2024年中考数学复习：有理数的运算复习讲义

有理数的运算复习讲义

一、有理数的加法运算

1.有理数的加法运算法则

(1)同号两数相加：取相同的符号，并把绝对值相加；

(2)异号两数相加：绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去

较小的绝对值；

⑶一个数同。相加，仍得这个数.

【例】(+3)+(+5)=+(3+5)=8(-3)+(-5)=-(3+5)=-8

2+(-2)=03+(-2)=+(3-2)=1

2+(-5尸-(5-2)=-3-3+0=3

符号数值

正数+正数正绝对值相加

负数+负数负绝对值相加

正数+负数取绝大绝大减绝小

【注】多个数相加时，加法交换律和加法结合律仍然成立.

2.加法运算技巧

⑴化小数为分数：分数与小数均有时，应先化为统一形式；

(2)符号相同的数可以先结合在一起；

(3)若有可以凑整的数，即相加得整数时，可先结合相加；特别是有互为相反数的两个数时，可先结合相加

得零；

(4)若有同分母的分数或易通分的分数，应先结合在一起.

【例】-；+(-0.75)=-《+(-1)=-1

8\2/888\272V2/

3.7+(-7)+6.3=3.7+6.3+(-7)=10+(-7)=3

-2.4+5+2.4=(-2.4+2.4)+5=0+5=5

二、有理数的减法运算

1.有理数的减法运算法则

减去一个数.等于加上这个数的相反数,即:a-b=a+(-b).

【例】3-(-2)=3+2=5-8-(-7)=-8+7=-1

2.有理数的减法运算步骤

⑴把减号变为加号，把减数变为它的相反数；

⑵按照加法运算进行计算.

【例】计算：-8-6

解:原式=-8-(-6)Stepl:减号变加号，减数变相反

=-(8+6)Step2：按照加法的运算步骤计算

=-14

3.有理数加减法混合运算技巧

⑴把算式中的减法转化为加法；

⑵去括号时注意符号，能省掉的“+”号要省掉；

(3)多观察，巧妙利用运算律简便计算.

三、有理数的乘法运算

1.有理数的乘法运算法则

两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘.

任何数与0相乘，积仍为0.

【例】-3x(-5)=+(3x5)=15-2X8=-(2-8)=-16

12x11=1322017x0=0

2.有理数的乘法运算律

(1)乘法交换律:ab=ba;

⑵乘法结合律:(ab)c=a(bc);

(3)乘法分配律:a(b+c)=ab+ac.

【例】—3x5=5x(-3)[(-2)X3]x：=(-2)x(3x|)

-|x(10+|)^-|xl0+(-|)x|

3.有理数乘法运算技巧：

⑴几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：奇负偶正；

⑵几个数相乘，如果有一个因数为0,则积为0；

⑶在进行乘法运算时，若有小数及分数，一般先将小数化为分数，若有带分数，应先化为假分数，便于约

分.简记为：化小为分，化带为假.

【例】-1x：x(-2)x(-0.75)x5的结果为负数

-8x|x(-9)xOx7的结果为0

173

-3-x0.75xl6=--x;xl6=-42

四、有理数的除法运算

L有理数除法运算法则

一个数除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数.a+b=a(bK0).

2.有理数除法的运算步骤：

(1)把除号变为乘号；

(2)把除数变为它的倒数；

⑶把除法转化为乘法，按照乘法运算的步骤进行运算.

[例]2+=2x(-4)=-(2x4)=-8

_3+(H)=_3X(_|)=+(3X|)=|

五、乘方

乘方：求n个相同因数的积的运算,叫做乘方，乘方的结果叫做幕.在a“中，a”读作“a的n次幕”或者“a的n

次方”，a叫做底数，n叫做指数.

【例】a”表示有n个a连续相乘：

3,表示3x3x3x3x3,

-35表示-(3x3x3x3x3),

(-3)5表示(-3)x(-3)X(-3)x(一3)x(-3).

【注】当n为奇数时，(-以=-心当n为偶数时，(一a)〃=a".

六、混合运算技巧

1.有理数运算规则

加减法为一级运算，乘除法为二级运算，乘方及开方称为三级运算.

(1)先乘方，再乘除，最后加减；

(2)同级运算，从左到右进行；

(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行.

简记为：从左到右，从高(级)到低(级)，从小(括号)到大(括号).

