2025年牛津译林版高三数学上册阶段测试试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年牛津译林版高三数学上册阶段测试试卷68考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共8题，共16分)1、设i是虚数单位，复数z满足z（1+i）=2i，则复数z的虚部为（）A.-iB.iC.1D.-12、否定“自然数m，n，k中恰有一个奇数”时正确的反设为（）A.m，n，k都是奇数B.m，n，k都是偶数C.m，n，k中至少有两个偶数D.m，n，k都是偶数或至少有两个奇数3、若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则实数a的取值范围是（）A.a≤0B.0≤a＜2C.0≤a≤2D.a＞24、下列说法错误的是（）A.平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行B.一个平面内的两条相交直线与另外一个平面平行，则这两个平面平行C.一条直线与一个平面内的两条直线都垂直，则该直线与此平面垂直D.如果两个平行平面同时和第三个平面相交，则它们的交线平行5、设i为虚数单位，则=（）A.B.C.D.6、已知集合A={x|y=ln（x+1）}，则∁RA=（）

A.∅

B.（-∞；-1）

C.（-1；+∞）

D.（-∞；-1]

7、【题文】设复数的共轭复数满足(1＋)＝2，其中为虚数单位，则等于（）A.B.C.D.8、茎叶图记录了甲、乙两组各6名学生在一次数学测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的众数为124，乙组数据的平均数即为甲组数据的中位数，则x、y的值分别为（）A.4、5B.5、4C.4、4D.5、5评卷人得分二、填空题(共6题，共12分)9、已知数列{an}的前n项和Sn=n3-n2，则a10=____．10、复数z=1+i，且（a∈R）是纯虚数，则实数a的值为____．11、观察以下三个等式：

sin215°-sin245°+sin15°cos45°=-；

sin220°-sin250°+sin20°cos50°=-；

sin230°-sin260°+sin30°cos60°=-；

猜想出一个反映一般规律的等式：____．12、如果执行程序框图，那么输出的a=____．

13、【题文】下面共有四种情景：

A.一辆汽车在公路上匀速行驶（汽车行驶的路程与时间的关系）；

B.从树上开始往下掉的苹果（苹果落地前的高度与下落时间的关系）；

C.一杯越来越凉的开水（水温与时间的关系）；

D.竖直向上抛出的篮球（篮球落地前的速度与时间的关系）；

上面各种情景可以近似的用下面那个图象来表示（横轴表示时间，纵轴表示相应的因变量），A、B、C、D各情景对应的图象依次为：___________。14、函数y=+的定义域为____．评卷人得分三、判断题(共9题，共18分)15、判断集合A是否为集合B的子集；若是打“√”，若不是打“×”．

（1）A={1，3，5}，B={1，2，3，4，5，6}．____；

（2）A={1，3，5}，B={1，3，6，9}．____；

（3）A={0}，B={x|x2+1=0}．____；

（4）A={a，b，c，d}，B={d，b，c，a}．____．16、函数y=sinx，x∈[0，2π]是奇函数．____（判断对错）17、已知函数f（x）=4+ax-1的图象恒过定点p，则点p的坐标是（1，5）____．（判断对错）18、判断集合A是否为集合B的子集；若是打“√”，若不是打“×”．

（1）A={1，3，5}，B={1，2，3，4，5，6}．____；

（2）A={1，3，5}，B={1，3，6，9}．____；

（3）A={0}，B={x|x2+1=0}．____；

（4）A={a，b，c，d}，B={d，b，c，a}．____．19、函数y=sinx，x∈[0，2π]是奇函数．____（判断对错）20、已知函数f（x）=4+ax-1的图象恒过定点p，则点p的坐标是（1，5）____．（判断对错）21、已知A={x|x=3k-2，k∈Z}，则5∈A．____．22、空集没有子集．____．23、任一集合必有两个或两个以上子集．____．评卷人得分四、证明题(共4题，共12分)24、在数列{an}中，a1=1，an=2an-1+1（n≥2，n∈N+）．

（I）求a2，a3，a4的值；

（2）猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法来证明．25、已知三角形的三边a，b，c，三角形的重心到外接圆的距离为d，外接圆半径为R，求证：a2+b2+c2+9d2=9R2．26、如图；点P是正方形ABCD所在平面外一点，M为PD的中点．

