2024年中考数学高频考点突破-实际问题与二次函数

2024年中考数学高频考点突破

实际问题与二次函数

1.春节期间，全国各影院上映多部影片，某影院每天运营成本为2000元，该影院每天售出

的电影票数量y（单位：张）与售价x（单位：元/张）之间满足一次函数关系（30VXW80,

且x是整数），部分数据如下表所示：

电影票售价X（元/张）4050

售出电影票数量y（张）164124

⑴请求出y与尤之间的函数关系式；

⑵设该影院每天的利润（利润=票房收入-运营成本）为w（单位：元），求w与x之间的

函数关系式；

（3）该影院将电影票售价x定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？

2

2.对于向上抛的物体，如果空气阻力忽略不计，有下面的关系式：h=vot-^gt（/?是物体

离起点的高度，％是初速度，g是重力系数，取10m/s2,f是抛出后经过的时间）.杂技演员

抛球表演时，以10m/s的初速度把球向上抛出.

（1）1.2秒时球离起点的高度是多少？

（2）几秒后球离起点的高度达到2.55m?

3.如图1所示是某家具厂的抛物线木板余料，其最大高度为9dm,最大宽度为12dm,现

计划将此余料进行切割：

(1)如图2,以的中点。为原点，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向建立平

面直角坐标系，求出抛物线对应的函数表达式；

(2)工人师傅现需要一块边长为7dm的正方形木板，为了切割方便，要求一边在底部边缘

上，这块余料能否满足工人的需求？如果能，请说出切割方案，如果不能，请说明理由；

(3)若切割成矩形，要求一边在底部边缘上且周长最大，求此矩形的周长；

(4)若切割成宽为2dm的矩形木板若干块，然后拼接成一个宽为2dm的矩形，如何切割才能使

拼接后的矩形的长边最长？请直接写出拼接后的矩形的长边长(结果保留根号).注意：思

考中可能会用到的数据行之2.65,75»2.24,6*1.73.

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4.如图，某跳水运动员在10米跳台上进行跳水训练，水面边缘点E的坐标为/-1。）

运动员（将运动员看成一点）从原点。点起跳，在空中运动的路线是经过点。的抛物线.正

常情况下，运动员在距水面高度5米之前，必须完成规定的翻转、打开动作，并调整好入水

姿势，否则就会失误，运动员入水后，运动路线满足另一条抛物线.一个运动员在跳某个规

定动作时，运动员在空中最高处A点的坐标为

（1）求运动员在空中运动时对应抛物线的表达式，并求出入水处点B的坐标；

（2）若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点E的水平距离为5.5米，则该运动员此次跳

水会不会失误？请通过计算说明理由.

（3）在该运动员入水点的正前方有N两点，且EM=7.9,EN=8.5,该运动员入水后运

动路线对应的抛物线表达式为y=4（尤-〃）2+3若该运动员出水点。在之间（包括

N两点），请求运动员入水最大水深的范围.

5.某校计划将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型拱门，并要求设计的拱门的跨度与拱

高之积为48nl2,还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求给出了两个设

计方案.现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示：

方案一：抛物线型拱门的跨度ON=12m,拱高PE=4m.点N在x轴上，尸E，ON,OE=EN.

方案二：抛物线型拱门的跨度ON'=8m,拱高P'E'=6m.点N'在x轴上，PE'±ON,,

OE'=E'N'.

要在拱门中设置高为3nl的矩形框架，其面积越大越好(框架的粗细忽略不计).方案一中，

矩形框架A3CD的面积记为工，点A、D在抛物线上，边BC在ON上;方案二中，矩形框

架AB'C'D'的面积记为邑，点A,DC在抛物线上，边B'C'在ON'上.现知，小华已正确求

出方案一中，当AB=3m时，H=18m2,请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题：

(1)求方案二中抛物线的函数表达式;

(2)在方案二中，当AE=3m时，求矩形框架A'B'C'D的面积邑并比较S-6的大小.

6.如图，某农户计划用篱笆围成一个矩形场地养殖家禽，为充分利用现有资源，该矩形场

地一面靠墙(墙的长度为18m),另外三面用篱笆围成，中间再用篱笆把它分成三个面积相等

的矩形分别养殖不同的家禽，计划购买篱笆的总长度为32m,设矩形场地的长为加，宽为

四，面积为sm?.

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（1）分别求出y与x,s与x的函数解析式；

（2）当x为何值时，矩形场地的总面积最大？最大面积为多少？

（3）若购买的篱笆总长增加8m,矩形场地的最大总面积能否达到lOOn??若能，请求出尤的

值；若不能，请说明理由.

7.某厂一种农副产品的年产量不超过100万件，该产品的生产费用》（万元）与年产量x（万

件）之间的函数图象是顶点为原点的抛物线的一部分（如图所示）；该产品的总销售额z（万

元）=预售总额（万元）+波动总额（万元），预售总额=每件产品的预售额（元）x年销售

量x（万件），波动总额与年销售量尤的平方成正比，部分数据如表所示.生产出的该产品

都能在当年销售完，达到产销平衡，所获年毛利润为w万元.（年毛利润=总销售额-生产

费用）

年销售量X（万件）2040

总销售额Z（万元）5601040

)/万元

1000F------------

o100工/万件

(1)求y与x以及z与x之间的函数解析式；

(2)若要使该产品的年毛利润最大，该产品的年产量应为多少？

(3)若要使该产品的年毛利润不低于1000万元，结合函数图象，求该产品年销售量的变化范

围.