2.“奇负偶正”

(1)多重负号的化简：这里奇、偶指的是号的个数，正、负指的是化简结果的符号；

(2)有理数乘法：当多个非零因数相乘时，这里奇、偶指的是负因数的个数，正、负指的是结果中积的符号；

⑶有理数乘方：这里奇、偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幕为负；指数为偶数，则幕为

正.

【例】-[-(-3)]=-3-[+(-3)]=3(-3)x(-2)x(-6)=-36;

(-3)x(-2)x(+6)=36(-3)2=9(-3)3=-27.

七、绝对值初步

(1)若|a|=a,则a>0;若|a|=-a,则a<0.

(2)|a|=|-a|.

re回」1，a>。

⑶a-l-l,a<0

模块一有理数的加减法

例题1

⑴(+12)+(+3)(2)(+7.5)+(+3|)(3)(-11)+(-9)

(4)(-40+(-3m(5)15+(-6)(6)(+53|)+(-18§

⑺-5+3⑻"(W)

[ftWJ(l)(+12)+(+3)(2)(+7.5)+(+3|)(3)(-ll)+(-9)(4)(-40+(-30

=+(12+3)=15=+(7.5+3.6)=ll.l=-(10+9)=-(4|+30

=-8

(5)15+(-6)(6)(+531)+(-18^)(7)-5+3(8)^+(-^)

二+(15-6)=9=+(52+——18—覆)=-(5-3)=-2=---

\55/6

=34-=--

53

例题2

(1)23-17-(-7)+(-16)(2)^-(-|+|)+(-2)

【解析】⑴解:原式=23+(-17)+7+(-16)⑵解:原式=京-(-专)+(-2)

=(23+7)+[(-17)+(-16)]=.+[+-2)

=30+(-33)=-3=^+(-2)=-^

例题3

⑴/(-0.75)+0.375+(-2⑵[《+(-/+[(-1)+6引

⑶-0.5-(-3-(-2.75)-(70⑷(-21)-(+30-(+1.25)-(-J

【解析】⑴原式=：+(T+|+(-2；)⑵原式=呜+(-"+[(-：)+6当

=1+§+[(_1)+(-2；)]=[蚱+6£|+[(—1)+(-1)]

=j+(-3)=-j=ll+(-|)=10i

⑶原式=-1+3]+2|+(—7()(4)原式=(—2：)+(—3乡+(—1)+2

=[(-3+(-73+(3；+2=[(-21)+(-；)]+[(-31)+1]

=(-8)4-6=—2=(—4)+(—3)=-7

模块二有理数的乘除法

例题4

(1)(—3)x(-11)x(-10x(+5|)x卷(2)(—0.25)x0.5x(―x4

(3)(-81)+2：x(-\)+4⑷(-|)x2,+(一琦)xI-4|

【解析】⑴原式=(一3"(一？义(一募)*£乂卷=一(3义卜蔡义甘乂才=一9；

(2)^=(-i)xjx(-^)x4=ix|x^x4=^;

(3)原式=(-81)x源_以x(=1；

(4)原式=(一Jx|x(一|)x4=5.

例题5

(1)8+(-36)X-(2)(-3.89)x(一|)-2.51X(-|)+6.4X(-1)

【解析】⑴原式=8+(—36)xT+(-36)x(-i|)+(-36)X[

=8+(—28)+33+(-6)=7.

(2)原式=[(-3.89)-2.51+6.4]x(―|)

=0x(-i)=0-

模块三乘方

例题6

⑵—34(3)(-|)3

(1)(—3尸

⑷一3Q3⑸|一3『*(一3*(一0%(|)2

【解析】(1)81;(2)—81;(3)~~~\(4)-

(5)^=9x(-i)x(-i)xg)=i

例题7

⑴一32x2—3x(—2产(2)2x(-3)2—；x(-22)+6

(3)-I4-4-[16-(-3)2](4)(一3)2一(11)x|-64-|-1|3

【解析】(1)原式(2)原式=2x9—：x(-4)+6

=-9X2-3X44

=-18-12=-30=18+1+6=25

⑶原式=_1―什7(4)原式=9-,X|-6吟

oz)O

=-1Y--1X-1=9—三一叫

7744

150

-d1-------=---------=-12

4949

【提示】有理数乘方常考学生的易错点，即“奇负偶正”在乘方运算中的应用.

模块四绝对值初步

例题8

⑴若l<a<3,则化简||1—可+|3—矶的结果为

⑵若x<。,化简曷!言

(3)已知数a、b、c在数轴上的位置如图，化简|a|+网+|a+加一|b—c|的结果是().

