2024年中考数学复习讲义-分式方程

第06讲分式方程

目录

题型06根据分式方程解的情况求值

一、考情分析

题型07根据分式方程有解或无解求参

二、知识建构

考点一解分式方程数

题型08已知分式方程有增根求参数

题型01判断分式方程

题型09已知分式方程有整数解求参数

题型02分式方程的一般解法

考点二分式方程的应用

题型03分式方程的特殊解法

类型一分组通分法题型01列分式方程

类型二分离分式法题型02利用分式方程解决实际问题

类型一行程问题

类型三列项相消法

类型二工程问题

类型四消元法

类型三和差倍分问题

题型04错看或错解分式方程问题

类型四销售利润问题

题型05解分式方程的运用（新定义运算）

考点要求新课标要求命题预测

＞能解可化为一元一次方程中考中本考点考查内容以分式方程解法、分式方程含参

解分式方程

的分式方程问题、分式方程的应用题为主，既有单独考查，也有和一次

函数、二次函数结合考察，年年考查，分值为10分左右，

分式方程的＞能根据具体问题的实际意

预计2024年各地中考还将继续考查分式方程解法、分式方

应用义，检验方程解的合理性

程含参问题（较难X分式方程的应用题，为避免丢分，学

生应扎实掌握.

考点一解分式方程

分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程.

墙本思路将分式方程化为整式方程,再求就

常用方法1）去分班法12）换元法

1）找最司公分母,当分母是多项式时.先分斜因式1

【奶错*】力行两边网桑■倚公分修时.最初；「

极.因此分式方程定^聆IR.

2）去分母,方程两边都集最初公分母.约去分理.化为整式方程；

）解禁式方丹：

去分母法3

4）验根.把整我方内的根代入最简公分母-«—昼原方用的**

[

步骤

|*sat伪值-----■«!公分母

M是鼠方烟的♦

1）设辅助来如数：

）日到关辅助未知数的新方程.求出辅助未如数的侑

帙无法2F1

3）把辅助卡知数的值代回酬式中.求出原来未知数的依：

4）检契作粹.

增根的概念：在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根.

1.分式方程与整式方程的根本区别：分母中含有未知数，也是判断分式方程的依据.

2.去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项.

3.分式方程的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解.

4.分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的公分母为0的根，它不是原分式方

程的根.

5.解分式方程可能产生使分式方程无意义的根，检验是解分式方程的必要步骤.

题型01判断分式方程

[例1]（2021・河南信阳.河南省淮滨县第一中学校考模拟预测）下列方程：①[+1=x；②等-3=。；③

告+*=3；④lg=l（a,6为已知数），其中分式方程有（）

X—11—XCLu

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【分析】等号两边至少有一个分母含有未知数的有理方程叫做分式方程；

【详解】解：观察各方程的分母，只有①③分母中含有未知数，而④中分母虽含有字母，但字母不是未知

数，故不是分式方程，所以方程①③是分式方程，方程②④均属于整式方程.

故选：B.

【点拨】本题考查分式方程的定义，掌握定义是解题关键.

【变式1-1J（2022南明区二模）下列关于x的方程，是分式方程的是（）

A.--3=-B.-x--y=5C.-=-+-D.—=1--

2523/7T322+xx

【答案】D

【分析】根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程进行判断.

【详解】解：人.方程分母中不含未知数，故不是分式方程，不符合题意；

B.方程分母中不含未知数，故不是分式方程，不符合题意；

C.方程分母中不含表示未知数的字母，兀是常数，故不是分式方程，不符合题意；

D.方程分母中含未知数x,故是分式方程，符合题意.

故选：D.

【点拨】本题主要考查了分式方程的定义，解题的关键是掌握判断一个方程是否为分式方程，主要是依据

分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）.

题型02分式方程的一般解法

[例2]（2023・辽宁大连•统考中考真题）将方程告+3=符去分母，两边同乘（x-1）后的式子为（）

x—11—X

A.1+3=3x（1—%）B.1+3（%—1）——3%

C.x-1+3=-3xD.1+3（%—1）=3%

【答案】B

【分析】根据解分式方程的去分母的方法即可得.

