2024-2025学年浙江省金华市高三上册第一次联考（10月）数学检测试题（含解析）

2024-2025学年浙江省金华市高三上学期第一次联考（10月）数学检测试题考生须知：1．本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号．3．所必须写在答题卷上，写在试卷上无效．4．考试结束后，只需上交答题卷．选择题部分一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项符合题目要求．）1．已知复数，则复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知集合，则（）A． B． C． D．3．“其身正，不令而行；其身不正，虽令不从”出自《论语·子路》．意思是：当政者本身言行端正，不用发号施令，大家自然起身效法，政令将会畅行无阻；如果当政者本身言行不正，虽下命令，大家也不会服从遵守．根据上述材料，“身正”是“令行”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．已知为定义在R上的奇函数，当时，．若在上单调递减，则实数a的取值范围为（）A． B． C． D．5．将6棵高度不同的景观树种植在道路两侧，要求每一侧种植3棵，且每一侧中间的景观树都要比两边的高，则不同的种植方法共有（）A．20种 B．40种 C．80种 D．160种6．将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，若在上只有一个极大值点，则ω的最大值为（）A．2 B．3 C．4 D．57．已知双曲线的左焦点为，O为坐标原点，若在C的右支上存在关于x轴对称的两点P，Q，使得为正三角形，且，则C的离心率为（）A． B． C． D．8．已知为函数的零点，则（）A．1 B．2 C．3 D．4二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．）9．已知非零向量，则下列结论正确的是（）A．若，则 B．若则C．若，则 D．向量与向量垂直10．如图，在正三棱柱中，AB＝4，M，N，D，Q分别为棱的中点，，则以下结论正确的是（）A．平面QMN B．C．点Q到平面DMN的距离为 D．三棱锥的外接球表面积为11．已知抛物线的焦点为F，A，B，P为抛物线C上的点，，若抛物线C在点A，B处的切线的斜率分别为，且两切线交于点M．N为抛物线C的准线与y轴的交点．则以下结论正确的是（）A．若，则 B．直线PN的倾斜角C．若，则直线AB的方程为 D．的最小值为2非选择题部分三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．）12．已知____________________________________．13．已知某中学的3个年级各有学生300，300，400人，现采用分层抽样的方法从3个年级的学生中抽取10人，对他们的体重进行了统计．若3个年级被抽到的学生体重的平均值分别为48，52，55kg，方差分别为4，10，1．将这10名学生体重W（kg）作为样本，则样本的方差为______________________________．14．“四进制”是一种以4为基数的计数系统，使用数字0，1，2，3来表示数值．四进制在数学和计算的世界中呈现出多个维度的特性，对于现代计算机科学和技术发展有着深远的影响．四进制数转换为十进制数的方法是通过将每一位上的数字乘以4的相应次方（从0开始），然后将所有乘积相加．例如：四进制数013转换为十进制数为；四进制数0033转换为十进制数为；四进制数0033转换为十进制数为；现将所有由1，2，3组成的4位（如：1231，3211）四进制数转化为十进制数，在这些十进制数中任取一个，则这个数能被3整除的概率为______．四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（13分）如图，三棱台中，是正三角形，平面ABC，，M，N分别为棱的中点．（1）证明:平面MCN；（2）求直线与平面MCN所成的角的正弦值.16．（15分）已知b>0，函数在点处的切线过点。（1）求实数b的值；（2）证明：在上单调递增；（3）若对恒成立，求实数a的取值范围．17．（15分）如图，四边形ABCD中，．（1）求；（2）P为边BC上一点，且的面积为，求△ABP的外接圆半径．18．（17分）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，且直线与的斜率之积为．（1）求C的方程；（2）直线与C交于M，N两点，与y轴交于点A，与x轴交于点B．（ⅰ）若A，B恰为弦MN的两个三等分点，求直线l的方程；（ⅱ）若点B与点重合，线段MN的垂直平分线与x轴交于点Q，求的值．19．（17分）密码学是研究编制密码和破译密码的技术科学．研究密码变化的客观规律，应用于编制密码以保守通信秘密的，称为编码学；应用于破译密码以获取通信情报的，称为破译学，总称密码学．20世纪70年代，一些学者提出了公开密钥体制，即运用单向函数的数学原理，以实现加、脱密密钥的分离．