2024年高考数学模拟试题一（含解析）

2024年高考数学真题

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1.已知集合时=卜,一2x<o},TV={-2,-1,0,1,2},则已N=().

A.0B.{1}C.{0,1}D.{-1,0,1}

【答案】B

【解析】

【分析】

首先求出集合M，然后再利用集合的交运算即可求解.

【详解】由集合“=卜,2-2%<0}={司0<%<2},N={-2,-1,0,1,2},

所以MN={1}.

故选：B

【点睛】本题考查了集合的交运算、一元二次不等式的解法，属于基础题.

2.已知复数z=*竺为纯虚数(其中，为虚数单位)，则实数()

3+z

A.-3B.3

C-11

3D3

【答案】A

【解析】

【分析】

化简复数z的代数形式，依据复数为纯虚数，列出方程组，即可求解.

1+ai_（l+m）（3-z）_3+a3a~l.

【详解】由题意,复数z=3+z-（3+z）（3-z）-IK-101

因为复数z为纯虚数’可得93+小a=0。’解得a：?

故选：A.

【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，以及复数的分类及其应用，着重考查计算实力，属于基础题.

3.己知。>匕>0,ol,则下列各式成立的是()

ccab

A.]na<lnbB.a<bC.c>cD.<-^—

ba

【答案】C

【解析】

【分析】

依据指数函数和对数函数的单调性和特别值法，逐一对选项进行推断即可.

【详解】解：对于A选项：因为函数y=lnx在(0,+?)上单调递增，所以。〉/7〉0时，]na>lnb,故A

选项错误；

对于C选项：因为y=c*(c>l)在R单调递增函数，所以。〉6>0,ca>cb，故C选项正确；

对于3选项：因为。>>>0，。>1，可取。=2,匕=1，c=2,此时，优=22=41'=12=1,所以精>^,

故3选项错误；

c-12-1c-12-11

对于。选项：因为〃>Z?>0,ol,可取〃=2,b=l,c=2,止匕时，----=-----=1,----=----=—,

b1a22

c-1c-1

所以——>——，故。选项错误.

ba

故选：C.

【点睛】本题主要考查利用对数函数与指数函数的单调性比较大小，属于基础题.

4.《易•系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中国古代流传下来的两幅神奇图案，蕴含了

深邃的宇宙星象之理，被誉为“宇宙魔方”，是中华文化阴阳术数之源.河图的排列结构如图所示，一与六

共宗居下，二与七为朋居上，三与八同道居左，四与九为友居右，五与十相守居中，其中白圈为阳数，黑

点为阴数，若从阳数和阴数中各取一数，则其差的肯定值为5的概率为()

0-00-0-0-0-0

0

••0

:\4♦•・<>0

0

0

0

\\1屎I0

0

:;♦•，•J6

♦O

【答案】A

【解析】

【分析】

依据阳数为1,3,5,7,9；阴数为2,4,6,8,10,利用古典概型概率求法求解.

【详解】：阳数为1,3,5,7,9；阴数为2,4,6,8,10,

•••从阳数和阴数中各取一数的全部组合共有5x5=25个，

满意差的肯定值为5的有(1,6),(3,8),(5,10),(7,2),(9,4)共5个，

则其差的肯定值为5的概率为p=^=|.

故选：A.

【点睛】本题主要考查古典概型的概率求法，还考查了分析求解问题的实力，属于基础题.

5.函数/(x)=LeRsin2x的部分图象大致是()

8

【答案】C

【解析】

【分析】

推断函数的性质，和特别值的正负，以及值域，逐一解除选项.

【详解】/(—x)=—"X),•,・函数是奇函数，解除D,

(卜寸，/(x)>0,时，/(%)<0,解除3,

当时,sin2x£（0,1），-e®w一，一e"

8(88Ju(。』)

xe[o，Tj时，/(x)e(O,l),解除A，

C符合条件，故选C.

【点睛】本题考查了依据函数解析式推断函数图象，属于基础题型，一般依据选项推断函数的奇偶性，零

点，特别值的正负，以及单调性，极值点等解除选项.

