仿真演练综合能力测试（二）（解析版）-高考数学备考复习重点资料归纳

2023年新高考数学仿真演练综合能力测试（二）

第I卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的。

1.已知A={x||x-l|<2},B={x|x>l},则Au8=（）

A.{x|-l<x<3}B.{x|x>-l}

C.{x|x>3}D.{x|l<x<3}

【答案】B

【解析】由题意解Ix-1K2,可得—I<xv3,

所以A={x[—l<x<3},8={x|x>l},

则AuB={x|x>-l},

故选：B.

2.已知复数满足z（G-i：=2,则忖2=()

A.—L立B.G1.r石」.n16

------IC.1117,--------1

22222222

【答案】B

厅―i)=2,所以z=-^-=半十；i

【解析】因为兔数满足z1

所以/超+故,-61.

1,z=------1

22

所以|小5二3一匕.

故选：B

3.已知平面向量，力",其中。=(2,0),。=(一1,石),。=4。+〃。，且(1与4和c与6的夹角

相等，则2二（）

4

A.-1B.1C.-2D.2

【答案】B

【解析】由题意a=(2,0),b=(-l,£),c=2a+4Z?,

cb

由于Z与a和：与b的夹角相等，故

1。1©一©|川

4A-2//-2义+〃+3〃

,哈1,

21cl2\c\

故选：B.

4.如图,某公园需要修建一段围绕绿地的弯曲绿道(图中虚线)与两条直道(图中实线)

平滑连续(相切)，已知环绕绿地的弯曲绿道为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析

x2-xC.y=--x3+xD.y=--x3+x2+x

44

【答案】A

【解析】由题意设三次函数的解析式为/(x)=a«x-2)(x+b),即

f(x)=ax3+a(b-2)x2-2abx,

f\x)=3ax2+2as-2)x-lab,

/,(0)=-2^=-l

，解得，4,

/⑵=\2a+4as-2)-2ab=2

b=2

44

故选：A.

5.已知抛物线V=2px(p>0))的焦点为F,准线为/,过F的直线与抛物线交于点4、

B,与直线，交于点。，若人户=3股卜4=4，则片()

3

A.IB.-C.2D.3

2

【答案】D

【解析】如图，

设准线与X轴的交点为K,作AA_L/,BBJI,垂足分别为A，4,

则BBJ/FKKAA,.根据抛物线定义知|世|=忸「|」A4,|二|AF|,

又A尸=3所,4=4,所以忸叫=忸F|=g|A4j=g|4@，忸。|=g|4O|,

设ZDBB}=0,因为3即/FK//A4,所以ZFAA,=NKFD=NDBB,=0,

忸同二四|二3照|二3忸闻

则cos6=

\DB\~\DA\~\AB\^\DB\~A\BB\+\DB\'

所以摆二砸需焉"又|叫=4,可得|四|=2,所以3"会

_\KF\__\KF\_\KF\

所以cosZKFD=gKF==

~DF\DB\+\BF\|O8|+忸团6'

可得|KF|=3,即p=3.

故选：D.

6.某高校组织大学生知识竞赛，共设有5个版块的试题，分别是“中华古诗词”“社会主义

核心价值观叩科学实践观共中国近代史”及“创新发展能力某参赛队从中任选2个版块作

答，贝旷创新发展能力”版块被该队选中的概率为()

A.；B.-C.-D.\

2543

【答案】B

【解析】将五个版块依次记为A,B,C,D,E,

则有(AB),(AC,(AD),(A项(aC),(8,D),(B,E),(CD),(GE),(aE)共10种结果.

某参赛队从中任选2个版块作答，则“创新发展能力”版块被该队选中的结果

有(AE),(&E),(CE),(D,E),共4种，

42

贝厂创新发展能力”版块被选中的概率为P=-=-,

故选：B.

