2024年中考数学提高复习讲义：相似三角形及其判定

相似三角形及其判定

知识梳理

相似三角形的判定方法如下：

(1)两角对应相等，两个三角形相似.

(2)两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似.

(3)三边对应成比例，两三角形相似.

(4)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两

个直角形相似.

(5)平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似.

(6)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似.

典型例题

例1

如图所示,D为AABC的AB上一点，过D作DE〃AC于点E,已知DB:AB=2:3,AC=12cm,求DE的长.

解析因为DE〃AC,

所以△BDE^>ABAC,

所以DB=DE=2

尸"人ABAC3,

所以DE=8cm.

例2

如图所示，在等边三角形ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且^ADE=60。,BD=4,CE=

泅△4BC的面积为（）.

48百B.15

C.9V3D.12V3

解析因为三角形ABC为等边三角形，

所以.NB=NC=60。,48=BC=AC.

因为在△ABD和.ADCE中,NB=NC=60°,

所以/B+ZBAD+ZADB=180°,ZC+ZCDE+ZDEC=180°,例2图

所以/BAD+/ADB=12（T,/CDE+/DEC=120。.

又因为/ADE=60。，

所以/ADB+NCDE=120。，

所以/BAD=ZCDE,ZADB=ZDEC,

所以△ABDS/XDCE,

所以"®=AB

CEDCAB-BD

代入数据得:AB=6

由等边三角形的面积S=呷AB?=9V3.

故选c.

例3

如图所示，在正方形ABCD中，P为BC上的一点，且BP=3P&Q是CD的中点，求证:△ADQ^AQCP.

解析解决此题的关键是认真分析图形，找出切入口，利用所学的知识解决，灵活应用定理.

在正方形ABCD中，

因为Q是CD的中点，

所以黑=2.

又因为詈=3,所以薮=4.

又因为BC=2DQ,

所以笔=2.

在AADQ和AQCP中，黄=震4=功=90°.

所以△ADQs/XQCP.

例4

若在矩形中较短边与较长边的比例正好为黄金比例，则称此矩形为黄金矩形.现已知矩形ABCD为黄金矩形，其

中一边长为AD=4cm,且E,F分别是BC,DC边的黄金分割点(CE>BE,CF>DF),试判断△AEF的形状，并求出它的面积.

解析因为矩形ABCD为黄金矩形，且AD=4cm,

所以^0=^^已知AD=4cm,

所以4B=2（V5—l）cm.

又因为ABCD为矩形，

所以（）

4B=CD=2V5-lcmMD=BC=4cm.例4图

因为E,F分别是BC,DC边的黄金分割点（CE>BE,CF>DF）

gr-piCE_V5-1CF_V5-1

所人CB-2'CD~2，

所以CE=2（V5-l）cm,CF=2（V5-l）cmx笞=（6-2V5）cm

BE=BC-CE=（6-2V5）cm.

在4ABEECF中,NB=NC=90°,AB=CE=2（V5-l）cm,

BE=CF=（6-2V5）cm,

所以△ABE^AECF,

所以AE=EF,ZBAE=ZCEF,ZAEB=ZEFC,

所以NBAE+NEFC=90。，

所以△AEF为等腰直角三角形.

在RtAAEF中,由勾股定理得

2222

SAEF=|4ExFF=jx/IE=IX{AB+BE）=（20-8V5）cm.

双基训练

1.下列命题正确的是().

A.所有直角三角形都相似B.所有等腰三角形均相似

C.所有等边三角形的相似比均为1D.所有等腰直角三角形均相似

2.已知AABCs/XAEC,若/次=45。,/。=100。,则/8=().

A.25°B.35°C.45°D.100°

3.已知△ABCs^ABC,AB=3,AB=1.5,则△ABC与公ABC的相似比为（）.

A.2:lB.l:2

C.2:3D.3:2

4.如图所示,△ABCs^ADE,则下列命题中正确的是（）.

A.ZAED=ZABCB.ZADE=ZACB

AEAD「EDAD

C.—=—L）.—=—第4题图

EBDCBCAB

5.如图所示,△ABC中,D,E分别为AB,AC的中点，则下列说法错误的是（）.

A.—=—B.BC=2DE

AEAC

-1

JSADE=2^ABCDAADE0°△ABC

6.如图所示，在等边^ABC中,D,E分别为BC,AC上一点,△DCE-AABD,^ZADE=（）.

A.60°B.90°C.120°D.150°

7.如图所示，ABCD为菱形，A为BE的中点,则图中相似三角形个数为（）.

A.1个B.2个C.3个D.4个

8.在正三角形ABC中,D,E分别在边AB,AC上，且AD=/&则有（）.

4D

A.AAED^ABEDB.AAED^>ACBD

C.AAED^AABDD.ABAD^ABCD

9.如图所示,在平行四边形ABCD中,E,F分别为AD,CD边上的点，连接BE,AF,分别相交于点G,延长BE

交CD的延长线于点H,则图中相似三角形有（）

A.2对B.3又寸

C.4对D.5对

第9题图

10.将△ABC各边全部扩大为原来3倍得到△A'B'C,则下面结论中正确的是（）.

