2025年新北师大版数学七年级下册全册教案

北师大版数学七年级下册全册教案（2025年春季新教材）

第一章整式的乘除1幂的乘除第1课时同底数幂的乘法※教学目标※1.经历探究同底数幂乘法运算性质的过程,进一步体会幂的意义,发展推理能力和有条理的表达能力。（难点）2.了解同底数幂乘法的运算性质,运用性质熟练进行计算,并能解决一些实际问题。（重点）3.在发展推理能力和有条理的表达能力的同时，体会学习数学的兴趣，培养学习数学的信心。※教学过程※一、新课导入[情境导入]光在真空中的速度大约是3×108m/s，太阳系以外距离地球最近的恒星是比邻星，它发出的光到达地球大约需要4.22年。一年以3×107秒计算，比邻星与地球的距离约为多少？解：根据距离=速度×时间，可得比邻星与地球的距离约为3×108×3×107×4.22＝37.98×（108×107）(米)。二、新知探究（一）同底数幂的乘法法则[提出问题]108×107如何计算呢？[合作探究]根据幂的意义，计算：108×107==。思考：am·an等于什么(m,n都是正整数)？为什么？am·an表示同底的幂的乘法，根据幂的意义，可得am·an=·==am+n。[归纳总结]由此得到同底数幂的乘法法则：am·an=am+n(m,n都是正整数)。用语言来描述此性质，即为：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。延伸：am·an·ap等于什么？am·an·ap=(am·an)·ap=am+n·ap=am+n+p；am·an·ap=am·(an·ap)=am·an+p=am+n+p；am·an·ap=··=am+n+p。[小结]公式中的底数a可以是一个数、一个字母、一个单项式或一个多项式。[典型例题]例1计算：(1)102×103；(2)10m×10n(m,n都是正整数)；(3)2m×2n等于什么？()m×()n呢，(m,n都是正整数)；(4)105×（-10）8。解：(1)102×103=105=102+3。(2)10m×10n=10m+n。(3)2m×2n=2m+n。()m×()n=()m+n。(4)105×（-10）8=105×108=1013=105+8。[针对练习]1.计算下列各式：(1)(－3)7×(－3)6；－3(2)()3×(-)；－(3)－x3·x5;－x8(4)b2m·b2m+1。b4m+12.a3·a3＝____a6___,a3＋a3＝__2a3_____,a4·(－a)3＝__-a7____。注意：底数相同时，直接应用法则；底数不相同时，先变成同底数，再应用法则。[典型例题]例2计算：(1)(2a＋b)2n＋1·(2a＋b)3·(2a＋b)n－4；(2)(x－y)2·(y－x)5。【解析】：将底数看成一个整体进行计算．解：(1)原式＝(2a＋b)(2n＋1)＋3＋(n－4)＝(2a＋b)3n；(2)原式＝－(x－y)2·(x－y)5＝－(x－y)7。[归纳总结]底数互为相反数的幂相乘时，先把底数统一，再进行计算。(a－b)n＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（b－a）n（n为偶数），,－（b－a）n（n为奇数）.))[针对练习]1.(－x)3·(－x)2·(－x)＝__x6______,(x－y)2·(x－y)4＝__(x－y)6______。2.计算：(a－b)3·(b－a)·(a－b)5＝__-(a－b)9_____。（二）同底数幂的乘法法则的逆用[典型例题]例3（1）如果2m=5，2n=3，那么2m+n（2）若3×32m×32m[方法总结]同底数幂的乘法法则可以逆用，即am+n=am·an。（三）同底数幂的乘法法则的实际应用[典型例题]例4光在真空中的速度约为3×108m/s,太阳光照射到地球上大约需要5×102m/s。地球距离太阳大约有多远？解：3×108×5×102=15×1010=1.5×1011(m)。答：地球距离太阳大约有1.5×1011m。三、课堂小结1．同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。即am·an＝am＋n(m，n都是正整数)。同底数幂的乘法法则的运用四、课堂训练1.计算：(1)52×57;59(2)7×73×72;76(3)－x2·x3;－x5(4)(－c)3·(－c)m。(－c)3+m判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)x3·x5=x15 (×)(2)x·x3=x3 (×)(3)x3+x5=x8 (×)(4)x2·x2=2x4 (×)(5)(－x)2·(－x)3=(－x)5=－x5 (√)(6)a3·a2－a2·a3=0 (√)(7)a3·b5=(ab)8 (×)(8)y7+y7=y14 (×)五、布置作业见《练习册》。※教学反思※在同底数幂乘法公式的探究过程中，学生表现出观察角度的差异：有的学生只是侧重观察某个单独的式子，把它孤立地看，而不知道将几个式子联系起来；有的学生则既观察入微，又统揽全局，表现出了较强的观察力。教师要善于抓住这个契机，适当对学生进行指导，培养他们“既见树木，又见森林”的优良观察品质。对于公式使用的条件既要把握好“度”，又要把握好“方向”。

第一章整式的乘除1幂的乘除第2课时幂的乘方※教学目标※1.理解幂的乘方的运算性质，进一步体会和巩固幂的意义。(重点)2.掌握幂的乘方法则的推导过程并能灵活应用。(难点)※教学过程※一、新课导入[情境导入]地球、木星、太阳可以近似地看作球体。木星、太阳的半径分别约是地球的10倍和102倍，它们的体积分别约是地球的__103_____倍和__(102)3___倍。你知道(102)3等于多少吗？(102)3=102×102×102根据(幂的意义)=102+2+2根据(同底数幂的乘法性质)=106=102×3。思考：(am)n=?其中m,n都是正整数。二、新知探究（一）幂的乘方法则[提出问题]1.计算下列各式，并说明理由。(1)(62)4；(2)(a2)3；(3)(am)2。(1)(62)4＝62×62×62×62＝62+2+2+2＝68＝62×4。(2)(a2)3＝a2·a2·a2＝a2+2+2＝a6＝a2×3。(3)(am)2＝am·am＝am+m＝a2m。[合作探究]请你观察上述结果的底数与指数有何变化？猜想（am）n等于什么？底数不变，指数相乘。推导过程：一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，验证猜想：(am)n=amn。（m，n都是正整数）[归纳总结]幂的乘方法则运算法则：(am)n=amn(m，n都是正整数)。文字说明：幂的乘方，底数不变，指数相乘。特别解读1.“底数不变”是指幂的底数a不变，“指数相乘”是指幂的指数m与乘方的指数n相乘。2.底数可以是一个单项式，也可以是一个多项式。注意：1．公式中的底数a可以是具体的数，也可以是代数式。如：[([(a-b)3]2=(a-b)6[典型例题]例1计算：（1）(102)3；(2)(b5)5；（3）[(x－2y)3]4；(4)－(x2)m；(5)(y2)3·y；(6)2(a2)6－(a3)4。解：(1)(102)3=102×3=106。(2)(b5)5=b5×5=b25。(3)[(x－2y)3]4=(x－2y)3×4=(x－2y)12。(4)－(x2)m=－x2×m=－x2m。(5)(y2)3·y=y2×3·y=y6·y=y7。(6)2(a2)6–(a3)4=2a2×6－a3×4=2a12–a12=a12。[针对练习]1.计算：（1）(103)3；（2）-(a2)5；（3）(x3)4·x2。解：（1）(103)3=109。（2）-(a2)5=-a10。（3）(x3)4·x2=x12·x2=x14。2.判断下面计算是否正确？如果有错误请改正：(1)(x5)5=x10；（×）改正：(x5)5=x25。(2)a6·a4=a24；（×）改正：a6·a4=a10。(3)m6+m4=m10；（×）改正：无法计算。(4)2y6+y6=3y12。（×）改正：2y6+y6=3y6。想一想：同底数幂的乘法法则与幂的乘方法则有什么相同点和不同点？填空：（1）a12=(a3)(4)=(a4)3=(a2)(6)=a3·a(9)；（2）(a2)t=(at)(2)=at·(2)。（二）幂的乘方法则的逆用[典型例题]例2比较340与430的大小。【解析】：逆用幂的乘方比较大小：340＝(34)10，430＝(43)10，比较34与43的大小就可以得出340与430的大小。解：因为340＝(34)10，430＝(43)10，34＝81，43＝64，81＞61，所以(34)10＞(43)10，即340＞430。[典型例题]例3已知a2n＝3，求a4n－a6n的值。解：a4n－a6n＝(a2n)2－(a2n)3＝32－33＝9－27＝－18。[针对练习]1.已知10m＝3，10n＝2，求下列各式的值：(1)103m；(2)102n；(3)103m＋2n。解：（1）103m＝(10m)3＝33＝27。（2）102n＝(10n)2＝22＝4。（3）103m＋2n＝103m×102n＝27×4＝108。2.已知2x＋5y－3＝0，求4x·32y的值。解：因为2x＋5y－3＝0，所以2x＋5y＝3，所以4x·32y＝(22)x·(25)y＝22x·25y＝22x＋5y＝23＝8。三、课堂小结1.幂的乘方的运算性质：(am)n=amn（m，n都是正整数）法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。2.运算中注意指数的运算与同底数幂的区别,底数可以是代数式。3.推导出法则时，渗透了从特殊到一般的数学思想方法。4.利用法则完成互逆运算，培养逆向思维能力。四、课堂训练1．判断题，错误的予以改正。(1)a4＋a4＝2a8。(×)改正：a4＋a4＝2a4。(2)(x3)3＝x6。(×)改正：(x3)3＝x9。(3)(－4)2×(－4)4＝(－4)6＝－46。(×)改正：原式＝46。(4)[(m－n)4]3－[(m－n)6]2＝0。(√)2．若(x2)m＝x10，则m＝__5__。3.计算：(1)(103)3；(2)(x3)4·x2；(3)–(x2)3。(4)x·x4–x2·x3。解：（1）(103)3＝109。（2）(x3)4·x2＝x12·x2＝x14。（3）–(x2)3＝-x6。（4）x·x4–x2·x3＝x5–x5=0。4．若am＝2，an＝5，求a3m+2n的值。解：a3m+2n＝a3m·a2n＝(am)3·(an)2＝23×52＝200。五、布置作业见《练习册》。※教学反思※本节课复习回顾提供探究的基础知识，情境的设置激发学生学习的兴趣，调动学生的积极性，并通过对问题的探究引入新的知识点。通过对幂的运算的探究，感受幂的乘方与同底数幂的乘法的关系，体会知识的转化，有效地突破重难点。在探究过程中充分发挥学生的主动性，让学生在已有知识上自主探究，学习效果较好。

第一章整式的乘除1幂的乘除第3课时积的乘方※教学目标※1．经历探索积的乘方的运算性质的过程，进一步体会幂的意义，发展推理能力和有条理的表达能力。（难点）2．了解积的乘方的运算性质，并能解决一些实际问题。（重点）※教学过程※一、新课导入[情境导入]地球可以近似地看成是球体，地球的半径约为6×103千米，它的体积大约是多少立方千米?V球V球=πr3，其中V是球的体积，r是球的半径。解：V球=43πr3=π×(6×103)3那么，(6×103)3=？二、新知探究（一）积的乘方法则[提出问题]1．根据乘方的意义，试做下列各题：(1)(3×5)4＝(3×5)(3×5)(3×5)(3×5)＝34×54；(2)(3×5)m＝＝3m×5m；(3)(ab)n＝＝＝anbn。[归纳总结](ab)n＝anbn(n是正整数)积的乘方等于把积中各个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。那么，(6×103)3=63×(103)3=18×109。[延伸]三个或三个以上的积的乘方，是否也具有上面的性质?怎样用公式表示?(abc)n=an·bn·cn。[典型例题]例1计算：1.计算：(1)(2a2)3·a4＝__8a10__；(2)(x2y)3＝__x6y3__；(－eq\f(1,2)a2b3)3＝__－eq\f(1,8)a6b9__；(3)－(－3a3)2·(a2)3＝__－9a12__；(4)(－2a3b3)2＋(－2a2b2)3＝__－4a6b6__。[方法总结]运用积的乘方法则进行计算时，注意每个因式都要乘方，尤其是系数不要漏乘方。[针对练习]1.计算：(1)(－5ab)3；(2)－(3x2y)2；(3)(－eq\f(4,3)ab2c3)3；(4)(－xmy3m)2。解：(1)原式＝(－5)3a3b3＝－125a3b3。(2)原式＝－32x4y2＝－9x4y2。(3)原式＝(－eq\f(4,3))3a3b6c9＝－eq\f(64,27)a3b6c9。(4)原式＝(－1)2x2my6m＝x2my6m。例2计算：(1)(－2a2)3·a3＋(－4a)2·a7－(5a3)3；(2)(－a3b6)2＋(－a2b4)3。【解析】：(1)先计算积的乘方，然后根据同底数幂的乘法法则求解；(2)先计算积的乘方和幂的乘方，然后合并。解：(1)原式＝－8a6·a3＋16a2·a7－125a9＝－8a9＋16a9－125a9＝－117a9。(2)原式＝a6b12－a6b12＝0。[方法总结]涉及积的乘方的混合运算，一般先算积的乘方，再算乘法，然后算加减，最后合并同类项。（二）积的乘方法则的逆用[典型例题]例3计算：32024×(－eq\f(1,3))2025。解：原式＝32024×(－eq\f(1,3))2024×(－eq\f(1,3))＝[3×(－eq\f(1,3))]2024×(－eq\f(1,3))＝－eq\f(1,3)。[方法总结]对公式an·bn＝(ab)n要灵活运用，对于不符合公式的形式，要通过恒等变形转化为公式的形式，运用此公式可进行简便运算。[针对练习]1.计算：(eq\f(2,3))2024×1.52025×(－1)2024＝__eq\f(3,2)__。2.已知ax＝4，bx＝5，求(ab)2x的值。解：(ab)2x＝a2xb2x＝(ax)2·(bx)2＝42×52＝400。3.已知xn＝2，yn＝3，求(x2y)2n的值。解：(x2y)2n＝x4ny2n＝(xn)4·(yn)2＝24×32＝144。三、课堂小结1．积的乘方法则：积的乘方等于各因式乘方的积。即(ab)n＝anbn(n是正整数)。2．积的乘方的运用四、课堂训练1.计算(-x2y)2的结果是（A）A．x4y2B．-x4y2C．x2y2D．-x2y22.计算(-x2)3的结果是（C）A.-x5B.x5C.-x6D.x63.下列四个算式中：①（a3）3=a3+3=a6；②［（b2）2］2=b2×2×2=b8；③［（-x）3］4=（-x）12=x12；④（-y2）5=y10，正确的算式有（C）A.0个B.1个C.2个D.3个4.计算：（1）(-3n)3·4n2；（2）(5xy)3-（5x）2·2xy3；（3）-a3+(-4a)2a。解：（1）(-3n)3·4n2=(-3)3n3·4n2=-27n3·4n2=-108n5。（2）(5xy)3-（5x）2·2xy3=53x3y3-52x2·2xy3=125x3y3-50x3y3=75x3y3。（3）-a3+(-4a)2a=-a3+42a2a=-a3+16a3=15a3。5.（1）已知an＝2，b2n＝3，求(a3b4)2n的值。解：原式＝a6nb8n＝(an)6(b2n)4＝26×34＝5184。(2)若59＝a，95＝b，用a，b表示4545的值。解：因为a5＝(59)5＝545，b9＝(95)9＝945，所以4545＝(5×9)45＝545×945＝a5b9。五、布置作业见《练习册》。※教学反思※在本节的教学过程中教师可以采用与前面相同的方式展开教学。教师在讲解积的乘方公式的应用时，再补充讲解积的乘方公式的逆运算：an·bn＝(ab)n，同时教师为了提高学生的运算速度和应用能力，也可以补充讲解：当n为奇数时，(－a)n＝－an(n为正整数)；当n为偶数时，(－a)n＝an(n为正整数)。

第一章整式的乘除1幂的乘除第4课时同底数幂的除法※教学目标※1．了解同底数幂的除法的运算性质，并能解决一些问题。（重点）2．理解并掌握科学记数法表示小于1的数的方法。（重点）3．能将用科学记数法表示的数还原为原数。（难点）※教学过程※一、新课导入[情境导入]一种液体每升含有1012个有害细菌，为了试验某种杀菌剂的效果，科学家们进行了实验，发现1滴杀菌剂可以杀死109个此种细菌。要将1升液体中的有害细菌全部杀死，需要这种杀菌剂多少滴？解：1012÷109=109·10二、新知探究（一）同底数幂的除法法则[提出问题]探究1：计算下列各式，并说明理由（m>n）。(1)108÷105;(2)10m÷10n;(3)(-3)m÷(-3)n。解：(1)108÷105==103=108-5。(2)10m÷10n===10m-n。(3)(-3)m÷(-3)n===(-3)m-n。这个验证问题如何用数学的语言表示？[合作探究]试证明：am÷an=am-n。验证：由幂的定义可知am÷an===am-n。你能从中归纳出同底数幂除法的法则吗？[归纳总结]am÷an=am-n(a≠0，m,n是正整数，且m>n)同底数幂相除，底数不变，指数相减。[典型例题]例1计算：(1)x6÷x2；(2)(－3)7÷(－3)4；(3)(－ab2)5÷(－ab2)2；(4)(a－b)4÷(b－a)。解：(1)原式＝x6－2＝x4。(2)原式＝(－3)3＝－27。(3)原式＝(－ab2)3＝－a3b6。(4)原式＝(b－a)4÷(b－a)＝(b－a)3。[针对练习]计算：(1)25÷23＝__4__；(2)a9÷a3÷a＝__a5__；(3)(－xy)3÷(－xy)2÷(－xy)＝__1__；(4)(a－b)5÷(b－a)3＝__－(a－b)2__；(5)(－y2)3÷y6＝__－1__；(6)am＋1÷am－1·(am)2＝__a2m＋2__。（二）同底数幂的除法法则的逆用[典型例题]例2已知：am=8，an=5。求：(1)am－n的值；(2)a3m－3n的值。解：(1)am－n=am÷an=8÷5=1.6。（2）a3m－3n=a3m÷a3n=(am)3÷(an)3=83÷53=512÷125=eq\f(512,125)。（三）零指数幂和负整数指数幂探究2：1.做一做：104=10000，24=1610（3）=1000，2（3）=810（2）=100，2（2）=410（1）=10，2（1）=22.猜一猜：下面的括号内该填入什么数？你是怎么想的？与同伴交流：10（0）=1，2（0）=110（-1）=110，2（-1）=10（-2）=1100，2（-2）=10（-3）=11000，2（-3）=3.你有什么发现？能用符号表示你的发现吗？通过计算和观察第一组算式，发现等式左边的幂指数每减少1，等式右边的数值就缩小为原来的eq\f(1,10)。用符号表示为：a0=1,a-p=eq\f(1,ap)。4.对于同底数幂除法公式am÷an＝am－n(a≠0）中，有一个附加条件m＞n。请问同底数幂的除法性质对于m≤n时仍然成立吗？为什么？①当m＝n时，你有什么发现？若m＝n，则am÷an＝am÷am，所以am÷am＝1或am÷am=am－m＝a0，所以得到a0＝1(a≠0)。②当m＜n时，你有什么发现？若m＜n，设m－n＝－p，则am÷an＝am－n＝a－p或am÷an＝eq\f(am,an)＝eq\f(1,ap)，所以a－p＝eq\f(1,ap)(a≠0，p为正整数)。[归纳总结]任何不等于零的数的零次幂都等于1。a0=1(a≠0)。任何不等于零的数的-p(p是正整数)次幂，等于这个数的p次幂的倒数。p=(a≠0,p是正整数)。[法则解读]任意非0的数的0次幂为1，底数不能为0，负整数指数幂的底数不能为0。[典型例题]例3用小数或分数表示下列各数：（1）10－3；（2）70×8－2；（3）1.6×10－4。解：（1）10－3=（2）70×8－2=1×（3）1.6×10－4=1.6×议一议计算下列各式，你有什么发现？与同伴进行交流。（1）7-3÷7-5；（2）3-1÷36；（3）；（4）（-8）0÷（-8）-2。解：（1）7-3÷7-5=173÷175=173×75=（2）3-1÷36=13×136=13×36（3）=25÷122=25×22=27（4）（-8）0÷（-8）-2=1÷1-82=-82=-80-[归纳总结]同底数幂除法的运算性质中的m，n可以扩大到全体整数。am÷an=am-n(a≠0，m,n是正整数，且m>n)[典型例题]例4若a＝(－eq\f(2,3))－2，b＝(－1)－1，c＝(－eq\f(3,2))0，则a，b，c的大小关系是__a＞c＞b__。[针对练习]1.下列算式：①0.0010＝1；②2－4＝eq\f(1,16)；③10－3＝0.001；④(8－2×4)0＝1。其中正确的有(C)A．1个B．2个C．3个D．4个2.若(x－3)0－2(3x－6)－2有意义，则x的取值范围是(B)A．x＞3B．x≠3且x≠2C．x≠3或x≠2D．x＜23.填空：(1)(－eq\f(1,2))3÷(－eq\f(1,2))5·(－eq\f(1,2))5÷(－2)－3＝__1__；(2)[－2－3－8－1×(－1)4]×(eq\f(1,2))－2×80＝__－1__。（四）用科学记数法表示绝对值不大于1的数科学记数法除了可以表示一些绝对值很大的数外，也可以很方便地表示一些绝对值较小的数。一个小于1的正数可以表示为a×10n，其中1≤a＜10，n是负整数。[典型例题]例50.0001＝__eq\f(1,104)__＝__1×10－4__；0.000000001＝__eq\f(1,109)__＝__1×10－9__；0．0000000000000003420＝__3.42×eq\f(1,1016)__＝__3.42×10－16__；0．0000000001＝1×10－10；0.0000000000029＝2.9×10－12；0．000000001295＝1.295×10－9。[方法总结]用科学记数法表示数时应注意：(1)1后面0的个数与10的n次方对应．如＝10n；(2)绝对值小于1的数1前0的个数与10的负n次方对应．如＝10－n。[针对练习]1.下列科学记数法表示正确的是(C)A．0.008＝8×10－2B．0.0056＝5.6×10－2C．0.0036＝3.6×10－3D．15000＝1.5×1032.实验表明，人体内某细胞的形状可以近似地看成球状，并且它的直径为0.00000156m，则这个数可用科学记数法表示为(C)A．0.15×10－5mB．0.156×105mC．1.56×10－6mD．1.56×106m3.一块900mm2的芯片上能集10亿个元件，每一个这样的元件约占多少平方毫米？约占多少平方米？(用科学记数法表示)解：9×10－7mm2;9×10－13m2。[典型例题]例6用小数表示下列各数：(1)2×10－7;(2)3.14×10－5；(3)7.08×10－3;(4)2.17×10－1。解：(1)2×10－7＝0.0000002。(2)3.14×10－5＝0.0000314。(3)7.08×10－3＝0.00708。(4)2.17×10－1＝0.217。[针对练习]1.eq\f(1,5×105)用科学记数法表示为(D)A．5×10－5B．5×10－6C．2×10－5D．2×10－62.长度单位1nm＝10－9m，目前发现一种新型病毒的直径为25100nm，用科学记数法表示该病毒直径是____m(D)A．251×10－6B．0.251×10－4C．2.51×105D．2.51×10－5三、课堂小结1．同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减。am÷an=am-n(a≠0，m,n是正整数，且m>n)2．零次幂：任何一个不等于零的数的零次幂都等于1，即a0＝1(a≠0)。3．负整数次幂：任何一个不等于零的数的－p(p是正整数)次幂，等于这个数p次幂的倒数，即a－p＝eq\f(1,ap)(a≠0，p是正整数)。课堂训练1.一种花瓣的花粉颗粒直径约为0.0000065米，0.0000065用科学记数法表示为(B)A.6.5×10-5B.6.5×10-6C.6.5×10-7D.65×10-62.一种细菌半径是1.21×10-5米，用小数表示为____0.0000121_______.3.下面的计算是否正确？如有错误，请改正：（1）a6÷a1=a；错误，应等于a6-1=a5（2）b6÷b3=b2；错误，应等于b6-3=b3（3）a10÷a9=a；正确（4）(-bc)4÷(-bc)2=-b2c2；错误，应等于(-bc)4-2=(-bc)2=b2c24.（1）(a-b)7÷(b-a)3=-(a-b)4（2）m19÷m14×m3÷m=m7（3）(b2)3×(-b3)4÷(b5)3=b3（4）98×272÷(-3)18=815.计算：(1)(14)－1＝___4____(2)(32)－2＝__49(3)22＋2－2－(12)-2＝___146.计算：－22＋(－eq\f(1,2))－2＋(2025－π)0－|2－eq\f(π,2)|.解：－22＋(－eq\f(1,2))－2＋(2025－π)0－|2－eq\f(π,2)|＝－4＋4＋1－2＋eq\f(π,2)＝eq\f(π,2)－1。五、布置作业见《练习册》。※教学反思※1.从计算具体问题中的同底数幂的除法，逐步归纳出同底数幂除法的一般性质。教学时要多举几个例子，让学生从中总结出规律，体验自主探究的乐趣和数学学习的魅力，为以后的学习奠定基础。2.课前先布置了预习作业让学生在自己熟悉的生活场景中查找绝对值较小的数据，在记录的时候学生会充分感受到这些数据书写的复杂性，从而自己产生寻求简便表示方法的强烈愿望，这时课上再引入科学记数法就顺理成章了。这样的设计巧妙地提高了他们的学习兴趣，使学生了解了数学的价值，体会了数学与生活之间的密切联系。（在引入环节中，如果能让学生将课前收集的资料，用图片或课件的形式在课上展示，给学生更强烈的视觉冲击，会更好的激发学生的探究兴趣）

第一章整式的乘除2整式的乘法第1课时单项式与单项式相乘※教学目标※1.掌握单项式与单项式相乘的运算法则。（重点）2.能够灵活地进行单项式与单项式相乘的运算。（难点）※教学过程※一、新课导入[情境导入]若两张画纸的大小相同，请列式计算两幅画的面积。对于上面的问题的结果：第一幅画的画面面积是x·mx平方米。第二幅画的画面面积是(mx)·x平方米。问题1：以上求矩形的面积时，会遇到x·mx，(mx)·x，这是什么运算呢？问题2：什么是单项式？我们知道，整式包括单项式和多项式，从这节课起我们就来研究整式的乘法，先学习单项式乘以单项式。二、新知探究（一）单项式与单项式相乘[提出问题]上面问题的两个结果可以表达得更简单些吗？说说你的理由？。。理由：根据乘法的交换律、结合律，幂的运算性质。[合作探究]怎样计算xyz·y2z？计算过程中用到了哪些运算律及运算性质？xyz·y2z=x·(y·y2)·(z·z)根据（乘法交换律、结合律）=xy3z2。根据（同底数幂的乘法）思考：如果将上式中的系数改为不是1的，比如3a2b·2ab3,怎样计算这个式子？3a2b·2ab3=（3×2）(a2·a)·(b·b3)(乘法交换律、结合律）=6a2+1b1+3(同底数幂的乘法）=6a3b4。根据以上计算，想一想单项式乘以单项式法则是什么？[归纳总结]单项式与单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。[特别解读]（1）系数相乘；（2）相同字母的幂相乘；（3）其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。拓展：单项式乘法法则对于三个及以上的单项式相乘同样适用。[典型例题]例1计算：(1)(－3.5x2y2)·(0.6xy4z)；(2)(－2ab3)2·(－a2b)。解：(1)原式＝(－3.5×0.6)(x2·x)(y2·y4)·z＝－2.1x3y6z。(2)原式＝4a2b6·(－a2b)＝－4(a2·a2)·(b6·b)＝－4a4b7。[方法总结](1)在计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积；(2)注意按顺序运算；(3)不要漏掉只在一个单项式里含有的字母因式；(4)此性质对于多个单项式相乘仍然成立。思考：单项式乘以单项式的结果是__单项式____。[针对练习]1.计算：(1)－5xy2·eq\f(1,5)xy；(2)5x3y·(－3xy)2；(3)－eq\f(1,2)abc·eq\f(2,3)a2b2·(－eq\f(3,5)bc)。解：(1)原式＝[(－5)×eq\f(1,5)]·x2y3＝－x2y3。(2)原式＝5x3y·9x2y2＝45x5y3。(3)原式＝[－eq\f(1,2)×eq\f(2,3)×(－eq\f(3,5))]·a3b4c2＝eq\f(1,5)a3b4c2。2.下面计算结果对不对？如果不对，应当怎样改正？（1）3a3·2a2=6a6(×)改正：3a3·2a2=6a5。(2)2x2·3x2=6x4(√)改正：。(3)3x2·4x2=12x2(×)改正：3x2·4x2=12x4。(4)5y3·3y5=15y15(×)改正：5y3·3y5=15y8。3.若单项式－6x2ym与eq\f(1,3)xn－1y3是同类项，那么这两个单项式的积是__－2x4y6__。（二）单项式与单项式相乘的实际应用[典型例题]例2有一块长为xm，宽为ym的长方形空地，现在要在这块地中规划一块长eq\f(3,5)xm，宽eq\f(3,4)ym的长方形空地用于绿化，求绿化的面积和剩下的面积。解：长方形的面积是xym2，绿化的面积是eq\f(3,5)x×eq\f(3,4)y＝eq\f(9,20)xy(m2)，则剩下的面积是xy－eq\f(9,20)xy＝eq\f(11,20)xy(m2)。[针对练习]若长方形的宽是a×103cm，长是宽的2倍，则长方形的面积为__2a2×106__cm2。三、课堂小结1．单项式乘以单项式的运算法则：单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里面含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。2．单项式乘以单项式的应用。四、课堂训练1.计算3a2·2a3的结果是（B）A.5a5B.6a5C.5a6D.6a62.如果单项式－2xa－2by2a＋b与x3y8是同类项，那么这两个单项式的积是(A)A．－2x6y16B．－2x6y32C．－2x3y8D．－4x6y163.当a＝2，b＝eq\f(1,2)时，5a3b·(－3b)2＋(－6ab)2·(－ab)－ab3·(－4a)2的值为__－7__。4.(1)(－eq\f(2,3)a2b)·eq\f(5,6)ac2；(2)(－eq\f(1,2)x2y)3·3xy2·(2xy2)2；(3)－6m2n·(x－y)3·eq\f(1,3)mn2(y－x)2。解：(1)(－eq\f(2,3)a2b)·eq\f(5,6)ac2＝－eq\f(2,3)×eq\f(5,6)a3bc2＝－eq\f(5,9)a3bc2。(2)(－eq\f(1,2)x2y)3·3xy2·(2xy2)2＝－eq\f(1,8)x6y3×3xy2×4x2y4＝－eq\f(3,2)x9y9。(3)－6m2n·(x－y)3·eq\f(1,3)mn2(y－x)2＝－6×eq\f(1,3)m3n3(x－y)5＝－2m3n3(x－y)5。5.一家住房的结构如图所示，这家房子的主人打算把卧室以外的部分都铺上地砖，至少需要多少平方米的地砖？解：依题意，得2x·4y＋x·2y＋x·y＝8xy＋2xy＋xy＝11xy(平方米)。答：至少需要11xy平方米的地砖。五、布置作业见《练习册》。※教学反思※新课程标准下，数学教育的根本任务是发展学生的思维，教材中的难点往往是数学思维迅速丰富、过程大步跳跃的地方，所以在本节课难点教学中既注意了化难为易的效果，又注意了化难为易的过程，在探究法则的过程中设置循序渐进的问题，不断启迪学生思考，发展学生的思维能力，在应用法则的过程中，又引导学生进行解题后的反思，这些将促使学生知识水平和能力水平同时提高。

第一章整式的乘除2整式的乘法第2课时多项式的乘法※教学目标※1.能根据乘法分配律和单项式与单项式相乘的法则探究单项式与多项式相乘的法则。2.掌握单项式与多项式相乘的法则并会运用。(重点，难点)3.经历探索多项式乘法法则的过程，理解多项式乘法的法则，并会进行多项式乘法的运算。(重点，难点)4.进一步体会乘法分配律的作用和转化的思想，发展有条理地思考和语言表达能力。※教学过程※一、新课导入[情境导入]宁宁作了一幅画，所用纸的大小如图所示，她在纸的左、右两边各留了xm的空白，这幅画的画面面积是多少？法一：先表示出画面的长和宽，由此得到画面的面积为x(nx-x)㎡；法二：先求出纸的面积，再减去两块空白处的面积，由此得到画面的面积为(nx2-x2)㎡.思考：上面问题的两种方法得到的答案不一样，由此你可以得到什么？x(nx-x)=nx2-x2二、新知探究（一）单项式与多项式相乘[合作探究](1)ab·(abc+2x)及c2(m+n-p)等于什么?你是怎样计算的?ab·(abc+2x)=ab·abc+ab·2x根据（乘法分配律)=(a·a)(b·b)c+2abx=a2b2c+2abx根据（同底数幂的乘法性质)c2(m+n-p)=c2·m+cn-c2·p=c2m+c2n-c2p(2)如何进行单项式与多项式相乘的运算?[归纳总结]单项式与多项式的乘法法则：单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加。注意：（1）依据是乘法分配律；（2）结果的项数与原多项式的项数相同。[典型例题]例1计算：(1)(eq\f(2,3)ab2－2ab)·eq\f(1,2)ab；(2)－2x·(eq\f(1,2)x2y＋3y－1)。解：(1)原式＝eq\f(2,3)ab2·eq\f(1,2)ab－2ab·eq\f(1,2)ab＝eq\f(1,3)a2b3－a2b2。(2)原式＝－2x·eq\f(1,2)x2y＋(－2x)·3y＋(－2x)·(－1)＝－x3y－6xy＋2x。[方法总结]单项式乘多项式，单项式要乘多项式的每一项；注意符号变化和运算顺序。[针对练习]1.计算：（1）(－2ab)2·(3a＋2b－1)；（2）2x(x2－3x＋3)－x2(2x－1)；（3）(3x2＋eq\f(1,2)y－eq\f(2,3)y2)·(－eq\f(1,2)xy)3。解：（1）原式＝12a3b2＋8a2b3－4a2b2.（2）原式＝－5x2＋6x.（3）原式＝－eq\f(3,8)x5y3－eq\f(1,16)x3y4＋eq\f(1,12)x3y5.[典型例题]例2一条防洪堤坝，其横断面是梯形，上底宽a米，下底宽(a＋2b)米，坝高eq\f(1,2)a米。(1)求防洪堤坝的横断面面积；(2)如果防洪堤坝长100米，那么这段防洪堤坝的体积是多少立方米？解：(1)防洪堤坝的横断面面积S＝eq\f(1,2)[a＋(a＋2b)]×eq\f(1,2)a＝eq\f(1,4)a(2a＋2b)＝(eq\f(1,2)a2＋eq\f(1,2)ab)(平方米)。故防洪堤坝的横断面面积为(eq\f(1,2)a2＋eq\f(1,2)ab)平方米。(2)堤坝的体积V＝Sl＝(eq\f(1,2)a2＋eq\f(1,2)ab)×100＝50a2＋50ab(立方米)。故这段防洪堤坝的体积是(50a2＋50ab)立方米。[针对练习]1.一个长方体的长、宽、高分别是3x－4，2x和x，则它的表面积是__22x2－24x__。2.已知一个直角三角形的两条直角边长分别为2ab和(a＋b)，则这个三角形的面积是__a2b＋ab2__。3.先化简，再求值：5a(2a2－5a＋3)－2a2(5a＋5)＋7a2，其中a＝2。解：原式＝10a3－25a2＋15a－10a3－10a2＋7a2＝－28a2＋15a，当a＝2时，原式＝－82。（二）多项式与多项式相乘[提出问题]某地区在退耕还林期间，将一块长为m、宽为a的长方形林区的长、宽分别增加n和b，用两种方法表示这块林区现在的面积。解：由图可知林区面积可表示为(a＋b)(m＋n)，也可以表示成ma＋mb＋na＋nb，由此可得(m＋n)(a＋b)＝ma＋mb＋na＋nb。这就是我们将学习的多项式乘多项式。[合作探究]如何计算(m＋a)(n＋b)，你能找到一种方法吗：解：设m＋a＝A，则(m＋a)(n＋b)＝A(n＋b)＝An＋Ab＝(m＋a)n＋(m＋a)b＝mn＋an＋mb＋ab。[归纳总结]多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。特别解读：1.多项式乘多项式法则的实质是将多项式与多项式相乘转化为几个单项式相乘的和的形式。2.多项式与多项式相乘的结果仍为多项式，在合并同类项之前，积的项数应该是两个多项式的项数之积。3.计算结果一定要注意合并同类项。[典型例题]例3计算：(1)(3x＋2)(x＋2)；(2)(4y－1)(5－y)。解：(1)原式＝3x2＋6x＋2x＋4＝3x2＋8x＋4。(2)原式＝20y－4y2－5＋y＝－4y2＋21y－5。[方法总结]多项式乘以多项式，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积。[典型例题]例4先化简，再求值：(a－2b)(a2＋2ab＋4b2)－a(a－5b)(a＋3b)，其中a＝－1，b＝1。解：(a－2b)(a2＋2ab＋4b2)－a(a－5b)(a＋3b)＝a3－8b3－(a2－5ab)(a＋3b)＝a3－8b3－a3－3a2b＋5a2b＋15ab2＝－8b3＋2a2b＋15ab2。当a＝－1，b＝1时，原式＝－8＋2－15＝－21。[方法总结]化简求值是整式运算中常见的题型，一定要注意先化简，再求值，不能先代值，再计算。[典型例题]例5千年古镇杨家滩的某小区的内部有一块长为(3a＋b)米，宽为(2a＋b)米的长方形空地，物业部门计划将空地进行绿化(如图阴影部分)，中间部分将修建一仿古小景点(如图中间的正方形)，则绿化的面积是多少平方米？并求出当a＝3，b＝2时的绿化面积。解：由题意，得(3a＋b)(2a＋b)－(a＋b)2＝6a2＋5ab＋b2－a2－2ab－b2＝（5a2＋3ab）(平方米)。当a＝3，b＝2时，5a2＋3ab＝5×32＋3×3×2＝63(平方米)。故绿化的面积是63平方米。三、课堂小结1.单项式与多项式的乘法法则：单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加。2.多项式与多项式的乘法法则：多项式和多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。四、课堂训练1.下列说法不正确的是（D）A.两个单项式的积仍是单项式B.两个单项式的积的次数等于它们的次数之和C.单项式乘以多项式，积的项数与多项式项数相同D.多项式乘以多项式，合并同类项前，积的项数等于两个多项式的项数之和2.下列多项式相乘的结果是a2-a-6的是（B）A.（a-2）（a+3）B.（a+2）（a-3）C.（a-6）（a+1）D.（a+6）（a-1）3.计算：(1)(3x＋4)(2x－1)；解：（1）原式＝6x2＋5x－4。(2x－3y)(x＋5y)；解：原式＝2x2＋7xy－15y2。(3)(x＋7)(x－6)－(x－2)(x＋1)。解：原式＝x2－6x＋7x－42－(x2＋x－2x－2)＝2x－40。4.先化简，再求值：3a(2a2-4a+3)-2a2(3a+4)，其中a=-2。解：3a(2a2-4a+3)-2a2(3a+4)=6a3-12a2+9a-6a3-8a2=-20a2+9a。当a=-2时，原式=-20×(－2)2+9×(－2)=-98。5.如图，在长为10，宽为6的长方形铁皮四角截去四个边长为x的正方形、再将四边沿虚线折起，制成一个无盖的长方体盒子，求盒子的体积。解：(10－2x)(6－2x)x＝4x3－32x2＋60x。五、布置作业见《练习册》。※教学反思※本节课在已学过的单项式与单项式相乘的基础上，继续学习单项式与多项式相乘、多项式与多项式相乘的法则。这一板块的知识前后衔接紧密、环环相扣,因此采用了先回顾，再呈现问题情境的引入方法实现“温故知新”。但是在教学过程中，我们不应仅仅让学生感受知识需要“温故知新”，更应该让他们体会到解决这些“新”都是用了同样的数学思想方法——转化。整式的乘法中这三个法则的探索在难度上是逐渐深入的，在方法和思路上却又是统一的，通过学习让学生体会：当他们遇到新问题时，可以效仿之前用到的数学思想方法来解决，从而真正掌握数学学习方法，提高数学学习能力。

第一章整式的乘除3乘法公式第1课时平方差公式的认识※教学目标※1．经历探索平方差公式的过程，进一步发展学生的符号感和推论能力。2．会运用公式进行简单的乘法运算。(重点）※教学过程※一、新课导入1．计算下列各题，观察结果有什么特征：(x＋1)(x－1)(n＋2)(n－2)＝x2－x＋x－1＝n2－2n＋2n－4＝x2－1。＝n2－4。(x－2y)(x＋2y)(x＋5y)(x－5y)＝x2＋2xy－2xy－4y2＝x2－5xy＋5xy－25y2＝x2－4y2。＝x2－25y2。答：结果都为两数的平方差。二、新知探究（一）平方差公式[提出问题]计算下列各题：(1)(x＋5)(x－5);(2)(2y＋z)(2y－z)。解：(1)原式＝x2－5x＋5x－25＝x2－25。(2)原式＝(2y)2－2yz＋2yz－z2＝4y2－z2。观察以上算式及运算结果，你发现了什么？答：以上各算式可看成两个数的和与两个数的差相乘，结果均为对应两数的平方差的形式。[归纳总结]平方差公式：(a+b)(a-b)＝a2-b2。两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。填一填：算式符号相同项符号相反项结果(a-b)(a+b)aba2-b2（1+x）（1-x）1x12-x2（-3+a）（-3-a）-3a（-3）2-a2（1+a）（-1+a）a1a2-12（0.3x-1）（1+0.3x）0.3x1（0.3x）2-12练一练：回答下列各题：(1)(-a+b)(a+b)=__b2-a2_______。(2)(a-b)(b+a)=___a2-b2_______。(3)(-a-b)(-a+b)=_a2-b2_______。(4)(a-b)(-a-b)=___b2-a2______。[典型例题]例1利用平方差公式计算：(1)(3x－5)(3x＋5)；(2)(－2a－b)(b－2a)；(3)(－7m＋8n)(－8n－7m)；(4)(x－2)(x＋2)(x2＋4)。解：(1)原式＝(3x)2－52＝9x2－25。(2)原式＝4a2－b2。(3)原式＝(－7m)2－(8n)2＝49m2－64n2。(4)原式＝(x2－4)(x2＋4)＝x4－16。[方法总结]应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：(1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；(2)右边是相同项的平方减去相反项的平方；(3)公式中的a和b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式。[针对练习]1.在计算下列各式时，可以用平方差公式的是(D)A．(x＋y)(x＋y)B．(x－y)(y－x)C．(x－y)(－y＋x)D．(x－y)(－x－y)2.计算：(1)x(2x＋5)(2x－5)＝__4x3－25x__；(2)(2x＋eq\f(1,3)y)(－eq\f(1,3)y＋2x)＝__4x2－eq\f(1,9)y2__；(3)(－a－b)(__－a＋b__)＝a2－b2。三、课堂小结四、课堂训练1.下列式中能用平方差公式计算的有(D)①(x-y)(x+y),②(3a-bc)(-bc-3a),③(3-x+y)(3+x+y),④(100+1)(100-1)A.1个B.2个C.3个D.4个2.乘法等式中的字母a，b表示(D)A.只能是数B.只能是单项式C.只能是多项式D.单项式、多项式都可以3.计算：（1）（2a-3b）（2a+3b）；（2）（-p2+q）（-p2-q）；（3）(12m-n)(-12解：（1）原式=（2a）2-（3b）2=4a2-9b2。（2）原式=（-p2）2-q2=p4-q2。（3）原式=(-n)2-(12m)2=n2-14m4.计算：（x+y-z）（x-y+z）-（x+y+z）（x-y-z）。解：原式=［x+（y-z）］［x-（y-z）］-［x+（y+z）］［x-（y+z）］=x2-（y-z）2-［x2-（y+z）2］=x2-（y-z）2-x2+（y+z）2=（y+z）2-（y-z）2=（y+z+y-z）［y+z-（y-z）］=2y·2z=4yz。五、布置作业见《练习册》。※教学反思※本课让学生经历自主探索平方差公式的推导过程，采用自学为主的教学设计，在教学方法上采用以问题的形式，引导学生独立思考、探索，再通过讨论、交流、发现平方差公式的特点，接着，教师适当的引导，使学生理解掌握平方差公式的推导过程，通过练习巩固，力求突出重点、突破难点，使学生运用平方差公式解决问题的能力得到进一步提高。在整个教学过程中，分层次地培养学生数学思想和方法，养成良好的思维习惯。第一章整式的乘除3乘法公式第2课时平方差公式的运用※教学目标※1．了解平方差公式的几何背景，发展几何直观，培养数形结合思想。(重点）2．会运用平方差公式进行数的简便运算和整式的混合运算。(难点）※教学过程※一、新课导入某同学在计算97×103时将其变成(100-3)(100+3)并很快得出结果，你知道他运用了什么知识吗？这节课我们一起来探讨上述计算的规律。运用了平方差公式二、新知探究（一）平方差公式的几何意义[合作探究]如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形。(1)请表示图1中阴影部分的面积。a2-b2(2)小颖将阴影部分拼成了一个长方形(如图2)，这个长方形的长和宽分别是多少?你能表示出它的面积吗?(a+b)(a-b)(3)比较(1)(2)的结果，你能验证平方差公式吗?由于(1)(2)表示的面积相同，所以可以验证平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2。[归纳总结]通过几何图形面积之间的数量关系可对平方差公式做出几何解释。还有其他的几何方法解释吗？（二）平方差公式的运用[典型例题]例1利用平方差公式计算：(1)20eq\f(1,3)×19eq\f(2,3)；(2)13.2×12.8。解：(1)20eq\f(1,3)×19eq\f(2,3)＝(20＋eq\f(1,3))×(20－eq\f(1,3))＝202－(eq\f(1,3))2＝400－eq\f(1,9)＝399eq\f(8,9)。(2)13.2×12.8＝(13＋0.2)×(13－0.2)＝132－0.22＝169－0.04＝168.96。注意：不能直接应用公式的，要经过变形才可以应用。[归纳总结]通过合理变形，利用平方差公式，可以简化运算。[针对练习]1.用简便方法计算：(1)7eq\f(3,4)×8eq\f(1,4)；(2)99×101×10001。解：(1)原式＝(8－eq\f(1,4))(8＋eq\f(1,4))＝82－(eq\f(1,4))2＝63eq\f(15,16)。(2)原式＝(100－1)×(100＋1)×10001＝(1002－1)×10001＝(10000－1)×(10000＋1)＝100002－1＝99999999。2.计算20252－2024×2026的结果是(D)A．－2B．－1C．0D．1[典型例题]例2先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中x＝1，y＝2。解：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)＝4x2－y2－(4y2－x2)＝4x2－y2－4y2＋x2＝5x2－5y2。当x＝1，y＝2时，原式＝5×12－5×22＝－15。[针对练习]先化简，再求值：(1＋a)(1－a)＋a(a－2)，其中a＝eq\f(1,2)。解：原式＝1－a2＋a2－2a＝1－2a，当a＝eq\f(1,2)时，原式＝1－2×eq\f(1,2)＝1－1＝0。[典型例题]例3王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居李大妈。今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少4米，另外一边增加4米，继续原价租给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了。你认为李大妈吃亏了吗？为什么？解：李大妈吃亏了。理由如下：原正方形的面积为a2，改变边长后面积为(a＋4)(a－4)＝a2－16。因为a2＞a2－16，所以李大妈吃亏了。三、课堂小结四、课堂训练1.如图，在边长为a的正方形中裁掉一个边长为b的小正方形(如图1)，将剩余部分沿虚线剪开后拼接(如图2)，通过计算，用拼接前后两个图形中阴影部分的面积可以验证等式(A)A.a2-b2=(a+b)(a-b)B.(a+b)2=a2+2ab+b2C.(a+2b)(a-b)=a2+ab-2b2D.(a-b)2=a2-2ab+b22.计算a2-(a+1)(a-1)的结果是(A)A.1B.-1C.2a2+1D.2a2-13.简便计算：（1）403×397；解：原式=（400+3）（400-3）=4002-32=159991。（2）(a+1)(a-1)(a2+1)(a4+1)(a8+1)。解：原式=(a2-1)(a2+1)(a4+1)(a8+1)=(a4-1)(a4+1)(a8+1)=(a8-1)(a8+1)=a16-1。五、布置作业见《练习册》。※教学反思※本节课经过对两个图形的面积的计算，使学生明白可以通过几何图形对平方差公式进行验证。同时利用平方差公式进行简便运算。通过练习的情况来看，学生对简单的题目，能够用平方差公式进行简便运算，但需要变形之后再利用公式进行计算，学生掌握的不够好，所以还需要加强练习。

第一章整式的乘除3乘法公式第3课时完全平方公式的认识※教学目标※1．经历探索完全平方公式的过程，进一步发展符号感和推理能力。(重点）2．会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的计算。（难点）※教学过程※一、新课导入【情境导入】计算：(1)(x＋1)2；(2)(y－2)2；解：（1）原式＝(x＋1)(x＋1)＝x2＋x＋x＋1＝x2＋2x＋1。（2）原式＝(y－2)(y－2)＝y2－2y－2y＋4＝y2－4y＋4。思考：由上述计算，你发现了什么结论？发现：左边是两数和(或差)的平方，右边是这两数平方和与它们2倍的和(或差)。二、新知探究（一）完全平方公式[合作探究]计算(a＋b)2，(a－b)2，并归纳计算结果。解：(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)＝a2＋ab＋ab＋b2＝a2＋2ab＋b2。(a－b)2＝(a－b)(a－b)＝a2－ab－ab＋b2＝a2－2ab＋b2。[总结归纳]完全平方公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2(a－b)2＝a2－2ab＋b2两数和(或差)的平方，等于两数的平方和加上(或减去)两数积的2倍。简记为：“首平方，尾平方，积的2倍放中间”。思考：你能根据下图中的面积说明完全平方公式吗?和的完全平方(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2。差的完全平方(a-b)2＝a2-2ab＋b2。公式特征：1.积为二次三项式；2.积中的两项为两数的平方；3.另一项是两数积的2倍，且与原式中间的符号相同；4.公式中的字母a，b可以表示数、单项式和多项式。[典型例题]例1利用完全平方公式计算：(1)(5－a)2；(2)(－3m－4n)2；(3)(－3a＋b)2；（4）(a＋b＋c)2。解：(1)(5－a)2＝25－10a＋a2。(2)(－3m－4n)2＝9m2＋24mn＋16n2。(3)(－3a＋b)2＝9a2－6ab＋b2。（4）原式＝(a＋b)2＋2(a＋b)c＋c2＝a2＋2ab＋b2＋2ac＋2bc＋c2。注意：当公式中的两个数的系数绝对值不为1时，平方时不要漏掉系数的平方。思考：(a+b)2与(-a-b)2相等吗?(a-b)2与(b-a)2相等吗?(a-b)2与a2-b2相等吗?为什么?解：(-a-b)2=(-a)2-2·(-a)·b+b2=a2+2ab+b2=(a+b)2。(b-a)2=b2-2ba+a2=a2-2ab+b2=(a-b)2。(a-b)2与a2-b2不一定相等，只有当b=0或a=b时，(a-b)2=a2-b2。[针对练习]1.下面各式的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？(1)(x+y)2=x2+y2(×)(x+y)2=x2+2xy+y2(2)(x-y)2=x2-y2(×)(x-y)2=x2-2xy+y2(3)(-x+y)2=x2+2xy+y2(×)(-x+y)2=x2-2xy+y2(4)(2x+y)2=4x2+2xy+y2(×)(2x+y)2=4x2+4xy+y22.计算：(1)(2x－3y)2；(2)(－a＋eq\f(1,2)b)2；(3)(－eq\f(1,2)ab2－3a2b)2。解：(1)原式＝4x2－12xy＋9y2。(2)原式＝(a－eq\f(1,2)b)2＝a2－ab＋eq\f(1,4)b2。(3)原式＝(eq\f(1,2)ab2＋3a2b)2＝eq\f(1,4)a2b4＋3a3b3＋9a4b2。[典型例题]例2如果36x2＋mxy＋25y2是一个完全平方式，求m的值。解：因为36x2＋mxy＋25y2＝(6x)2＋mxy＋(5y)2，所以mxy＝±2·6x·5y，所以m＝±60，所以m＝60或－60。[方法总结]完全平方式要分清是哪两数的平方和加上或减去它们积的2倍，已知完全平方式求中间系数中字母值要考虑两种情况。[针对练习]1.下列各式中，是完全平方式的有(C)①a2－a＋eq\f(1,4)；②x2＋xy＋y2；③eq\f(1,16)m2＋m＋9；④x2－xy＋eq\f(1,4)y2；⑤m2＋4n2＋4mn；⑥eq\f(1,4)a2b2＋ab＋1。A．2个B．3个C．4个D．5个2.已知16x2－2(m＋1)xy＋49y2是一个完全平方式，则m的值为(D)A．28B．29C．－27D．27或－29（二）完全平方公式的几何意义[典型例题]例3我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．例如图甲可以用来解释(a＋b)2－(a－b)2＝4ab.那么通过图乙面积的计算，验证了一个恒等式，此恒等式是(C)A．a2－b2＝(a＋b)(a－b)B．(a－b)(a＋2b)＝a2＋ab－2b2C．(a－b)2＝a2－2ab＋b2D．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2[方法总结]通过几何图形面积之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释。三、课堂小结四、课堂训练1.若x＋y＝4，则x2＋2xy＋y2的值是(D)A．2B．4C．8D．162.如图，从边长为（a+1）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a﹣1）cm的正方形（a＞1），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则该矩形的面积是（C）A．2cm2 B．2acm2 C．4acm2 D．（a2﹣1）cm23.若(3x－b)2＝ax2－12x＋4，则a，b的值分别为(B)A．3，2B．9，2C．3，－2D．9，－24.若4x2＋mx＋eq\f(1,4)是完全平方式，则m＝__±2__。5.利用完全平方公式计算：(1)(-1-2x)2；(2)(-2x+1)2。解：（1）原式=(-1)2-2×(-1)×(2x)+（2x)2=1+4x+4x2。（2）原式=(-2x)2+2(-2x)×1+12=4x2-4x+1。五、布置作业见《练习册》。※教学反思※本节课通过多项式乘法推导出完全平方公式，让学生自己总结出完全平方公式的特征，注意不要出现如下错误：(a＋b)2＝a2＋b2，(a－b)2＝a2－b2。为帮助学生记忆完全平方公式，可采用如下口诀：首平方，尾平方，乘积两倍在中央。教学中，教师可通过判断正误等习题强化学生对完全平方公式的理解记忆。

第一章整式的乘除3乘法公式第4课时完全平方公式的运用※教学目标※1．综合运用平方差公式和完全平方公式进行乘法运算。（重点）2．准确分辨并利用乘法公式进行运算。（难点）※教学过程※一、新课导入【情境导入】有一位老人非常喜欢孩子，每当有孩子到他家做客时，老人都要拿出糖果招待他们。来一个孩子，老人就给这个孩子一块糖，来两个孩子，老人就给每个孩子两块糖，来三个，就给每人三块糖，……第一天，有a个男孩一起去了老人家，老人一共给了这些孩子__a2__块糖；第二天，有b个女孩一起去了老人家，老人一共给了这些孩子__b2__块糖；第三天，这(a+b)个孩子一起去看老人，老人一共给了这些孩子__(a＋b)2__块糖。问：这些孩子第三天得到的糖果数与前两天他们得到的糖果总数哪个多？多多少？为什么？孩子们前两天得到的糖果总和为：a2＋b2第三天得到的糖果数为：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2所以(a＋b)2－（a2＋b2）＝a2＋2ab＋b2－a2－b2＝2ab二、新知探究（一）完全平方公式的运用[提出问题]怎样计算992，4012更简单呢？(1)992；(2)4012。解：（1）992＝(100－1)2＝1002－2×100×1＋1＝9801。（2）4012＝(400＋1)2＝4002＋2×400×1＋1＝160801。[典型例题]例1运用完全平方公式计算：(1)1022；（2）1972。解：（1）1022＝（100+2）2=10000+400+4=10404。（2）1972＝（200-3）2=40000-1200+9=38809。[针对练习]1.计算：(1)0.982＝(1－__0.02__)2＝__0.9604__；(2)(－99eq\f(1,2))2＝(__eq\f(1,2)__－__100__)2＝__9900.25__。2.计算：19992－1992×2008。解：原式＝(2000－1)2－(2000－8)(2000＋8)＝20002－2×2000×1＋1－(20002－82)＝－4000＋1＋64＝－3935。（二）公式法的综合运用[典型例题]例2计算：(1)(3x－2y)2＋(3x－2y)(－2y－3x)；解：原式＝9x2－12xy＋4y2＋4y2－9x2＝8y2－12xy。(2)(x－1＋y)(x＋1＋y)；解：原式＝[(x＋y)－1][(x＋y)＋1]＝(x＋y)2－1＝x2＋2xy＋y2－1。(3)4(a＋2)2－7(a＋3)(a－3)＋3(a－1)2。解：原式＝4(a2＋4a＋4)－7(a2－9)＋3(a2－2a＋1)＝4a2＋16a＋16－7a2＋63＋3a2－6a＋3＝10a＋82。[方法总结]运用平方差公式计算（2）(x－1＋y)(x＋1＋y)要注意分组方法，将括号内不变号的项作第一项，变号项作为第二项，然后利用平方差公式计算。运用完全平方公式时要注意乘积的2倍项的符号。[针对练习]用乘法公式计算：(1)(a－b＋3)(a＋b－3)；解：原式＝[a－(b－3)][a＋(b－3)]＝a2－(b－3)2＝a2－b2＋6b－9。(2)(a＋b＋c)2；解：原式＝(a＋b)2＋2(a＋b)c＋c2＝a2＋2ab＋b2＋2ac＋2bc＋c2。(3)[(a－b