2023年高考数学大招9蒙日圆及其证明

大招9蒙日圆及其证明

大招总结

定理1曲线「：，+方=1的两条互相垂直的切线的交点P的轨迹是圆x2+y2=a2+b2.

定理1的结论中的圆就是蒙日圆.

证明当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜率为0时,可得点P的坐标是（士。,份，或

（±a,-b）.

当题设中的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为。时，可设点尸的坐标是（%，%）（七/±。，且

%。±b），所以可设曲线「的过点P的切线方程是y—%=左（X—%）伏牛0）.

“22

-------1-------=1

由/H，得

2222222

{cTk+b^x-2ka（Ax0-yo）jt+a（^x0-y0）'-ab=0

由其判别式的值为。得

（¥-a~）H-Q.xoyok++b~=0（x；-a~w0）

因为他A，即B是这个关于左的一元二次方程的两个根，所以

k.k一三

（PA2B~~22

xQ-a

由此得

22

kPA-kPB=-1<=>XQ+yj=a+/?进而可得欲证成立•

定理2（1）双曲线=的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是圆Y+'2="一”；

（2）抛物线/=2px的两条互相垂直的切线的交点是该抛物线的准线.

22

定理3过圆/+y2=/+b2上的动点P作椭圆*+3=1（。〉。>0）的两条切线PA,PB,pllJPA±PB.

证明:设P点坐标（天为）

22

土+匕=1

222222

由，ab~得(a*2+〃卜2_2/2z(-y0)x+«(-y0)-ab=0

y-y0=k{x-x0）

由其判别式的值为0,

得（x；-cr）k~_2XQy^k+yj—h~=0（不_cr*0）

因为％"，%”是这个关于左的一元二次方程的两个根，所以

_巾一万

k.k

^PAEB22

xo~a

一

*0+X)="+"，kpA•kpB2=-l,PAl.PB

22

定理4设P为蒙日圆O:/+V=/+〃上任一点过点P作椭圆力+/=1的两条切线，交椭圆于点

A.B.O为原点，则OP,AB的斜率乘积为定值上op•心B

a2

22

定理5设尸为蒙日圆O：V+J?=/+〃上任一点过点p作椭圆鼻=1的两条切线，切点分别为

ab

b2b2

A,B,0为原点，则OA,PA的斜率乘积为定值府八%=一-T,且OB.PB的斜率乘积为定值勺屋岸8二--7（

a6r

垂径定理）

x2y2

定理6过圆/+y?=/+〃上的动点p作椭圆滔■+R=l（a>6〉0）的两条切线,O为原点，则PO平分

椭圆的切点弦AB.

证明:P点坐标优,为），直线OP斜率kop=%

xo

b%)

由切点弦公式得到AB方程誓+誓=1,kAB=

ab。2yo

%22

定理7设尸为蒙日圆O:/+V="+〃上任一点过点p作椭圆_+2_=1的两条切线，切点分别为

a~b

AB延长PA.PB交伴圆。于两点C,D,则CD//AB.

证明:由性质2可知,M为AB中点.

由蒙日圆性质可知，乙4PB=90°,

所以仞4=Affi=MP.

同理OP=OC=OD.

因此有ZPAM=ZAPM=ZCPO=ZPCO,

所以A5//CZX

典型例题

v.2

（例1.）（2020春-安徽月考）已知点P为直线④+y-4=0上一点PAPB是椭圆C:-y+丁=1（。〉1）的两

a

条切线，若恰好存在一点P使得PALPB，则椭圆C的离心率为

解方法1：设P5M2），过点P的切线方程为y-〃=Z（x-优）,

y-n=k（x-m）

2

联立《x、彳导（左）2+1卜2+2加（n―kni）x+/[（〃一Am）?-1J=0,

、/+）

直线与椭圆相切,A=4公/（〃—初?）2—4/92a2+1）[（〃一切?）2-1]=0,整理得

（“2一〉*2+2加成+1-〃2=0,若切线PA,PB的斜率均存在，分别设为与，女2，

1—1

PA_LPB,k1•k2=—-----二-1,即加“+〃“=1+a,

-a~-m

•••点P在以（0,0）为圆心，、/17/为半径的圆上，

即（0,0）到直线ox+y-4=0的距离为Jl+a?,

d-]4=J1+J，解得a=±5/3,

V«2+i

a>\,:.a=5/3,

若切线PA,PB分别与两坐标轴垂直，则P（a,1）或（—〃/）或（«,-1）或（―。，―1）,

存在点尸（。,1），将其代入直线以+y—4=0中，解得。=目.

