2020-2022年北京市初三一模数学试题汇编：全等三角形章节综合

第1页/共1页2020-2022北京初三一模数学汇编全等三角形章节综合一、单选题1．（2022·北京海淀·校考一模）如图，点E是△ABC内一点，∠AEB=90°，AE平分∠BAC，D是边AB的中点，延长线段DE交边BC于点F，若AB=6，EF=1，则线段AC的长为（

）A．7 B．8 C．9 D．102．（2020·北京东城·统考一模）已知锐角∠AOB，如图，（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作，交射线OB于点D，连接CD；（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，两弧交于点P，连接CP，DP；（3）作射线OP交CD于点Q．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）A．CP∥OB B．CP＝2QC C．∠AOP＝∠BOP D．CD⊥OP3．（2020·北京顺义·统考一模）已知直线l及直线l外一点P．如图，（1）在直线l上取一点A，连接PA；（2）作PA的垂直平分线MN，分别交直线l，PA于点B，O；（3）以O为圆心，OB长为半径画弧，交直线MN于另一点Q；（4）作直线PQ．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）A．△OPQ≌△OAB B．PQ∥ABC．AP＝BQ D．若PQ＝PA，则∠APQ＝60°二、填空题4．（2022·北京海淀·校考一模）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D均落在格点上，则∠BAD+∠ADC=_____．5．（2022·北京海淀·统考一模）如图，在的正方形网格中，A，B，C，D，E是网格线交点．请画出一个，使得与全等______．6．（2022·北京丰台·统考一模）如图，点B，E，C，F在一条直线上，BC＝EF，∠B＝∠DEF．只需添加一个条件即可证明△ABC≌△DEF，这个条件可以是_____（写出一个即可）．7．（2021·北京丰台·统考一模）如图，平分，点B在射线上，若使，则还需添加的一个条件是_______（只填一个即可）．8．（2021·北京顺义·统考一模）如图，，只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是________（写出一个即可）9．（2021·北京平谷·统考一模）如图，，，垂足分别为，．只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是______．（写出一个即可）10．（2020·北京大兴·统考一模）在四边形ABCD中，用①AB∥DC，②AD＝BC，③∠A＝∠C中的两个作为题设，余下的一个作为结论．用“如果…，那么…“的形式，写出一个真命题：在四边形ABCD中，_______．三、解答题11．（2022·北京石景山·统考一模）如图，△ACB中，，，D为边BC上一点（不与点C重合），，点E在AD的延长线上，且，连接BE，过点B作BE的垂线，交边AC于点F．(1)依题意补全图形；(2)求证：；(3)用等式表示线段AF与CD的数量关系，并证明．12．（2022·北京平谷·统考一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为AB边上一点（不与点A，B重合），作射线CD，过点A作AE⊥CD于E，在线段AE上截取EF＝EC，连接BF交CD于G．(1)依题意补全图形；(2)求证：∠CAE＝∠BCD；(3)判断线段BG与GF之间的数量关系，并证明．13．（2021·北京海淀·统考一模）如图，点B，E，C，F在一条直线上，．求证：．14．（2021·北京房山·统考一模）如图，AB与CD交于点E，点E是AB的中点，∠A＝∠B．试说明：AC＝BD．15．（2021·北京通州·统考一模）已知：如图，在和中，点B、E、C、F四点在一条直线上，且．求证：．16．（2021·北京大兴·统考一模）已知：如图中，．求作：点P，使得点P在上，且点P到的距离等于．作法：①以点B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交射线于点；②分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部交于点F；③作射线交于点P．则点P即为所求．（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面证明．证明：连接．在和中．（_________________）（填推理的依据）．，点P在上，．作于点Q，点P在上，__________（______________________）（填推理的依据）．17．（2021·北京平谷·统考一模）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是直线AB上一点（点D不与点A、B重合），连接DC并延长到E，使得CE＝CD，过点E作EF⊥直线BC，交直线BC于点F．（1）如图1，当点D为线段AB上的任意一点，用等式表示线段EF、CF、AC的数量关系，并证明；（2）如图2，当点D为线段BA的延长线上一点时，依题意补全图2，猜想线段EF、CF、AC的数量关系，并证明．18．（2021·北京延庆·统考一模）在正方形中，点E在射线上（不与点B、C重合），连接，，将绕点E逆时针旋转得到，连接．(1)如图1，点E在边上．①依题意补全图1；②若，，求的长；(2)如图2，点E在边的延长线上，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．19．（2020·北京丰台·统考一模）如图，在△ABC中，∠CAB＝∠CBA，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E．求证：AD＝BE．