（1）试在PC上找一点N；使得MN∥AB，并说明理由；

（2）若点P在平面ABCD上的射影是点D；PD=AB=a（a是正常数），求异面直线MC与AB所成角的大小；

（3）若PA=AB=a（a是正常数），试判断P点在底面ABCD中的射影是否可能恰好落在点C上？请说明理由．27、下列有六个命题：

（1）y=tanx在定义域上单调递增

（2）若向量，则可知

（3）函数的一个对称点为

（4）非零向量、满足，则可知•=0

（5）的解集为

其中真命题的序号为____．评卷人得分五、解答题(共1题，共2分)28、解关于x的方程6x-3×2x-2×3x+6=0．评卷人得分六、简答题(共1题，共4分)29、如图，在直角梯形ABCD中，AD//BC，当E、F分别在线段AD、BC上，且AD=4，CB=6，AE=2，现将梯形ABCD沿EF折叠，使平面ABFE与平面EFCD垂直。1.判断直线AD与BC是否共面，并证明你的结论；2.当直线AC与平面EFCD所成角为多少时，二面角A—DC—E的大小是60°。参考答案一、选择题(共8题，共16分)1、C【分析】【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解析】【解答】解：∵z（1+i）=2i；

∴；

∴复数z的虚部为1．

故选：C．2、D【分析】【分析】求得命题：“自然数m，n，k中恰有一个奇数”的否定，即可得出结论．【解析】【解答】解：由于命题：“自然数m；n，k中恰有一个奇数”的否定为：“m，n，k都是偶数或至少有两个奇数”；

故否定“自然数m；n，k中恰有一个奇数”时正确的反设为：“m，n，k都是偶数或至少有两个奇数”；

故选：D．3、B【分析】【分析】作出不等式组表示的平面区域，从而解出．【解析】【解答】解：如下图：

则若不等式组表示的平面区域是一个三角形；则实数a的取值范围是0≤a＜2；

故选B．4、C【分析】【分析】利用直线与平面平行的判定定理判断A的正误；利用平面与平面平行的判定定理判断B的正误；利用直线与平面垂直的判定定理判断C的正误；利用平面与平面平行的性质定理判断D的正误；【解析】【解答】解：对于A；满足直线与平面平行的判定定理，∴A正确；

对于B；满足平面与平面平行的判定定理，∴B正确；

对于C；不满足直线与平面垂直的判定定理，∴C不正确；

对于D；满足两个平面平行的性质定理，∴D正确；

故选：C．5、B【分析】【分析】直接把复数的分子、分母分别平方化简，然后分子、分母同乘分母的共轭复数，化简为a+bi的形式即可．【解析】【解答】解：====

故选B．6、D【分析】

由x+1＞0；得：x＞-1．

所以A={x|y=ln（x+1）}={x|x＞-1}；

则∁RA=（-∞；-1]．

故选D．

【解析】【答案】求解对数型函数的定义域化简集合A；然后直接利用补集的运算求解．

7、A【分析】【解析】

试题分析：把等式两边同时乘以然后利用复数的除法运算化简复数求出后可得复数．

考点：复数的基本概念，复数的除法运算，共轭复数的概念.【解析】【答案】A.8、A【分析】解：根据茎叶图的数据知；甲组数据是112，119，124，（120+x），134，137；

它们的众数是124；∴x=4；

∴甲组数据的中位数是124；

∴乙组数据的平均数为。

=124

∴y=5．

∴x；y的值分别为4、5．

故选：A．

由茎叶图中甲组的数据；根据它们的众数，求出x的值，得出甲组数据的中位数，求出乙组数据的平均数，即得y的值．

本题考查了茎叶图的应用问题，解题时应根据茎叶图的数据，求出它们的平均数与中位数，从而求出x、y的值．【解析】【答案】A二、填空题(共6题，共12分)9、略

【分析】【分析】直接利用已知条件求出a10=S10-S9的结果即可．【解析】【解答】解：数列{an}的前n项和Sn=n3-n2，则a10=S10-S9=103-102-（93-92）=252．

故答案为：252．10、略

【分析】【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后由实部等于0且虚部不等于得答案．【解析】【解答】解：∵z=1+i；