综上所述,。=若.又〃=1,，c=JT斤=0,

上、Fc叵底

•••离心率6=—=-=:-.

a63

故答案为:2；.

方法2：在方法1中，实际上证明了一遍蒙日圆，如果知道结论，可得P的轨迹光2+/=/+],且此圆与

ax+y-4=0相仞.

4

其中（0,0）到直线以+>-4=0的距离”

V«2+i

-1"d=/、=J1+/，解得a=±V3,

77+1

a=#＞，又b=1,.,.c=，3-1=\[2,

一、FcV2V6

离心率6=—=7=二-.

a63

Xo

（例2.）（2020春-安徽月考）已知两动点A.B在椭圆C:_+V=1（。〉1）上，动点P在直线3x+4y-10=0

a

上，若NA必恒为锐角，则椭圆C的离心率的取值范围为

解由结论可知:椭圆=+V=1的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是家日圆/+丁=/+],

a

若Z4P8恒为锐角,则直线3x+4y-10=0与圆/+>2=/+]相离故>J/+1，又

例3.已知。：/+y2=1若直线y=履+2上总存在点P，使得过点P的。的两条切线互相垂直，则实

数%的取值范围是

解（HO,-在下图中,若小圆（其圆心为点。，半径为r）的过点A的两条切线AB,AD互相垂直（切

点分别为E,F）得正方形AEOF,所以|QA\=42\OE|=后，即点4的轨迹是以点。为圆心,出为半径的

圆.

由此结论可得:在本题中，点P在圆/+V=2上.所认本题的题意即直线y=履+2与圆V+/=2有公

共点，进而可得答案.

例4.已知椭圆C:《+与=1（。>b〉0）的一个焦点为（6,0），离心率为至.

a2b-3

（1）求椭圆C的标准方程；

A

(2)若动点P(x0,%)为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程.

解⑴依题意有，=技"31=2故所求椭圆。的标准方程为

(2)当两条切线的斜率存在时，设过尸(小,为)点的切线为旷一%=左(%一事)・

=心一/)

联立公2

—+—=1

194

消去y得

(4+9公+18左(%—5)2—36=0

判别式

△=r+]824%_辰0)2-36(4+9公)[(%—而。)2-4]=0,

化简得(%—也)2—9F—4=0,即($一9*一2x°y°k+必-4.

y2—4

依题意得k1k,=4—=一1,即x：+y；=13(可由片+y；=/+〃直接可得答案)

'厮一9

(例5.已知椭圆C:[+/=1(。＞人＞0)的一个焦点为(75,0)，离心率为半点P为圆M:F+V=13

上任意一点，。为坐标原点.

(I)求椭圆C的标准方程；

(II)记线段OP与椭圆交点为。，求|PQ|的取值范围；

(III)设直线I经过点P且与椭圆C相切,/与圆M相交于另一点A,点A关于原点。的对称点为6,试判

断直线PB与椭圆C的位置关系，并证明你的结论.

解⑴由题意可知:c=逐,6=£=且，则0=3,〃="2一。'2=4,

a3

JCv

・,•椭圆的标准方程:工+工-二1；

94

22

(III)由题意可知：12。1=1。「1一|0。1=旧一|0。1,设。(%,%)，2+?=1，

94

••IOQ\=&+上=Jx；+(4_„=,4+署,

由王G[-3,3],当内=0时』OQ|n“n=2,当玉=±3时,IOQImax=3,P。|的取值范围[加一3,屈一2]；

(III)证明:由题意点8在圆例上,且线段AB为圆M的直径，所以PAA.PB

分3种情况讨论，

(1)当直线PAJ_x轴时，易得直线PA的方程为》=±3,

由题意得直线PB的方程为），=±2,

显然直线PB与椭圆C相切.

（2）同理当直线PA//X轴时直线PB也与椭圆C相切.

（3）当直线PA与x轴既不平行也不垂直时，

设点P（%,%）直线PA的斜率为k，则％H0,直线PB的斜率-

所以直线24：尸为=左（％一七），直线28：丁一%=-1（%-玉）），

K

y-y0^k{x-xQ）

由,Jy2，消去y得（9公+4卜2+18（%一5）依+9（%-5）2-36=0.

［94

因为直线PA与椭圆C相切，

所以△产［18（%_也,）寸—4（%2+4）［9（%-5）2-36卜0,

整理，得A=-144［（$—9*-+二-4］=0

同理,由直线PB与椭圆C的方程联立，

得A2=T44（片-9）/+2入0%；+），；-4.（2）

因为点P为圆加：/+丁=13上任意一点，

所以*+*=13,即巾=13-4.

