七年级下册数学期末压轴大题专题训练带解析

七年级下册数学期末压轴大题专题训练

【题型1平行线的判定与性质综合】

[例1](2020春•石泉县期末)已知直线直线E/分别交A8、CD于点A、C,

CM是N4CO的平分线，CM交AB于点H,过点A作4GL4C交CM于点G.

(1)如图1,点G在C”的延长线上时，若NGA8=36°,求NMCO的度数；

(2)如图2,点G在上时，试说明2NMCO+NGAB=90°.

图1图2

【变式1-1](2020春•中山市期末)如图，已知AB〃C£>,直线E尸与A8、8分别交于点

E尸，点尸是射线E8上一点(与点E不重合).FM.尸N分别平分NP尸E和NP"),FM、

尸N交直线A8于点M、N,过点N作NH上FM于■点、H.

(1)若/切沙=64°,求/FA田的度数；

(2)猜想所和/FAW之间有怎样的数量关系，并加以证明.

【变式1・2】(2020春•邳州市期末)已知：点A在射线CE上，ZC=ZD.

(1)如图1,若AC〃8。，求证：AD//BC.

(2)如图2,若BDLBC,BD与CE交于点、G,请探究NDAE与/C的数量关系，写出

你的探究结论，并加以证明；

(3)如图3,在(2)的条件下，过点。作。尸〃交射线CE于点F,当/DFE=8N

DAE,N84C=NB4O时，直接写出NBA。的度数为°.

图⑴图⑵图⑶

【变式1・3】（2020秋•福州期末）如图1,已知两条直线A3,被直线EF所截，分别交

于点E,点、F,EM交CO于点M,AB//CD,且NFEM=NFME.

（1）当NAF尸=70°时，4FME=°；

（2）判断EM是否平分NAEE并说明理由；

（3）如图2,点G是射线阳上一动点（不与点尸重合），平分N尸EG交CD于点

H.过点H作HNIEM千点、N.设/卬尸=已探究当点G在运动过程中./MHN-/

"E”和a之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明.

【题型2平行线的判定与性质综合（作平行线）】

【例2】（2020秋•朝阳区期末）【感知】如图①，48〃CQ,N%8=130°,ZPCD=120°,

求NAPC的度数.（提示：过点尸作直线PQ〃A4）

【探究】如图②，AD//BC,点P在射线OM上运动，NADP=Na,NBCP=NB，

（1）当点P在线段A8上运动时，乙CPD,Na,N。之间的数量关系为.

（2）当点P在线段4,8两点外侧运动时（点P与点A,B,。三点不重合），直接写出

ZCPD,Za,Zp之间的数量关系

为-

B

【变式2“】（2020秋•内江期末）小明同学在完成七年级上册数学的学习后，遇到了一些问

题，请你帮他解决下.

（1）如图1,已知48〃CO,则成立吗？请说明理由；

（2）如图2,已知A8〃CO,BE平分NABC,平分NAOC.BE、OE所在直线交于点

E,若/初。=60°,NA8C=40°,求N8EO的度数；

（3）将图2中的点A移到点,4的右侧.得到图3・其他条件不变,若/布力=a°,/

ABC=p°,请你求出N8ED的度数（用含a,0的式子表示）.

【变式2-2］（2020春•武昌区期末）如图1,AB〃CO,点E在A8上，点”在。。上，点尸

在直线4B,。之间，连接£T,FH,/AEF+NCHF=』NEFH.

（1）直接写出/EM的度数为;

（2）如图2,平分NC”立交尸E的延长线于点M,证明：ZFHD-2ZFMH=36a；

（3）如图3,点P在FE的延长线上，点K在AB上,点N在NPEB内,连NE,NK,

NK//FH,NPEN=2NNEB,则2NFH。-3NENK的值为.

【变式2-3］（2020秋•道里区期末）已知，AB//CD,点七在C。上，点G,尸在人8上，点

〃在48,CO之间，连接所，EH,HG,/AGH=/FED,FE1HE,垂足为E.

（1）如图1,求证：HG.LHE；

（2）如图2,GM平分EM平分NHED,GM,EM交于点M,求证：NGHE=

2NGME；

（3）如图3,在（2）的条件下，FK平分NAFE交CD于点K,若NKFE：ZMGH=\3：

【题型3平行线的判定与性质综合（含旋转）】

[例3]（2020秋•金川区校级期末）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如

图方式叠放在一起（其中，NA=60°,ZD=30°；NE=NB=45°）.