由=是纯虚数；

得；

解得：a=1．11、略

【分析】【分析】对题设中给出的三个式子进行变形，总结规律，由此能求出反映一般规律的等式．【解析】【解答】解：由已知得：

sin215°-sin2（15°+30°）+sin15°cos（15°+30°）=-；

sin220°-sin2（20°+30°）+sin20°cos（20°+30°）=-；

sin230°-sin2（30°+30°）+sin30°cos（30°+30°）=-；

∴猜想出一个反映一般规律的等式：sin2θ-sin2（θ+30°）+sinθcos（θ+30°）=-．

故答案为：sin2θ-sin2（θ+30°）+sinθcos（θ+30°）=-．12、略

【分析】

根据题意可知该循环体运行2011次。

第一步：a=-n变成2；

第二次：a=n变成3；

第三次：a=n变成4；

第四次：a=-n变成5；

∴每运行3次a的值出现重复；故周期为3；

而2012=370×3+2

则当n=2012时，输出a=-

故答案为：-．

【解析】【答案】分析程序中各变量；各语句的作用；再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算a的值，并输出．

13、略

【分析】【解析】

试题分析：A.一辆汽车在公路上匀速行驶（汽车行驶的路程与时间的关系）；因为匀速行驶，所以汽车行驶的路程与时间的关系是一条直线，所以选④；B.从树上开始往下掉的苹果（苹果落地前的高度与下落时间的关系），速度有零逐渐增大，刚开始时高度是树的高度，速度比较小，所花时间多，到落地之前，速度很大，苹果离地面高度越来越近，至最后为0，所以选⑤；C.一杯越来越凉的开水（水温与时间的关系），刚开始是开水，温度为100，随着时间的推移，开水的温度越来越低，最后接近气温，所以选③；D.竖直向上抛出的篮球（篮球落地前的速度与时间的关系），向上抛出的时候速度为一定的数值，时间为0，抛出的篮球做上抛运动，在上升过程中速度越来越小，至某个时候，速度为0，然后篮球做自由落体运动，速度越来越大，所以选⑧

考点：函数。

点评：本题考查函数，解答本题的关键是掌握函数的关系，变量与变量之间的关系，认真的分析每一个运动的过程【解析】【答案】④⑤③⑧14、[1，2]【分析】【解答】解：函数y=+有意义；

只需x﹣1≥0；且2﹣x≥0；

解得1≤x≤2；

即定义域为[1；2]．

故答案为：[1；2]．

【分析】函数y=+有意义，只需x﹣1≥0，且2﹣x≥0，解不等式即可得到所求定义域．三、判断题(共9题，共18分)15、√【分析】【分析】根据子集的概念，判断A的所有元素是否为B的元素，是便说明A是B的子集，否则A不是B的子集．【解析】【解答】解：（1）1；3，5∈B，∴集合A是集合B的子集；

（2）5∈A；而5∉B，∴A不是B的子集；

（3）B=∅；∴A不是B的子集；

（4）A；B两集合的元素相同，A=B，∴A是B的子集．

故答案为：√，×，×，√．16、×【分析】【分析】根据奇函数的定义进行判断即可得到答案．【解析】【解答】解：∵x∈[0；2π]，定义域不关于原点对称；

故函数y=sinx不是奇函数；

故答案为：×17、√【分析】【分析】已知函数f（x）=ax-1+4，根据指数函数的性质，求出其过的定点．【解析】【解答】解：∵函数f（x）=ax-1+4；其中a＞0，a≠1；

令x-1=0，可得x=1，ax-1=1；

∴f（x）=1+4=5；

∴点P的坐标为（1；5）；

故答案为：√18、√【分析】【分析】根据子集的概念，判断A的所有元素是否为B的元素，是便说明A是B的子集，否则A不是B的子集．【解析】【解答】解：（1）1；3，5∈B，∴集合A是集合B的子集；

（2）5∈A；而5∉B，∴A不是B的子集；

（3）B=∅；∴A不是B的子集；

（4）A；B两集合的元素相同，A=B，∴A是B的子集．

故答案为：√，×，×，√．19、×【分析】【分析】根据奇函数的定义进行判断即可得到答案．【解析】【解答】解：∵x∈[0；2π]，定义域不关于原点对称；

故函数y=sinx不是奇函数；

故答案为：×20、√【分析】【分析】已知函数f（x）=ax-1+4，根据指数函数的性质，求出其过的定点．【解析】【解答】解：∵函数f（x）=ax-1+4；其中a＞0，a≠1；

令x-1=0，可得x=1，ax-1=1；

∴f（x）=1+4=5；

∴点P的坐标为（1；5）；

故答案为：√21、×【分析】【分析】判断5与集合A的关系即可．【解析】【解答】解：由3k-2=5得，3k=7，解得k=；

所以5∉Z；所以5∈A错误．

故答案为：×22、×【分析】【分析】根据空集的性质，分析可得空集是其本身的子集，即可得答案．【解析】【解答】解：根据题意；空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集；