7.公元656年，唐代李淳风注《九章算术》时提到祖唯的开立圆术.祖瞄在求球体积时,

使用一个原理：“塞势既同，则积不容异“幕''是截面积，“势”是立体的高.意思是两个

同高的几何体，如在等高处的截面面积相等，则体积相等.更详细点说就是，界于两个平

行平面之间的两个立体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相

等，则这两个几何体的体积相等.上述原理在中国被称为祖弛原理，国外则一般称之为卡

瓦列利原理.已知将双曲线c：二-£=1与直线），=±2围成的图形绕y轴旋转一周得到一

82

【答案】D

【解析】y=〃（-2</?<2）与双曲线的交点为尸（屈而,“、Q（-V8+4/叫,

则用垂直于y轴的平面截旋转体E的截面为圆面，截面圆的半径为j8+4/j,截面面积为

（8+4/r）7t,

、=力（-2<力<2）与双曲线的渐近线），=±3工的交点为（±2九力），

所以4力，是用垂直于V轴的平面截两条渐近线绕丁轴旋转得到的旋转体的截面面积，

11f4

y=±2,y=±界绕了轴旋转得到的旋转体（两个圆锥）的体积为2乂十2乂16冗=1等7r，

用垂直于y轴的平面去截旋转体E,所得圆环的面积为兀（8+4川）一兀（26）2=8九，

因为底面半径为2&，高为4的圆柱的截面面积为8冗，体积为4、8兀=32%，

所以根据祖晅原理得旋转体E的体积为V=4x8K+—^―=—n,

故选：D.

8.已知e"=1.02,6=45?-1,(人)'=1.01,则()

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b

【答案】A

【解析】由题可得：a=lnl.02,c=21nl.01,

/、/、/，ri902(，4x+1——-

^/(x)=2In(x+l)-V4x+l+l,x=[0,ll,则/(x)=----------/_=♦---------.

x+1J4x+1(x+1)J4x+1

当xw[0,l]时，V4x+1>0,x+l>0,Xp4x+l)2-(x+l)2=-x(x-2)>0,

M>/4^7T-X-1>0,BP/W>0,故f(x)在［01单调递增,/(x)>/(0)=0,

则当x=0.01时，21n(1.01)-VT5?+l>0,即21no.01)>VT55_1,c>b；

令"(x)=ln(x+l)-团+l,xe［0』，则|⑴=士一意=,

当xw［O,l］时，y/2x+l>0.x+l>0,Xp2x+1)2-(X+1)2=-x2^0,

则J2x+14x+l,即"(x)«0,故〃(％)在［0,1］单调递减，/?(x)</?(0)=0,

故当x=0.02时，lnl.02-VL04+l<0,WIn1,02<VL04-1,a<b；

综上所述，a<b<c.

故选：A.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考

科目，下列说法错误的是()

A.若任意选择三门课程，选法总数为A；

B.若物理和化学至少选一门，选法总数为C；C：

C.若物理和历史不能同时选，选法总数为C；-C；

D.若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为C；C；C；

【答案】ABD

【解析】由题意得：

对于选项A：若任意选择三门课程，选法总数为C；,A错误；

对于选项B：若物理和化学选一门，有C；种方法，其余两门从剩余的五门中选，有C；种

选法；

若物理和化学选两门，有C；种选法，剩下一门从剩余的五门中选，有C；种选法，所以总

数为c；c；+CC，故B错误；

对于选项c：若物理和历史不能同时选，选法总数为c；-CC=G-C，故c正确；

对于选项D：有3种情况：①选物理，不选化学，有c：种选法；

②选化学，不选物理，有c；种选法；

③物理与化学都选，有c；种选法.

故总数C：+C；+C；=6+10+4=20,故D错误.

故选：ABD

10.已知函数f(x)=Acos(2x+9)-l(A>0,0ve<2,若函数y=1f(%)|的部分图象如图所

示，则关于函数g(x)=Asin(A.0,下列结论正确的是()

A.函数g(x)的图象关于直线x对称

B.函数g(x)的图象关于点停0)对称

C.函数g(x)在区间0卷上的减区间为0,^

D.函数gQ)的图象可由函数y=/(x)+i的图象向左平移1个单位长度得到

O

【答案】ABC

f—A—1=-3

【解析】〈L一]，.・・A=2,・・・/(X)=2COS(2X+8)-1.

I/1—1=1

又•・1/(0)|=|2cose-1|=2,得cos°=5(舍)或8$0=-万，

因为0<8<冗，：.(p=—,

:、g(x)=2sin^2x-|n^,

其图象对称轴为2x-4=[+E.keZ.当人=一1时，1=三,故A正确:

3212

..c2兀nkit.„

•2x-----=kit,x=-+(—,kwZ,

332

・・・g(x)的图象关于点《，0)对称，故B正确；

:函数g(x)的单调递减区间为一g+2E«2x—|兀V—1+2E,kwZ.

:.—■—it+kitKx工Fkit,keZ,

1212

工当％=0时,g(x)在喑.上单调递减，

所以g(x)在0*上单调递减，故C正确；

•:x+—|+1=2cos|2x+^-+—|=-2cos2x*^(x),故D错误.