（1）如图1,①若NOCE=40°,求NAC8的度数；

②若N4C8=150°,直接写出NOCE的度数是度.

（2）由（1）猜想NAC8与NDCE满足的数量关系是.

（3）若固定△ACQ,将△8CE绕点C旋转，

①当旋转至（如图2）时，直接写出NACE的度数是度.

②继续旋转至BC〃O4（如图3）时，求NACE的度数.

图1图2图3

【变式3/】（2020秋•郑州期末）一副直角三角尺叠放如图1所示，现将45°的三角尺4OE

固定不动，将含30°的三角尺A8C绕顶点A顺时针转动，使两块三角尺至少有一组边

互相平行.

如图2：当角NC4E=60°时，BC//DE.

求其它所有可能符合条件的角/CAE(0°<ZCAE<180°)的度数，画出对应的图形并

【变式3・2】(2020秋•苏州期末)数学实践课上，小明同学将直角三角板AO8的直角顶点

O放在直尺打的边缘，将直角三角板绕着顶点。旋转.

(1)若三角板4OB在石户的上方，如图1所示.在旋转过程中，小明发现NAOE、Z

8。产的大小发生了变化，但它们的和不变，即/AOE+NBO/=°.

(2)若04、08分别位于所的上方和下方，如图2所示，则NAOE、NBO尸之间的上

述关系还成立吗？若不成立，则它们之间有怎样的数量关系？请说明你的理由；

(3)射线OM、ON分别是NAOE、NBOE的角平分线，若三角板AOB始终在E尸的上

方，则旋转过程中，NA/ON的度数是一个定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，清

说明理由.

【变式3-3](2020春•义乌市期末)如图，已知A8〃CD,。是直线片B,C。间的一点，PF

J_CO于点F,PE交AB于点E,ZFPE=120°.

(1)求NAEP的度数；

(2)如图2,射线PN从尸产出发，以每秒40°的速度绕尸点按逆时针方向旋转，当PN

垂直48时，立刻按原速返回至P尸后停止运动；射线EM从EA出发，以每秒15°的速

度绕E点按逆时针方向旋转至£8后停止运动.若射线PM射线同时开始运动，设

运动时间为，秒.

①当NMEP=20°时，求NEPN的度数;

②当EM〃PN时，求，的值.

【题型4坐标与平移变换】

【例4】（2020春•金乡县期末）在平面直角坐标系中，点4的坐标为（0,4）,线段的

位置如图所示，其中点M的坐标为（-3,-1）,点N的坐标为（3,-2）.

（1）将线段MN平移得到线段AB,其中点M的对应点为A,点R的对应点为&

①点M平移到点A的过程可以是：先向平移个单位长度，再向平移

个单位长度；

②点B的坐标为:

（2）在（1）的条件下，若点。的坐标为（4,0）,连接AC,BC,求△A5C的面积.

（3）在），轴上是否存在点P，使以A、B、。三点为顶点的三角形的面积为3,若存在,

请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

x

【变式4-1］（2020春•通山县期末）如图，在平面直角坐标系中，点A（2,6）,8（4,3）,

将线段AB进行平移，使点A刚好落在x轴的负半轴上，点B刚好落在y轴的负半轴上,

A,B的对应点分别为4,B',连接A4咬y釉于点C,88交x轴于点D

y.y.

X*x

11备用图

（1）线段AE可以由线段48经过怎样的平移得到？并写出4,8的坐标；

（2）求四边形4AEB的面积；

（3）P为），轴上的一动点（不与点C重合），请探究NPCV与/AO8的数量关系，给

出结论并说明理由.

【变式4-2］（2020春•大同期末）综合与实践

问题背景

如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（-3,5）,点8的坐标为（0,1）,点C的

坐标为（4,5）,将线段48沿4c方向平移，平移距离为线段AC的长度.

动手操作

（1）画出AB平移后的线段CD,直接写出8的对应点。的坐标；

探究证明

（2）连接80,试探究N84C,N8OC的数量关系，并证明你的结论；

拓展延伸

（3）若点E在线段8。上，连接AO,AE,且满足NEAO=NCAD,请求出NAQ5：Z

【变式4-3］（2020春•陆川县期末）在直角坐标系中，已知线段AB,点A的坐标为（1,-

2）,点8的坐标为（3,0）,如图所示.

