2025年河南省九年级中考数学二轮复习专题课件：平面几何探究性应用

平面几何探究性应用

平面几何类比、探究性问题是河南中考近10年的必考题型，2020年

之前多在第22题出现，近四年均在第23题出现，分值为10～11分.主要

类型有：①旋转背景下的探究应用（10年5考）；②轴对称背景下的探

究应用（2023年第23题）；③平移背景下的探究应用；④非图形变换下

探究应用（10年4考），尤其是2024年第23题对新定义的“邻等对补四

边形”展开的探究，也是2022版新课标理念的渗透，在教学和复习中一

定要注重知识的生成过程，注重学习经验的积累.类型一旋转背景下的探究应用题型一

旋转全等型模型展示

模型分析△OAB，△OCD均为等腰三角形，它们共顶点且顶角相等，△OCD绕

顶点O旋转.常用结论①△AOC≌△BOD；②AC＝BD；③∠AEB＝∠AOB.

模型演变

常用结论①△AOC≌△BOD；②AC＝BD；③∠AEB＝∠CED＝∠AOB＝90°.（可用勾股定理）1.

（2024泰安）如图1，在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝

CB，点D，E分别在AB，CB上，DB＝EB，连接AE，CD，取AE

中点F，连接BF.

（1）求证：CD＝2BF，CD⊥BF；

图1 ∴∠FAB＝∠FBA.

∴∠FBA＝∠BCD，∵∠FBA＋∠FBC＝90°，∴∠FBC＋∠BCD＝90°.∴BF⊥CD.

（2）将△DBE绕点B顺时针旋转到图2的位置.①请直接写出BF与CD的位置关系：

⁠；②求证：CD＝2BF.

图1

图2BF⊥CD

（2）②证明：如图，延长BF到点G，使FG＝BF，连接AG.

∵AF＝EF，FG＝BF，∠AFG＝∠EFB，∴△AGF≌△EBF（SAS），∴∠FAG＝∠FEB，AG＝BE.

∴AG∥BE.

∴∠GAB＋∠ABE＝180°，∵∠ABC＝∠EBD＝90°，∴∠ABE＋∠DBC＝180°，∴∠GAB＝∠DBC.

∵BE＝BD，∴AG＝BD.

在△AGB和△BDC中，∵AG＝BD，∠GAB＝∠DBC，AB＝CB，∴△AGB≌△BDC（SAS），∴CD＝BG.

∵BG＝2BF，∴CD＝2BF.

追问1：在（2）的条件下，求证：S△ABE＝S△BDC.

证明：由（2）②可知，S△ABE＝S△ABG＝S△BDC.

图1

图2追问2：若AB＝4，BD＝2，△DBE绕点B顺时针旋转，当C，D，E

三点共线时，求BF的长.图1

图2

追问3：过点B作BM⊥AE，垂足为M，BM的反向延长线交CD于点N.

求证：①CN＝DN；②AE＝2BN.

类比（2）②的方法即可得证.图1

图22.

（2024牡丹江）数学老师在课堂上给出了一个问题，让同学们探究.

在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点D在直线BC上，

将线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE，过点E作EF∥BC，

交直线AB于点F.

图1

图2

图3（1）当点D在线段BC上时，如图1，求证：BD＋EF＝AB；分析问题：某同学在思考这道题时，想利用AD＝AE构造全等三角

形，便尝试着在AB上截取AM＝EF，连接DM，通过证明两个三角形

全等，最终证出结论：推理证明：写出图1的证明过程：图1

图2

图3（1）证明：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∴∠B＝90°－∠BAC＝90°－30°＝60°.∵EF∥BC，∴∠EFB＝∠B＝60°.又∵∠EAD＝60°，∴∠EFB＝∠EAD.

又∵∠BAD＝∠EAD－∠EAF，∠AEF＝∠EFB－∠EAF，∴∠BAD＝∠AEF.