11.如图①，在菱形A8CO中，AB=2,ZBAD=^,将二ABZ）沿对角线8。翻折（如图

②），则在翻折的过程中，下列选项中正确的是（）

图①图②

A.存在某个位置，使得尸C=3

B.存在某个位置，使得P8_LCQ

C.存在某个位置，使得点B到平面阳。的距离为G

D.存在某个位置，使得P，B,C,。四点落在半径为好的球面上

2

【答案】ABD

【解析】选项A：因为菱形A3CD的对角线AC=26>3,所以将aABD沿对角线8。翻折到

△8。位置的过程中，一定存在某个位置使得尸C=3,A正确；

选项B：当点P在平面8c。内的投影为△88的重心。时，有PQX平面8cO,

因为CDu平面BCD,所以PQ_L8,

又因为8Q_LC£>,BQcPQ=Q,BQ,PQu平面尸3。，

所以CD_L平面PBQ,因为依u平面尸8Q,所以a>_LP8,即存在某个位置.，使得

PB1CD,B正确；

选项C：因为点3到尸。的距离为G，点B到CO的距离为6，

若点8到平面PDC的距离为石，则平面PMJL平面尸CO,平面C8O_L平面尸CD,

因为平面P8D［平面CBD=BD,则有8。/平面PCD,

又因为COu平面PCO,所以8D_LCO,与△BCD是等边三角形矛盾，C错误；

选项D：由对称性可得四面体P8CO的外接球球心在底面三角形BCD中心的中垂线上，因

为底面一.•角形外接圆半径为2x正x2=^叵<且，所以一定存在四面体的外接球取得半径

3232

—,D正确；

2

故选：ABD

12.已知椭圆C:/+£=l(a>b>0)的左，右焦点分别为品工，长轴长为4,点尸(死1)

在椭圆C外，点Q在椭圆C上，则()

A.椭圆C的离心率的取值范围是［曰,1)

B.当椭圆。的离心率为日时，|。制的取值范围是［2-®2+G］

C.存在点。使得0K5=0

11

D-函十函的最小值为2

【答案】ABC

【解析】由题意得〃=2,又点尸(⑸)在椭圆C外，则„>1，解得

所以椭圆c的离心率6=£=亚王》在，即椭圆c的离心率的取值范围是故

422I2)

A正确；

当“日时・，c=66=值=？=1，所以|QE|的取值范围是［"CM+d，即

［2->/3,2+>/3］,故B正确；

设椭圆的上顶点为A(0,h),爪-训，6(c,0),由于前/鸟=从_°2=0_42<0,

所以存在点Q使得函。月=0,故c正确;

(|Q6|+|Q图+=2++22+2=4,

1111Mlle^l\Q^\)的M

当且仅当|。用=|。叫=2时，等号成立，

又|。6|+|。5|=4，

11

所以画‘故D不正确，

故选：ABC

第n卷

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知函数/*)=£+：是奇函数，则。=.

2—I2

【答案】1

【解析】/(©的定义域为(-8,0)1)(0,转)，

因为f(X)为奇函数，所以/(T)=-/(>-)对任意冲零实数恒成立,

故答案为：1.

14.S”是数列｛4｝的前〃项和，当〃=7时，S”取得最小值，写出一个符合条件的数列｛%｝

的通项公式，an=.

【答案】北-15(答案不唯一)

【解析】由题意，我们可以取一个等差数列：an=2n-15

当〃“7时，&vO,Si时，an>0,Sn_l<Sn,所以当〃=7时，S”取得最小值.

所以e=2〃-15符合题意.

故答案为：》?-15(答案不唯一)

15.若对于圆C：f+y2-2x—2)，-2=0上任意的点A,直线，：4x+3y+8=O上总存在不同

两点M,N,使得NMAN290。，则|MZV|的最小值为.

【答案】10

【解析】由题设圆C:(%-l)2+(y-l)2=4,故圆心半径为r=2,

,4+3+8

所以。到/：4x+3），+8=0的距离d=*==i=3>r,故直线与圆相离,

V42+32

故圆。上点到直线/：4x+3y+8=0的距离范围为[1,5],

圆C上任意的点A,直线/：4x+3y+8=0上总存在不同两点M、N,使NM4N290。，

即以MN为直径的圆包含|员IC,至少要保证直线.上与圆C最近的点，与圆上点距离最大值

为半径的圆包含圆C,

所以1MMN10.

