2024-2025学年鲁教版（五四制）九年级数学上册月考试题（含答案）

2024-2025第一学期九年级数学月考试题一、选择题（共12小题,

每小题4分，共48分）

1.如图①，用一个平面截长方体，得到如图②的几何体，再用一个平面截它如图③，得

到如图④的几何体，它在我国古代数学名著《九章算术》中被称为“阳马”.图④“阳马”的

俯视图是（）

2.函数y=—与了=-力-献”*0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）

X

2

3.对于反比例函数〉=下列说法正确的是（）

x

A.图象经过点

B.其图象既是轴对称图形又是中心对称图形

C.若点尸（-2,%）和点。（6,%）在该函数图象上,则必＜必

D.y随x的增大而增大

试卷第1页，共8页

4.将抛物线＞=/向上平移2个单位长度，再向左平移5个单位长度后，得到的抛物线的

解析式为（）

A.y=（x+5）2+2B.y=（x-5）2+2

C.y=（尤+5）2-2D.y=（x-5）2-2

5.抛物线y=--8x+ll的顶点坐标和开口方向分别是（）

A.（4,-5）,开口向上B.（4,-5）,开口向下

C.（-4,-5）,开口向上D.（-4,-5）,开口向下

6.在中，ZC=90°,如果/C=2,cos/=；,那么的长是（）.

A.1B.4C.275D.8

7.济南大明湖畔的“超然楼”被称作“江北第一楼”.某数学兴趣小组用无人机测量超然楼

的高度，测量方案如图2：先将无人机垂直上升至距水平地面1421n的尸点，测得超然楼顶

端/的俯角为37。，再将无人机面向超然楼沿水平方向飞行210m到达。点，测得超然楼顶

端/的俯角为45。，则超然楼N8的高度约为（）

,334

（参考数据：tan37°«—,sin37°®—,cos37°«—）

455

图2

A.48mB.50mC.52mD.54m

8.如图，有一个截面边缘为抛物线型的水泥门洞.门洞内的地面宽度为8m,两侧距地面4m

高处各有一盏灯，两灯间的水平距离为6m,则这个门洞内部顶端离地面的距离为（）

试卷第2页，共8页

6464

—D.—

97

9.如图，四边形4BCD为。。的内接四边形,AOLBC,垂足为点£,若乙4。。=130。,

则/8OC的度数为（）

75°D.80°

10.如图，点/、3在反比例函数左>0,x>0）的图象上，过点/,8作x轴的垂线，

垂足分别为M,N,延长线段45交x轴于点C,若OM=MN=NC,S^NC=2,则该反比

XXXX

11.我们定义一种新函数：形如〉=卜/+&+°|（〃。0,/_4m>0）的函数叫做“鹊桥”

函数.数学兴趣小组画出一个“鹊桥”函数>=|办2+乐+4的图象如图所示，则下列结论:

试卷第3页，共8页

①°＜。②bc＜0③-2=1④若加的取值范围是1＜加43,则直线＞=x+7"与

2a

＞=|办2+队+4的图象有4个公共点，则正确的是（）

C.③④D.②③④

12.如图，四边形4BC。为矩形，AB=3,2c=4.点P是线段8C上一动点，点M为线

段4P上一点.ZADM=ZBAP,则的最小值为（）

_3

C.――D.y/13—2

二、填空题（每小题4分，共24分）

13.在函数y=&*+-^中，自变量x的取值范围是__.

x-1

14.小明家的客厅有一张直径为1.2米，高0.8米的圆桌5C,在距地面2米的/处有一盏

灯，圆桌的影子为。£,依据题意建立平面直角坐标系，其中。点坐标为（2,0）,则点E的

坐标是.

15.把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=4c加,

试卷第4页，共8页

则球的半径为cm.

16.《中华人民共和国道路交通安全法》规定，同车道行驶的机动车，后车应当与前车保持

足以采取紧急制动措施的安全距离，其原因可以用物理和数学的知识来解释.公路上行驶的

汽车急刹车时，刹车距离s（机）与时间的函数关系式为S=16-4/，当遇到紧急情况刹

车时，由于惯性的作用，汽车最远要滑行m才能停下.

