2025年沪教版高一数学下册阶段测试试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年沪教版高一数学下册阶段测试试卷5考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五总分得分评卷人得分一、选择题(共5题，共10分)1、【题文】集合的真子集的个数是（）A.16B.8C.7D.42、若函数y=x2+（2a﹣1）x+1在区间（﹣∞，2]上是减函数，则实数a的取值范围是（）A.[﹣+∞）B.（﹣∞，﹣]C.[+∞）D.（﹣∞，]3、下列不属于集合中元素的特性的是（）A.确定性B.真实性C.互异性D.无序性4、已知实数x，y满足ax＜ay（0＜a＜1），则下列关系式恒成立的是（）A.B.ln（x2+1）＞ln（y2+1）C.sinx＞sinyD.x3＞y35、在△ABC中，D是BC边上一点，则等于（）A.B.C.D.评卷人得分二、填空题(共5题，共10分)6、知f（x）=ax2+bx+3a+b为偶函数，其定义域为[a-3，2a]，则a+b=____．7、已知集合A={-2，3，4m-4}，集合B={3，m2}．若B⊆A，则实数m=____．8、设直线l1：x+my+6=0和l2：（m-2）x+3y+2m=0，当m=____时，l1∥l2．9、【题文】函数为奇函数，则增区间为____．10、【题文】一个正方体纸盒展开后如图；在原正方体纸盒中有下列结论：

①

②与成角；

③与是异面直线；

④．

其中正确结论的序号是___________．评卷人得分三、解答题(共9题，共18分)11、已知函数f（x）=sinπxcosπx；x∈R．

（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期与最值；

（Ⅱ）用关键点法列表；描点作出函数f（x）在区间[0；2]的图象．

12、数列{an}是首项为0的等差数列，数列{bn}是首项为1的等比数列，设cn=an+bn，数列{cn}的前三项依次为1；1，2．

（1）求数列{an}，{bn}的通项公式．

（2）求数列{cn}的前n项的和．

13、求函数f(x)=的值域.14、如图，在长方体中，为的中点．（Ⅰ）求证：平面（Ⅱ）判断并证明，点在棱上什么位置时，平面平面15、【题文】棱长为2的正方体中，E为的中点.

（1）求证：

（2）求异面直线AE与所成的角的正弦值.16、【题文】相关部门对跳水运动员进行达标定级考核；动作自选，并规定完成动作成绩在八分及以上的定为达标，成绩在九分及以上的定为一级运动员.已知参加此次考核的共有56名运动员.

（1）考核结束后；从参加考核的运动员中随机抽取了8人，发现这8人中有2人没有达标，有3人为一级运动员，据此请估计此次考核的达标率及被定为一级运动员的人数；

（2）经过考核，决定从其中的A、B、C、D、E五名一级运动员中任选2名参加跳水比赛（这五位运动员每位被选中的可能性相同）.写出所有可能情况，并求运动员E被选中的概率.17、【题文】.(本小题满分10分)

已知圆⊙⊙过定点做直线与大圆⊙小圆⊙依次交于过点做与直线垂直的直线交小圆于另一点（如图）.

（Ⅰ）当直线的斜率时，求的面积.

（Ⅱ）当直线变化时，求中点的轨迹.18、

求证：AD⊥平面SBC19、已知函数f（x）=求函数的最大值和最小值．评卷人得分四、证明题(共2题，共6分)20、已知G是△ABC的重心，过A、G的圆与BG切于G，CG的延长线交圆于D，求证：AG2=GC•GD．21、如图；已知AB是⊙O的直径，P是AB延长线上一点，PC切⊙O于C，AD⊥PC于D，CE⊥AB于E，求证：

（1）AD=AE

（2）PC•CE=PA•BE．评卷人得分五、综合题(共1题，共3分)22、已知函数f（x）=ax2+4x+b，其中a＜0，a、b是实数，设关于x的方程f（x）=0的两根为x1，x2；f（x）=x的两实根为α；β．

（1）若|α-β|=1，求a、b满足的关系式；

（2）若a、b均为负整数；且|α-β|=1，求f（x）解析式；

（3）试比较（x1+1）（x2+1）与7的大小．参考答案一、选择题(共5题，共10分)1、C【分析】【解析】A它的真子集有个，选C【解析】【答案】C2、B【分析】【解答】解：∵函数y=x2+（2a﹣1）x+1的图象是方向朝上，以直线x=为对称轴的抛物线又∵函数在区间（﹣∞；2]上是减函数；