（1）平移线段A8到线段CQ,使点A的对应点为。，点8的对应点为C,若点C的坐

标为（・2,4）,求点D的坐标；

（2）平移线段AB到线段CD,使点C在），轴的正半轴上，点D在第二象限内，连接BC,

BD.如图2所示，若S"CD=7（SMCD表示三角形BCO的面积），求点。、。的坐标.

【题型5坐标与图形的性质综合】

【例5】（2020春•鞍山期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（-1,0）,点B

的坐标是（4.0）,现将线段A8向右平移一个单位.向卜平移4个单位.得到线段。力.

点P是y轴上的动点，连接BP；

（1）当点。在线段OC上时（如图一），判断NCP8与NP84的数量关系；

（2）当点尸在。C所在的宜线上时，连接。尸（如图二），试判断NOPB与NCQP,Z

PB4之间的数量关系，请直接写出结论.

【变式5-1］（2020春•三门峡期末）如图所示，4（1,0）、点8在y轴上，将三角形。48

沿x轴负方向平移，平移后的图形为三角形OEC,且点C的坐标为（・3,2）.

（1）直接写出点E的坐标:

（2）在四边形A8CO中，点尸从点8出发，沿“8C-CZT移动.若点P的速度为每秒

1个单位长度，运动时间为，秒，回答下列问题：

①当1=秒时，点P的横坐标与纵坐标互为相反数；

②求点尸在运动过程中的坐标，（用含，的式子表示，写出过程）；

③当3秒V/V5秒时，设NCBP=x°,NB4O=y°,ZBPA=z°,试问x,y,z之间的

数量关系能否确定？若能，请用含X,丁的式子表示Z,写出过程；若不能，说明理由.

【变式5-2］（2020春•兴国县期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（a,0）,B（b,

b）,C（0,b）,且满足（a+8y+VF不彳=0,尸点从A点出发沿i轴正方向以每秒2个

单位长度的速度匀速移动，。点从。点出发沿），轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀

速移动.

（1）直接写出点人的坐标,点R的坐标.4。和AC位置关系是：

（2）在P、。的运动过程中，连接PB,QB,使S△用B=4SM8C，求出点P的坐标；

（3）在P、。的运动过程中，当NC3Q=30°时，请探究NOPQ和NPQ4的数量关系，

【变式5-3］（2020春•新乡期末）在平面直角坐标系中，。（0,-3）,M（4,-3）,直角

三角形ABC的边与x轴分别相交于。、G两点,与直线OM分别交于E、F点,ZACB

=90°.

（1）将直角三角形如图1位置摆放，如果NAOG=46°,则NCM=；

（2）将直角三角形ABC如图2位置摆放，N为AC上一点，NNED+NCEF=180°,请

写出NNE产与NAOG之间的等量关系，并说明理由.

（3）将直角三角形48C如图3位置摆放，若NGOC=140。，延长AC交OM于点Q,

点尸是射线G尸上一动点，探究NPOQ,NOPQ与/PQF的数量关系，请直接写出结论

（题中的所有角都大于0°小于180°）.

【题型6二元一次方程与方程组的综合应用题】

【例6】（2020秋•郑州期末）2021年郑州市中招体育考试统考项目为:长跑、立定跳远、

足球运球，选考项目（50米跑或1分钟跳绳）.为了备考练习，很多同学准备重新购买足

（1）某校九（1）班有部分同学准备统一购买新的足球和跳绳.经班长统计共需要购买足

球的有12名同学，需要购买跳绳的有10名同学.请你根据如图中班长和售货员阿姨的

对话信息，分别求出足球和跳绳的单价.