代入⑴式，得（片一9*一2与族+（9-片）=0,

代入（2）式得4=一矍［（只一9）+2/%%+（此一4）灯=一詈［（*一9）+2%%女+（9—学快2］,

=0"［（片-9）左~-2%0%k+（9-x；）］=0.

K

所以此时直线PB与椭圆C相切.

综上，直线PB与椭圆C相切.

*22

例6.（2021-安徽模拟）已知圆。：/+/=5,椭圆r：方+万=1（。〉b>0）的左，右焦点为6,弱，过G且

垂直于X轴的直线被椭圆和圆所截得弦长分别为1和2拉.

（I）求椭圆的标准方程；

（II）如图P为圆上任意一点，过P分别作椭圆两条切线切椭圆于A.B两点.

（i）若直线PA的斜率为2,求直线PB的斜率；

（ii）作PQLAB于点。，求证：|。制+|。闾是定值.

2,5-2=2及

解⑴由题意可得<九2，解得。=21=1,。=百，

—=1

、a

2

所以椭圆的方程为3+y2=i.

(II)(I)设P(M，%)，切线丁-%=左(%—X。)，则考+=5,

2

X।2_]

T+>一，化简得(1+4-)/+8左(%—5)x+4(%—5)2-4=0,由4=0得

由＜

=心一面)

(4-片居+2依0%+1一%=0,

设切线PA.PB的斜率分别为k\,k'

则他=等=咔与…

又直线PA的斜率为2,则直线PB的斜率为-

(II)当切线PAPB的斜率都存在时，设4(%,%),3(%,％)，

切线PA,PB的方程为y-yi=ki(x-xi),i=l,2,

由⑴得(4-x；R+2和成+1_才=0「=1,2,(*)

v-2

又A.B点在椭圆上得,才+片=1,i=1,2,(*)

得(2'£+三〕=0,即匕=一兴』=1,2,

I2)4%

汾线PA.PB的方程为十—+yj=l,z=l,2,

又过，点P，则?+yiy0=l,i=\,2.

所直线AB的方程为午+为y=1，(可直接代协点弦方程)

由PQ_LA8的直线PQ的方程为y-%="气》一/),

联立直线AB方程为瞥+为y=1,

4X0(1+3^)_4%0+3婿」

解传加一片+16.一二%,为一片+16.一5%'

由片+y：=5得点。轨迹方程为3f+5/=1,且焦点恰为F、,F,,

16

故+耳|=2x4=^^,

o尺

当切线PA,PB的斜率有一个不存在时，易得|。制+|QK|=嗫•

综上.|。耳|+|。眉=苧.

自我检测

XV

1.(2021-全国二模)已知双曲线二一一=1(。>1)上存在一点M，过点河向圆VO+V0=1做两条切线

a4

MA,MB,若M4•MB=0,则实数a的取值范围是0

A.(1,0)

B.(1,V2|

C.|V2,+oo)

D.(四,+8)

答案：

22

方法1：双曲线=一=1(。>1)上存在一点M,过点M向圆V+V=1做两条切线MA、MB,若MA

a-4

MB=0,可知MA0B是正方形,MO=y[2，所以双曲线的实半轴长的最大值为J5，所以ae故选B.

方法2:过点M向圆f+V=1做两条切线MA、MB,若MAMB=0,M点轨迹即为蒙日圆V+尸=2,

22

且此圆与双曲线q—J=l(a〉l)有公共点所以ae(l,0].故选B

a4

22________

2.给定椭圆C：*•+本•=1(。〉b>0),称圆心在原点。，半径是的圆为椭圆c的“准圆”.已知

椭圆C的一个焦点为F(V2,0)，其短轴的一个端点到点F的距离为由.

⑴求椭圆。及其“准圆”的方程

(II)若点4是椭圆C的“准圆”与x轴正半轴的交点BD是椭圆C上的相异两点，且BOLx轴，求

A8-A。的取值范围；

(III)在椭圆C的“准圆”上任取一点P(sj)，过点P作两条直线4，匕使得4,12与椭圆。都只有一个公共

点，且44分别与椭圆的“准圆”交于M,N两点.证明:直线MN过原点。.

答案：

(I)解由题意知。=0,。=必品=6,解得人=1,

2

•••椭圆。的方程为方+〉2=1，其“准圆”为/+：/=4.

