2024-2025学年高中数学第三章推理与证明单元质量评估习题含解析北师大版选修1-2

第三章单元质量评估本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)答题表题号123456789101112答案一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1．归纳推理与类比推理的相像之处是()A．都是从一般到一般B．都是从一般到特别函数C．都是从特别到特别D．都不肯定正确2．用数学归纳法证明1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2n－1)<n(n∈N＋，n>1)时，第一步应验证不等式()A．1＋eq\f(1,2)<2 B．1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)<2C．1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)<3 D．1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)<33．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是()A．方程x2＋ax＋b＝0至多有一个实根B．方程x2＋ax＋b＝0没有实根C．方程x2＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x2＋ax＋b＝0恰好有两个实根4．视察按下列依次排列的等式：9×0＋1＝1,9×1＋2＝11,9×2＋3＝21,9×3＋4＝31，…，猜想第n(n∈N＋)个等式应为()A．9(n＋1)＋n＝10n＋9B．9(n－1)＋n＝10n－9C．9n＋(n－1)＝10n－10D．9(n－1)＋(n－1)＝10n－105．类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线相互平行”的性质，可得出空间内的下列结论()①垂直于同一个平面的两条直线相互平行；②垂直于同一条直线的两条直线相互平行；③垂直于同一个平面的两个平面相互平行；④垂直于同一条直线的两个平面相互平行．A．①② B．②③C．③④ D．①④6．视察下图的规律，在其下面一行的空格内画上合适的图形，应是()A．△★○◆ B．○◆△★C．○★△◆ D．

●☆▲7．如图是今年元宵花灯展中一款五角星灯连续旋转闪耀所成的三个图形，照此规律闪耀，下一个呈现出来的图形是()8.如图，圆周上按顺时针方向标有1,2,3,4,5五个点．一只青蛙从1点起先按顺时针方向绕圆从一个点跳到另一点．若它停在奇数点上，则下一次只能跳一个点；若停在偶数点上，则下一次跳两个点．该青蛙从5这点跳起，经2015次跳后它将停在的点是()A．1 B．2C．3 D．4答案1．D归纳推理和类比推理都是合情推理，但是不肯定正确．2．B由n∈N＋，n>1知n的第一个值为2，此时不等式为1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,22－1)<2，故选B.3．B“方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”的反面是“方程x2＋ax＋b＝0没有实根”，故选B.4．B由所给的等式可以依据规律猜想得9(n－1)＋n＝10(n－1)＋1＝10n－9.5．D明显①④正确．②中空间内垂直于同一条直线的两直线可能平行，可能相交，也可能异面；③垂直于同一个平面的两个平面可能平行，也可能相交，故D正确．6．B每行每列元素不同，且白黑相间．7．A该五角星对角上的两盏花灯依次按逆时针方向亮一盏，故下一个呈现出来的图形是A.8．B记an表示青蛙第n次跳后所在的点数，则a1＝1，a2＝2，a3＝4，a4＝1，a5＝2，a6＝4，…，明显{an}是一个周期为3的数列，故a2015＝a2＝2.————————————————————————————