17.如图，将45。的2/O8按下面的方式放置在一把刻度尺上，顶点。与尺下沿的端点重

合，04与尺下沿重合，与尺上沿的交点8在尺上的读数为2cm,若按相同的方式将38°

的/NOC放置在该刻度尺上，则OC尺上沿的交点C在尺上的读数是cm（结果精

确到0.1cm,参考数tan380分0.78）

Q

18.如图，在反比例函数产9（x>0）的图象上有耳心月,…巴曲等点,它们的横坐标依次为

X

1,2,3,…，2024,分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从

左到右依次为豆,$2,M，…，$2023，则&+$2+M+…+邑侬=.

三、解答题

试卷第5页，共8页

19.计算

-1

(l)V18-6cos450-(71-2025)°

cos45°-sin30°

⑵cos60°+—tan45°

2

20.如图，在路灯下，小明的身高如图中线段48所示，他在地面上的影子如图中线段4c所

示，小亮的身高如图中线段尸G所示，路灯灯泡在线段DE上.

E

-G

S--

---

4OF

(1)请你确定灯泡所在的位置，并画出小亮在灯光下形成的影子.

(2)如果小明的身高45=1.6m,他的影子长/C=1.4m,且他到路灯的距离=2.1m,求

灯泡的高.

21.如图，塔43前有一座高为的山坡，已知CD=8机，NDCE=30°,点A,C,E在

同一条水平直线上.某学习小组在山坡C处测得塔顶部B的仰角为45。，在山坡。处测得塔

顶部B的仰角为27。.

⑴求。E的长.

(2)求塔48的高度.(参考数据：tan27°«0.5,sin27°«0.45,cos27°»0.89,1.7,结

果取整数)

22.如图，在平面直角坐标系中，一次函数＞=h+6的图像与反比例函数＞=一的图像交于

X

点4(3⑷和点8(14-2°,2),与/轴交于点C.

试卷第6页，共8页

⑴求反比例函数的解析式；

(2)连接/。、BO,求ZX/OB的面积

⑶点。在y轴上，且△4DC是直角三角形，求点。的坐标.

23.己知：如图，在△NBC中，AB=AC,以为直径作。。，交BC于点、D,交/C于

点E.

;

(1)求证：BD=DE；

(2)连接如果8C=6,AB=5,求BE的长.

24.某款网红产品很受消费者喜爱，每个产品的进价为40元，规定销售单价不低于44元,

且不高于52元.某商户在销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销

售单价每上涨1元，每天的销量减少10个.现商家决定提价销售，设每天销售量为V个，

销售单价为x元.

⑴直接写出》与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围.

(2)将产品的销售单价定为多少元时，商家每天销售产品获得的利润川(元)最大？最大利

润是多少元？

(3)该商户从每天的利润中捐出200元做慈善，为了保证捐款后每天剩余利润等于2200元,

求销售单价x的值.

25.如图，对称轴为直线x=l的抛物线y=x2-bx+c与x轴交于/、8两点，与y轴交于C

点，且OB=0C.

试卷第7页，共8页

(1)求抛物线的解析式；

(2)抛物线顶点为。，直线AD交y轴于E点；

①设点尸为线段AD上一点(点尸不与3、。两点重合)，过点尸作x轴的垂线与抛物线交

于点尸，求△5D尸面积的最大值；

②在线段2。上是否存在点Q,使得刀=ZCK??若存在，求出点。的坐标；若不存在,

请说明理由.

试卷第8页，共8页

1.c

【分析】找到从上面看所得到的图形即可.本题考查了学生的思考能力和对几何体三种视图

的空间想象能力与及考查视图的画法，看得到的棱画实线，看不到的棱画虚线.

【详解】解：图④“阳马”的俯视图是一个矩形，还有一条看得见的棱，

故选：C.

2.B

【分析】本题考查一次函数与反比例函数图象综合分析.根据每个函数图象分析出对应的参

数范围，再综合对比即可.

