAOD=Z.DOC=60°,

OA=OD=OC,

AAOLUODC是等边三角形，

Q4=AD=CD=OC=OD=6,即ADCO是菱形，

ADAC=ZOAC=-ZDAO=30°,

2

,?ZADB=90°,

：.tanZJDAC=tan30°=—,即且=四，解得：DG=243,

AD36

AXXA

：.SiADG=1£>-£)G=162/3=6^,

AF^FG

：4即=!皿=36,即④错误・

故答案为：①②③.

【点睛】本题主要考查了圆周角定理、解直角三角形、相似三角形的判定与性质、勾股定理、菱形的判定

与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键.

三、解答题

24.（2024・广东・中考真题）综合与实践

【主题】滤纸与漏斗

【素材】如图1所示：

①一张直径为10cm的圆形滤纸；

②一只漏斗口直径与母线均为7cm的圆锥形过滤漏斗.

h-7cm-H

图1

【实践操作】

步骤1:取一张滤纸；

步骤2：按如图2所示步骤折叠好滤纸；

步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形；

步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如图1所示漏斗中.

图2

【实践探索】

(1)滤纸是否能紧贴此漏斗内壁(忽略漏斗管口处)？用你所学的数学知识说明.

⑵当滤纸紧贴漏斗内壁时，求滤纸围成圆锥形的体积.(结果保留兀)

【答案】⑴能,见解析

【分析】本题考查了圆锥，解题的关键是：

(1)利用圆锥的底面周长=侧面展开扇形的弧长求出圆锥展开图的扇形圆心角，即可判断；

(2)利用圆锥的底面周长=侧面展开扇形的弧长，求出滤纸围成圆锥形底面圆的半径，利用勾股定理求出

圆锥的高，然后利用圆锥体积公式求解即可.

【详解】⑴解:能，

理由：设圆锥展开图的扇形圆心角为“。，

riTT•7

根据题意，得%~=7兀，

lo(J

解得〃=180?,

.••将圆形滤纸对折，将其中一层撑开，围成圆锥形，此时滤纸能紧贴此漏斗内壁；

(2)解：设滤纸围成圆锥形底面圆的半径为rem,高为/2cm,

3工口口=+,口―180^x5

根据题思，得271T=——-一,

180

解得g,

2

,,"=卜-圆=2

.•.圆锥的体积为工7tr2h=x-V3=—>/3cm3.

33⑵224

25.（2024•黑龙江大兴安岭地•中考真题）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度,

在平面直角坐标系中，"RC的三个顶点坐标分别为网-2,3）,C（-5,2）.

（1）画出“LBC关于y轴对称的△AB|G，并写出点耳的坐标；

⑵画出AABC绕点A逆时针旋转90。后得到的AA与G，并写出点层的坐标；

⑶在（2）的条件下，求点8旋转到点层的过程中所经过的路径长（结果保留兀）

【答案】（1）作图见解析，4（2,3）

⑵作图见解析，B2（-3,0）

⑶事

2

【分析】本题考查了利用旋转变换作图，轴对称和扇形面积公式等知识，熟练掌握网格结构准确找出对应

点的位置是解题的关键.

（1）根据题意画出即可；关于y轴对称点的坐标横坐标互为相反数，纵坐标不变；

（2）根据网格结构找出点8、C以点A为旋转中心逆时针旋转90。后的对应点，然后顺次连接即可；

（3）先求出AB=有,再由旋转角等于90。，利用弧长公式即可求出.

【详解】（1）解：如图，△A与G为所求；点用的坐标为（2,3）,

(2)如图，AAB2c2为所求；B2(-3,0),

(3)AB=Vl2+22=小，

点B旋转到点B2的过程中所经过的路径长90X6"=旦兀.

1802

26.(2024.山东・中考真题)如图，在四边形A3C。中，AD//BC,ZDAB=60°,AB=3C=2AD=2.以

点A为圆心，以AO为半径作OE交A3于点E,以点B为圆心，以防为半径作厮所交8c于点P,连接厂£(

交用于另一点G,连接CG.