即空集是其本身的子集；则原命题错误；

故答案为：×．23、×【分析】【分析】特殊集合∅只有一个子集，故任一集合必有两个或两个以上子集错误．【解析】【解答】解：∅表示不含任何元素；∅只有本身一个子集，故错误．

故答案为：×．四、证明题(共4题，共12分)24、略

【分析】【分析】（Ⅰ）由数列{an}的递推公式依次求出a2，a3，a4；

（Ⅱ）根据a1，a2，a3，a4值的结构特点猜想{an}的通项公式，再用数学归纳法①验证n=1成立，②假设n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立【解析】【解答】解：（Ⅰ）a1=1，an=2an-1+1（n≥2，n∈N+）；

∴a2=2a1+1=3；

a3=2a2+1=7；

a4=2a4+1=15；

（Ⅱ）由（Ⅰ）可以猜想an=2n-1；

①当n=1时；猜想成立；

②假设当n=k时，猜想成立，即ak=2k-1；

那么ak+1=2ak+1=2（2k-1）+1=2k+1-1；

即当n=k+1猜想也成立；

由①②可知，猜想成立，即an=2n-1（n∈N+）．25、略

【分析】【分析】以△ABC的外心为原点建立坐标系，可令A、B、C的坐标依次是：（Rcosα，Rsinα）、（Rcosβ，Rsinβ）、（Rcosγ，Rsinγ）．令AB中点为D、△ABC的重心为G（m，n），求出m，n，进而可证明a2+b2+c2+9d2=9R2．【解析】【解答】证明：以△ABC的外心为原点建立坐标系，显然，△ABC的外接圆方程是：x2+y2=R2．

∴可令A；B、C的坐标依次是：（Rcosα；Rsinα）、（Rcosβ，Rsinβ）、（Rcosγ，Rsinγ）．

令AB中点为D；△ABC的重心为G（m；n）．

由中点坐标公式，得D的坐标为（R（cosα+cosβ），R（sinα+sinβ））．

∵=2；

∴有m==R（cosα+cosβ+cosγ），n=R（sinα+sinβ+sinγ）．

于是：

a2=（Rcosβ-Rcosγ）2+（Rsinβ-Rsinγ）2=R2（2-2cosβcosγ-2sinβsinγ）

b2=（Rcosα-Rcosγ）2+（Rsinα-Rsinγ）2=R2（2-2cosαcosγ-2sinαsinγ）；

c2=（Rcosα-Rcosβ）2+（Rsinα-Rsinβ）2=R2（2-2cosαcosβ-2sinαsinβ）．

9d2=9[（m-0）2+（n-0）2]=9{[R（cosα+cosβ+cosγ）-0]2+[R（sinα+sinβ+sinγ）-0]2}

=R2[（cosα+cosβ+cosγ）2+（sinα+sinβ+sinγ）2]

=R2（3+2cosαcosβ+2cosβcosγ+2cosαcosγ+2sinαsinβ+2sinβsinγ+2sinαsinγ）．

∴a2+b2+c2+9d2=9R2．26、略

【分析】【分析】（1）在PC上取中点N；M为PD的中点．则MN∥DC，又DC∥AB，即可判定MN∥AB．

（2）由AB∥DC；可得∠MCD即为所求，可证PD⊥DC，△MCD中，可得tan∠MCD的值，即可求得异面直线MC与AB所成角的大小．

（3）用反证法，假设P点在底面ABCD中的射影是否可能恰好落在点C上，则PA为Rt△PCA的斜边，可得PA＞AC，由已知可解得AC=＞a=PA，从而推得矛盾，证明P点在底面ABCD中的射影不可能恰好落在点C上．【解析】【解答】解：（1）在PC上取中点N；M为PD的中点．则MN∥DC；

又ABCD是正方形；可得DC∥AB；

从而可得：MN∥AB．

（2）∵AB∥DC；

∴∠MCD即为所求；

若点P在平面ABCD上的射影是点D；PD=AB=a（a是正常数）；

故有PD⊥DC；

∴由△MCD中，tan∠MCD===，可得：∠MCD=arctan．

（3）假设P点在底面ABCD中的射影是否可能恰好落在点C上；则PC⊥平面ABCD，既有PA为Rt△PCA的斜边，故PA＞AC；

∵PA=AB=a（a是正常数）；又ABCD是正方形；

∴可解得：AC=＞a=PA；故矛盾．

所以P点在底面ABCD中