【详解】解：2+3=?，

两边同乘0-1）去分母，得1+3（x-1）=-3%,

故选：B.

【点拨】本题考查了解分式方程，熟练掌握去分母的方法是解题关键.

【变式2-1](2023•内蒙古赤峰•统考中考真题)方程++岩=1的解为

【答案】%=4

【分析】依据题意将分式方程化为整式方程，再按照因式分解即可求出工的值.

【详解】解：•••圭+署=1,

方程两边同时乘以(％+2)(%-2)得，％-2+%+6=(%+2)(%-2),

2%+4=/—4,

•••X2—2x—8=0,

(%—4)(x+2)=0,

•••x=4或%=—2.

经检验％=—2时，％2一4=0,故舍去.

•••原方程的解为：％=4.

故答案为：X=4.

【点拨】本题考查的是解分式方程，解题的关键在于注意分式方程必须检验根的情况.

【变式2-2](2022.青海西宁.统考中考真题)解方程：岛-&=0.

【答案】%=7

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解.

【详解】解：方程两边同乘X(久+1)(%-1),得4(久-1)-3(%+1)=0,

解得％=7,

检验：当x=7时，x(x+1)(%-1)0,

所以，原分式方程的解为％=7.

【点拨】本题主要考查了解分式方程，掌握求解的方法是解题的关键，注意解分式方程一定要验根.

【变式2-3](2022.山东济南.统考中考真题)代数式三与代数式三的值相等，则x=_________.

x+2x-1

【答案】7

【分析】根据题意列出分式方程，求出方程的解，得到x的值即可.

【详解】解：•.•代数式三与代数式卷的值相等，

X+ZX—L

.3=2

x+2x-1'

去分母

3(x-1)=2(久+2),

去括号号

3%—3=2%+4,

解得X=7,

检验:当x=7时,(x+2)(x-1)#=0,

，分式方程的解为％=7.

故答案为：7.

【点拨】本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验.

【变式2-4](2022.湖南常德统考中考真题)方程|+七=5的解为.

【答案】％=4

【分析】根据方程两边同时乘以2x(*-2)，化为整式方程，进而进行计算即可求解，最后注意检验.

【详解】解：方程两边同时乘以2支(久-2),

2X2(%—2)+2=5X(%—2)

解得X=4

经检验，x=4是原方程的解

故答案为：x=4

【点拨】本题考查了解分式方程，解分式方程一定要注意检验.

方法技巧

解分式方程方法：先通过方程两边同乘最简公分母将分式方程化为整式方程，再解整式方程，最

二砺诙好口△赦才亡壬旦"I缶笈目八」'乙工旦白片缶笈

题型03分式方程的特殊解法

类型一分组通分法

方法简介：如果整个方程一起通分，计算量大又易出错，观察方程中分母的特点可联想分组通分求解.

【例3】解方程：力-六12

x-4x-3

【详解】解:原方程可变形为,

5—x5—x

(x—2)(x—1)(x—4)(x—3)

当5-样0时，(%-2)(%-1)=-4-3)解得＞1二|

当5-x=0时，解得x2=5

经检验，xl=l,尤2=5都是原方程得解.

类型二分离分式法

方法简介：每个分式的分母与分子相差1,利用这个特点可采用分类分式法求解

x+5,x+2x+3,x+4

［例4］解方程:------1------=-------1------

x+4x+1x+2x+3

【答案】x=-j.

【分析】先将原方程变形1+=+1+二=1+六+1+2，再进一步化简转化为整式方程求解即可.

【详解】解:原方程可变形为，

1+—+1+—=1+-2—+1+-2—

x+4x+1x+2x+3

化简得,

x+4x+1x+2x+3

2x4-52x4-5

即

(X+4)(X+1)(x+2)(x+3)

/.2x+5=0,

解得，x=—I，

检验,把尸-黄入(X+4)(%+1)(%+2)(%+3)#0,

，原方程的解为4-|.

【点拨】此题主要考查了解分式方程，正确地将原方程变形是解决问题的关键.

