2024年中考数学暑假复习讲义：二次函数面积问题压轴题专项练习

二次函数面积问题

1二次函数三角形面积最大值铅垂定理(初三)

如图.已知抛物线经过两点A(-3,0),B(0,3),且其对称轴为直线x=-1.

⑴求此抛物线的解析式；

(2)若点P是抛物线上点A与点B之间的动点(不包括点A,点B),求△P4B的面积的最大值，并求出此时点

P的坐标.

2二次函数面积相等动点问题胡不归最小值问题(初三)

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=微工-2与x轴交于点A,与y轴交于点B,过A、B两点的抛

物线y=af+版+c与x轴交于另一点C(-l-0).

⑴求抛物线的解析式；

(2)在抛物线上是否存在一点P,使SPAB=S°4B?若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；

(3)点M为直线AB下方抛物线上一点，点N为y轴上一点，当△的面积最大时，求MN+号ON的最小

值

3二次函数面积最大值问题胡不归最小值问题（初三）

在平面直角坐标系中，将二次函数y=a/（a）O）的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图

所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），。4=1,经过点A的一次函数y=kx+b（k

丰0）的图象与y轴正半轴交于点C,且与抛物线的另一个交点为D,△4BD的面积为5.

⑴求抛物线和一次函数的解析式；

（2）抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求△ACE面积的最大值，并求出此时点E的坐标；

（3）若点P为x轴上任意一点，在⑵的结论下，求PE+的最小值.

4二次函数面积最大值周长最小值求点的坐标（初三）

已知抛物线y=ax2+bx-4经过点A（2,0）、B（一4,0）,与y轴交于点C.

⑴求这条抛物线的解析式；

（2）如图1,点P是第三象限内抛物线上的一个动点，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标；

⑶如图2，线段AC的垂直平分线交x轴于点E,垂足为D,M为抛物线的顶点，在直线DE上是否存在一点

G,使△CMG的周长最小?若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由.

5二次函数三角形相似存在性问题三角形面积最大值(初三)

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a久2+bx+c与x轴交于点.4(-2,0),点B(4,0),与y轴交于点C(0,8)

,连接BC.又已知位于y轴右侧且垂直于x轴的动直线1,沿x轴正方向从0运动到B(不含0点和B点)，且分别

交抛物线、线段BC以及x轴于点P,D,E.

(1)求抛物线的表达式；

(2)连接AC,AP,当直线1运动时,求使得△PE力和△4。。相似的点P的坐标；

(3)作PF1BC,垂足为F,当直线1运动时，求Rt△PFD面积的最大值.

1.

tv

6二次函数将军饮马周长最小值面积相等问题(初三)

如图，抛物线yax2+bx+c的图象过点A(-l,0)、B(3,0)、C(0,3).

⑴求抛物线的解析式；

⑵在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使得△P4C的周长最小，若存在,请求出点P的坐标及△P2C的周

长；岩不存在,请说明理由；

(3)在(2)的条件下，在x轴上方的抛物线上是否存在点M(不与C点重合)，使得SPAM=Sp/c?若存在，请求出

点M的坐标；若不存在，请说明理由.

»

7二次函数面积倍分问题平行四边形存在性问题(初三)

如图，抛物线y=ax2+bx+6经过A(-2,0)、B(4,0)两点与y轴交于点C,点D是抛物线上一动点，设点D

的横坐标为机(1(根<4),连接AC、BC、DB、DC.

⑴求抛物线的函数表达式.

(2)当△BCD的面积等于△40C的面积的前寸.求m的值

(3)当爪=2时，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点

B、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

8二次函数三角形面积倍分问题(初三)

如图，抛物线y=ax2+2x+c(a<0)与x轴交于点A和点B(点A在原点的左侧，点B在原点的右侧),与

y轴交于点C,(OB=0C=3.

⑴求该抛物线的函数解析式；

(2)连接BC,点D是直线BC上方抛物线上的点,连接OD,CD,OD交BC于点F,当SC0F-.SCDF=3:2时，求点D

9二次函数造桥选址周长最小值面积倍分问题（初三）

如图抛物线y=ax2+bx+c经过点4（一1，0）,点C（0,3），且（OB=OC.