（2）由于足球和跳绳的需求量增大，该体育用品商店老板计划再次购进足球。个和跳绳

b根（其中。＞15）,恰好用了1800元，其中足球每个进价为80元，跳绳每根的进价为

15元，则有哪几种购进方案？

（3）假如（2）中所购进的足球和跳绳全部售出，且单价与（1）中的售价相同，为了使

销售获利最多，应选择哪种购进方案？

【变式6-1］（2020秋•肃州区期末）由于酒泉独特的气候资源，生产的洋葱品质好、干物质

含量高且耐储存，品质、色泽、风味明显优于其他洋葱产区，因而受到国内外客商青睐.现

欲将一批洋葱运往外地销售，若用2辆4型车和1辆8型车载满洋葱一次可运走10吨:

用1辆A型车和2辆3型车载满洋葱一次可运走11吨.现有洋葱31吨，计划同时租用

A型车。辆，8型车万辆，一次运完，且恰好每辆车都载满洋葱.根据以上信息，解答下

列问题：

（1）1辆A型车和1辆8型车都载满洋葱一次可分别运送多少吨？

（2）请你帮该物流公司设计租车方案；

（3）若1辆A型车需租金100元/次，1辆B型车需租金120元/次.请选出费用最少的

租车方案，并求出最少租车费.

【变式6-2］（2020春•诸城市期末）小李在某商场购买A,B两种商品若干次（每次A,B都

买），其中前两次按标价购买，第三次购买时，A,8两种商品同时打折，三次购买4,B

商品和费用如表所示：

购买4商品的数量购买B商品的数量购买总费用

第一次65980

第二次37940

第三次98912

（I）求A,8商品的标价各多少元?

（2）若小李第三次购买时，4.8商品的折扣相同，则商场是打几折出售这两种商品？

（3）在（2）的条件下打折，若小李第四次购买A,B商品共花去960元，则小李购买方

案可能有哪几种？

【变式6-3］（2020春•衢州期末）某铁件加工厂用如图1的长方形和正方形铁片（长方形的

宽与正方形的边长相等），加工成如图2的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器（加工时

接缝材料忽略不计）.

（1）现有长方形铁片2014张，正方形铁片1176张，如果将两种铁片刚好全部用完，则

可加工的竖式和横式长方体铁容器各有多少个？

（2）把长方体铁容器加盖可以加工成铁盒.现工厂准备将35块铁板裁剪成长方形铁片

和正方形铁片，用来加工铁盒，已知1块铁板可裁成3张长方形铁片或4张正方形铁片，

也可以裁成1张长方形铁片和2张正方形铁片.问：该工厂充分利用这35张铁板，最多

可以加工成多少铁盒？

图2

【题型7二元一次方程组与不等式的综合应用题】

[例7]（2020秋•沙坪坝区校级期末）抗击新型冠状肺炎疫情期间，84消毒液和酒精都是

重要的防护物资.某药房根据实际需要采购了一批84消毒液和酒精，共花费11500元,

84消毒液和酒精的进价和售价如下：

84消毒液酒精

进价（元/瓶）2520

售价（元/瓶）4028

（1）该药房销售完这批84消毒液和酒精后共获利6100元，则84消毒液和酒精各销售

了多少瓶？

（2）随着疫情的发展，该药房打算再次采购一批84消毒液和酒精，第二次采购仍以原

价购进84消毒液和酒精，购进84消毒液的数量不变，而购进泗将的数量是第一次采购

数量的2倍，84消毒液按原价出售，而酒精打折让利出售.若该药房将84消毒液和酒精

全部销售完，要使第二次的销售获利不少于4900元，则每瓶酒精最多打几折？

【变式7-1]（2020春•定襄县期末）2020年春节前夕，突如其来的新型冠状病毒肺炎疫情造

成口罩紧缺，为满足社会需求，某一工厂现需购买A、B两种材料，用来生产甲、乙两种

口草，已知生产一件甲型口罩需A种材料30千克；B种材料10千克；生产一件乙型口

罩需A、8两种材料各20千克；4种材料每千克15元，8种材料每千克25元.

（1）若生产甲型口罩的数量比生产乙型口罩的数量多10件时，两种口罩需购买材料的

资金相同，求生产甲、乙两种口罩各多少件？

（2）若工厂用于购买4、8两种材料的资金不超过385000元，且需生产两种口罩共500

件，求至少能生产甲种口罩多少件？

【变式7-2]（2020春•句容市期末）2020年2月初，由于新型冠状病毒（COV/。-19）的传

播，消毒剂市场出现热卖，某旗舰网店用60000元购进一批甲种品牌的免洗手消毒液和

乙种品牌的75%酒精消毒纸巾，销售完后共获利9000元，进价和售价如下表：

甲种免洗手消毒液（元/瓶）乙种75%酒精消毒纸巾（元/

袋）

进价3042

售价3548

（1）求该网店购进甲种消毒液和乙种消毒纸巾分别是多少?