类型三列项相消法

方法简介:根据分式方程的结果特点，依据公式“康=>+，，化积为差，裂项相消,简化难度

【例5］我们把分子是1的分数叫做分数单位，有些单位分数可以拆成两个不同的分数的差，如*=,-)

623

111.111111

，请用观察到的规律解方程上+(x+l)(x+2)+…+(x+9)(x+10)-x+10

1234‘2045‘623

该方程解是多少?

【答案】x=4

【分析】本题考查解分式方程，根据规律化简方程，然后解分式方程即可.

2225

【详解】解：--------1F•••4=------

x(x+l)(x+l)(x+2)---------(x+9)(x+10)----x+10

_2+2_2++2_2

原方程化简为5

Xx+1x+1x+2x+9x+10x+10

即1-岛5

x+10

方程两边同乘x(x+10),

得：5x=20,

解得x=4.

经检验x=4是原方程的解,

二原方程的解为％=4.

【变式5-1】因为亳=1_11

19X20—1920

11.11..11_1

所以w+2+…+----=-----1-------r••,-----------x1------亲解答下列问题:

19X20223192020

(1)在和式三+/4—中z第九项是一；第n项是.

J.XZ3X4

1111

⑵解方程：(x+g2)4----------1-•••-|--------------=------

(x+2)(x+3)(x+2001)(x+2002)x+2002

【答案】(1七篇,W1y

(2)x=2000

【分析】(1)根据已知式子的规律，即可求解;

(2)根据(1)的规律化简方程为士-11,解分式方程，即可求解.

X+1x+2002x+2002

【详解】(1)解：依题意，在和式卷+为+£+…中，第九项是六;第拉页是花占

J.XZNXJyXXUTT.xJitiJ.)

故答案为舟小•

111

(2)原方程可化简为

X+1x+2002x+2002

方程两边同时乘(X+1)(%+2002)，得：久+2002-(%+1)=x+1,

解得：x=2000,

经检验，x=2000是原方程的解.

【点拨】本题考查了数字类规律题，解分式方程，找到规律，化简方程是解题的关键.

【变式5-2】探索研究:

请观察：

1_1_1.

®X2+3X+2-

(x+l)(x+2)x+1%+21

②一-—二1_11

^X2+5X+6(x+2)(x+3)x+2%+31

③—:_1_11

^X2+7X+12(x+3)(x+4)x+3x+4

_1_11

—:

^X2+9X+20(x+4)(x+5)x+4x+5

(1)请写出第〃个等式；

1

⑵解方程：石+再获豆+9而店+/+7X+12+…+T+15X+56

x+8

1

⑶当7"为正整数时，

/2+专+2+…+m2+17m+72

【答案】1____1

+(2n+l)x+n(n4-l)(x+n)(x+n+l)x+nx+n+1

(2)x=8

(3)—

'7m+9

【分析】(1)根据所给4个等式总结规律写出第n个等式即可；

(2)由(1)所得规律解该分式方程即可，注意验算；

(3)由(1)所得规律变形计算即可.

1_11

【详解】(1)解,,/①------------------

7,•k>x2+(2xl+l)x+lx(H-l)(x+1)(x4-1+1)x+1x+1+1

2)----------------1_11

^X2+(2X2+1)X+2X(2+1)(x+2)(x+2+l)x+2x+2+1

1_11

③-----------------

^X2+(2X3+1)X+3X(3+1)(x+3)(x+3+l)x+3x+3+1

1_11

④-----------------

^X2+(2X4+1)X+4X(4+1)(x+4)(x+4+l)x+4x+4+1

1_1

第n个等式为.2-+l)x+n(n+l)=(x+n)(x+n+l)

x+(2nx+nx+n+1

(2)解：----1—----1-----1------F…H------=--

x2+xX2+3X+2X2+5X+6X2+7X+12X2+15X+56X+8

1__1__1__1+1_____|_1_1+______1__1

xx+1x+1x+2x+2x+3x+3x+4x+7x+8x+8'

11_1

xx+8x+8

1_2

xx+8

解得：x=8,

经检验久=8是原方程的解；

2

I1用牛•2十6十12十20十m+17m+72

11111

=----1-----1-----1-----F—|-----------

1x22x33x44x5(m+8)(m+9)

1111111(।11

=1-2+2-3+3-4+4-5+，，，+mT8-mT9

1

=1-----------

m+9

_m+8

m+9•

故答案为：鬻

【点拨】本题考查分式运算中的规律性问题，解分式方程.理解题意，找出所给等式中的规律，并能用此

规律计算是解题关键.