⑴求抛物线的解析式及其对称轴；

⑵如图1,点D、E是直线x=1上的两个动点，且DE=1,点D在点E的上方，求四边形ACDE的周长的最

小值

⑶如图2,点P为抛物线上一点,连接CP,直线CP把四边形CBPA的面积分为3：5两部分,求点P的坐标.

，一vz•Jnw-1—*rw--

10线段相等求动点坐标二次函数面积倍分问题（初三）

如图，已知二次函数的图象与X轴交于A、B两点，D为顶点，其中点B的坐标为（5,。），点D的坐标为（1,3）.

⑴求该二次函数的表达式；

⑵点E是线段BD上的一点，过点E作x轴的垂线，垂足为F,且ED=EF,求点E的坐标.

⑶试问在该二次函数图象上是否存在点G，使得△ADG的面积是△BDG的面积的|?若存在，求出点G的坐

11二次函数面积最小值动点关于直线对称(初三)

在平面直角坐标系xOy中，等腰直角4ABC的直角顶点C在y轴上，另两个顶点A,B在x轴上,且.AB=4„

抛物线经过A,B,C三点，如图1所示

⑴求抛物线所表示的二次函数表达式.

(2)过原点任作直线1交抛物线于M,N两点，如图2所示.

①求△CMN面积的最小值.

②已知Q(1，-1)是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点P,使得点P与点Q关于直线1对称，若存在，

求出点P的坐标及直线1的一次函数表达式；若不存在，请说明理由.

12二次函数铅垂定理面积最大值线段旋转90。(初三)

在平面直角坐标系中，抛物线y=收+版—3交x轴于点A(-1,0),B(3,0),过点B的直线y=|尤-2交抛物

线于点C.

(1)求该抛物线的函数表达式；

(2)若点P是直线BC下方抛物线上的一个动点(P不与点B,C重合)，求△PBC面积的最大值；

(3)若点M在抛物线上，将线段0M绕点O旋转990。,得到线段ON,是否存在点M，使点N恰好落在直线B

1解:(1)抛物线对称轴是直线X=-1且经过点A(-3,0),由抛物线的对称性可知：抛物线还经过点(1,0),设抛物

线的解析式为y=a(x-Xi)(x-x2)(a#0)

即:y=a(x-l)(x+3)

把B(0,3)代入得:3=-3a,.*.a=-1

抛物线的解析式为:y=f2一2%+3.

(2)设直线AB的解析式为y=kx+b,•••A(-3,0),B(0,3),广2甘=•.直线AB为y=x+3,如图，作PM±x轴,交

Iu—3

直线AB于M,设P(x--x2-2x+3),则M(x,x+3),

PM——x2—2x+3—(x+3)=-x2—3x,

S=|xPMx0^=|(-x2-3x)x3

此时，k-(一|)-2x(-|)+3=^,

2解:⑴；直线y=1—2与x轴交于点A,与y轴交于点B,点A(4,0),点B(0,-2),•点C(-1,0),点A(4,0)

**•设抛物线解析式为:y=a(x+l)(x-4),

把点B(0,-2)代入得二—2=—4a,a=|,

.,・抛物线解析式为：y=|(x+l)(x-4)=jx2-jx-2；

⑵存在，分两种情况讨论：

①.当点P在直线AB上方时,过点O作OP〃AB,交抛物线于点P,如图1中的P1和P2,

VOP^AB,.,.AABP^AABO是等底等高的两个三角形,SPAB=SAB0>

；OP〃AB,.,.直线PO的解析式为y=jx,

y=-x

1J,

y=-xz——x—2

/22

解得:忙盆!警叱二仁堂

点P(2+2V2-1+&)或(2-2加，1-V2);