【详解】解：A、由反比例函数的图象在可一、三象限知〃>0,则-"<0,

二一次函数的图象经过二，三，四象限，与图象不符，故A不符合题意；

B、反比例函数的图象在二、四象限可知当〃<0,贝>0,

二一次函数的图象经过一，二，三象限，与图象相符，故B符合题意；

C、由反比例函数的图象在可一、三象限知〃>0,则-"<0,

,一次函数的图象经过二，三，四象限，与图象不符，故C不符合题意；

D、由反比例函数的图象在二、四象限可知当〃<0,贝

・•・一次函数的图象经过一，二，三象限，与图象不符，故D不符合题意；

故选：B.

3.B

【分析】本题考查了反比例函数的解析式，性质，增减性，图像的对称性，根据解析式熟练

计算，灵活运用性质比较大小是解题的关键.根据解析式，结合反比例函数的性质，计算判

断.

2

【详解】解一•反比例函数”一，

x

xy=-2,

—2x(-1)=2,

・••图象不经过点(-2,-1),

.,・选项A错误；

•••反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形，

二选项B正确；

答案第1页，共18页

一2

•・,反比例函数歹=--，

x

2=1,=2=-1,

=---2-^2-T637

・,・%>%，

・,・选项C错误；

•・,左=一2<0,

・•・在每一个象限内，歹随x的增大而增大，

・•・选项D错误；

故选：B.

4.A

【分析】本题主要考查二次函数图象平移规律，解决本题的关键是要熟练掌握二次函数平移

规律.根据二次函数平移规律：上加下减，左加右减，进行求解即可；

【详解】解：将抛物线歹=/向上平移2个单位长度，再向左平移5个单位长度后可得：

y=(x+5『+2,

故选：A.

5.A

【分析】本题考查了二次函数一般是化为顶点式，二次函数的性质，先将一般是化为顶点式,

即可得出结果.

【详解】解：vy=x2-8x+ll,

y=(x-4)—5,

,/tz=1>0,

抛物线的顶点坐标为(4,-5),开口向上，

故选：A.

6.B

【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，直角三角形的特征，解题的关键是熟记特殊角的

三角函数值；根据cos/=1■可得N/=60。，则/3=30。，再根据直角三角形的特征求解即

可.

【详解】解:如图，

答案第2页，共18页

c

ZA=60°f

ZC=90°,

/.ZB=900-ZA=30°,

AB=2AC=4,

故选：B.

7.C

【分析】题目主要考查解直角三角形的应用，理解题意，作出辅助线是解题关键.过点4

作尸。于点C,证明为等腰直角三角形，得出C0=4C,设/C=CO=xm,则

PC=PQ-CQ=（210-x）m,在Rt^PCN中，根据tanN/PC=」一求出x^90m,

210-x4

得出/C=90m,即可得出答案.

【详解】解：过点/作/CLP。于点C,如图所示：

则ZACQ=ZACP=90°,

由题意得，440c=45。，//PC=37。，

•.•在RM/C0中，ZAQC=45°,

・•・△/c。为等腰直角三角形，

.-.CQ=AC,

设NC=C0=xm,则尸C=PQ-C0=（21O-x）m,

ATQ

在RtAPC4中,tanNAPC=tan37°==-----x----«—,

PC210-x4

解得：x«90m,

・•・AC=90m,

答案第3页，共18页

.•.v45=142-90=52（m）.

故选：C.

8.D

【分析】建立直角坐标系，得到二次函数，门洞高度即为二次函数的顶点的纵坐标.

【详解】解：如图，以地面为x轴，门洞中点为。点，画出y轴，建立直角坐标系,

由题意可知各点坐标为/(-4,0),5(4,0),。(-3,4),

设抛物线解析式为V=a/+c(。*0)把3、。两点带入解析式，

'__4

fl6tz+c=0a~7

‘解得：」，

9。+。=464

ic=——

[7

464(64A

.•懈析式为k-畀+宁，贝40,亍J,

64

所以这个门洞内部顶端离地面的距离为亍m,

故选D.

【点睛】本题考查二次函数的简单应用，能够建立直角坐标系解出二次函数解析式是本题关

键.

9.D

【分析】根据圆内接四边形的性质得出NABC的度数，利用互余得出NBAE的度数，进而利

用垂径定理和圆周角定理解答即可.