故2≤

解得a≤﹣

故选B．

【分析】由已知中函数的解析式，结合二次函数的图象和性质，可以判断出函数y=x2+（2a﹣1）x+1图象的形状，分析区间端点与函数图象对称轴的关键，即可得到答案．3、B【分析】解：集合元素有三个特性：

确定性；互异性，无序性；

故选：B

集合元素有三个特性；确定性，互异性，无序性，分析四个答案，可得结论．

本题考查的知识点是集合的含义，其中熟练掌握集合元素的三个特性，是解答的关键．【解析】【答案】B4、D【分析】解：∵实数x，y满足ax＜ay（0＜a＜1）；

∴x＞y；

A．取x=2；y=-1，不成立；

B．取x=0；y=-1，不成立。

C．取x=π；y=-π，不成立；

D．由于y=x3在R上单调递增；因此正确。

故选：D．

实数x，y满足ax＜ay（0＜a＜1），可得x＞y，对于A．B．C分别举反例即可否定，对于D：由于y=x3在R上单调递增；即可判断出正误．

本题主要考查函数值的大小比较，利用不等式的性质以及函数的单调性是解决本题的关键．【解析】【答案】D5、C【分析】解：在△ABC中，D是BC边上一点，则由两个向量的减法的几何意义可得=

故选C．

根据题意，由两个向量的减法的几何意义可得=．

本题考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，属于容易题．【解析】【答案】C二、填空题(共5题，共10分)6、略

【分析】

∵f（x）=ax2+bx+3a+b为偶函数。

∴b=0；2a=3-a

解得a=1，b=0

所以a+b=1

故答案为1

【解析】【答案】令定义域的两个端点互为相反数；令一次项系数为0；列出方程，求出a，b值，求出a+b的值．

7、略

【分析】

∵集合A={-2，3，4m-4}，集合B={3，m2}．

若B⊆A；

则m2=4m-4，即m2-4m+4=（m-2）2=0

解得：m=2

故答案为：2

【解析】【答案】根据子集的定义，可得若B⊆A，则B中元素均为A中元素，但m2=-2显然不成立，故m2=4m-4；解方程可得答案．

8、略

【分析】

由平行的条件可得：

由

解得：m=-1或m=3；

而当m=3时，l1与l2重合；不满足题意，舍去，故m=-1．

故答案为：-1．

【解析】【答案】由平行的条件可得：解后注意验证．

9、略

【分析】【解析】此题考查函数奇偶性、单调性的性质；由已知得所以第一段函数的增区间为第二段函数的增区间为所以函数增区间为【解析】【答案】10、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】1，3三、解答题(共9题，共18分)11、略

【分析】

（Ⅰ）由题意得=（2分）

（3分）

∵x∈R，∴

∴函数f（x）的最大值和最小值分别为1；-1．（5分）

（Ⅱ）∵0≤x≤2，∴（7分）

则列表如下。

。π2πx2y1-1（12分）

【解析】【答案】（Ⅰ）根据两角和的正弦公式化简解析式；求出函数的周倜，再由正弦函数的，最值求出此函数的最值；

（Ⅱ）由x的范围求出的范围；再根据五个关键点和区间端点列出表格，再在坐标系描点；连线．

12、略

【分析】

（1）设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q；由题意得。

解得或

则an=1-n，bn=2n-1．

（2）由（1）知，cn=an+bn=2n-1-n+1

∴数列{cn}的前n项的和。

Sn=（2+21++2n-1）-（1+2+3++n）+n

==

∴

【解析】【答案】（1）根据题意cn=an+bn，数列{cn}的前三项依次为1；1，2，列出方程组求解公差和公比，进而写出数列的通项公式；

（2）根据cn的通项公式进行分组求和，转化成一个等比数列、等差数列、常数列求和，进而得到数列{cn}的前n项的和．

13、略

【分析】本试题主要是考查了形如二次函数的值域的求解问题。令=t，然后变为关于t的二次函数，结合二次函数的图形和性质得到值域。【解析】【答案】[+）14、略

【分析】

（Ⅰ）设连∵为别为的中点∴4分又平面平面5分∴平面6分（Ⅱ）点在棱的中点时，平面平面7分证明：∵点为棱中点，为的中点．∴且∴为平行四边形9分∴10分∵11分∴平面平面【解析】略【解析】【答案】15、略