②.当点P在直线AB下方时，在OB的延长线上截取BE=OB=2,过点E作EP〃AB,交抛物线于点P,如图1中的P

AB〃EP3〃OP,OB=BE,?.SAAP3B=SAABO,

：EP”〃AB,且过点E(0,-4),

V=—%-4(_n

，直线EP3解析式为y="-4,联立方程组可得：1；3，解得；二，点P3(2,-3),综上所述：点

2v=-x2--x-2(y—T

X：22

P坐标为(2+2V2-1+&)或(2-2V2,1-a)或(2,-3);

(3)如图2,过点M作MF±AC,交AB于F,设点M(m,|m2-|m-2)厕点F(m,|m-2),:.MF=jm-2-

2222

(jm-jm-2)--|(m-2)+2,SMAB=jxMFxOX=jx4x[-j(m-2)+2]=-(m-2)+4,

当m=2时,△MAB的面积有最大值，

...点M(2,-3),

再过点O作/HOB=30。,过点N作GN_LOH于G点厕G/V=|ON,：.MN+：0N=MN+KN,

当M、N、G三点共线,且垂直OH时,MN+1ON最小，作MHLOH于H点,，MH即为所求的最小值，

设OH与MF交于点Q,则乙MQH=30°,MW=|QM又易得QM=QE+EM=2百+3,MW==V3+

jMN+1ON的最小值为V3+|.

3解：(1)将二次函数y=a久2(a>0)的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线解析式为y=a(x-

1户2,

；C)A=1,.•.点A的坐标为(-1,0)，代入抛物线的解析式得，4a-2=0,；.a=l/2,

抛物线的解析式为：y=-1尸-2,

gPy=jx2-X-1

令y=0.解得.Xi=-1,X2=3,；.B(3,0),

.\AB=OA+OB=4,

,•,△ABD的面积为5,SABD=IxXBxyD=5,

2

•••yD=I，把y=I代入抛物线解析式y=|x--|

得：2=2%2一%-解得：X1=~2'X2=/

D(4,(J,设直线AD的解析式为y=kx+b,

把A(-l,0)、D(4,$代入得：./轨+°=I，

2k-k+b=O

解得：b，直线AD的解析式为y=枭+|.

⑵过点E作EM，x轴交AD于M,如图1,设E(x,12-%-1),则M(”|X+O,

2

11Io31r3

■■-EM=2X+2-2X+X+2=-2X+2X+2'

^ACE=^AME—^CME=]XEMXAO

=lx(-lx2+lx+2)xl=-z(x-l)2

.•.当x=|时，△ACE的面积有最大值，最大值是此时E点坐标为(|，-胡.

(3).作E关于x轴的对称点F,连接EF交x轴于点G,

■■-E^-^,OA=I,.：AG=1+1=1，

5

1KAd-4

EG—=^=-,-.乙AGE=乙AHP=90°

8EG—3

8

sinzFXG=翳=:sin^FAG=sinzFXC=|,过点P作PQ±AF于点Q,贝！|PQ=|P4

PE+|ap=PE+PQ,当E、P、Q三点共线,且垂直AF时,PE+14P有最小值.作EHLAF,则EH即为所求.

由三角形面积得：|xEFxXG=|xXFxFW

1525

•・•EF=2EG=—,AF=AE=—

48

.■.-x—x-=-x—xEH,解彳导:EH=3

24228

PE+|P4的最小值是3.

4解:⑴\•抛物线y=ax+bx-4经过点A(2,0),B(-4.0),.\+吃一，，解得fa=P

116a—4/?—4=。U=]

抛物线解析式为丫=之一+”一4;

⑵如图1,连接0P,设点p(x<|x2+x-4),其中-4<x<0,四边形ABPC的面积为S,

由题意得C(0,-4),/.S=SAAOC+SAOCP+SAOBP=jx2x4+|x4x(-%)+|x4x(-|x2-x+4)=4-

2%-Y—2%+8=—x2—4%+12=—(%+2尸+16.

V-l<0,开口向下,S有最大值，，当x=-2时四边形ABPC的面积最大,止匕时,y=-4,即P(-2,-4).

因此当四边形ABPC的面积最大时，点P的坐标为(-2,-4).