【详解】解：••・四边形ABCD为OO的内接四边形，ZADC=13O°,

.•.zABE=180°-130o=50°,

答案第4页，共18页

•••AOIBC,

.・zAEB=90。，

.-.ZBAE=4O°,

vAOlBC,

・・・BC=2BE,

••ZBDC=2ZBAE=80。，

故选D.

【点睛】本题主要考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理的应用，求得NABC的度数是

解题的关键.

10.B

【分析】首先由线段成比例得到相似，再有相似得到面积之间的关系，最后根据=!|^|

得到人的值即可.

【详解】解：MN=NC

ACNBS.CMA

S，CMA[CM)UJ4

,S\BNC=2

SKMA=8

•・,OM=MN=NC

OM=-MC

2

-SxAOM=5S&AMC=4

••,S.[阳

阳=4

k=8

o

，解析式为

X

故选B

【点睛】本题考查了反比例系数上的几何意义，相关知识点有：相似三角形的判定与性质,

答案第5页，共18页

证出相似得到面积关系是解题关键.

11.C

【分析】根据图像，可直接判断6,c的符号；根据二次函数和横轴的交点坐标可得对称轴;

两个函数的交点可直接画出图像进行判断.

【详解】（1）由图可知，。<0或。>0,故错误；

（2）由（1）可知，当a<0,6>0,止匕时c>0,故6c>0,；当。>0,6<0,此时c<0,故

bc>0,故错误；

（3）对称轴为匚*=1=-二，故正确；

当机=1时，一次函数是直线犯；当机=3时，一次函数是直线叫；由图可知，1<〃区3时,

直线y=x+/w与）；=|亦2+乐+4的图象有4个公共点，故正确；

故选：C

【点睛】此题考查二次函数的图像和性质，解题关键是此题中的绝对值表示所有的函数值非

负，即可画出图像，重难点是一次函数v=x+"?中加的取值范围影响一次函数和y轴的交

点位置，而交点个数看图直接判断即可.

12.D

【分析】证明N/MD=90°,得出点”在。点为圆心，以/。为半径的圆上，从而计算出答

案.

【详解】设40的中点为O,以。点为圆心，为半径画圆

答案第6页，共18页

•.•四边形NBC。为矩形

•••ZBAP+ZMAD=90°

■.■ZADM=ZBAP

•••ZMAD+ZADM=90°

•••ZAMD=90°

.,.点M在。点为圆心，以为半径的圆上

连接08交圆。与点N

•.•点2为圆。外一点

二当直线过圆心。时，BM最短

■■BO2=AB2+AO2,AO=}-AD=2

2

•••5O2=9+4=13

80=而

BN=B0-A0=屈-2

故选：D.

【点睛】本题考查直角三角形、圆的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形和圆的相关知

识.

13.xN-2且x^l

【详解】分析：

根据使分式和二次根式有意义的条件进行分析解答即可.

答案第7页，共18页

详解：

•••要使y=G+占有意义,

fx+2>0

[x-lwO解得：工2-2且%。1.

故答案为xN-2且xwl.

点睛：熟记：“二次根式有意义的条件是：被开方数是非负数；分式有意义的条件是：分母

的值不为0”是正确解答本题的关键.

14.(4,0)

【分析】根据相似三角形的判定和性质即可得到结论.

【详解】解：■.■BCIIDE,

•••AABC-AADE,

BC_2-0.8

一9

DE2

vBC=1.2,

..DE=2,

・・・E(4,0).

故答案为(4,0).

【点睛】本题考查了中心投影，相似三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键.

15.2.5

【详解】

)£/w\尸D

::/,•

：O'(■印的中点"，作MN14D于点"，取"N上的球心。，连接

OF,

设OF=x,贝ijOM=4-x,MF=2,

在中，OM2+MF2=OF2,

即：(4-x>+22=x。

解得：x=2.5,

故答案为2.5.

答案第8页，共18页

【点睛】此题考查了勾股定理的应用，解决此题的关键是构造出正确直角三角形.

16.16

【分析】本题考查了二次函数的应用，即考查二次函数的最值问题，解答关键是弄懂题意,

熟练对函数式变形，从而取得最值.由题意得，此题实际是求从开始刹车到停止所走的路程，

即s的最大值.把抛物线解析式化成顶点式后，即可解答.