（2）该网店第二次以原价购进上述甲、乙两种物品，购进乙种物品袋数不变，而购进甲

种物品的数量是第一次的2倍.甲种物品按原售价出售，而乙种物品让利销售.若两种

物品销售完毕，要使第二次销售活动获利不少于7600元，乙种物品每袋最低售价为每袋

多少元？

【变式7-3］（2020春•海淀区校级期末）列方程（组）或不等式解决问题.

2019年5月20日是第30个中国学生营养日.某营养餐公司为学生提供的300克早餐食

品中,蛋白质总含量为8%,包括一份牛奶，一份谷物食品和一个鸡蛋（一个鸡蛋的质量

约为60g,蛋白质含量占15%；谷物食品和牛奶的部分营养成分如表所示）.

谷物食品牛奶

项目每100克（g）项目每100克（g）

能量2215千焦（口）能量261千焦（Q）

蛋白质9.095（g）蛋白质3.0克（g）

脂肪32.4克（g）脂肪3.6克（g）

碳水化合物50.8克（g）碳水化合物4.5克（g）

钠280量克（mg）钙100耄克（mg）

（1）设该份早餐中谷物食品为x克，牛奶为），克，请写出谷物食品中所含的蛋白质为

克，牛奶中所含的蛋白质为克.（用含有x,y的式子表示〕

（2）求出-），的值分别为.

（3）该公司为学校提供的午餐有A，B两种套餐（每天只提供一种）：

套餐主食（克）肉类（克）其它（克）

A15085165

B18060160

为了膳食平衡，建议合理控制学生的主食摄入量.如果在周里，学生午餐主食摄入总

量不超过830克，那么该校在一周里可以选择A,8套餐各几天？写出所有的方案.（说

明：一周按5天计算）

【题型8二元一次方程组与不等式组的综合应用题】

【例8】（2020春•昆明期末）某县为了推进“厕所革命”，改善农村生活卫生条件，雨甸村

委会计划为400户居民修建A、8两种型号的三级污水处理厕所共25个，预计使用资金

60万元（资金由政府出资一部分，其余由各户筹集）.

三级污水处理厕所的型号、修建费用、可供使用的户数如下表:

三级污水处理厕所修建费用（万元/个）可供使用户数

A型320

B型215

（1）按计划可以修建A、8两种型号的三级污水处理厕所各几个？

（2）如果政府批给该村委会修建A型三级污水处理厕所不超过7个，求出满足要求的所

有修建方案.

（3）在（2）的所有方案中，哪种方案最省钱？如果政府出资39万元，每户居民平均至

少应筹集多少钱？

【变式8-1］（2020春•洪山区期末）随着新能源汽车的发展，某公交公司将用新能源公交车

淘汰某一条线路上“冒黑烟”较严重的燃油公交车，计划购买A型和8型新能源公交车

共10辆，若购买A型公交车1辆，8型公交车2辆，共需280万元；若购买月型公交车

2辆，8型公交车1辆，共需260万元，

（1）求购买A型和8型公交车每辆各需多少万元？

（2）预计在该条线路上A型和B型公交车每辆车的年均载客量分别为60万人次和80万

人次.若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过900万元，且确保这10辆公交

车在该线路的年均载客量总和不少于670万人次，则该公司有哪几种购车方案？哪种购

车方案总费用最少？最少总费用是多少？

【变式8-2］（2020春•汉川市期末）为实现区域教育均衡发展，某市计划对A、5两类薄弱

学校全部进行改造.根据预算，共需资金2000万元.改造一所A类学校和两所8类学校

共需资金210万元；改造两所A类学校和一所B类学校共需资金180万元.

（I）改造一所4类学校和一所B类学校所需的资金分别是多少万元？

（2）若该市的4类学校不超过8所，则8类学校至少有多少所？

（3）市教育局计划今年对该市A、3两类学校共10所进行改造，改造资金由国家财政和

地方财政共同承担.若今年国家财政拨付的改造资金不超过490万元；地方财政投入的

改造资金不少于200万元，其中地方财政投入到A、B两类学校的改造资金分别为每所

15万元和25万元.请你通过计算求出有几种改造方案？

【变式8-3］（2020秋•北暗区校级期末）列方程（组）或不等式（组）解应用题：

（1）甲工人接到240个零件的任务，工作1小时后，因要提前完成任务，调来乙和甲合

作，合做了5小时完成.已知甲每小时比乙少做4个，那么甲、乙每小时各做多少个？

（2）某工厂准备购进A、8两种机器共20台用于生产零件，经调查2台A型机器和1台

8型机器价格为18万元，1台4型机器和2台8型机器价格为21万元.