A.2a+3b-cB.3b—ca0bC

C.b+cD.c-b

⑷数a,b,c在数轴上的位置如图所示，且|a|=|c|;化简\a+c\+\2b\-\b-a\-\c-b\+\a+b\=

cb

O

【解析】(1)2;

⑵II用一2%|_手=-%;(3)B;(4)-b+c.

|%—3|—|x|3-%+%

例题9

(1)若ab邦,求高+看的所有可能值.

(2)若abc邦,求言+白+吊勺所有可能值.

(3)试探究，若agLa回力0,求名+岩+L+看的所有可能值.

|«1|也|跖I

【解析】⑴①两数均正，原式=2;

②一正一负,原式=0；

③两数均负，原式=-2;

⑵①三数均正,原式=3;

②二正一负.原式=1；

③一正二负,原式=-1；

④三数均负.原式=-3;

⑶①当n为奇数时，所有可能的值为:±1,±3,±5,…，±n;

②当n为偶数时，所有可能的值为:0,±2,±4,±6,-,±n.

例题10

⑴已知a、b是不为0的有理数，求旦的值.

ab

⑵已知mn知，求四+言+总的值.

m\n\\mn\

⑶已知abc#0,求有+产+普的值.

\ab\\ac\\bc\

【解析】⑴当a>0,b>0时,=1T=0；

当a>0,b<0时，旦一粤=1-(-1)=2;

ab

当a<0,b>0时，旦―回=—1—1=—2;

ab

当a<0,b<0时,也一回=_1_(_1)=0;

ab

综上所述，印-?的值为20,2.

ab

⑵：mn#),；.m、n两个数都不为零

若m、n两个数都是正数，则mn也是正数，故原式值为3；

若m、n两个数一正一负，则mn是负数，故原式值为-1；

若m、n两个数都是负数，则mn是正数，故原式值为-1；

综上所述，例+含+巴=3,-1.

m\n\\mn\

(3)Vabc^O,/.asb、c三个数都不为零,

若a、b、c三个数都是正数.则ab、ac、be也都是正数.故原式值为3;

若a、b、c中两正、一负，则ab、ac、be中一正、两负，故原式值为-I;

若a、b、c中一正、两负，则ab、ac、be中一正、两负，故原式值为-1;

若a、b、c中三负，则ab、ac、be中三正，故原式值为3.

综上所述，黑+胃+含=3-1.

\ab\\ac\\bc\

例题11

(Da,b,c为非零有理数,且a+b+c=O,则罂+翟+与的值等于多少？

\a\b\b\c\c\a

(2)已知a,b,c都不等于0,且abc>0,a+b+c=O,求若+喏+喑.

a\b\b\c\c\a\

【解析】(1)由a+b+c=O可知a,b,c里存在两正一负或者一正两负；

a\b\_b\c\c\a\_a_1^1,.If!_L

\a\b\b\c\c\a\a\'b\b\c\c\a

若两正一负，那么高¥+，■?+自?=ITT=T；

若一正两负，那么+帚也+方f=

综上所得罂+鬻+瞿=-1；

\a\b\b\c\c\a

(2)考虑a+b=—c,b+c=—a,a+c=一仇代入原式可得-1.

【提示】例9,10.11均是关于回的问题，例9是最基本的回的考查形式，需要带着学生分类讨论找到规律；例10是例9

aa

的变形，考查形式多样化，但基本思路依然是分类讨论正负数的个数即可；例11则加入了一些限制性的条件，限

制了正负数的个数.

非常挑战

2012+氯-丁+(一/(-0.625)]:(-2§

⑴

-(-l)20z-

,(-2)3X(-l)2012-|-12|*[-(-i)2]

【解析】(1)6035;(2)25.6.

复习巩固

演练1

计算：(1)J一[(—9.5)+4/]+7.5

(2)—5.5+(—3.2)—(—2.5)—(—4.8)

(3)—32—17一|一23|一|一(-17)|

【解析】⑴7.5;⑵-1.4;(3)-89.

演练2

(1)(—51)xg—8+|—2+4|(2)(-1)6-(1_|_I(|)-11

(3)-I8+(1-0.5)X|X[2-(-3)2](4)-42x0.25一，+(―|?+1-(-1)2015

：⑴-6;(2)-；;(3)苧4)-13.

4o

演练3

(1)已知一|一XW|,则|2x+3|+|2x-5|=

(2)a<0,abV0,那么\b-a+11—|CL—b—51=.

(3)有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示.若〃