⑴求证：CG为厮所在圆的切线；

(2)求图中阴影部分面积.(结果保留万)

【答案】(1)见解析

c、373兀

⑵丁一§

【分析】本题考查平行四边形的性质和判定，圆的性质，扇形面积，等边三角形的性质等知识点，证明四

边形ABFD是平行四边形是解题关键.

(1)根据圆的性质，证明3/=8E=AD=AE=CF,即可证明四边形ABED是平行四边形，再证明AB/P

是等边三角形，再根据圆的切线判定定理即可证得结果.

(2)先求出平行四边形的高。f,根据扇形面积公式三角形面积公式，平行四边形面积公式求解即可.

【详解】(1)解：连接BG如图，

c

AEB

根据题意可知：AD=AE,BE=BF

又：AB=BC,

：.CF=AE=AD,

,：BC^2AD,

：.BF=BE=AD=AE=CF,

'：AD//BC,

A四边形ABED是平行四边形，

/BFD=/DAB=60。,

,：BG=BF,

：.△班‘G是等边三角形，

/.GF=BF,

：.GF=BF=FC,

，G在以BC为直径的圆上，

ZBGC=90°,

CG为防所在圆的切线.

(2)过。作。于点打，

由图可得：$阴影=S口ABFD-S扇AED-S扇―^BFG，

在中，AD=1,/ZMB=60。,

，DH=AD-sinZDAB=lx是=也,

22

/.SUA.DRrFLnf=AB-DH=2x—2=vy/3,

由题可知：扇形和扇形3GE全等,

njvr1_60TT(AD)_60x^-xl2_n

-

扇电一扇BGE-360_360_3606

等边三角形B尸G的面积为：LGFDH=LX\X®=也，

2224

•c_c_c_c_c_£n兀_3'J^n

••»阴影—一»扇血>一》扇BEG_J&BFG_"一%一%'一彳―一y

27.(2024・福建・中考真题)如图，在AABC中，ZBAC=90°,AB=AC,以AB为直径的。。交BC于点。,

AE±OC,垂足为区BE的延长线交A。于点P.

⑴求大的值；

AE

⑵求证：AAEB^ABEC；

(3)求证：与E尸互相平分.

【答案】⑴g

(2)证明见解析

(3)证明见解析

ACAF

【分析】(1)先证得AC=2AO,再在RSAOC中，tanZAOC=——=2.在RtZkAQE中，tanZAOC=——,

AOOE

AE

可得仁=2,再证得结果；

OE

(2)过点8作R欣〃AE,交E0延长线于点/,先证明AAO£丝ABOW,O\^AE=BM,OE=OM,再证

得ZBAE=NCBE,再由相似三角形的判定可得结论；

AF7AOAO

(3)如图，连接。E,DF,由(2)AAEBs^BEC,可得一=—=—^=—,ZE4O=ZEBD,从而得

BEBC2BDBD

出AAOESABDE,得出N3EE>=NAEO=90。，得出ZAFB=ZDEF,再由平行线判定得出AF〃/)E,

AE//FD,从而得出四边形AEDF是平行四边形，最后由平行四边形的性质可得结果.

【详解】(1)•,•AB=AC,且A3是O。的直径，

..AC=240.

vZfi4C=90°,

•.在RjAOC中，tanZAOC=—=2.

AO

•/AE±OC,

AF

••.在RtZXAOE中，tanZAOC=——

OE

A

OE1

AE2

(2)过点5作交E。延长线于点M.

/.ZBAE=ZABM,ZAEO=ZBMO=90°.

­AO=BO,

.△AOEgABOM,

.AE=BM,OE=OM.

OE_1

1~AE~2f

.BM=2OE=EM,

.ZMEB=ZMBE=45。,

.ZAEB=ZAEO+ZMEB=135。,ZBEC=180°-ZMEB=135°,

,ZAEB=ZBEC.

-AB=AC,ZBAC=90°,

.NABC=45。，

.ZABM=NCBE,

.ZBAE=NCBE,

.△AEBs^BEC.

(3)如图，连接尸.

c

•「AB是。。的直径,

:.ZADB=ZAFB=90°,AB=2AO.

AB=AC,ABAC=90°,

:.BC=2BD,NDAB=45°.

由（2）知，AAEB^ABEC