6.已知函数/(%)是定义在R上的奇函数，当xNO时，f(x)=2r+2x-a,则/(—1)=()

A.3B.-3C.-2D.-1

【答案】B

【解析】

【分析】

由/(0)=1-。=0,可求。，代入可求/(I),然后结合奇函数的定义得/(-1)=—/(I),进而求得了(—1)

的值.

【详解】/(X)是定义在R上的奇函数，且X..0时，f(x)^2x+2x-a,

f(0)=1—a=0,

\a=1,/(l)=4-a=3,

则⑴=-3.

故选：B.

【点睛】本题考查奇函数性质，即若函数/(尤)为奇函数且在％=0有定义，则/(0)=。，理解这一学问点

是求解本题的关键.

22

7.如图，已知双曲线餐-9=1(6〉。〉0)的左、右焦点分别为£、工，过右焦点作平行于一条渐近线的

b

直线交双曲线于点4,若片鸟的内切圆半径为：，则双曲线的离心率为(

A.毡B.』C.9D.逑

3432

【答案】C

【解析】

【分析】

b

设双曲线的左、右焦点分别为片(-c,0),8(G0),设双曲线的一条渐近线方程为丁=一九,可得直线AK

a

b

的方程为y=2(x-c),联立双曲线的方程可得A的坐标，设|A£|=〃z,|AE|=〃，运用三角形的等积

a

法，以及双曲线的定义，结合锐角三角函数的定义，化简变形可得。，c的方程，结合离心率公式可得所求

值.

【详解】设双曲线的左、右焦点分别为耳(-。,0),马(c,0),

b

设双曲线的一条渐近线方程为y=—%,

a

L22

可得直线AF2的方程为y=-(x-c),与双曲线二—与=1S＞。＞0)联立，

aab

可得4------,--------),

2clac

设|AFX\=m,|AF2\=n,

由三角形面积的等积法可得L2(加+〃+2c)=L2c•"厂一矿),

2422ac

4c2

化简可得加+〃=-----4a-2c®

a

由双曲线的定义可得加—〃=2〃②

在三角形AKK中“sin0=b(c—,(6为直线AF2的倾斜角)，

2ac

b.nbb

由tan9=—,sin2^+cos20=1^sin~/r=-

ac77

2_2

可得〃=二工，③

2a

由①②③化简可得3。2—2〃。—54=0，

即为(3C-5Q)(C+Q)=0,

c5

可得3c=5a,则e=£==.

a3

故选：C.

【点睛】本题考查直线与双曲线的位置关系、双曲线的定义、坐标求解、离心率求解，考查方程思想的运

用及三角形等积法，考查运算求解实力，属于难题.

8.如图，体积为£的大球内有4个小球，每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只有一个交点，4

个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的4个顶点，%为小球相交部分(图中阴影部分)的体积，匕为

大球内、小球外的图中黑色部分的体积，则下列关系中正确的是

c.K〉KD.K〈匕

【答案】D

【解析】

【分析】

先设大球半径为R,小球半径为.，依据题中条件，分别表示出匕匕,匕,进而可作差比较大小.

2一

【详解】设大球半径为H，小球半径为依据题意丫=?&=4.子(1)3一乂+匕,

所以匕一匕=。炉—4-。§)3=与炉=：＞0.

故选：D.

【点睛】本题主要考查球的体积的相关计算，熟记公式即可，属于常考题型.

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题

目要求的，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分.

9.2024年10月31日，工信部宣布全国5G商用正式启动，三大运营商公布5G套餐方案，中国正式跨入5G

时代.某通信行业询问机构对我国三大5G设备商进行了全面评估和比较，其结果如雷达图所示（每项指标值

满分为5分，分值高者为优），则（）

A.尸设备商的研发投入超过。设备商与"设备商

B.三家设备商的产品组合指标得分相同

C.在参加评估的各项指标中，0设备商均优于斤设备商

D.除产品组合外，产设备商其他4项指标均超过0设备商与#设备商

【答案】ABD

【解析】

【分析】

依据雷达图中是越外面其指标值越优，由图可知/物均正确.