【变式5-3】探索发现：

1_]1.1_11.1_11

1X2-2/2X3"23/3X4-34..........

根据你发现的规律，回答下列问题：

(1)—=——-——二-

'74X5--------71X(71+1)---------'

(2)利用你发现的规律计算：-^―•+/+白+....+；)

J.XZ5X4TiX(TLTJ.J

(3)利用规律解方程-x(x+l)+(x+l)(x+2)+(x+2)(x+3)+(x+3)(x+4)+(x+4)(x+5)-x(x+5)

【答案】(i)mw；(2)w；(3)见解析.

【分析】(1)根据简单的分式可得，相邻两个数的积的倒数等于它们的倒数之差，即可得到熹和菽装5

(2)根据(1)规律将乘法写成减法的形式，可以观察出前一项的减数等于后一项的被减数，因此可得它

们的和.

(3)首先利用(2)的和的结果将左边化简，再利用分式方程的解法求解即可.

1_11

【详解】解：(1)亲=»巳

n(n+l)nn+1

故答案为1一U1

n+1

1111![1__1_n

(2)原式=1—~+~=1

334nn+1n+1n+1

(3)已知等式整理得：i111112x-l

x+1x+1x+2%+4x+5x(x+5)

所以，原方程即：--4-2x-l

X%+5x(x+5)

方程的两边同乘X万+5),得：x+5-尤=2x-1,

解得：x=3,

检验：把尤=3代入x(x+5)=24ro,

二原方程的解为：x=3.

【点拨】本题主要考查学生的归纳总结能力，关键在于根据简单的数的运算寻找规律，是考试的热点.

类型四消元法

方法简介：当方程中的分式互为倒数，或不同分式中的分母互为相反式，或方程中分子、分母的二次项与一次

项分别相同时，可考虑用换元法.

［例6］用换元法解分式方程号+空子=?时，若设号=y，则原方程可以化为整式方

.

【答案】5y2_3y+10=0

【分析】将六=y代入到原方程中，再进行整理即可.

【详解】解：设号=丫，

则方程号+号=|可以化为y+f=j，

整理得：5必一3y+10=0,

故答案为：5答一3y+10=0.

【点拨】本题考查了换元法解分式方程，当分式方程比较复杂时，通常采用换元法使分式方程简化.

【变式6-1】阅读与思考

阅读下面的材料，解答后面的问题.

解方程：十一言=0.

解：设y=?,则原方程可化为y-：=。，方程两边同时乘y得P-4=0,

解得y=±2,

经检验：y=±2都是方程y-；=。的解，:当y=2时，（=2,解得久=-1,

当尸-2时，（=-2,解得久=］经检验：x=-1或%=加是原分式方程的解，

二原分式方程的解为x=-1或％=|,上述这种解分式方程的方法称为“换元法”.

问题：

⑴若在方程中宇-T=。，设y=T,则原方程可化为.

ZXX—1X

⑵模仿上述换元法解方程：盘-三-9=0.

【答案】d）|y-i=o

⑵久=一（或X=-1

【分析】（1）设丫=U,则?=|y,士=i,据此求解即可；

（2）先把方程变形为言-答=0,再用换元法求解即可.