又∵AD＝AE，AM＝EF，∴△DAM≌△AEF（SAS）.∴AF＝DM，∠AMD＝∠EFA＝180°－∠EFB＝180°－60°＝120°.∴∠BMD＝180°－∠AMD＝180°－120°＝60°.∵∠B＝60°，∴∠BMD＝∠B＝∠BDM.

∴△BMD是等边三角形.∴BD＝BM＝DM，∵AB＝AM＋BM，∴AB＝EF＋BD.

探究问题：（2）当点D在线段BC的延长线上时，如图2；当点D在线段CB的延

长线上时，如图3，请判断并直接写出线段BD，EF，AB之间的数量

关系；（2）图2：AB＝BD－EF，图1

图2

图3【解析】如图1所示，在BD上取点H，使BH＝AB，连接AH并延长

到点G使AG＝AF，连接DG，图1∵∠ABC＝60°，∴△ABH是等边三角形，∴∠BAH＝60°，∵线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE，∴∠DAE＝60°，AE＝AD，∴∠BAH＝∠DAE，∴∠BAH－

∠EAH＝∠DAE－∠EAH，即∠BAE＝∠HAD，又∵AG＝AF，

∴△FAE≌△GAD（SAS），∴EF＝DG，∠AFE＝∠G，

∵BD∥EF，∴∠ABC＝∠F＝∠G＝60°，∵∠DHG＝∠AHB＝

60°，∴△DHG是等边三角形，∴DH＝DG＝EF，∴AB＝BH＝

BD－DH＝BD－EF.

图3：AB＝EF－BD.

【解析】如图2所示，在EF上取点H使AH＝AF，图2图2∵EF∥BC，∴∠F＝∠ABC＝60°，∵AH＝AF，∴△AHF是等边

三角形，∴∠AHF＝∠HAF＝60°，∴∠AHE＝120°.∵将线段AD

绕点A顺时针旋转60°得到线段AE，∴AD＝AE，∠DAE＝60°，

∴∠DAB＋∠EAH＝180°－∠EAD－∠HAF＝60°，∵∠D＋

∠DAB＝∠ABC＝60°，∴∠D＝∠EAH，∵∠DBA＝180°－

∠ABC＝120°＝∠EHA，又∵AD＝AE，∴△EAH≌△ADB

（AAS），∴BD＝AH，AB＝EH，∵AH＝FH，∴BD＝HF，

∴AB＝EH＝EF－FH＝EF－BD.

10或18

图1

图2

图3（3）【解析】分点D在线段BC上和点D在线段BC的延长线上及点D在线段CB的延长线上求解.题型二

旋转相似型模型展示

模型分析△OAB，△OCD均为非等腰三角形，它们共顶点且顶角相等，

△OCD∽△OAB，△OCD绕顶点O旋转.常用结论①△AOC∽△BOD；②

＝

＝

；③∠AEB＝∠AOB.

模型演变

常用结论①△AOC∽△BOD；②

＝

＝

；③∠AEB＝∠CED＝∠AOB＝90°（可用勾股定理）.注意

AC与BD不相交，可延长，使相交3.

（2024绥化）综合与实践【问题情境】在一次综合与实践课上，老师让同学们以两个全等的等腰直角三角形纸

片为操作对象.纸片△ABC和△DEF满足∠ACB＝∠EDF＝90°，AC

＝BC＝DF＝DE＝2

cm.下面是创新小组的探究过程.图1

图2

图3【操作发现】（1）如图1，取AB的中点O，将两张纸片放置在同一平面内，使点O

与点F重合.当旋转△DEF纸片交AC边于点H、交BC边于点G时，设

AH＝x（1＜x＜2），BG＝y，请你探究出y与x的函数关系式，并写

出解答过程.图1

图2

图3解：（1）如图，∵∠ACB＝∠EDF＝90°，且AC＝BC＝DF＝DE

＝2

cm，∴∠A＝∠B＝∠DFE＝45°，∴∠AFH＋∠BFG＝∠BFG＋∠FGB＝135°，∴∠AFH＝∠FGB，

∴AH·BG＝AF·BF.