【详解】雷达图中是越外面其指标值越优，

户设备商的研发投入在最外边，即户设备商的研发投入超过0设备商与年设备商，故A正确；

三家设备商的产品组合指标在同一个位置，即三家设备商的产品组合指标得分相同，故B正确；

A设备商的研发投入优于。设备商，故C错误；

除产品组合外，户设备商其他4项指标均在最外边，故D正确；

故选：ABD.

【点睛】本题主要考查对数表的综合视察实力，属于基础题.

22

10.已知产是椭圆*+2=1的右焦点,椭圆上至少有21个不同的点玖z.=l,2,3,…），归制,归月忻间,…

组成公差为d（d>0）的等差数列，则（）

A.该椭圆的焦距为6B.|F引的最小值为2

3?

C.d的值可以为一D.d的值可以为一

105

【答案】ABC

【解析】

【分析】

22

先由椭圆二+二=1,得到焦距，推断A是否正确，椭圆上的动点P,分析1尸£1的取值范围，推断BCD是

2516

否正确，得到答案.

22

【详解】由椭圆土+匕=1,得a=5,b=4,c=3,故/正确；

2516

椭圆上的动点尸，a-c<\PF\<a+c,即有2W|P4区8,

故|明|的最小值为2,B正确;

设|F州，归国，…组成的等差数列为{q},公差d>0,则q22“<8,

6333

又F,所以—,所以0<d42,所以d的最大值是3,

n-121-1101010

故C正确，〃错误.

故选：ABC.

【点睛】本题以椭圆学问为载体，考查了椭圆的几何性质，等差数列的相关学问，属于中档题.

11.对于四面体A3CD,下列命题正确的是（）

A.由顶点A作四面体的高，其垂足是_8。0的垂心

B.分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点

C.若分别作ABC和八钻。的边A5上的高，则这两条高所在直线异面

D.最长棱必有某个端点，由它引出另两条棱的长度之和大于最长棱

【答案】BD

【解析】

【分析】

依题意画出图形，数形结合一一分析可得；

【详解】解：如图取AB、AC,AD，BC、BD、DC的中点J,H,G

对于A.三角形的垂心是三条高线的交点，而A点的位置可以随意改变，故A错误;

对于B.E7〃CD〃JH,JEUAB/UH,JEZH为平行四边形，同理EEGH也是平行四边形，

FG,EH的交点为平行四边形EEGH对角线的中点，EH，〃的交点为平行四边形JEZH对角线

的中点，

故三条线段交于一点，故B正确；

若四面体为正四面体，则两条高线刚好相交于A5的中点，故C为错误；

对于D.假设D错误，设A6最长，则AC+ADWA5,BC+BD<AB,相加得

AC+AD+BC+BD<2AB,

在，ABC,AABD中，AC+BC>AB,AD+BD>AB,所以4。+4£>+3。+5£>>245冲突，

故D正确.

故选：BD.

【点睛】本题考查异面直线，棱锥的结构特征，考查空间想象实力逻辑思维实力，属于中档题.

12.高斯是德国闻名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列

为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设xeR,用[可表示不超过x的最大整数，则y=[x]

rrri4,%

称为高斯函数，例如：[―3.5]=-4,[2』=2.己知函数〃x)=之；—2,则()

A.VXGT?,[X]<X<[X]+1

B.g(x)=[〃x)]是偶函数

C.\/x,y&R,[x]+[y]<[x+y]

D.若/(%)的值域为集合"，3/GM,使得[F]=1,[曰=2,[3]=3,…，=〃—2同时成立,

则正整数"的最大值是5

【答案】ACD

【解析】

【分析】

由取整函数的定义推断.

【详解】由定义得国w尤<国+1,故A正确;

因为〃”=三4,、4

—2=2—^^.易知/（X）=2—在R上是增函数;

l+ex

・：工>0，，l+e">l，；♦—2</(X)<2,.•*(％)="(司]的值域为{—2,—1,0,1},故B错误.