【详解】（1）解：设y=U，原方程可化为—：=0，

故答案为：《丫一：=0

（2）解：口---9=-+9）=--,

'7x+2x-1x+2Kx-17x+2x-1

设丫=崇，原方程可化为y-1=0,

方程两边同时乘以y，得y2—9=0,

解得，y=±3,

经检验，y=±3都是原方程的解，

当y=3时，有U=3,解得：X=-（，

当y=-3时，有言=-3,解得：x=-］,

经检验：*=-（或x=-［都是原分式方程的解,

二原分式方程的解为X=-1或X=-♦

【点拨】本题考查了用换元法解可化为一元二次方程的分式方程，解题的关键是正确使用换元法.

【变式6-2］用换元法解：肃-第=。.

【答案】答案见解析.

【分析】按照材料中分式方程换元的方法，可设y=含,原方程化为y-?=0,按照解分式方程的方法,

可求得y的值，进而求得比的值.

【详解】解：设y=含，则原方程化为y-?=0.

方程两边同时乘y,得

y2—1—0,

解得y=±1.

经检验：y=±1都是y-i=0的解.

当y=1时，

方=1，

解得久=2.

当丫=-1时，

X+1d

♦=T,

解得x=0.

经检验：％=2和x=0都是原分式方程的解.

所以原分式方程的解为刀=2和x=0.

【点拨】本题主要考查分式方程的解法，牢记分式方程的解题步骤是解答的关键.

题型04错看或错解分式方程问题

［例7］（2022.贵州毕节.统考中考真题）小明解分式方程=急-1的过程下.

解：去分母，得3=2%-（3x+3）.①

去括号，得3=2%—3x+3.②

移项、合并同类项，得-久=6.③

化系数为1,得%=-6.④

以上步骤中，开始出错的一步是(

A.①B.②C.③D.@

【答案】B

【分析】写出分式方程的正确解题过程即可作出判断.

【详解】解：左=岛-1,

去分母，得3=2x—(3x+3),

去括号，得3=2%-3%-3,

页I彳导一2%+3%=-3—3,

合并同类项，得%=-6,

，以上步骤中，开始出错的一步是②.

故选：B

【点拨】此题考查了解分式方程，以及分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法是解本题的关键.

【变式7-1](2022•浙江台州.统考中考真题)如图的解题过程中，第①步出现错误，但最后所求的值是正确

的，则图中被污染的光的值是—.

先化简，再求值：芸+1,其中x=*

x-4

解：原式=芸•0-4)+(久-4)

=3—%+%—4

=-1

【答案】5

【分析】根据题意得到方程芸+1=-1,解方程即可求解.

x-4

【详解】解：依题意得：―2+1=-1,即+2=0,

去分母得：3-x+2(x-4)=0,

去括号得：3-x+2x-8=0,

解得：x=5,

经检验，户5是方程的解,

故答案为：5.

【点拨】本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验.

【变式7-2](2023•浙江嘉兴统考中考真题)小丁和小迪分别解方程卷-当=1过程如下：

小丁：小迪：

解：去分母，得％-(x-3)=x-2解：去分母，得X+(%-3)=1

去括号/得x—%+3=%—2去括号得%+%-3=1

合并同类项，得3=x-2合并同类项得2x-3=1

解得x=5解得x=2

二原方程的解是x=5经检验，x=2是方程的增根,原方程无解

你认为小丁和小迪的解法是否正确？若正确，请在框内打“卡；若错误，请在框内打“x”，并写出你的解答过

程.

【答案】都错误，见解析

【分析】根据解分式方程的步骤判断小丁和小迪的解法是否正确，再正确解方程即可.

【详解】小丁和小迪的解法都错误；

解：去分母，得x+(x-3)=x-2,

去才舌号，彳导2%-3=x-2,

解得，x=1,

经检验：x=1是方程的解.

【点拨】本题考查分式方程的解法，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键.

【变式7-3](2023忻州市一模)小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“?”看不清楚J+3=4

(1)她把这个数“?”猜成5,请你帮小华解这个分式方程；

(2)小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是x=2,原分式方程无解”，请你求出原分式方程中

“?”代表的数是多少？

【答案】(1)x=0；(2)原分式方程中“？”代表的数是-1.

【分析】(1)“？”当成5,解分式方程即可,

(2)方程有增根是去分母时产生的，故先去分母，再将产2代入即可解答.