故答案为：10

16.在棱长为2的正方体45。。-4乃©。中，N为的中点.当点“在平面内

运动时，有MN〃平面ABD,则线段MN的最小值为.

【答案】用

2

【解析】取CD的中点尸，。口的中点Q,连接PQ,PN,QN,如图所示.

•:P,N分别为CO,BC的中点，：,PN〃BD,

又PNa平面A，BDU平面AB。，PNH平面A8。，

P,Q分别为CO,DDi的中点，，PQ//DC.

又「4。//8。，4〃=8。，「.四边形4。。8为平行四边形，D£//AC,.PQ〃AB,

又P。仁平面A3。，48<=平面48。，」.「。//平面4£。，

PQcPN=P,・•.平面PQN〃平面A]D，丁MN"平面A、BD,

:.MNu平面PQN,又点M在平面。CG。1内运动,

・••点M在平面尸QN和平面A的交线上即MePQ.

在VPQN中，PN=®,PQ=；CR=y/i,QN=4⑼+2?=«.

PN2+PQ2-QN2

：.cos/NPQ=：.NNPQ=120：

2PQxPN2

，N点到PQ的最小距离d=PN，sin（180。-120°）=当,

・•・线段MN的最小值为业.

2

故答案为：旦

2

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

17.（10分）

已知公差不为。的等差数列｛&｝的前〃项和为S”，：%、*、S§+5成等差数列，且的、

的、〃22成等比数列.

⑴求｛%｝的通项公式；

T1

Q）若2=,数列低｝的前〃项和为7；,证明：T'<—.

”6

【解析】（1）由题知，

2s4=S2+55+5

设（4｝的公差为d,由题意得,

2（4修+6d）=（2q+d）+（5。］+IOd）+5.

即|（q+6d）2=（4+d）（4+21d）,解得］‘了=3

:2'

所以。”=4+（〃-1）"=3+5-1）*2=2/7+1,

所以｛4｝的通项公式为。”=2〃+1

（2）证明：由（1）得4=2〃+1,

所以“一%a用一（2〃+1）（2〃+3）-2（2〃+12w+3j

1/111111\（\

所以北公「J个「

2135572〃+12n+3J2o13Q2/7+3j6

18.(12分)

记锐角MAC的内角A.B.C的对边分别为h,c,tanB=S1I^+SinS

cosA+cosC

（1）求5；

⑵求中的取值范围.

sinA+sinCsinBsinA+sinC

【解析】（1）因为tanB=nU|nJ----=-----------

cosA+cosCcos8cosA+cosC

所以sinB8sA+sin8cosC=cos8sinA+cosHsinC,

即sinBcosA-cosBsinA=cosBsinC-sinBcosC,

所以sin(8-A)=sin(C-8),

因为OvAv兀，0<B<n,

所以一兀v8-Av7t,同理得TC<C一8<九，

所以B—A=或(8-4)+(。一6)=±兀(不成立),

所以2B=A+C,结合A+8+C=JT得8=].

（2）由余弦定理8s8=；=T^得'”=/+人凡

所以4-/=/_护，则之二耍二皇卷）；，

由正弦定理得，：=吗=挛sinC,

bsinB3

因为8=W，A+C=y,0<A<r0<c<i,

所以2<Cv工，-<sinC<l,

622

所以？626)a(c-a)

T'~TyIij-

19.(12分)

7E

如图所示，矩形A4C£＞和梯形5EFC所在平面互相垂直，BE"CF/BCF=ZCEF=二,

2

AD=»EF=#

A

(1)求证：平面OE凡L平面。CE；

(2)当AB的长为何值时，二面角A-EF-C的大小为60°.

【解析】(1)因为NCE尸=],所以反_LCE,因为矩形A8co和平面8EFC垂直，所以

OCJ.BC.矩形A8CO和平面BEFC交于8C,所以0cL面8CEF,又因为

EFu而BCEF,所以E尸1.OC.因为。Cu面。CE,所以所1面力CE,又因为EFu面

DEF,所以平面DEF_L平面OCE.

(2)因为N5C产=],所以8C_LCF,由上面可知，£2_1面3。£产，则以。为原点，分

别以C8、CF.CD为3轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系汝口下图.