A.AABC与△A'BC一定不相似

B.AABC与AABC的相似比为1:3

C.AABC与4ABC的周长比为1:9

D.AABC-^AAEC的面积之比为9:1

11.如图所示，小正方形边长均为1,则下列选项中的三角形（阴影部分）与4ABC相似的是（）.

12.如图所示，D为RtAABC内任意一点，过D作直线截得三角形与△ABC相似，则这样的直线共有（）.

A.2条B.3条

C.4条D.6条

第12题图

13.如果一个直角三角形的两条边长分别为5,12,另一个相似直角三角形边长分别为2.5,6和x,则x的值（）.

A.只有一个B.可以有两个

C.有两个以上，但有限D.有无数个

14.如图所示,在等边三角形ABC中，点D,E分别在AB,AC上，且△ADEs/\ABC,已知DE=2,AD:AB=l:4,g^A

ABC的周长为

15.如图所示,N4BC=AADB=90°,AC=10,BD=9，如果△ABC^ABDA,!J!]BC=.

16.将三角形纸片口ABC），按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上记为点B',折痕为EF.已知AB=AC

=6,BC=8若以点B',F,C为定点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是—.

17.已知△ABC与△4隹心相似，目相似比为：,4/心与△A2B2C22的相似比为？,贝必ABC与/△A2B2C2

47

的相似比为一.

18.如图所示,四边形DECF为平行四边形,AD=2,BD=4,BF=5,贝!]DE=.

19.如图所示，已知A(6,0),B(0,8),C(8,4),作CD_Lx轴,D为垂足，连接AB.BC,AC.求证:△ACD^AABC.

20.如图所示,在矩形ABCD中点E为BC边上的一动点DF，AE于点F.连接DE,求证:△ABE-ADFA.

第20题图

能力提升

2L如图所示,AB，BC,CD，BC,且△ECDs△ABE,则下列命题中正确的个数有（

(1)ZAEB=ZDEC;

(2)ZBAE=ZDEC;

⑶器差

(4)ZAED=90°

A.lB.2第21题图

C.3D.4

22如图所示公ABC与小ADE都是等腰直角三角形,NBAC=NDEA=90。,四边形ACDE是平行四边形，连接CE

交AD于点F,连接BD交CE于点G,连接BE,下列结论中:①OE=BD;②4ADC是等腰直角三角形;③/ADB=/AE

B;④CD-AE=EF-CG厕下列结论中一定正确的有（）.

A.1个B.2个

C.3个D.4个

第22题图

23.如图所示,在矩形ABCD中,AB=m,BC=n,E为BC中点，作DF±AE于F,则DF=().

/mnBmn。2mn02mn

-V4m2+n2'Vm2+4n2*Vm2+4n2'V4m2+n2

24.如图所示,正方形ABCD中,E为AB中点,AFLDE于O,则需=().

2

ABC.-

-l13D当

第23题图第24题图第25题图

25.如图所示,P为线段BC上一点,AD与BC交于E,ZCPD=ZA=ZB,BC交PD于F,AD交PC于G,则图中相

似三角形有().

A.1对B.2对C.3对D.4对

26.如图所示，梯形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,G为BD中点若AD=3,BC=9,则GO:BG=().

A.l:2B.l:3C.2:3D.11:20

27.如图所示，等边三角形ABC中,D,E分别为AB,BC边上一点AD=BE,AE与CD交于点F,AG±CD于点G,则

AG

~AF~-

第26题图第28题图

28.如图所示，在RtAABC中,NC=9(T,D,E,F分别为AC,AB,BC边上的点,四边形DEFC为正方形,AF与DE交于

G,AC=3,BC=2厕GE=.

29.如图所示M为正方形ABCD边AB上一点,BP_LCM于点P,PN±PD交BC于N,求证:△PBN^APCD.

第29题图

30.如图所示，四边形ABCD为矩形，直线1垂直平分线段AC,垂足为O,直线1分别与直线AD,CB的延长

线交于E,F.

⑴求证:AABC△FOA.

⑵试判断四边形AFCE的形状.

拓展资源

31.如图所示，在△ABC中,AB=AC,E,D是4ABC内两点,AD平分NBAC,NEBC=NE=60。,若BE=6cm,DE=2cm,

则BC=

第31题图

32.如图所示，已知AB=AC,ZA=36°,AB的中垂线MN交AC于点D,交AB于点M,下面的四个结论:①射线BD

是4ABC的角平分线;②ABCD是等腰三角形;③△ABCs/\BCD;④ZXAMD取ABCD.

⑴判断其中正确的结论是哪几个.

⑵选择一个你认为是正确的结论加以证明.

第32题图

33.已知矩形ABCD,对角线AC,BD交于点O,P为一动点,PE14C于E,PF1BD于F,AB=6,BC=8,当P在AD

上移动时（不与AD中点重合），则.PE+PF的值是否发生变化?若发生变化，请说明理由；若不变化，请加以说明.

第33题图

34.已知四边形ABCD中,E,F分别是AB,AD边上点,DE与DF交于点G.