参考答案1．B【分析】延长交于，证明，根据全等三角形的性质求出，根据三角形中位线定理解答即可．【详解】解：延长交于，平分，，在和中，，，，，，，，，，，故选：B．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形中位线定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．2．A【分析】由作图知OC＝OD，CD＝CP＝DP，根据等边三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质和判定、角平分线的基本作图，逐一判断可得．【详解】由作图可知：射线OP即为∠AOB的角平分线，∴∠AOP＝∠BOP，故C正确，不符合题意；由作图（1）（2）可知：OC＝OD，CP＝DP，∴OP是CD的垂直平分线，∴CD⊥OP，故D正确，不符合题意；由作图（2）可知：CD＝CP＝PD，∴△CDP是等边三角形，∵CD⊥OP，∴CP＝2CQ，故B正确，不符合题意；∵∠AOP＝∠BOP，当OC＝CP时，∠AOP＝∠CPO，∴∠CPO＝∠BOP，∴CP∥OB，故A错误，符合题意；故选：A．【点睛】本题考查作图-基本作图，等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握角平分线这个基本作图，属于中考常考题型．3．C【分析】连接AQ，BP，如图，利用基本作图得到BQ垂直平分PA，OB＝OQ，则可根据“SAS”判断△OAB≌△OPQ，根据全等三角形的性质得∠ABO＝∠PQO，于是可判断PQ∥AB；由BQ垂直平分PA得到QP＝QA，若PQ＝PA，则可判断△PAQ为等边三角形，于是得到∠APQ＝60°，从而可对各选项进行判断．【详解】解：连接AQ，BP，如图，由作法得BQ垂直平分PA，OB＝OQ，∴∠POQ＝∠AOB＝90°，OP＝OA，∴△OAB≌△OPQ（SAS）；∴∠ABO＝∠PQO，∴PQ∥AB；∵BQ垂直平分PA，∴QP＝QA，若PQ＝PA，则PQ＝QA＝PA，此时△PAQ为等边三角形，则∠APQ＝60°．故选：C．【点睛】本题考查基本作图、全等三角形的性质和判定、等边三角形的判定和平行线的判定，牢记性质和判定是解题的关键.4．##度【分析】证明△DCE≌△ABD（SAS），得∠CDE=∠DAB，根据同角的余角相等和三角形的内角和可得结论．【详解】解：如图，设AB与CD相交于点F，在△DCE和△ABD中，∵，∴△DCE≌△ABD（SAS），∴∠CDE=∠DAB，∵∠CDE+∠ADC=∠ADC+∠DAB=90°，∴∠AFD=90°，∴∠BAC+∠ACD=90°，故答案为：90度．【点睛】本题网格型问题，考查了三角形全等的性质和判定及直角三角形各角的关系，本题构建全等三角形是关键．5．见解析（只要画出一种即可）【分析】根据两边及其夹角对应相等的两个三角形全等进行作图即可．【详解】解：∵DE=AB，∴分两种情况：或，找出点F的位置，连接DF、EF，BC=EF或FD=CB，∴△ABC≌△DEF（SAS）或△ABC≌△EDF（SAS），即为要求作的，如图所示：故答案为：见解析（只要画出其中一种即可）【点睛】本题主要考查了在方格纸中作一个三角形与已知三角形全等，解题的关键是确定点F的位置．6．AB=DE（答案不唯一）【分析】根据全等三角形的判定定理结合图形即可得出结果．【详解】解：添加条件为AB=DE，在△ABC与△DEF中，△ABC≌△DEF（SAS），故答案为AB=DE（答案不唯一）．【点睛】题目主要考查全等三角形的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定是解题关键．7．AC=AD或或．【分析】由AE平分∠CAD，可得∠CAB=∠DAB，由AB共用从边上考虑，只能添加AC=AD，可证，从角上考虑，可添加或，即可．【详解】解：因为AE平分∠CAD，所以∠CAB=∠DAB，又∵AB=AB，已具备一边一角，从边上考虑，只能添加AC=AD，在△ABC和△ABD中，，，从角上考虑，可添加或，添加在△ABC和△ABD中，，，添加，在△ABC和△ABD中，，，故答案为：AC=AD或或．【点睛】本题考查三角形全等的判定，掌握三角形全等判定定理是解题关键．8．AD=BC或∠D=∠C或∠DBA=∠CAB等（答案不唯一，填一个即可）．【分析】根据三角形全等的判定定理，添加边相等或角相等即可．