【详解】解：依题意，该函数关系式化简为s=16/-4”=-4(”2『+16,

当f=2时，汽车停下来，滑行了16米，

汽车最远要滑行16米才能停下，

故答案为：16.

17.2.6

【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，过点8作3。，。/于。，过点C作

于E,根据等腰直角三角形的性质可得CE=2,再通过解直角三角形可求得OE的长，进而

可求解.

【详解】解：如图，过点3作8。，。/于。，过点C作于E,

在中，ZBDO=90°,ZDOB=45°,

OD=CE=BD=2cm,

在△OCE中，ZCOE=38°,/CEO=90。，

CP

.•.tan38°=—土0.78,

OE

：.OEb2.6cm,

即OC与尺上沿的交点C在尺上的读数是2.6cm.

故答案为：26

【分析】求出4冉月£…的纵坐标，从而可计算出E，邑,号品…的高，进而求出

与邑自，邑…，从而得出凡+昆+邑+…+S"的值.

答案第9页，共18页

【详解】当X=1时，片的纵坐标为8,

当x=2时，1的纵坐标为4,

Q

当x=3时，6的纵坐标为：，

当x=4时，乙的纵坐标为2,

Q

当工=5时，月的纵坐标为W，

则E=lx(8_4)=8_4；

QQ

邑=1x(4-§)=4-丁

53=1X(|-2)=|-2；

54=1X(2-1)=2-|；

8__8_

nn+1

cc/i/i88rc8888

+邑+S?+…+S“=8—4+4——+--2+2一一+…+-------=8---------=

一335n〃+1n+1〃+1

8x20232023

S]+S2+S3+...+5(2023

2024~253

2023

故答案为:

253

QO

【点睛】本题考查了反比例函数与几何的综合应用，解题的关键是求出.

nn+1

19.(1)-3

⑵

2

【分析】本题考查了实数的混合运算，特殊角的三角函数值.

(1)先依据二次根式的性质、特殊角的三角函数值、负整数指数累、零指数基化简，然后

按照实数的混合运算顺序计算即可.

(2)将特殊角的三角函数值代入，然后按照实数的混合运算顺序计算即可.

【详解】(1)解：原式=3亚-6x正一2-1

2

=372-372-2-1

二一3；

答案第10页，共18页

01

（2）解：原式=J]2

—+—xl

22

_4i1

一^-一2

V2-1

一2'

20.⑴画图见解析；

（2）4m.

【分析】（1）连接C8并延长交DE于点。，点。即为所求，连接OG并延长交。产于以，线

段F”即为所求；

（2）由中心投影的性质可得空=警，再将数据代入即可求解；

ACDC

本题考查了中心投影，掌握中心投影的性质是解题的关键

【详解】（I）解：如图，点。为灯泡所在的位置，线段切为小亮在灯光下形成的影子；

E

O

/、、、

/'、、'、、G

%、

/、、、

/II、、、

CADFH

（2）解：由中心投影的性质得，噜=黑，

1.6DO

H即n一=-------，

1.41.4+2.1

解得。。=4m,

答：灯泡的高为4m.

21.⑴DE的长为4nl

⑵塔A8的高度约为15m

【分析】本题主要考查仰俯角解直角三角形的运用，

（1）根据含30。角的直角三角形的性质即可求解；

（2）根据含30。角的直角三角形的性质可得CE=岛）E=4退（m）,设=根据等腰

直角三角形的性质可得4C=〃m,NE=（4月+〃）m,如图，过点。作。尸_L4g.垂足为

F,在RgBD尸中，尸=27。，根据角的正切值可得15,由此即可求解.

答案第11页，共18页

【详解】（1）解：由题意得DELEC,在Rt^CAE中，CD=3m,ZDC£=30°,

.­.DE=-CD=Axn,

2

・•.DE的长为4m.