在Rt△ACB中，AC＝BC＝2，

∵O是AB的中点，点O与点F重合，

【问题解决】（2）如图2，在（1）的条件下连接GH，发现△CGH的周长是一个定

值.请你写出这个定值，并说明理由.图1

图2

图3

【拓展延伸】（3）如图3，当点F在AB边上运动（不包括端点A，B），且始终保

持∠AFE＝60°.请你直接写出△DEF纸片的斜边EF与△ABC纸片的

直角边所夹锐角的正切值

（结果保留根号）.

图1

图2

图3（3）【解析】①如图2，过点F作FN⊥AC于点N，作FH的垂直平分线交FN于点M，连接MH，∴FM＝MH，∠FNH＝90°，图2

②如图3，过点F作FN⊥BC于点N，作FG的垂直平分线交BG于点

M，连接FM，∴FM＝MG，∠FNG＝90°，图3∵∠AFE＝60°，∠B＝45°，∴∠FGB＝∠AFE－∠B＝15°，图3∵GM＝MF，∴∠FGB＝∠GFM＝15°，∴∠FMB＝30°，在Rt△FNM中，设FN＝k，∴GM＝MF＝2k，

4.

（2023赤峰）数学兴趣小组探究了以下几何图形.如图1，把一个含

有45°角的三角尺放在正方形ABCD中，使45°角的顶点始终与正方形

的顶点C重合，绕点C旋转三角尺时，45°角的两边CM，CN始终与

正方形的边AD，AB所在直线分别相交于点M，N，连接MN，可得

△CMN.

【探究一】如图2，把△CDM绕点C逆时针旋转90°得到△CBH，同时得到点H在

直线AB上，求证：∠CNM＝∠CNH；

【探究二】在图2中，连接BD，分别交CM，CN于点E，F，求证：

△CEF∽△CNM；【探究二】证明：如图1所示.∵四边形ABCD是正方形，∴∠DBA＝45°.又∠MCN＝45°，∴∠FBN＝∠FCE＝45°.∵∠EFC＝∠BFN，∴∠CEF＝∠FNB.

又∵∠CNM＝∠CNH，∴∠CEF＝∠CNM.

又∵公共角∠ECF＝∠NCM，∴△CEF∽△CNM.

【探究三】解：∵AC，BD是正方形的对角线，∴∠CDE＝180°－∠BDC＝135°，∠CAN＝180°－∠BAC＝135°.∴∠CDE＝∠CAN.

∵∠MCN＝∠DCA＝45°，∴∠MCN－∠DCN＝∠DCA－∠DCN，即∠ECD＝∠NCA.

∴△ECD∽△NCA.

如图2所示，将△DMC绕点C逆时针旋转90°得到△BGC，则点G在直

线AB上.∴MC＝GC，∠MCG＝90°.∴∠NCG＝∠NCM＝45°.又CN＝CN，∴△NCG≌△NCM（SAS）.∴∠MNC＝∠GNC.

∵∠CNA＝∠CEF，∴∠CNM＝∠CEF.

又∠ECF＝∠NCM，∴△ECF∽△NCM.

类型二轴对称背景下的探究应用题型一

三角形的折叠常见类型模型展示常用结论顶点落在三角形内（或边上）

①△ADE≌△A'DE；②DE垂直平分AA'；③∠BDA'＋∠CEA'＝2∠BAC.

常见类型模型展示常用结论顶点落在三角形外

①△ADE≌△A'DE；②DE垂直平分AA'；③∠BDA'－∠CEA'＝2∠BAC.

1.

（2023大连）综合与实践问题情境：数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张等腰三角形纸

片探究折叠的性质.已知AB＝AC，∠A＞90°，点E为AC上一动点，将△ABE以BE为

对称轴翻折.同学们经过思考后进行如下探究：独立思考：小明：“当点D落在BC边上时，∠EDC＝2∠ACB.