【详解】解：添加AD=BC，可用SAS判断；添加∠D=∠C，可用AAS判断；添加∠DBA=∠CAB，可用ASA判断；故答案为：AD=BC或∠D=∠C或∠DBA=∠CAB等（答案不唯一，填一个即可）．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，解题关键是熟记全等三角形的判定定理，准确添加正确条件．9．或或或【分析】根据题意直接由全等三角形的判定定理进行分析即可求解．【详解】解：若添加，且，由“”可证；若添加，且，由“”可证；若添加，且，由“”可证；若添加，且，由“”可证；故答案为：或或或（答案不唯一）．【点睛】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解答本题的关键．10．如果AB∥DC，∠A＝∠C，那么AD＝BC【分析】如图，在四边形ABCD中，如果AB∥DC，连接BD，则有∠ABD=∠CDB，若∠A＝∠C，则可利用AAS判定△ABD≌△CDB，进而可得AD＝BC，据此即可写出答案．【详解】解：如图，在四边形ABCD中，如果AB∥DC，连接BD，则有∠ABD=∠CDB，若∠A＝∠C，又∵BD=DB，∴△ABD≌△CDB（AAS），∴AD＝BC．故可得到命题：在四边形ABCD中，如果AB∥DC，∠A＝∠C，那么AD＝BC．故答案为：如果AB∥DC，∠A＝∠C，那么AD＝BC．【点睛】本题是开放型题目，考查了平行线的性质和全等三角形的判定和性质，属于基础题型，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．11．(1)见解析(2)见解析(3)，证明见解析【分析】（1）根据题目步骤作图即可；（2）过E作EM⊥BC于M，先由中线倍长证明，得到，再证明，得到；（3）由（2）中全等可得到，即可推理出．【详解】（1）依题意补全图形如下：（2）过E作EM⊥BC于M在和中∴(AAS)∴∵∴∵BE⊥BF∴在和中∴(ASA)，∴（3），证明如下：

由（2）得，∴，∴，∴．【点睛】本题考查全等三角形的性质与判定，解题的关键是根据倍长中线模型作垂直构造全等．12．(1)见解析(2)见解析(3)，证明见解析【分析】（1）根据题意作图即可；（2）根据垂线的定义，等角的余角相等即可证明；（3）过点作于点，则，证明，结合已知条件EF＝EC，证明，即可得到．【详解】（1）如图所示，（2），，．，，，即∠CAE＝∠BCD．（3），理由如下，如图，过点作于点，则，由（2）可知，，，．又，，．，，又，，．【点睛】本题考查了画垂线，线段，等角的余角相等，全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．13．证明见解析【分析】根据平行得出，然后用“边角边”证明即可．【详解】证明：∵，∴．∵，∴．∴．在和中，∴．∴．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用已知条件，推导证明出全等三角形判定所需条件，运用全等三角形判定定理证明．14．见解析【分析】证明△AEC≌△BED（ASA），可得AC=BD．【详解】解：证明：∵E是AB的中点，∴AE=BE，在△AEC和△BED中，，∴△AEC≌△BED（ASA），∴AC=BD．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型．15．见解析【分析】由，得到，根据SAS证明△ABC≌△DEF即可．【详解】证明：∵∴在与中∴【点睛】本题主要考查全等三角形的判定方法，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．16．（1）图见解析；（2）全等三角形的对应角相等，PQ，角平分线上的点到角两边的距离相等【分析】（1）按照题目中的已知作法作图即可（2）先根据SSS得出，根据全等三角形的对应边相等得出，再根据角平分线的性质即可得出答案【详解】（1）如图所示：（2）证明：连接．在和中．（全等三角形的对应角相等）（填推理的依据）．，点P在上，．作于点Q，点P在上，PQ（角平分线上的点到角两边的距离相等）（填推理的依据）．【点睛】本题考查作图-复杂作图、角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本作图，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．17．（1）EF+CF=AC，证明见解析；（2）EF=AC+CF，证明见解析【分析】（1）过点D作DH⊥BC于H，证明△ECF≌△DCH，推出EF=DH，CF=CH，即可得到EF+CF=AC；（2）依题意画出图形，过点D作DM⊥BC于M，证明△ECF≌△DCM，推出EF=DM，CF=CM，由此得到结论EF=AC+CF．【详解】解：（1）EF+CF=AC，证明如下：过点D作DH⊥BC于H，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠B=∠A=45°，∠DHB=∠DHC=90°，∴DH=BH，∵EF⊥BC，∴∠F=∠DHC=90°，∵CE=CD，∠ECF=∠DCH，∴△ECF≌△DCH，∴EF=DH，CF=CH，∴AC=BC=CH+BH=CF+EF；（2）EF=AC+CF．证明如下：如图，过点D作DM⊥BC于M，则∠M=∠ACB=90°，∵