(2)解：由题意得在RtADEC中，DE=4m,NDCE=3Q°,

:.CE=^DE=46(m),

在RtZ\/BC中，设4B=〃m,

•:NBCA=45°,

：.AC=AB

tan45°v'

.•./E=EC+NC=(46+〃)in,

如图，过点。作。尸，N2.垂足为尸，

由题意得。尸=/£=(4j^+/z)m,AF=DE=4m,

•・,AB=/zm,

：.BF=AB-AF=(h-4)m,

在RtA5Z)F中，ZBDF=27°,

：.BF=DF-tan27°®0,5^4^3+/zjm,

,,/Z-4=0.5[4V3+/Z),

解得〃=46+8«45,

AB=15m,

答：塔的高度约为15m.

12

22.⑴y=一

X

(2)9

答案第12页，共18页

(3)(0,4)或一

【分析】(1)点4(3,a)和点3(14-2/2)在反比例函数上，利用待定系数法即可求解;

(2)先求出一次函数的解析式，分别就出/,B,C三点坐标，利用S./oB=S，Bco-S/c。求

解即可；

(3)点/,C为两个定点，△/£＞(7为直角三角形有两种情况，设。(0,力，分两种情况结

合坐标与图形，勾股定理求解即可.

【详解】(1)解：••・点4(3,。)和点3(14-2d2)在反比例函数图像上，

3a=(14-2o)x2,

解得：a=4,

则加=3x4=12,

12

，反比例函数的解析式为＞=一;

x

(2)如图，连接NO,BO,

/(3,4)在一次函数y=京+6的图像上,

/=|

2

，一次函数的解析式为＞=§x+6,

.■.C(0,6),即0C=6,

■■-5(6,2),

'''S^A0BS^BC0^S^AC0=-x6x6--x6x3=9;

(3),••点4C为两个定点，

"DC为直角三角形有两种情况：

答案第13页，共18页

①NNZ)C=90。时，轴，此时点/D〃x轴，

•.•/的坐标为(3,4),

.：。的坐标为(0,4)；

②NC4D=90。时，此时直线/。与48垂直，设。(0,田，

:.CD=6-y,"="+(4-6?=用,AD=心+(4_4=抄_8y+25,

CD2=AC2+AD2,

?]

二.(6-力=13+/f+25,解得：y=--)

...心一)，

点D的坐标为(0,4)或.

【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，坐标与图形，待定系数法求反比例函数

解析式，勾股定理，正确根据已知条件列出方程是解题关键.

23.(1)见详解

24

⑵G

【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、直径所对的圆周角为直角、同弧所对圆周角相等

和勾股定理，

⑴根据题意得/。工如，则有/BAD=/CAD,即有丽=族；

(2)根据题意得=乙408=90。，^,BD=DC=^BC,利用勾股定理可求得/D,结

合等面积法即可求得5E.

【详解】(1)证明：连接4。，如图：

•••45是。。的直径,

NADB=90°,

/.ADYBC,

•/AB=AC,

答案第14页，共18页

?./BAD=/CAD,

-BD=DE-

(2)解：如图，

•・,以45为直径作O。，

ZBEA=ZADB=90°,

由(1)知，BD=DC=-BC,

2

•••BC=6,AB=5,AB=AC,

••AD7AB2-BD?=152—32=4,

1I24

则解得

24.⑴y=-10x+740（44WxW52）

⑵将产品的销售单价定为52元时，商家每天销售产品获得的利润川（元）最大，最大利润

是2640兀.

（3）为了保证捐款后每天剩余利润等于2200元，销售单价为50元

【分析】本题主要了考查二次函数应用，一元二次方程的应用的等知识点，

（1）根据题意直接写出夕与x之间的函数关系式和自变量的取值范围；

（2）根据销售利润=销售量/（售价•进价），列出平均每天的销售利润w（元）与销售价x

（元/箱）之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润；

（3）根据题意得剩余利润为坟-200,利用函数性质求出坟-20022200时的x的取值范围

即可；

解题的关键是读懂题意，列出函数关系式.

【详解】（1）根据题意，得了=300-10（x-44）=-10x+740,

2与x之间的函数关系式为y=~10x+740（44<x<52）;

（2）根据题意，^w=（-10x+740）（x-40）=-10（x-57）2+2890.

答案第15页，共18页

••--10<0,又对称轴直线X=57,且444