①求一台A型机器和一台B型机器价格分别是多少万元？

②已知I台A型机器每月可加工零件400个，1台8型机器每月可加工零件800个，经

预算购买两种机器的价格不超过140万元,每月两种机器加工零件息数不低于12400个，

那么有哪几种购买方案，哪种方案最省钱？

解析

【题型1平行线的判定与性质综合】

[例1](2020春•石泉县期末)已知直线A8〃CD,直线分别交AB、CO于点4、C,

CM是NACO的平分线，CM交AB于点H,过点A作4G_L4c交CM于点G.

(1)如图1,点G在C77的延长线上时，若NG48=36°,求NA1CD的度数；

(2)如图2,点G在CH上时，试说明2NMC7HNGAB=90°.

【分析】（1）依据AG_LAC,/G48=36°,可得NC4H的度数，依据角平分线的定义

以及平行线的性质，即可得到/MCO的度数；

（2）结合（1）得ACD+ZCAH=\S00,再依据角平分线的定义，即可得2NMCD+N

GAB=90°.

【解答】解：（1）'：AGLAC,/GAB=36°,

/.ZC4H=90°-36°=54°,

•:AB"CD,

AZACD+ZCAH=\S0°,

；・NACO=126°,

CM是NACO的平分线，

・・・N4CH=NOCM=63°.

（2）VZACH=ZDCM,

:./ACD=2/MCD,

由（1）得N4aMNCA”=180°,

V4GXAC,

・・・NC4G=90°,

・・・2NMCD+90°+NG48=180°,

・・・2NMCO+NGA8=90°.

【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练运用平行线的性质是解决问题的关键.

【变式1-1］（2020春•中山市期末）如图，已知A8〃C。，直线E尸与48、CO分别交于点

EF,点P是射线以上一点（与点E不重合）.FM、斤N分别平分NP尸E和NP尸D,FM.

尸N交直线A5于点”、N,过点N作M/_LRW于点

（1）若NBEF=64°,求NFNH的度数；

【分析】（1）根据平行线的性质得出忖"+/*"。=180°,代入求出/五尸。的度数，

根据角平分线的定义得出乙3尸尸=尹£7见4NFP=W（PFD,求出NMFN=专乙EFD,根

据垂直的定义得出NN”尸=90°,根据三角形的内角和定理求出即可；

（2）根据平行线的性质得出NBE尸+N£FQ=180°,代入求出NEFO的度数，根据角平

分线的定义得出尸P,/NFP=3乙PFD,求出NMFN0"FD,根据垂直的

定义得出NN”尸=90°,根据三角形的内角和定理求出即可.

【解答】解：（I）*：AB//CD,

；・NBEF+NEFD=l80°,

"BE/=64°,

/.Zh?D=180°-64°=116°,

•；FM、尸N分别平分NPFE和/PFD,

NMFP=1乙EFP,NNFP=|乙PFD,

:.NMFN=1（NEFP+NPFD）=|zEFD=1x116°=58°，

■:NHLFM,

：・/NHF=90°,

AZFVH=180°・/NHF・NHFN=180°-90°-58°=32°；

(2)NBEF=2NFNH,

证明：设NBEF=x°,

*：AB//CD,

；・NBEF+NEFD=180°,

VZBEF=x0,

AZEFD=180°-x°,

,:FM、FN分别平分/PFE和/PFD,

:.NMFP=1乙EFP,NNFP=1Z.PFD,

：.^MFN=I(ZEFP+ZPFD)=|zEFD=|x(180°-)=90°-1x°,

YNHIFM,

:,ZNHF=9S,

AZFVW=180°・NNHF-NHFN=1800-90°-(90。-#)=|x°,

即NBEF=2NFNH.

【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，三角形内角刃定理，垂直的定义等

知识点，能综合运用知识点进夕亍推理和计算是解此题的关键，求解过程类似.

【变式1・2】(2020春•邳州市期末)已知：点A在射线CE上，ZC=ZD.

(1)如图1,若AC〃5O,求证：AD//BC.

