2024-2025学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1椭圆2.1.1椭圆及其标准方程作业含解析新人教A版选修1-1

PAGE其次章2.12.1.1A级基础巩固一、选择题1．已知椭圆eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,b2)＝1过点(－2，eq\r(3))，则其焦距为(D)A．8 B．12C．2eq\r(3) D．4eq\r(3)[解析]把点(－2，eq\r(3))代入eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,b2)＝1，得b2＝4，∴c2＝a2－b2＝12.∴c＝2eq\r(3)，∴2c＝4eq\r(3).2．已知椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,m2)＝1(m＞0)的左焦点为F1(－4,0)，则m＝(B)A．2 B．3C．4 D．9[解析]∵椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,m2)＝1(m>0)的左焦点为F1(－4，0)，∴c＝4＝eq\r(25－m2)，∴m2＝9，∴m＝3，选B．3．已知F1、F2是椭圆eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1的两个焦点，过点F2的直线交椭圆于点A、B，若|AB|＝5，则|AF1|＋|BF1|＝(A)A．11 B．10C．9 D．16[解析]由方程知a2＝16，∴2a＝8，由椭圆定义知，|AF1|＋|AF2|＝8，|BF1|＋|BF2|＝8，∴|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝16，∴|AF1|＋|BF1|＝11，故选A．4．设P是椭圆eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1上一点，P到两焦点F1、F2的距离之差为2，则△PF1F2是(B)A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．等腰直角三角形[解析]由椭圆定义，知|PF1|＋|PF2|＝2a＝8.又|PF1|－|PF2|＝2，∴|PF1|＝5，|PF2|＝3.又|F1F2|＝2c＝2eq\r(16－12)＝4，∴△PF1F2为直角三角形．5．方程eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,2m－1)＝1为椭圆方程的一个充分不必要条件是(C)A．m>eq\f(1,2) B．m>eq\f(1,2)且m≠1C．m>1 D．m>0[解析]方程eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,2m－1)＝1表示椭圆的充要条件是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m>0,2m－1>0,m≠2m－1))，即m>eq\f(1,2)且m≠1，所以方程eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,2m－1)＝1为椭圆方程的一个充分不必要条件是m>1，故选C．6．以坐标轴为对称轴，两焦点的距离是2，且过点(0,2)的椭圆的标准方程是(C)A．eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1B．eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,4)＝1C．eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1或eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,4)＝1D．eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1或eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,4)＝1[解析]若椭圆的焦点在x轴上，则c＝1，b＝2，得a2＝5，此时椭圆方程是eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1；若焦点在y轴上，则a＝2，c＝1，则b2＝3，此时椭圆方程是eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,4)＝1.二、填空题7．已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆与x轴的一个交点到两焦点的距离分别为4和2，则椭圆的标准方程为__eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,8)＝1__.[解析]由题意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋c＝4,a－c＝2))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3,c＝1))，∴b2＝a2－c2＝9－1＝8，∴椭圆方程为eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,8)＝1.8．已知椭圆过点A(1,2)和点B(－2，eq\r(3))，则椭圆的标准方程是__eq\f(x2,13)＋eq\f(y2,\f(13,3))＝1__.[解析]设方程是ax2＋by2＝1(a＞0，b＞0，a≠b)，则a＋4b＝1，且4a＋3b＝1，解得a＝eq\f(1,13)，b＝eq\f(3,13)，所以椭圆的标准方程是eq\f(x2,13)＋eq\f(y2,\f(13,3))＝1.三、解答题9．已知椭圆的中心在原点，且经过点P(3,0)，a＝3b，求椭圆的标准方程．