过点E作EG_LCF于点G,在RTAEFG中,EG=AD=五,EF=£，则卬=1.因为

CELEF,所以CG=2,CF=3

设AB=a,则C(OQO)、A(&,0,〃)、E(V2,2,0),尸(0,3,0),

A£=(0,2,-a),EF=(-72,1,0),CE=(72,2,0),设平面AEb的法网量为〃=(x,y,z),

n•AE=02y-az=0-fa、

则

n•EF=0得L/j。，…、则r不叫

因为。。_1面£尸。，所以C£>=(0,0,a),若二面角A-M-C的大小为60,则

'#+/+42,解得a=2及’所以当A8=2夜时’二面角A-EF-C的大

小为60°.

20.(12分)

为了丰富孩子们的校园生活，某校团委牵头，发起同一年级两个级部A、8进行体育运动

和文化项目比赛，由4部、B部争夺最后的综合冠军.决赛先进行两天，每天实行三局两

胜制，即先赢两局的级部获得该天胜利，此时该天比赛结束.若A部、8部中的一方能连

续两天胜利，则其为最终冠军；若前两天4部、B部各减一天，则第三天只进行一局附加

赛，该附加赛的获胜方为最终冠军.设每局比赛A部获胜的概率为p(0v〃vl),每局比赛

的结果没有平局且结果互相独立.

⑴记第一天需要进行的比赛局数为X,求E(X),并求当E(X)取最大值时p的值；

(2)当〃=；时，记一共进行的比赛局数为匕求尸(VW5).

【解析】(1)X可能取值为2,3.

P(X=2)=p2+(l-p)2=2p2-2p+\；

P(X=3)=2/?(l-p)=-2p2+2p.

te£(X)=2(2p2-2p+l)+3(-2pJ+2p)=-2p2+2p+2,

即E(X)=_2(p_gJ+|,则当p=T时，E(X)取得最大值.

(2)当时，双方前两天的比分为2：0或0：2的概率均为；x<二；：

比分为2：1或1：2的概率均为2xgx；xg=(.

叩45),则y=4或丫=5.

y=4即获胜方两天均为2：0获胜，不妨设A部胜，

概率为=同理3部胜，概率为=

44164416

故尸(y=4)=2x5=9

Ioo

y=5即获胜方前两天的比分为2：0和2：1或者2：0和0：2再加附加赛，

不妨设最终4部获胜，

当前两天的比分为2：0和2：1时，

先从两天中选出一天，比赛比分为2：1,三场比赛前两场，A部一胜一负，第三场比赛4

获胜，另外一天比赛比分为2：0,故概率为C；｛c；x；x£|xTx；=：,

当前两天比分为2：0和0：2,附加赛A获胜时，两天中选出一天，二匕赛比分为2：0,

概率为同=看

113

故最终4部获胜的概率为!+白=弓,

61010

3

同理B部胜，概率为、，

33

故p（y=5）=2x7=R.

IOo

131

所以p（y<5）=尸（丫=4）+尸（丫=5）=£+?=彳.

oo2

21.（12分）

已知双曲线c：5-V=i的右焦点为R点M,N分别为双曲线。的左、右顶点，过点尸

的直线/交双曲线的右支于RQ两点,设直线MRNP的斜率分别为匕,《，且

（1）求双曲线C的方程；

（2）当点P在第一象限，且=，时,求直线/的方程.

t*anZ.震MQN2

【解析】（1）由题意得M（-a，0），N（a,0）,设点尸（芭,凹）.

贝g=2-儿=上£k=工一,-工=萼=

Xj+a--a-xy+axA-axi-a~3

因为点尸是双曲线上的点，则与-犬=1,・・..一A^=3，；・。2=3.

arx；-a~a2

则双曲线C的方程为

（2）设「&,羽,。（与必），点P在第一象限,

tanZ.PMN+tan4PNM

贝ij玉>0,x>0,tan/MPN=-tan(JPMN+NPNM)=

1-tanZPMNinn4PNM

又tanNPMN=kPM=上口,tanZPNM=-kPN=，厂

X]-J3

2何2岛二6

故tanZMPN=-

片+4-3-777一嬴'

同理可得MMQ-看黑黑十管即

则直线/的斜率大于0,

由⑴可知尸(2,0),设直线/：x=，町+2(〃〉。)，联立

---y2=1

13

化简得"-3)9+4冲+1=0,

M/w2-3^0,A=16m2-4(/n2-3)=12//22+12>0,

,,-4/M1八

故y+%==版仔〈0，

-4/n

m-3

/.m<3,.y=-2y2>0,,代入韦达定理得,

1

m-3

所以-2(孚~丫=——,解得机=巫或m=一叵(舍去)，

^2-3^m2_311II

所以直线/的方程为