2

(II)解:由题意，设8(九(一G<〃2〈石，则有为-+〃2=1,

又A点坐标为(2,0)，故AB=(m-2,〃),AD=(m-2,-n),

(2\

・•・A月A)=(〃一2)2—“2=加2—4加+4一1_&

、3，

42“.4(3Y

——m+3=—m——,

3—4/M312)

又—"Js</??<5/3,—Im—Ie[0,7+.

312)

：.AB-AD的取值范围是[0,7+4百).

(Ill)设P(s,f),则1+-=4,

当s=土石时,r=±1,则4,4其中之一斜率不存在,另一条斜率为0,

4_L4.

当fH±6时，设过尸(SJ)且与有一个公共点的直线/的斜率为k,

则I的方程为>—，=k(x-s)，代人椭圆C的方程得：

x2+3k(x-s)+〃2=3，即(3左2+1)%2—6k(t—ks)x+3(/—kt)2—3=0,

由A=36k2(t—抬了—4(3左2+1)[3(/—8了—3]=0,

得(3—产伙2+2$饮+*—3=()其中3—r。0,

设的斜率分别为加七，则"分别是上述方程的两个根，

-

r.k}k,2=-I,../1-L/2.

综上所述,4^/2，

MN是准圆的直径,.••直线MN过原点O

3.已知A是圆丁+丁=4上的一个动点，过点A作两条直线4,12，它们与椭圆y+/=l都只有一个公共

点，且分别交圆于点M.N

⑴若A(-2,0),求直线4,4的方程；

(2)(1)求证:对于圆上的任意点A,都有乙_L4成立；

(2)求AW面积的取值范围.

答案：

2

⑴解:设直线的方程为y=k(x+2)代人椭圆、+V=1，消去y，可得(1+3公卜2+12公X+12二-3=0

由△=(),可得左2一1=()

设h,4的斜率分别为人,&••・勺=一1/2=1

・・・直线《4的方程分别为y=—x-2,y=x+2；

⑵⑴证明:当直线12的斜率有一条不存在时,不妨设4无斜率

4与椭圆只有一个公共点,所以其方程为％=土百

当/,的方程为x=6时，此时/,与圆的交点坐标为（百.±1）,所以4的方程为y=1（或y=T），4-Li2成立,

同理可证，当'的方程为“=一6时，结论成立；

当直线/）,12的斜率都存在时，设点A（m,n），且裙+〃2=4

设方程为丁=攵*一加）+〃代人椭圆方程，可得（1+3/卜2+6左（“—k”）x+3（〃—初?）2-3=0

由△=（）化简整理得（32）炉+27“〃攵+1-〃2-Q

nr+n2=4

nr^k2+2mnk+m2—3=0

设44的斜率分别为占#2,空2=T，-L4成立

综上，对于圆上的任意点A,都有414成立；

⑵记原点到直线4,/2的距离分别为4,4，

4+d；=4」,AMN面积§2=4d；&=4d;（4-J,2）=-4（J,2-2）2+16

J；e[1,3],.-.S2e[12,16]

.-.Se[2^,4].

4.过P点作椭圆两条切线,若椭圆的两条切线互相垂直，设圆心到切点弦的距离为4,P到切点弦的距离为

&证明44之积为常数.

答案：

X2V2

证明:如图所示，设椭圆方程为一■+*=1（。〉人〉0），那么

a~b-

在椭圆上A,B两处切线的交点P在圆V+丁="2+〃（x\neqa）,

现设P（y/a2+b2cos0,y/a2+b~sin夕），

那么AB的直线方程为

xb2y/a2+b2cos0+ya2\Ja2+b2sin0-crb1=0.

原点到切点弦AB的距离

d=______小______

^a2+b2^b4cos20+a4sin26^

切线交点P到切点弦AB的距离是

d_产（/+/"6+/（/+吁皿26-4词_74cos26+/sin-6

所以

+尸）（/?4cos」6+a，sin26）+6）仅4cos2A+a，sin26）

44=若^（常数）.

5.（2021贵州模拟）已知椭圆C:5+V=1,M是圆元2+>2=3上的任意一点,MA,MB分别与椭圆切于A.B.

求.AOB面积的取值范围.

答案：

设M(%,%),4(%,y),,必)设

M4节+yy=i，M8：号+y2y=L且片+y：=3

由M(%，%)，4a，X)，g，%)得等+=L竽+%%=1，从而AB:当+%>=1

将直线AB的方程与椭圆C的方程联立得

2

(^+3)X-4XOX-4^+4=O.