二顶点》如图2,连接AM交直线DE于点G,此时，△CMG的周长最小.设直线AM的解析式为y=kx+

b,且过点A(2,0),M(—1，—J,+6=—?解得：|[2,.直线AM的解析式为y=|x-3.

在RtAAOC中,AC=y/OA2+OC2=2逐.

为AC的中点,AD=|XC=V5,

AE.於_AE

vADE〜AOC,—

AC'••2-2V5,

AAE=5,.*.OE=AE-AO=5-2=3,AE(-3,0),

由图可知D(1,-2),设直线DE的函数解析式为y

=mx+n,把D(l,-2)、E(-3,0)代入得:｛鸟：；；]j，

771=-----

解得：：J直线DE的解析式为y=

n=——

I2

(13(3

V-X—|X—~

...联立得：22,解得：之，

[y=32x-3[y=-T

・•・G©T・

5解：(1)将点A、B、C的坐标代入二次函数表达式

4a—+c=0(a=-1

得：16a+4b+c=0,解得：b=2,

c=8(c=8

故抛物线的表达式为：y=-/+2x+8;

⑵：点A(-2,0)、C(0,8),.,.OA=2,OC=8,Vl±x®.AZPEA=ZAOC=90°,

'：ZPAE#ZCAO,

只有当NPAE=NACO时，△PEAs△AOC,此时笠=震，即:"=?,....=4PE,设点P的纵坐标为k,

C/Czjiiyo乙

贝!JPE=k,AE=4k,

.*.OE=4k-2,将点P坐标(4k-2,k)代入二次函数表达式并解得:k=0(舍去)或则点P(FH)；

(3)在RtAPFD中2PFD=/COB=90。，

：l〃y轴，；./PDF=NOCB,；.R3PFDRtABCO,

.SQPFD_,PD2—PD.o

・,《------(T77)，••5PDF-(—)2eSdBOC，

ROC”CA4c

而SBOC=,。。=Ix4x8=16,

BC=VCO2+BO2=4V5,

••.SPDF=(疆)2X16=丁",即当pD取得最大值时，SAPDF最大，

将B、C坐标代入一次函数表达式并解得：直线BC的表达式为:y=-2x+8,

设点P(m<—m2+2m+8),则点.D(m,-2m+8)厕PD——m2+2m+8+2m—8=—(m—2)2+4,当m=2时,P

D的最大值为4,故当PD=4时,.•.SPDF=|P"=£.

6解:⑴：抛物线与x轴交于点A(-1,0)、B(3,0)；.可设交点式y=a(x+l)(x-3)

把点C(0,3)代入得:-3a=3,.,=/

.*.y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3

•••抛物线解析式为y=-x2+2x+3

(2)在抛物线的对称轴上存在一点P，使得△PAC的周长最小.如图1,连接PB、BC

,点P在抛物线对称轴直线x=l上，点A、B关于对称轴对称，，PA=PB,；.CAPAC=AC+PC+PA=AC+PC+PB

;当C、P、B在同一直线上时,PC+PB=CB最小，

VA(-l,0),B(3,0)、C(0,3)

/.由两点距离公式可得：AC=V10,BC=3V2

CPAC—AC+CB=V10+3&'最小

设直线BC解析式为y=kx+3,把点B代入得:3k+3=0,解得:k=-l,.,.直线BC:y=-x+3,；.yp=-l+3=2.,.点P(1,2>^AP

AC的周长最小，最小值为V10+3V2.

(3)存在)两足条件的点M，使得SPAM=SPAC.

V当以PA为底时，两个三角形等高时，两个三角形面积相等，

点M和点C到直线PA距离相等时，SPAM=Sp4c现在，分两种情况讨论：

①若点M在点P上方,过点C作CM〃PA,交抛物线于点M,如图2中的Ml,VA(-1,0),P(l,2),设直线AP解析式为

y=px+d,{p+d=O

解得：化.••直线AP:y=x+l

..・直线CM解析式为:y=x+3,联立得:|y+3

解得：C二;(即点(C),［二:二点M坐标(1,4)

②若点M在点P下方,如图3中的M2,

同理C'M2||PA,由题意可知,且直线C'M2到PA的距离等于直线y=x+3到PA的距离，

..•直线AP:y=x+l向下平移2个单位得y=x-l即为直线C'M2的解析式，联立得：［y

1+V171-V17

X=------X=------

解得:2或

1+V17小1-V17

”---y=一--

•••点M在x轴上方.刁＞0

..•点M坐标为(手，鸟二)

综上所述，点M坐标为(1,4)或(1+^^,”1)时,SPAM=SPAC.