加密密钥是公开的，脱密密钥是保密的．这种新的密码体制，引起了密码学界的广泛注意和探讨．某数学课外小组研究了一种编制密码的方法：取任意的正整数n，将小于等于n且与n互质的正整数从小到大排列，即为密码．记符合上述条件的正整数的个数为．（1）求数列的前5项和；（2）求的表达式和的值；（3）记，数列的前n项和，证明．高三数学答案一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项符合题目要求．）1．【正确答案】D，故选D．2．【正确答案】B，解得，或，所以，故选B．3．【正确答案】C由题意：身正令行，令行身正，所以“身正”是“令行”的充要条件，故选C．4．【正确答案】A因为为定义在R上的奇函数，所以，若在上单调递减只需，即，故选A．5．【正确答案】C一侧的种植方法有中，另一侧的种植方法有种，有分步计数原理得不同的种植方法共有种，故选C．6．【正确答案】B由题，当时，，若在上只有一个极大值点，则，得，因为，所以的最大值为3．故选B．7．【正确答案】D设双曲线的焦距为，右焦点为，直线OQ交于点M，连接，因为为正三角形，，所以M为的中点，所以，故，易知，所以，由双曲线的定义知，即，得，故选D．8．【正确答案】B由得，即，即，因为，所以，令，则，所以在上单调递增，又，所以，所以，即，故选B．二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．）9．【正确答案】ABD因为为非零向量，若，则，故，A正确；若，故，В正确；若，则，即，不能确定，C错误；，故，D正确；故选ABD．10．【正确答案】AC由题，，所以，故平面QMN，A正确；由题可得，，设，易得，，因为，即，解得，故，B错误；易知，所以平面QMN，，所以，又，设点Q到平面DMN的距离为d，则，得，C正确；将三棱锥补成以QMN为底面的直三棱柱，则该三棱柱的外接球即为三棱锥的外接球，其球心O位于上下底面外心的中点，，故的外接圆半径，设外接球半径为R，则，所以三棱锥的外接球表面积，D错误．故选AC．11．【正确答案】BCD由题，，则向量的夹角为，故F，A，B三点共线，设，与C的方程联立得，设，则，，故，由抛物线的定义得，故，故，所以，A错误；设，易知，当时，直线PN倾斜角大于等于，当时，，所以直线PN的倾斜角，B正确；记直线AB的斜率为k，令，则，则，又，所以，所以，又直线AB过点，故直线AB的方程为正确；，又，所以，同理，联立解得，即，又，所以，当时，等号成立，所以的最小值为2，D正确；故选BCD。三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．）12．【正确答案】由得，即，．13．【正确答案】133个年级抽取的学生数分别为3，3，4人，则，故．14．【正确答案】设，则4位四进制数转换为十进制为，若这个数能被3整除，则能被3整除．当这个四进制数由1，2，3，3组成时，有个；当这个四进制数由1，1，2，2组成时，有个；这个四进制数由1，1，1，3组成时，有个；这个四进制数由2，2，2，3组成时，有个；这个四进制数都由3组成时，有1个．因为由1，2，3组成的4位四进制数共有个，所以能被3整除的概率．四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）15．【正确答案】（1）证明：因为是正三角形，M为AB中点，所以，因为平面平面ABC，所以，所以平面又因为平面，所以，连接，易得，所以，所以，又因为，所以，因为，所以平面MCN（2）取AC中点O，连接，易知三条直线两两垂直，以O为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则，由（1）知平面MCN的一个法向量为，又，所以，因为直线与平面FMN所成的角为直线与所成角的余角，所以直线与平面FMN所成的角的正弦值为．16．【正确答案】（1）的定义域为，故，又，所以在点处的切线方程为，将点代入得，解得．（2）证明：由（1）知，则，令，则，当时，单调递减；当时，单调递增，所以，所以在上单调递增．对恒成立，即对恒成立，当时，上式显然恒成立；当时，上式转化为恒成立，设，则，所以在上单调递增；所以，故，所以实数的取值范围为．17．【正确答案】（1）因为，所以，在中，由余弦定理得：，在中，由余弦定理得：，两式作差得：，解得，因为，所以．（2）由（1）知，所以，与（1）同理可得，故，所以，解得，设的外接圆半径为R，在中，由正弦定理得，解得，所以的外接圆半径为．18．【正确答案】（1）将点代入C的方程得：①，设C的焦距为，则，故，解得②，又③，由①②③解得或，所以C的方程为．（2）（ⅰ）由题，，设，O为坐标原点，则，即，解得，所以，又，即，解得，所以将点M，N的坐标代入C的方程得，解得，因为，所以，所以直线l的方程为．注：若利用AB中点是MN的中点或利用MN长度等于3AB长度联立的方程得出k，m同样按步骤得分．（ⅱ）由题直线1过点，所以，与椭圆方程联立，得，，设，则，所以，又，所以MN中点为，所以MN的垂直平分线方程为，令得，故，所以，所以．19．【正确答案】（1）由题，；小于等于2且与2互质的正整数有1，所以；小于等于