所以,X|+X2=——--,XyX2=--~千,

%+3%+3

26国+1

因此,AB

+3

1Dn

又原点O到直线AB的距离d——.-=—/,

考.23收+1

1

所以

2北+3

令/=辰=6[1,2]得到

ccfc1272

5A=2-=2e

OB35V

/+_

JQ,"y~

6.（2021河北模拟）设椭圆7+一=1的两条互相垂直的切线的交点轨迹为C,曲线C的两条切线PA.PB

54

交于点P,且与C分别切于A,B两点，求PA-PB的最小值.

答案：

设两切线为44

⑴当4_Lx轴或4//无轴时，对应l2//x轴或Z2±x轴，可知P（土底±2）；

⑵当/,与x轴不垂直且不平行时,x丰土非，设（的斜率为k厕k丰0,/2的斜率为-的方程为y—

K

,%2V2

%=攵（尤一/）,联立y+]=l,

得（5左2+4）/+10（为一线）履+5（%—左O）2-2O=O,

因为直线与椭圆相切，所以△=0得

5（%—5）晨2-（5/+4）（%-5）2-4=0,

.•.一20女2+4[出一5）2_4]=0,

，（片—5^k~—2xoyok+—4=0,

所以k是方程（片—5快2―2x°y°k+尤—4=0的一个根，

同理一:是方程（片一5产—2升小+y：—4=0的另一个根，

一!]=得片+＞：=9,其中彳彳士百,

Ik）拓-5

所以点P的轨迹方程为V+丁=9（》工±75）,

因为P（±3,±2）满足上式，

综上知:点P的轨迹方程为Y+丁=9.

设PM=PB=x,ZAPB=氏则在AAOB与.APB中应用余弦定理知，

AB2=0A1+OB2-2OAOB-cosZAOB

=PA1+PB2-2PA-PB-cosZAPS,即

33+33-2-3-3cos（180-=x2+x2-2x\cdotx-cos。，即

2_9（1+cos6）

l-cos。

PAPB=\PA\-\PB\cos/APB=x-xcos0

_9（1+cos。）cos。

1-cos0

令，=1一cos0G（0,2],则cos0=\—t.

PA.P5=9（2；）（lT）=9（「3，+2）=91含）

..9-2^7|-3=9（2夜—3）

且仅当，=2,即f=血时,PA•PB取得最小9（272-3）.

t

Y~y-

7.（衡水中学模拟）如图，在平面直角坐标系xOy,设点M（天,为）是椭圆。：五+吉=1上一点，从原点0向

圆M（x-xo『+（y-yo）2=8

作两条切线分别与椭圆C交于点P.Q.

（1）若M点在第一象限，且直线OP.OQ互相垂直，求圆M的方程；

（2）若直线OPQQ的斜率存在,分别记为的斜2.求匕的值;

（3）试问IOPF+|。。『是否为定值?若是求出该定值若不是，说明理由.

y

oX

答案：

（1）由圆M的方程知圆M的半径r=2C,因为直线OPQQ互相垂直,且和圆M相切，所以

|OM|=V2r=4，即

+=16

22

又点R在椭圆。上,所以x二+My=1

2412

x0=25/2

联立⑴⑵，解得《

Jo=2y/2

所以所求圆M的方程为（X-2血产+（y-=8.

⑵因为直线。P：y=和。Q：y=&x都与圆R相切.

⑶所以佝=20,以：。一对=272

J1+F戊+行

化简得占•%=*二1,

工0—8

因为点RCWO）在椭圆0上,所以或+会=1，即y；=i2—g*,

4二片.

O01

所以仁•“2=_2-f=一3

XQ-oZ

⑶⑴当直线OPQQ不落在坐标轴上时，设尸（西,乂）,。（々,丫2），

由（2）知2k、k,+1=0,所以幺邑=1,

X/2

故犬只

2222

因为1&,%）,。（孙必），在椭圆c上，所以含+毛=1，篇+卷=1

JL4^"1JL乙

即y：=12—所以

i।

24

整理得片+名=24,所以

弁+£=(12一沁+02一涧=12.

2

所以"+OQ2=x：+y；+x；+y；=24+12=36.

（2）当直线OPQQ落在坐标轴上时,显然有。尸+。。之=36.

综上:0尸2+0。2=36

22

结论：设点M（小,%）是椭圆C：5■+方=13>8>0）上任意一点,从原点。向圆M:（x-E丫+⑶―

="?^T作两条切线分别与椭圆C交于点p、Q,直线OPQQ的斜率分别记为k\,kr

8.（2021年甘肃省张掖市肃南一中高考数学模拟）已知椭圆0：与+占=1（。>匕〉0）的离心率e=中,且