”小红：“若点E为AC的中点，给出AC与DC的长，就可求出BE的

长.”实践探究：奋进小组的同学们经过探究后提出问题1，请你回答：问题1：在等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＞90°，△BDE由△ABE翻

折得到.（1）如图1，当点D落在BC边上时，求证：∠EDC＝2∠ACB；问题1：（1）证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵△BDE是由△ABE翻折得到的，∴∠A＝∠BDE＝180°－2∠C.

∵∠EDC＋∠BDE＝180°，∴∠EDC＝2∠ACB.

（2）如图2，若点E为AC中点，AC＝4，CD＝3，求BE的长.问题1：（2）解：如图1，连接AD，交BE于点F.

∵△BDE由△ABE翻折得到，∴AE＝DE，AF＝DF，AF⊥BE.

（2）如图2，若点E为AC中点，AC＝4，CD＝3，求BE的长.问题解决：小明经过探究发现：若将问题1中的等腰三角形换成∠A＜90°的等腰

三角形，可以将问题进一步拓展.问题2：如图3，在等腰△ABC中，∠A＜90°，AB＝AC＝BD＝4，

2∠D＝∠ABD，若CD＝1，则求BC的长.

题型二

矩形的折叠常见类型模型展示特殊结论顶点落在矩形外

△EGF是等腰三角形

△AEC是等腰三角形顶点落在矩形内

BE垂直平分AA'常见类型模型展示特殊结论顶点落在矩形内

BE垂直平分AA'顶点落在矩形边上

△EBA'∽△A'CD

△FB'C∽△EDC2.

综合与实践综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动.（1）操作判断操作一：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸

片展平；操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部的点M

处，把纸片展平，连接PM，BM.

根据以上操作，当点M在EF上时，写出图1中一个30°的

角：

⁠.∠EMB或∠CBM或∠ABP或∠PBM（任写一个即可）

图1

（2）迁移探究小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片ABCD按照（1）中的方式操作，并延长PM交CD于点

Q，连接BQ.

①如图2，当点M在EF上时，∠MBQ＝

，∠CBQ＝

⁠；15°

15°

图2

【解析】由（1）可知，∠CBM＝30°.∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝BC，∠BAD＝∠C＝90°.由折叠，可得AB＝BM，∠BAD

＝∠BMP＝90°.∴BM＝BC，∠BMQ＝∠C＝90°.又∵BQ＝

BQ，∴Rt△BCQ≌Rt△BMQ（HL）.∴∠CBQ＝∠MBQ＝15°.②改变点P在AD上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断

∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说明理由.②∠MBQ＝∠CBQ.

理由如下：图3∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠BAD＝∠C＝90°.由折叠，可得AB＝BM，∠BAD＝∠BMP＝90°.∴∠BM＝BC，∠BMQ＝∠C＝90°.又∵BQ＝BQ，∴Rt△BCQ≌Rt△BMQ（HL）.∴∠CBQ＝∠MBQ.

（3）拓展应用在（2）的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为8

cm，当FQ＝1

cm时，直接写出AP的长.图1

图2

图3

3.

（2024濮阳二模）折纸是富有趣味和有意义的一项活动，折纸中隐

含着数学知识与思想方法.深入探究折纸，可以用数学的眼光发现、用

数学的思维思考、用数学的语言描述，提升同学们的综合素养.【操作发现】（1）如图1，在矩形ABCD中，把矩形ABCD折叠，使B与A重合，C

与D重合，展平纸片得到折痕EF，再第二次折叠，点B落在EF上B'