[解析]当焦点在x轴上时，设其方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)．由椭圆过点P(3,0)，知eq\f(9,a2)＋eq\f(0,b2)＝1，又a＝3b，解得b2＝1，a2＝9，故椭圆的方程为eq\f(x2,9)＋y2＝1.当焦点在y轴上时，设其方程为eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)．由椭圆过点P(3,0)，知eq\f(0,a2)＋eq\f(9,b2)＝1，又a＝3b，联立解得a2＝81，b2＝9，故椭圆的方程为eq\f(y2,81)＋eq\f(x2,9)＝1.故椭圆的标准方程为eq\f(y2,81)＋eq\f(x2,9)＝1或eq\f(x2,9)＋y2＝1.B级素养提升一、选择题1．F1、F2是椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,7)＝1的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF1F2＝45°，则△AF1F2的面积为(C)A．7 B．eq\f(7,4)C．eq\f(7,2) D．eq\f(7\r(5),2)[解析]由已知得a＝3，c＝eq\r(2).设|AF1|＝m，则|AF2|＝6－m，∴(6－m)2＝m2＋(2eq\r(2))2－2m·2eq\r(2)cos45°，解得m＝eq\f(7,2).∴6－m＝eq\f(5,2).∴S△AF1F2＝eq\f(1,2)×eq\f(7,2)×2eq\r(2)sin45°＝eq\f(7,2)，故选C．2．设椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上的一动点，若△PF1F2是直角三角形，则△PF1F2的面积为(C)A．3 B．3或eq\f(3,2)C．eq\f(3,2) D．6或3[解析]由题意可得该椭圆短轴顶点与两焦点的连线的夹角是60°，所以该点P不行能是直角顶点，则只能是焦点为直角顶点，此时△PF1F2的面积为eq\f(1,2)×2c×eq\f(b2,a)＝eq\f(3,2).3．(多选题)下列实数k的值，能使方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆的有(AB)A．eq\f(1,4) B．eq\f(1,2)C．4 D．2[解析]方程x2＋ky2＝2可化为eq\f(x2,2)＋eq\f(y2,\f(2,k))＝1，若焦点在y轴上，则必有eq\f(2,k)>2，且k>0，即0<k<1，故选AB．4．(多选题)若方程eq\f(x2,k－3)＋eq\f(y2,5－k)＝1表示椭圆，则以下关于k的说法正确的是(BC)A．当k∈(3,4)时，方程表示焦点在x轴上的椭圆B．当k∈(3,4)时，方程表示焦点在y轴上的椭圆C．当k∈(4,5)时，方程表示焦点在x轴上的椭圆D．当k∈(4,5)时，方程表示焦点在y轴上的椭圆[解析]依题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k－3>0，,5－k>0，,k－3≠5－k.))解得3<k<5且k≠4.所以k的取值范围是(3,4)∪(4,5)．且当k∈(3,4)时，k－3<5－k，焦点在y轴上；当k∈(4,5)时，k－3>5－k，焦点在x轴上，故选BC．二、填空题5．若椭圆eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,m)＝1的一个焦点坐标为(0,1)，则实数m的值为__6__.[解析]由题意知，c＝1，∴m－5＝1，∴m＝6.6．椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,2)＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝4，则∠F1PF2的大小为__eq\f(2π,3)__.[解析]因为由椭圆的定义，我们可知|PF1|＋|PF2|＝2a，∴|PF2|＝2a－|PF1|＝6－4＝2.在△PF1F2中，∵cos∠F1PF2＝eq\f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1|×|PF2|)＝eq\f(16＋4－28,2×4×2)＝－eq\f(1,2)，∴∠F1PF2＝eq\f(2π,3).三、解答题7．依据下列条件，求椭圆的标准方程．(1)经过两点A(0,2)、B(eq\f(1,2)，eq\r(3))；(2)经过点(2，－3)且与椭圆9x2＋4y2＝36有共同的焦点．[解析](1)设所求椭圆的方程为eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1(m>0，n>0，且m≠n)，∵椭圆过A(0,2)、Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\r(3))).∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(0,m)＋\f(4,n)＝1,\f(1,4m)＋\f(3,n)＝1))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝1,n＝4)).即所求椭圆方程为x2＋eq\f(y2,4)＝1.(2)∵椭圆9x2＋4y2＝36的焦点为(0，±eq\r(5))，则可设所求椭圆方程为eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,m＋5)＝1(m>0)，又椭圆经过点(2，－3)，则有eq\f(4,m)＋eq\f(9,m＋5)＝1，解得m＝10或m＝－2(舍去)，即所求椭圆的方程为eq\f(x2,10)＋eq\f(y2,15)＝1.8．如图，椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，若|PF1|＝2＋eq\r(2)，|PF2|＝2－eq\r(2)，且PF1⊥