【分析】【解析】

试题分析：（1）可证或可证得（2）因为∥所以异面直线AE与所成的角即为在中可求得的正弦值。

试题解析：解：(1)在正方体中，连接∴又∵∴∴∴（6分）

（2）∵∥∴异面直线AE与所成的角为

在中，AE=3，∴异面直线AE与所成的角的正弦值为（12分）

考点：线线垂直、线面垂直，异面直线所成的角。【解析】【答案】（1）见解析（2）16、略

【分析】【解析】

试题分析：（1）这实际上是用样本估算总体的问题；只要读者按比例计算即可；（2）这实际上是写出从5个元素中任取2个的所有组合的问题，书写时，注意按照一定的顺序，例如先选A，然后再依次选其他人，写出含有A的所有组合，然后先选B，再依次选B后面的人，写出所有组合，依此类推写出所有情形，做到不重不漏.接下来只要找到含有E的事件的总数，根据古典概型的结论，很快可求出概率.

试题解析：（Ⅰ）依题意，估计此次考核的达标率为

一级运动员约有（人）

（Ⅱ）依题意；从这五人中选2人的基本事件有：（A；B）（A、C）（A、D）（A、E）

（B；C）（B、D）（B、E）（C、D）（C、E）（D、E）；共10个。

其中“E被选中”包含：（A；E）（B、E）（C、E）（D、E）4个基本事件；

因此所求概率

考点：(1)随机抽样；（2）古典概型概率问题.【解析】【答案】(1)达标率为一级运动员约有21人；（2）组合见试题解析，概率为17、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】解：（1）当时，

圆心到的距离

所以

4分。

18、略

【分析】【解析】证明：SA⊥面ABC；BC⊥面ABC，ÞBC⊥SA；

又BC⊥AC；且AC；SA是面SAC内的两相交线，∴BC⊥面SAC；

又ADÌ面SAC；∴BC⊥AD；

又已知SC⊥AD，且BC、SC是面SBC内两相交线，∴AD⊥面SBC。【解析】【答案】见解析19、略

【分析】

由反比例函数性质；可得f（x）在[0，5]为减函数，计算可得函数的最值．

本题考查函数的最值的求法，注意运用函数的单调性，考查运算能力，属于基础题．【解析】解：函数f（x）=

可得f（x）在[0；5]为减函数；

f（x）的最大值为f（0）=3；

最小值为f（5）=．四、证明题(共2题，共6分)20、略

【分析】【分析】构造以重心G为顶点的平行四边形GBFC，并巧用A、D、F、C四点共圆巧证乘积．延长GP至F，使PF=PG，连接FB、FC、AD．因G是重心，故AG=2GP．因GBFC是平行四边形，故GF=2GP．从而AG=GF．又∠1=∠2=∠3=∠D，故A、D、F、C四点共圆，从而GA、GF=GC•GD．于是GA2=GC•GD．【解析】【解答】证明：延长GP至F；使PF=PG，连接AD，BF，CF；

∵G是△ABC的重心；

∴AG=2GP；BP=PC；

∵PF=PG；

∴四边形GBFC是平行四边形；

∴GF=2GP；

∴AG=GF；

∵BG∥CF；

∴∠1=∠2

∵过A；G的圆与BG切于G；

∴∠3=∠D；

又∠2=∠3；

∴∠1=∠2=∠3=∠D；

∴A；D、F、C四点共圆；

∴GA；GF=GC•GD；

即GA2=GC•GD．21、略

【分析】【分析】（1）连AC；BC；OC，如图，根据切线的性质得到OC⊥PD，而AD⊥PC，则OC∥PD，得∠ACO=∠CAD，则∠DAC=∠CAO，根据三角形相似的判定易证得Rt△ACE≌Rt△ACD；

即可得到结论；

（2）根据三角形相似的判定易证Rt△PCE∽Rt△PAD，Rt△EBC∽Rt△DCA，得到PC：PA=CE：AD，BE：CE=CD：AD，而CD=CE，即可得到结论．【解析】【解答】证明：（1）连AC、BC，OC，如图，

∵PC是⊙O的切线；

∴OC⊥PD；

而AD⊥PC；

∴OC∥PD；

∴∠ACO=∠CAD；

而∠ACO=∠OAC；

∴∠DAC=∠CAO；

又∵CE⊥AB；

∴∠AEC=90°；

∴Rt△ACE≌Rt△ACD；

∴CD=CE；AD=AE；

（2）在Rt△PCE和Rt△PAD中；∠CPE=∠APD；

∴Rt△PCE∽Rt△PAD；

∴PC：PA=CE：AD；

又∵AB为⊙O的直径；

∴∠ACB=90°；

而∠DAC=∠CAO；

∴Rt△EBC∽Rt△DCA；

∴BE：C