【详解】(1)方程两边同时乘以(久-2)得

5+3Q—2)=-1

解得x=0

经检验，x=0是原分式方程的解.

(2)设？为m,

方程两边同时乘以。-2)得

m+3(%—2)=—1

由于％=2是原分式方程的增根,

所以把％=2代入上面的等式得

m+3(2-2)=-1

m=-1

所以,原分式方程中“?”代表的数是-1.

【点拨】本题考查了分式方程解法和增根的定义及应用.增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程

的分母为0的根.增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可

求得相关字母的值.

题型05解分式方程的运用(新定义运算)

【例8*2022.河南平顶山.统考二模定义运算小痴=1+高，如：1※2=1+今=［则方程返修+1)=|

的解为()

11

A.%=1B.%=-1C.x=—D.%=-

22

【答案】D

【分析】根据新定义得出方程1+福=|,再解分式方程，求出其解即可.

x+x+12

【详解】解：由题意，得

.1_1

**2x4-1-2'

解得：X=|,

经检验，x1是方程的根，

故选：D.

【点拨】本题考查新定义和解分式方程，理解定义和求解分式方程是解题的关键.

【变式8-1]（2023广西大学附属中学二模）对于实数。和b,定义一种新运算“软为：a⑤6=3，这里

a-b£

等式右边是实数运算，例如：1⑤3=七=则方程x区2=三-1的解是（）

1—3Z8x—4

A.%=4B.%=5C.x=6D.x=7

【答案】B

【分析】根据题目中定义的新运算，将％③2=£-1转换为分式方程，求解即可•

【详解】解：根据题意02=2-1,

去分母得：1=2—Q—4),

解得：x=5,

将尤=5代入公分母x—4K0,

.'.X=5是原分式方程的解,

故选：B.

【点拨】本题考查了定义新运算以及解分式方程，理解题意，熟练掌握解分式方程的一般步骤是本题的关

键.

【变式8-2]（2022•浙江宁波•统考中考真题）定义一种新运算：对于任意的非零实数。/，。保6=工+，.若

ab

。+1）⑤x=等，则x的值为.

【答案】-1/-0.5

【分析】根据新定义可得（x+1）区x=筌，由此建立方程等=汕解方程即可.

xz+xxz+xX

【详解】解：*③b=

/,Y、C1,1x+l+x2x+l

..(%+l)0%=—+--^y=—,

又［G+1)⑤x=手

.2X+1_2X+1

x2+xx

.".(%2+x)(2x+1)—x(2x+1)=0,

.".(%2+%—x)(2x+1)=0,

/.x2(2x+1)=0,

,/(x+1)0%=即为W0,

.,.2x+1=0,

解得％=-l,

经检验X=-3是方程等=丝上的解，

2xA+xx

故答案为：.

【点拨】本题主要考查了新定义下的实数运算，解分式方程，正确理解题意得到关于X的方程是解题的关

键.

【变式8-3](2022.四川内江•统考中考真题)对于非零实数a,6,规定。㊉6=[—5,若(2x-1)㊉2=1,

则x的值为.

【答案】|

【分析】根据题意列出方程，解方程即可求解.

【详解】解：由题意得：

---=1,

2X-12

等式两边同时乘以2(2%-1)得，

2—2.x+1=2(2%—1),

解得：久=*,

O

经检验，X=|是原方程的根，

O

•■•^=1,

O

故答案为：I.

O

【点拨】本题考查了解分式方程，掌握分式方程的一般解法是解题的关键.

题型06根据分式方程解的情况求值

[例9](2020.黑龙江齐齐哈尔统考中考真题)若关于尤的分式方程2=4+5的解为正数，则相的取值

范围为（）

A.m<-10B.m<-10

C.m>-10且m=/^-6D.m>-10Bm=/^-6

【答案】D

【分析】分式方程去分母化为整式方程，表示出方程的解，由分式方程的解为正数求出m的范围即可.

【详解】解：去分母得3%=-m+5（%-2）,

解得“=誓，

由方程的解为正数，得到m+10>0,且久42,机+10力4,

则m的范围为zn>一10且m丰-6,

故选：D.