(1)如图⑴所示，若四边形ABCD是矩彩且DE1CF,求证：差=*

CFCD

(2)如图(2)所示,若四边形ABCD是平行四边形，试探究：当乙B与NEGC满足什么关系时，使得票=告成

立?并证明你的结论.

⑶如图⑶所示，若BA=BC=6,DA=DC=8,NBAD=9(r,DE，CF,请直接写出差的值.

35.矩形ABCD中,AB=4cm,BC=8cm,AC的垂直平分线EF分别交AD.BC于点E,F,垂足为0.

⑴如图⑴所示，连接AF,CE.求证:四边形AFCE是菱形，并求AF的长.

(2)如图(2)所示，动点P,Q分别从A,C两点同时出发，沿△AFB和^CDE各边匀速运动一周，即点P自A—F—B

->A停止，点Q自C—>D—>E—>C停止，在贬动过程中：

①已知点P的速度为每秒5cm,点Q的速度为每秒4cm,运动时间为t秒，当以A,C,P,Q四点为顶点的

四边形是平行四边形时，求t的值；

②若点P,Q的运动路程分别为％坂单位:(^用屏0),已知A,C,P,Q为顶点的四边形是平行四边形，求a与b满足

的数量关系.

(1)

第35题图

1-5DBADC6-10ACBCB11-13DCB

14.2415.816.4或上17-18:

772

19.因为A(6,0),B(0,8)

所以OA=6,OB=8

所以BA=10

又因为C(8,4),A(6,0)

所以AC=2V5,CD=4,AD=2

又因为B(0,8),C(8,4)

所以BC=4V5

-4—.—工mA.AC4QCDV5

在^ACD和^ABC中,—=—=—=—

所以△ACD^AABC

20.因为四边形ABCD是矩形

所以AD〃BC,/B=90。

所以/DAE=/AEB

又因为DFLAE

所以NDFA=90。

在小ABE和仆DFA中,/B=/DFA=9(T,NDAE=/AEB

所以△ABE^ADFA

21-26CDDACA27.a28.—

25

29.因为四边形ABCD是正方形

所以NABC=9(F,AB〃DC

因为BP±CM,PN±PD

所以NBPM=ZBPC=90°,ZDPN=90°

0^JZABC=ZABP+ZPBC=9O°,ZBPM=ZABP+ZBMP=9O°

所以NPBC=/BMP

又因为AB〃DC

所以NBMP=NPCD

所以NPBC=NPCD

因为NBPC=90°,/DPN=90°

所以/BPN+/NPC=9(r,/NPC+/CPD=90。

所以NBPN=/CPD

在仆PBN和小PCD中,/PBC=NBMP,/BPN=/CPD,则有/PNB=NPDC

所以△PBN^APCD

30.(1)因为四边形ABCD是矩形

所以AD〃BC,NABC=90°

所以NEAC=NACF

因为直线1垂直平分线段AC垂足为O

所以AO=OC,ZFOA=ZFOC=90°HFO=FO

所以△AFO^ACFO

所以AF=FC

所以/FAC=/FCA

又因为NEAC=/ACF

所以/FCA=NACF

又因为NABC=9(F,NFOA=90。,且/FCA=NACF

所以△ABC与^FOA相似

(2)因为在△EAO^AFCO中,NEAC=NACF,AO=OC,/AOE=NFOC=90。所以△EAO^AFCO

所以AE=FC

又因为AE〃FC,AE=FC

所以四边形AFCE是平行四边形

又因为AF=FC

所以四边形AFCE是菱形

31.如图所示，过E作EMLBC,分别延长AD,ED交BC于点F,H,由题意得DF〃EM(EBH为等边三角形，因此

BE=BH=EH=3cm,HM=3cm,且—=型，则有HF=2cm,MF=lcm,所以BF=4cm,所以BC=8cm.

HMHF

32.(1)①②③。)证明过程略

33.提示:设PE=x，则PD=8-|居利用三角形相似，得到PE+PF为定值4.8.

34.(1)证明:因为四边形ABCD是矩形，

所以/A=ZADC=90。,所以ZADE+ZCDE=90°,

所以/ADE=/DCF,

所以△ADE^ADCF,

r-r-I\IDEAD

所以方=而.

⑵当/B+NEGC=180。时,=谈成立，证明如下：

CFDC

在AD的延长线上取一点M,使CF=CM,则NCMF=NCFM.

因为AB〃CD,

所以/A=NCDM.

因为AD〃BC,

所以/CFM=/FCB.

因为/B+/EGC=180。，

所以/FCB+NGEB=180。.

又因为NAED+/GEB=180。，

所以/AED=/FCB,所以NCMF=/AED,

所以△ADE^ADCM,

所以变=也即匹="

1CMDCCFDC

空=生

I'C尸24

35.(1)证明:①因为四边形ABCD是矩形，

所以AD〃:BC,

所以NCAD=NACB,/AEF=ZCFE.

因为EF垂直平分AC.垂足为O,

所以OA=OC,

第35题答图（1）

所以△AOE^AC