Vx,y&R,x=[x]+a,y=[y]+Z>,a,/?e[O,l),

/.x+y=[x]+a+[y]+b,[x+y]=[x]+[y]+[a+b\,

[x]+[y]-[x+y])故c正确；

若小eM,"=(—2,2),使得[户]=1,[d]=2,[/]=3,…，[/]="-2同时成立，贝(次，

因为而=次，若”26,则不存在/同时满意"r(次，血wr〈君".只有“<5时，存在fe[正，迎)

故D正确；

故答案为：ACD.

【点睛】本题主要考查函数的新定义，还考查了分析求解问题的实力，属于中档题.

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

r,2cosa+sina

13.已知tana=1,则---------------

cosa+3sina

3

【答案丁

【解析】

【分析】

2cow。+wincy

利用商数关系，由tana=1得至！Jsin。=cosa代入---------------求解.

cosa+3sina

.、、上sina1w2cosa+sin。2cosa+cosa3

【详解】方法一：tana=------=1sinor=cosa,贝U------------------=------------------=—

coscifcos6Z+3sinorcosor+3cosor4

、、上八：八Li人/口2cosa+sin。2+tanor2+13

万法二：分子分母同除cosa,得---------------=-----------=——=-

cos6/+3sinar1+3tana1+34

3

故答案为y

【点睛】本题主要考查同角三角函数基本关系式的应用，还考查了运算求解的实力，属于基础题.

14.已知单位向量人满意卜—4=如，则向量。与人的夹角为.

【答案】y

【解析】

【分析】

首先依据平面对量的运算律求出a,再依据夹角公式计算可得；

【详解】解：由单位向量a，b满意—q=得卜—d=3,所以J—2a电+片=3，a­b=~^

所以cos心力卜备7=4，

m2

又(a,。)e[0,兀]，所以,.

2%

故答案为：q-

【点睛】本题考查平面对量的数量积的运算律以及夹角的计算，属于基础题.

AX_>+1_L3

15.设函数〃力=^—1r40)的最小值为加，且

21011

(x+l『+(x+l[=a()+a1(x+2)+tz2(x+2)H---1-^(x+Z)+^n(x+2)，则用二,

%=.

【答案】(1).2(2).9

【解析】

【分析】

化简函数/(九)，换元后利用y=/+：—2的单调性求出最小值即可得出加=2,将(％+1『+(%+1)”转化

为(x+2—Ip+(x+2—1广，再利用绽开式的通项即可得到答案.

AX_^X+1QQ

【详解】由~^-^=2x+—-2,

」\)2X2X

令f=2Z(O,l],

3

因为函数y=t+?-2,为减函数，

所以当f=l时，Vmin=2,

即加=2,

所以(x+l)'"+(x+l)"=(x+2—l『+(x+2—1『，

，1r

因为(尤+2—1『的绽开式通项为：C；1(x+2)"x(-l),

所以当11—r=l，即厂=10时，绽开式的项为11(x+2),

又(x+2—l『=(x+2)2—2(%+2)+1,所以％=11—2=9.

故答案为：2；9

【点睛】本题主要考查了函数的单调性，二项绽开式，项的系数，换元法，转化思想，属于中档题.

16.己知函数/(x)=cos2x,将函数y=/(x)的图象向右平移;个单位，所得的图象上每一点的纵坐标

不变，再将横坐标伸长为原来的2倍后所得到的图象对应的函数记作y=g(x),己知常数;leH,“cN*，

且函数尸(x)=/(x)+2g(x)在(0,而)内恰有2024个零点，则“=.

【答案】1347

【解析】

【分析】

先求出g(x)=sinx,F(x)=-2sin2x+Asinx+l,令/=sinxw[—l,l],得2r_4一1=0，则关于/

的二次方程2/—"—1=0必有两不等实根％,芍，乂/也=一3，则%、4异号，再对「、4分四种状况

探讨得解.

【详解】将函数y=/(x)=cos2x的图象向右平移1个单位，得到函数

J=cos2=cos|^2x-=sin2x,再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来

的2倍后所得到的图象对应的函数为g(x)