7解:(1)由抛物线交点式表达式得:y=a(x+2)

(%-4)=a(x2—2x-8)=ax2—2ax—8a

即一8a=6,解得:a=-*

故抛物线的表达式为：y=-|x2+|x+6;

(2)由抛物线的表达式知.点C(0,6),由点B、C的坐标，得直线BC的表达式为：y=-|久+6,如图1,过点D作

2

DHLx轴.交直线BC于点H,设点D(m--|m+jm+6)则点+6),则SBDC=^HDxOB

1/3.3.z..3

=-x44x——mz7+-m+6+-m—6

2V422)

—2(_1*_|_3772),

ACO=-X-X6X2=-,

•••~4SALU422'

・•・2(_(m2+3M)=2

解得:m=l或3(舍去1),故m=3;

⑶当m=2时点D(2,6),设点M(x,0),点N(t,n),则九=一1/+1七+6circlel,

第一种情况：当BD是边时，则N的纵坐标为6或者-6，点B向左平移2个单位向上平移6个单位得到点D,同样

点M(N)向左平移2个单位向上平移6个单位得到点N(M),故'或^-^=n'

解得:x=2或1±旧(不合题意的值已舍去)；

故点M的坐标为(-1+E0)或(-1-V17-0)或(2,0);

第二种情况：当BD是对角线时，由中点公式得：j(2+4)=i(x+t),j(6+0)=1(n+0)circ/e3,联立①③并解

得x=6,故点M的坐标为(6,0),综上，点M的坐标为(-1+V17-0)或(-1-V17-0)或(2,0)或(6,0).

8解:⑴：OB=OC=3.；.c=3,点B(3,0)，将点B的坐标代入抛物线表达式：y=ax2+2x+3并解得：a=-1,故抛物

线的表达式为：y=-%2+2%+3;

⑵如图,过点D作DH±x轴于点H,交BC于点M,

S^COF：S«DF=3：2,则OF：FD=3:2,

：DH〃CO,故CO:DM=3:2,贝1].DM=|C0=2,由B、C的坐标得:直线BC的表达式为:y=-x+3,

设点£)(x--%2+2x+3),则点M(x,-x+3),DM=-%2+2%+3-(-x+3)=2

解得:x=l或2,故点D(1,4)或(2,3).

464.解:(1)VOB=OC,.•.点B(3,0),则抛物线的表达式为:y=a(x+l)(x-3)=a(x?-2x-3)=ax2-2ax-3a,故-3a=3,

解得:a=-l,故抛物线的表达式为：y=-/+2久+3…circ/el,函数的对称轴为：x=l；

⑵四边形ACDE的周长=AC+DE+CD+AE,其中.AC=V10.DE=1是定值，故CD+AE最小时，周长最小.取点C

关于直线x=l对称点。(2,3),则CD=C'D,取点A,(-1,1),则A'D=AE,

故:CD+AE=A'D+DC',,则当A\D、。三点共线时,CD+AE=A'D+DC，最小，周长也最小，

四边形ACDE的周长的最小值=AC+DE+CD+AE=V10+1++£>C,=V10+1+A'C=V10+1+V13;(3)设

直线CP交x轴于点E,

直线CP把四边形CBPA的面积分为3：5两部分，又:SPCB：SPSx(yc-yP)，4Ex(%-yp)=BE:AE,则B

E:AE=3:5或5:3,贝AE=］或

即：点E的坐标为(|,0)或(呆),将点E的坐标代入直线CP的表达式:y=kx+3,解得:k=-6或-2,

故直线CP的表达式为：y=-2x+3或y=-6x+3…②联立①②并解得：x=4或8(不合题意值已舍去),故点P的坐标为

(4,-5)或(8,-45).