【点拨】本题主要考查了分式方程的计算，去分母化为整式方程，根据方程的解求出m的范围，其中考虑

到分式方程的分母不可为零是做对题目的关键.

【变式9-1]（2020・四川泸州•中考真题）已知关于x的分式方程三+2=-三的解为非负数，则正整数m

的所有个数为（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【分析】根据解分式方程，可得分式方程的解，根据分式方程的解为负数，可得不等式，解不等式，即可

解题.

【详解】解：去分母，得：m+2（尤-1）=3,

移项、合并，解得：,

■:分式方程的解为非负数，

解得：m<5且n#3,

•••m为正整数

，m=l,2,4,5,共4个，

故选：B.

【点拨】本题考查了分式方程的解，先求出分式方程的解，再求出符合条件的不等式的解.

【变式9-2]（2023盐城市二模）关于x的分式方程吃+p=1的解为正数，贝必的取值范围是_____.

x—22—x

【答案】a<5且a丰3

【分析】直接解分式方程，进而利用分式方程的解是正数得出。的取值范围，进而结合分式方程有意义的条

件分析得出答案.

【详解】去分母得：l-a+2=x-2,

解得：x=5-a,

5-a>0,

解得：a<5,

当x=5-a=2时，a=3不合题意，

故a<5且a中3.

故答案为a<5且a*3.

【点拨】此题主要考查了分式方程的解，注意分式的解是否有意义是解题关键.

【变式9-3]（2023.内蒙古包头.校考一模）已知关于x的分式方程空子-三=1的解是正数，则小的取值范

x—11-X

围是______•

【答案】m>4且m丰5

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解表示出x，根据解为正数，求出a的范围即可.

【详解】解：去分母得：2x-m+3=x-l,

解得：x=爪一4,

1•该方程的解是正数

.'.m—4>0,

解得m>4,

又•.•当机=5时，该分式方程的左边两项分母为0,

/.mH5,

故答案为：m>4且m丰5.

【点拨】本题考查的是分式方程的解法和一元一次不等式的解法，理解分式方程的增根的判断方法是解题

的关键.

【变式9-4J2023齐齐哈尔市二模凑使关于x的方程三|-二；=的解是正数双的取值范围是--

x+2X-1（,x++2工）（x—.1）

【答案】a<-1且a齐3.

【详解】分析：解分式方程，用含。的式子表示无，由尤>0,求出。的范围，排除使分母为0的«的值.

详解：必—七=T一，

x+2XT（X+2J（x-l）

去分母得，（X+1）（尤-1）-尤（尤+2）=a,

去括号得，/-1---Zxua,

移项合并同类项得，-2x=a+1,

系数化为1得，了=*.

根据题意得，三>0,解得-L

当x=1时，-2x1=°+1,解得a=-3；

当x=-2时，-2x(-2)=a+l,解得a=3.

所以a的取值范围是a<-1且W-3.

故答案为a<-1Ha#-3.

方法技巧

由分式方程的解的情况求字母系数的取值范围，一般解法是：

①根据未知数的范围求出字母的范围；

②把使分母为0的未知数的值代入到去分母后的整式方程中，求出对应的字母系数的值；

题型07很据分立万桂有解取尢解求蓼数

【例10]（2022・四川遂宁•统考中考真题）若关于x的方程白=三无解，则优的值为（）

X2%+1

A.0B.4或6C.6D.0或4

【答案】D

【分析】先将分时方程化为整式方程，再根据方程无解的情况分类讨论，当爪-4=0时，当爪-4力。时，

X=。或2%+1=0,进行计算即可.

【详解】方程两边同乘％(2%+1)，得2(2%+1)=mx7

整理得(加一4)%=2,

;原方程无解，

・••当771—4=0时,771=4；

当tn—4W0时，%=0或2%+1=0,止匕时，x=-^―,

m-4

解得x=0或久=-|,

当x=0时，x=-^―=。无解；

m-4

当久=—J时，％=吃=一：，解得机=0；

Z771—4Z

综上，根的值为。或