8.为全面实现“乡村振兴”，某“枇杷合作社”带动村民大量栽种枇杷.现阶段枇杷陆续成

熟，“枇杷合作社”为解决果农后顾之忧，于是邀请部分网络平台实现网络销售，每箱枇杷

的成本是40元.某平台经过调查发现，当每箱枇杷的售价是80元时，每天可售出100箱.如

果降价销售，每降价1元，每天可多售出10箱.

(1)若该平台某天销售枇杷的利润为6000元，且使顾客得到最大优惠，求每箱枇杷的售价;

(2)这批枇杷在市场一售而空，该平台又以同样的价格购进一批枇杷，当每箱枇杷的售价为

多少元时，每天可以获得最大利润？最大利润为多少元？

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9.射水鱼（别名高射炮鱼）在水中看到水面上方的猎物A（猎物的大小忽略不计）后，便

向猎物射水，当猎物被水射中后射水鱼对其进行捕杀.如图，喷射出的水柱在空中呈抛物线

形状，设喷出水柱的竖直高度为y（单位：cm）（水柱的竖直高度是指水柱与鱼嘴8所在水

平面的距离），水柱与鱼嘴2的水平距离为x（单位：cm）,建立如图所示的平面直角坐标

系，得到如下数据：

x/cm0102030405060

y/cm0183242485048

♦y/cm

（1）请结合表中所给数据，求此次射水过程中水柱轨迹所在抛物线的解析式；

（2）若猎物A突然受到惊吓，退至（55,45）处，试判断该射水鱼此次射水喷出的水柱能否精准

捕杀到猎物A,并说明理由.

10.如图所示，在直角坐标系中，矩形ABCD的边AD在x轴上，点A在原点，AB=3,AD=5.

若矩形以每秒2个单位长度沿x轴正方向做匀速运动•同时点尸从A点出发以每秒1个单位

长度沿A-3-C-。的路线做匀速运动•当尸点运动到D点时停止运动，矩形ABCD也随之

停止运动.

（1）求尸点从A点运动到。点所需的时间；

⑵设p点运动时间为K秒）.

①当t=5时，求出点尸的坐标；

②若。出的面积为，，试求出$与/之间的函数关系式（并写出相应的自变量r的取值范围）.

11.某公司计划用一种长为100cm,宽为60cm的长方形铁片制作无盖盒子.如图，在铁片

关系式，并描述盒子的侧面积随小正方形边长的变化而变化的情况；

（2）已知该种长方形铁片的成本为每块40元，当制成的无盖盒子的销售单价为70元时，每

天可以售出140个，经调查发现，这种盒子的销售单价每降低1元，其销售量相应增加10

个.不考虑其他因素，公司将销售单价“（元）定为多少时，每天销售无盖盒子所获利润卬

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（元）最大？最大利润是多少？

12.新华社天津3月29日电（记者周润健、张泽伟）29日，2024年全国室内田径锦标赛在

天津开赛，女子铅球决赛中，河北队选手巩立姣投出19米35轻松夺冠.铅球从出手到落地

的过程中，其运动轨迹（不考虑其他因素）可以近似的看成是抛物线的一部分.某运动员在

训练时，铅球在空中的竖直高度y（米）与水平距离为（米）之间的部分对应数值如下表所

（1）出手时铅球的竖直高度是米，铅球在空中的最大高度是米；

（2）按如图所示的直角坐标系，求表示该抛物线的函数表达式；

（3）该运动员在比赛时，投出的铅球在空中的竖直高度y（米）与水平距离x（米）之间的函

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数关系式为、=-=/+了》+:，请判断该运动员在比赛和训练时，哪次投出的铅球更远一

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些，并说明理由.

13.某公园有一个喷水池，中心的可升降喷头垂直于地面，喷出的水柱形状呈抛物线.如图

是喷水池喷水时的截面图，以喷水池中心。为原点，水平方向为x轴，1米为1个单位长度

建立平面直角坐标系，设喷头A的坐标为（0,抛物线的函数表达式中二次项系数

（1）当水柱都满足水平距离为4米时，达到最大高度为6米.

①若c=l,求第一象限内水柱的函数表达式（无需写取值范围）.

②求含c的代数式表示以

1Q

（2）为了美化公园，对喷水设备进行改造，使。与c之间满足4a-gc+]=0,且当水平距离

为6米时，水柱达到最大高度.求改造后水柱达到的最大高度.

14.如图，小车从点A出发，沿与水平面成30。角光滑斜坡下滑，在下滑过程中小车速

度逐渐增加，设小车出发点A离水平地面BE的高度为〃，小车从点A滑行到最低点B所用

的时间为K秒）,小车滑行到点B时的速度为v（厘米/秒）.速度v与时间f满足关系：v=107,

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高度//与时间t满足关系：h=；g^（gwO,g是常数），当小车出发点小车出发点A离水

平地面BE的高度为20（厘米）时，小车从点A滑到最低点B需要2秒.

（1）当小车出发点A离水平地面防的高度为45（厘米）时，小车滑到最低点8需要几秒钟？

此时小车到达B点时的速度是多