9解:(1)设二次函数的解析式为y=a(x—l)2+3将点B代入得0=a(5-l)2+3彳导a=—2

lo

..・二次函数的表达式为：y=-高(％—1)2+3

±D

_3

(2)依题意，点B(5,0)，点D(l,3),设直线BD的解析式为y=kx+b,代入得以：心广匕解得：一；上线段B

—K-rub=__

\4

D所在的直线为y=-：x+半

44

设点E的坐标为：卜一［%+厕F(x,0)

・•・EF=—

442

ED2=(久-1)2+(—|x+?—3),

315

EF2=(一一x+一)2,,:ED=EF,：.ED2=EF-

44

(x-l)2+(-|%+^-3)2=(-^x+^)2,

整理得2/+5x—25=0,解得=j,x2=—5(舍去).

故点E的纵坐标为y=—卜|+竽=蔡

•••点E的坐标为(俱吟)

(3)存在满足条件的点G,分两种情况讨论：

①.当点G在x轴的上方时，如图1,设直线DG交x轴于P,设P(t,0)，作AE±DG于E,BFXDG于F.

由题意:AE:BF=3:5,

：BF〃AE,；.AP:BP=AE:BF=3:5,

(-3-t):(5-t)=3:5,解得t=-15,

•••P(-15,0)，由点P(-15,0),点D(l,3)可

得：直线DG的解析式为y=白光+普，

lo16

3.45

y=—xH——

联立方程组得：(y=一51(%6—11)62+3,

x—工&G(咱.

解得

y=

②当点G在x轴下方时,如图2,令y=0,

y=-20-1尸+3=0,解得:xi=-3,x2=5,

1O

・•・A(-3,0)、B(5,0),AAO:OB=3:5

当点G在DO的延长线上与抛物线的交点时，存在点G使得SADG'BDG=3：5,此时，DG的直线经过原点，设直线

y=3x

DG的解析式为y=kx,将点D(l,3)代入得:k=3,故y=3x,则有

y=-1)2+3

-lo

整理得,(x-1)(x+15)=0,

得Xi=1(舍去),X2=-15,当x=-15时,y=-45,故点G为(g-45).

综上所述，点G的坐标为0,黄或(-15,-45).

466.解：⑴设抛物线的解析式为yax2+bx+c(a力0),在等腰RtAABC中,OC垂直平分AB,且AB=4,.\OA=OB

=OC=2,

•••A(-2,0),B(2,0),C(0,-2),

(4a+2b+c=0(a=-

代入彳导：.q4a—2b+c=0,解彳导，(°j

(c=-2Vc=-2

抛物线的解析式为y=*-2；

⑵①设直线1的解析式为y=kx,M(xj,yi),N(x2,y2)，由-2"可得枭2一左久-2=0,

Iy=kx

•'•Xi+x2=2k,Xi-x2=-4,

••・（%1—%2）2=（X1+%2）2—4%1%2=4k2+16,

\x1-x2\=27k2+4,

SCMN=5。。x|%i—型1=24k2+4,

・・.当k=0时2VF”取最小值为4.此时直线1与x轴重合，,ACMN面积的最小值为4.

②假设抛物线上存在点P2）,使得点P与点Q关于直线1对称，

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.,.OQ=OP,即J1+值）=Jm+Qm-2），解得，=43,m2--V3,m3=l,m4=-l/.'m3=1,m4=-1

不合题意，舍去，

当码=8时.点P（V3--J,线段PQ的中点为（粤，-1）代入y=kx得:等k=1,

fc=1-旧,；.］直线1的表达式为：y=（1-百）/当m2=-百时，点P（-四线段PQ的中点为

（与AT）代入y=kx得:k=-1,k=1+百,.•.直线1的解析式为y=（1+V3）x.

综上,点P（V3>-£）,直线1解析式为y=（l-V3）x

点P（-遮，-］直线1解析式为y=（1+V3）x.

10解:⑴将点A（/，°），B（3，。