9.设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满意：“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”．那么，下列命题总成立的是()A．若f(1)<1成立，则f(10)<100成立B．若f(2)<4成立，则f(1)≥1成立C．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立D．若f(4)≥25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立10．将正偶数按下表排成5列：第1列第2列第3列第4列第5列第1行2468第2行16141210第3行18202224……则2014在()A．第251行，第2列B．第251行，第3列C．第252行，第2列D．第252行，第3列11．如图甲，在平行四边形ABCD中，有AC2＋BD2＝2(AB2＋AD2)，那么在图乙所示的平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，ACeq\o\al(2,1)＋BDeq\o\al(2,1)＋CAeq\o\al(2,1)＋DBeq\o\al(2,1)＝()A．4(AB2＋AD2＋AAeq\o\al(2,1))B．3(AB2＋AD2＋AAeq\o\al(2,1))C．2(AB2＋AD2＋AAeq\o\al(2,1))D．4(AB2＋AD2)12．(2024·北京卷)某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项竞赛分成预赛和决赛两个阶段．下表为10名学生的预赛成果，其中有三个数据模糊.学生序号12345678910立定跳远(单位：米)1.961.921.821.801.781.761.741.721.681.6030秒跳绳(单位：次)63a7560637270a－1b65在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则()A．2号学生进入30秒跳绳决赛B．5号学生进入30秒跳绳决赛C．8号学生进入30秒跳绳决赛D．9号学生进入30秒跳绳决赛第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上)13．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．14．(2024·新课标全国卷Ⅱ)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是15．视察以下不等式：1>eq\f(1,2)；1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)>1；1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,7)>eq\f(3,2)；1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,15)>2；1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,31)>eq\f(5,2)；…由此揣测第n个不等式为________．16．一个二元码是由0和1组成的数字串x1x2…xn(n∈N＋)，其中xk(k＝1,2，…，n)称为第k位码元．二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1，或者由1变为0)．已知某种二元码x1x2…x7的码元满意如下校验方程组：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x4⊕x5⊕x6⊕x7＝0，,x2⊕x3⊕x6⊕x7＝0，,x1⊕x3⊕x5⊕x7＝0，))其中运算⊕定义为：0⊕0＝0,0⊕1＝1,1⊕0＝1,1⊕1＝0.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k等于________．答案9．D题设中“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”．事实上是给出了一个递推关系，从数学归纳法来考虑，因为f(4)≥25成立，所以f(4)≥16成立，即k的基础值为4，所以选项A、B、C都错误，故选D.10．D由2014为偶数中从2数第1007个数，又数表中每行4个，4×251＝1004，则2014为第252行第3个数．故选D.11．A已知平面上平行四边形的对角线的平方和等于从同一顶点动身的两条边的平方和的2倍，利用类比推理可知，空间中，平行六面体的体对角线的平方和等于从同一顶点动身的三条棱的平方和的4倍．12．B由数据可知，进入立定跳远决赛的8人为1～8号，所以进入30秒跳绳决赛的6人从1～8号里产生．数据排序后可知3号，6号，7号必定进入30秒跳绳决赛，则得分为63，a,60,63，a－1的5人中有3人进入30秒跳绳决赛．若1号，5号学生未进入30秒跳绳决赛，则4号学生就会进入决赛，与事实冲突，所以1号，5号学生必进入30秒跳绳决赛．故选B.13．1∶8解析：由类比思想，面积比是边长比的平方，体积比是棱长比的立方．14．1和3解析：为便利说明，不妨将分别写有1和2,1和3,2和3的卡片记为A，B，C.从丙动身，由于丙的卡片上的数字之和不是5，则丙只可能是卡片A或B，无论是哪一张，均含有数字1，再由乙与丙的卡片上相同的数字不是1可知，乙所拿的卡片必定是C，最终由甲与乙的卡片上相同的数字不是2，知甲所拿的卡片为B，此时丙所拿的卡片为A.15．1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2n－1)>eq\f(n,2)解析：由所给的不等式可以归纳得到1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2n－1)>eq\f(n,2).16．5解析：若1≤k≤3，则x4＝1，x5＝1，x6＝0，x7＝1，不满意x4⊕x5⊕x6⊕x7＝0；若k＝4，则二元码为1100101，不满意x1⊕x3⊕x5⊕x7＝0；若k＝5，则二元码为1101001，满意方程组，故k＝5.————————————————————————————三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)证明：eq\f(1,log519)＋eq\f(1,log319)＋eq\f(1,log219)<2.18．(12分)已知a≠0，证明：关于x的方程ax＝b有且只有一个根．19．(12分)如图，已知平面α∩β＝a，bβ，a∩b＝A，且cα，c∥a，求证：b，c为异面直线．20．(12分)(2024·浙江卷)设函数f(x)＝x3＋eq\f(1,1＋x)，x∈[0,1]．证明：(1)f(x)≥1－x＋x2；(2)eq\f(3,4)<f(x)≤eq\f(3,2).答案17．证明：方法1：(分析法)要证eq\f(1,log519)＋eq\f(1,log319)＋eq\f(1,log219)<2，只需证log1930<log19192，即证30<192，又30<192恒成立，∴原不等式成立．方法2：(综合法)eq\f(1,log519)＋eq\f(1,log319)＋eq\f(1,log219)＝log195＋log193＋log192＝log1930<log19192＝2.18．证明：由于a≠0，因此方程至少有一个根x＝eq\f(b,a).假如方程不是只有一个根，不妨设x1，x2是它的两个不同根，即ax1＝b，ax2＝b，∴a(x1－x2)＝0.∵x1≠x2，∴x1－x2≠0，∴应有a＝0，这与已知相冲突，故假设不成立．∴当a≠0时，方程ax＝b有且只有一个根．19．证明：假设b、c不是异面直线，即b、c为共面直线，则b、c为相交直线或平行直线．(1)若b∩c＝P，已知bβ，cα，又α∩β＝a，则P∈b(bβ)，且P∈c(cα)，从而，交点P肯定在平面α、β的交线上，即P∈a，于是a∩c＝P，这与已知条件a∥c冲突．因此b、c相交不成立．(2)若b∥c，已知a∥c，则a∥b，这与已知条件a∩b＝A冲突，因此b、c平行也不能成立．综合(1)(2)可知b、c为异面直线．20．证明：(1)因为1－x＋x2－x3＝eq\f(1－－x4,1－－x)＝eq\f(1－x4,1＋x)，由于x∈[0,1]，有eq\f(1－x4,1＋x)≤eq\f(1,x＋1)，即1－x＋x2－x3≤eq\f(1,x＋1)，所以f(x)≥1－x＋x2.(2)由0≤x≤1得x3≤x，故f(x)＝x3＋eq\f(1,x＋1)≤x＋eq\f(1,x＋1)＝x＋eq\f(1,x＋1)－eq\f(3,2)＋eq\f(3,2)＝eq\f(x－12x＋1,2x＋1)＋eq\f(3,2)≤eq\f(3,2)，所以f(x)≤eq\f(3,2).由(1)得f(x)≥1－x＋x2＝(x－eq\f(1,2))2＋eq\f(3,4)≥eq\f(3,4)，又因为f(eq\f(1,2))＝eq\f(19,24)>eq\f(3,4)，所以f(x)>eq\f(3,4).综上，eq\f(3,4)<f(x)≤eq\f(3,2).————————————————————————————