点，展平纸片得到折痕AM，连接AB'，BB'，则∠B'BC等于

⁠A.20°B.30°C.45°D.60°B

图1 【深入探究】（2）如图2，P是矩形ABCD边AB上一点，把矩形折叠，使P与B重

合，展平纸片得到折痕EF；第二次折叠，点B落在EF上的点B'，P落

在点P'，展平纸片得到折痕MN，连接BP'，B'P'，BB'，写出∠P'BB'

与∠B'BC的数量关系，并给出证明；

图2 （2）∠P'BB'＝2∠B'BC，证明如下：如图，连接PB'与BP'交于点O，由轴对称可知点O在折痕MN上，MN

是BB'的垂直平分线，∴OB＝OB'，∴∠P'BB'＝∠PB'B，∵EF垂直平分PB，∴B'P＝BB'，EF⊥BP，∴∠1＝∠2，∴∠PB'B＝2∠2，∵四边形ABCD是矩形，∴CB⊥AB，而EF⊥AB，∴EF∥BC，∴∠2＝∠3，∴∠PB'B＝2∠3，∴∠P'BB'＝2∠B'BC.

图3

图1

图2

类型三平移背景下的探究应用1.

（2024正阳一模）综合与实践【问题背景】如图1，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，点E为边BC上一点，沿

直线DE将矩形折叠，使点C落在AB边上的点C'处.图1

图2

图3（1）【问题解决】填空：AC'的长为

⁠；3

（2）如图2，展开后，将△DC'E沿线段AB向右平移，使点C'的对应点

与点B重合，得到△D'BE'，D'E'与BC交于点F，求线段EF的长.

图2

（3）【拓展探究】如图3，在△DC'E沿射线AB向右平移的过程中，设点C'的对应点为

C″，则当△D'C″E'在线段BC上截得的线段PQ的长度为1时，直接写出

平移的距离.图3

【解析】当C″在线段AB上（B的左侧）时，连接EE'，如图2所示.图2图2

图3图3

2.

（2024浉河区二模）综合与实践综合与实践课上，老师让同学们以“三角板的平移”为主题开展数

学活动.图1

图2

图3（1）操作判断操作一：将一副等腰直角三角板两斜边重合，按图1放置；操作二：将三角板ACD沿CA方向平移（两三角板始终接触）至图2

位置.根据以上操作，填空：①图1中四边形ABCD的形状是

⁠；②图2中AA'与CC'的数量关系是

；四边形ABC'D'的形状

是

⁠.正方形

AA'＝CC'

平行四边形

图1

图2 （2）迁移探究小航将一副等腰直角三角板换成一副含30°角的直角三角板，继续探

究，已知三角板AB边长为6

cm，过程如下：将三角板ACD按（1）中

方式操作，如图3，在平移过程中，四边形ABC'D'的形状能否是菱形，

若不能，请说明理由，若能，请求出CC'的长.

图3（2）可以是菱形，理由如下：如图所示，连接AD'，BC'，∵AB＝6

cm，∠ACB＝30°，∠ABC＝90°，∴AC＝12

cm，∠BAC＝60°，∵将三角板ACD沿CA方向平移，∴CD＝C'D'＝AB，CD∥C'D'∥AB，∴四边形ABC'D'是平行四边形，∴当BC'＝AB＝6

cm时，四边形ABC'D'是菱形.∵BC'＝AB＝6

cm，∠BAC＝60°，∴△ABC'是等边三角形，∴AC'＝AB＝6

cm，∴CC'＝AC－AC'＝12－6＝6（cm）.（3）拓展应用在（2）的探究过程中：当△BCC'为等腰三角形时，请直接写出CC'的

长为

⁠.

图3类型四非图形变换下的探究应用题型一

动点型

（2）当t＝1时，求点N的坐标；

（3）请直接写出MN的长为

（用含t的代数式表示）；

16

【解析】如图，

图1

4AB2

【类比探究】（2）如图2，若四边形ABCD是平行四边形，请说明边长与对角线的数

量关系.图2 解：（2）AC2＋BD2＝2AB2＋2AD2.理由如下：如图，过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥AB交AB