2024-2025学年高中数学第一章三角函数1.7.1-1.7.2正切函数的定义正切函数的图像与性质课时分层作业含解析北师大版必修4

PAGE1-课时分层作业(八)正切函数的定义正切函数的图像与性质(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知sinθ·tanθ<0，那么角θ是()A．第一或其次象限角B．其次或第三象限角C．第三或第四象限角D．第一或第四象限角B[若sinθ>0，tanθ<0，则θ在其次象限；若sinθ<0，tanθ>0，则θ在第三象限．]2．若已知角α满意sinα＝eq\f(3,5)，cosα＝eq\f(4,5)，则tanα＝()A．eq\f(4,3)B．eq\f(3,4)C．eq\f(1,3)D．eq\f(2,3)B[由三角函数定义可知tanα＝eq\f(3,4).]3．函数f(x)＝|tan2x|是()A．周期为π的奇函数B．周期为π的偶函数C．周期为eq\f(π,2)的奇函数D．周期为eq\f(π,2)的偶函数D[f(－x)＝|tan(－2x)|＝|tan2x|＝f(x)为偶函数，T＝eq\f(π,2).]4．直线y＝a(常数)与正切曲线y＝tanωx(ω为常数且ω≠0)相交的两相邻点间的距离为()A．π B．2πC．eq\f(π,|ω|) D．与a值有关C[两相邻交点间的距离为正切函数的一个周期，因而距离为eq\f(π,|ω|).]5．方程taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))＝eq\r(3)在区间[0，2π)上的解的个数是()A．5B．4B[由taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))＝eq\r(3)，得2x＋eq\f(π,3)＝eq\f(π,3)＋kπ(k∈Z)，所以x＝eq\f(kπ,2)(k∈Z)，又x∈[0，2π)，所以x＝0，eq\f(π,2)，π，eq\f(3π,2).故选B.]二、填空题6．已知角α的终边上一点P(－2，1)，则tanα＝________．－eq\f(1,2)[由正切函数的定义知tanα＝eq\f(1,－2)＝－eq\f(1,2).]7．比较大小：tan211°________tan392°.＜[tan211°＝tan(180°＋31°)＝tan31°.tan392°＝tan(360°＋32°)＝tan32°，因为tan31°＜tan32°，所以tan211°＜tan392°.]8．函数f(x)＝eq\r(tanx－1)＋eq\r(1－x2)的定义域为________．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，1))[要使函数f(x)有意义，需eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(tanx－1≥0，,1－x2≥0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(tanx≥1，,x2≤1.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,4)≤x＜kπ＋\f(π,2)，k∈Z，,－1≤x≤1.))故eq\f(π,4)≤x≤1.]三、解答题9．依据正切函数的图像，写出tanx≥－1的解集．[解]作出y＝tanx及y＝－1的图像，如下图．∴满意此不等式的x的集合为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)＋kπ≤x<\f(π,2)＋kπ，k∈Z)))).10．求函数y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(π,3)))的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性．[解]由3x－eq\f(π,3)≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，得x≠eq\f(kπ,3)＋eq\f(5π,18)，k∈Z.所以所求定义域为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x∈R，且x≠\f(kπ,3)＋\f(5π,18)，k∈Z)))).值域为R，周期T＝eq\f(π,3)，是非奇非偶函数．在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,3)－\f(π,18)，\f(kπ,3)＋\f(5π,18)))(k∈Z)上是增函数．1．设a＝sin33°，b＝cos55°，c＝tan35°，则()A．a>b>c B．b>c>aC．c>b>a D．c>a>bC[b＝cos55°＝sin35°，又a＝sin33°，0°<33°<35°<90°，且y＝sinx在[0°，90°]是增加的，所以sin33°<sin35°，即b>a.tan35°＝eq\f(sin35°,cos35°)，又cos35°∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(\r(3),2)))，所以tan35°>sin35°，故c>b>a.]2．函数f(x)＝2x－tanx在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上的图像大致为()C[∵f(－x)＝2(－x)－tan(－x)＝－2x＋tanx＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，解除A、B.又∵feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝2×eq\f(π,6)－taneq\f(π,6)＝eq\f(π,3)－eq\f(\r(3),3)>0，∴解除D，选C.]3．已知tanα＝3，则eq\f(3sinα＋cosα,sinα－2cosα)＝________．10[原式＝eq\f(3tanα＋1,tanα－2)＝eq\f(3×3＋1,3－2)＝10.]4．函数y＝－tan2x＋2tanx的最大值是________．1[定义域为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)))).设tanx＝t，则t∈R，则y＝－t2＋2t＝－(t－1)2＋1，∴当t＝1，即tanx＝1，x＝eq\f(π,4)＋kπ(k∈Z)时，y取得最大值1.]5．设函数f(x)＝tan(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω>0，0<φ<\f(π,2)))，已知函数y＝f(x)的图像与x轴相邻两交点的距离为eq\f(π,2)，且图像关于点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,8)，0))对称，求f(x)的解析式．[解]由题意可知，函数f(x)的最小正周期T＝eq\f(π,2)，即eq\f(π,ω)＝eq\f(π,2)，∴ω＝2，从而f(x)＝tan(2x＋φ).∵函数y＝f(x)的图像关于点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,8)，0))对称，∴2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－