21.(12分)阅读下列材料：依据两角和与差的正弦公式，有sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ，①sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ，②由①＋②，得sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sinαcosβ，③令α＋β＝A，α－β＝B，有α＝eq\f(A＋B,2)，β＝eq\f(A－B,2)，代入③，得sinA＋sinB＝2sineq\f(A＋B,2)coseq\f(A－B,2).(1)类比上述推证方法，依据两角和与差的余弦公式，证明：cosA－cosB＝－2sineq\f(A＋B,2)sineq\f(A－B,2)；(2)若△ABC的三个内角A，B，C满意cos2A－cos2B＝2sin2C，试推断△22．(12分)(2024·新课标全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝lnx－x＋1.(1)探讨f(x)的单调性；(2)证明当x∈(1，＋∞)时，1<eq\f(x－1,lnx)<x；(3)设c>1，证明当x∈(0,1)时，1＋(c－1)x>cx.

答案21.解：(1)证明：cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ，①cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ，②①－②，得cos(α＋β)－cos(α－β)＝－2sinαsinβ.③令α＋β＝A，α－β＝B，有α＝eq\f(A＋B,2)，β＝eq\f(A－B,2)，代入③，得cosA－cosB＝－2sineq\f(A＋B,2)sineq\f(A－B,2).(2)解法1：cos2A－cos2B＝2sin2C，可化为1－2sin2A－1＋2sin2B即sin2A＋sin2C＝sin2设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，由正弦定理可得a2＋c2＝b2.依据勾股定理的逆定理