(2)如图2,若BDLBC,BD与CE交于点、G,请探究ND4E与NC的数量关系，写出

你的探究结论，并加以证明；

(3)如图3,在(2)的条件下，过点。作。尸〃BC交射线CE于点凡当NOFE=8N

DAE,时，直淡写出N6A。的度数为°.

图⑴图⑵图⑶

【分析】(1)根据4C〃8Q,可得ND4E=/O,再根据/C=NO,即可得到ND4E=N

C,进而判定AO〃BC；

(2)根据三角形内角和定理，即可得到NCG5=ND+ND4E,再根据ABCG中，NCGB+

ZC=90°,即可得到NO+ND4E+/C=90°,进而得出2NC+NOAE=90°；

（3）设ND4E=a,则NO尸E=8a,ZAFD=180°-8a,根据。尸〃BC,即可得到NC

=ZAFD=1800-8%再根据2/。+/。4£：=90°,即可得到2（180°-8a）+a=90°,

求得a的值，即可运用三角形内角和定理得到NM。的度数.

：.ZDAE=ZD,

又•・•/「=/力，

・•・ZDAE=ZC,

：,AD//BC；

(2)NEAO+2NC=90°.

因为ND+NZM七+N"GA=18（r（二角形内角和为180°）,N〃GA+N4G6=18。°（邻

补角性质），

所以NAGB=NO+NO4E（等量代换），

：,ZCGB=ZD+ZDAG,

〈BDIBC,

；・NCBD=90°,

•••△8CG中，NCGB+NC=90°,

/.ZZMZDAG+ZC=90°,

又：ZD=ZC,

.\2ZC+ZDAE=90°；

(3)如图3,设NOAE=a,则/O/E=8a,

(图3)

VZDFE+ZAFD=180°，

：.ZAFD=180°-8a,

YDF//BC,

AZC=ZAFD=I80°-8a,

又・・・2NC+ND4E=90°,

・・・2(180°-8a)+a=90°,

・・・a=18°,

AZC=180°-8a=36°=NADB,

又,：4C=4BDA,/BAC=/BAD,

:.ZABC=NA8O=*NCBD=45。,

中，ZBAD=180°-45°-36°=99°.

故答案为：99°.

【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质以及三角形内角和定理的运用，平行线的

判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的

数量关系.

【变式1-3](2020秋•福州期末)如图1,已知两条直线AB,C。被直线)所截，分别交

于点E,点尸，EM交CD于点M,AB//CD,且NFEM=NFME.

(1)当/AE尸=70°时，乙FME=°；

(2)判断EM是否平分N4E凡并说明理由；

(3)如图2,点G是射线m上一动点(不与点尸重合)，E”平分NFEG交C£＞于点

H,过点，作“N_LEM于点M设NEG尸=a.探究当点G在运动过程中，ZMHN-Z

五四和a之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明.

£BB

图1图2

【分析】（1）依据平行线的性质线，可得N4EM=NFME,根据NFME,可得

NAEM=NFEM,进而得出NFME的度数：

（2）由（1）得NAEM=N/EW,根据角平分线的定义即可得出结论；

C）依据平行线的性质可得/'AEG=/EG/=a,再根据F.H平分/FEG.F.M平分/

AEF,即可得到NME”=*4EG=90°-抽，再根据〃N_LEM,即可得到RtZ\E"N中，

NEHN=90°・NMEH=%,由N8£7/=NEHF即可得出结论.

【解答】解：（I）VAB//CD,

・•・NAEM=/FME,

又,：NFEM=NFME,

:.NAEM=NFEM,

VZAEF=70°,

/.ZFME=ZAEM=|ZAEF=35°；

故答案为:35；

（2）由（1）得NAEM=NFEM,

JEM平分NAER

（3）ZMHN-NFEH=*

证明：*：AB//CD,

:./BEG=NEGF=a,

•:EH平分/FEG,

:./FEH=NHEG=尸EG,

JZFEH+a=ZBEG+ZGEH=NBEH,

「EM平分NAERE”平分NFEG,

/.Z：MEH=1ZAEG=i（1800-a）=90。

在RtAEHN中,ZEHN=900-NMEH=90°-（90°-|a）=|a,

^AB/ZCD,

:./BEH=/EHF,即a+/GEH=4EHN+4NHM,

：.a+NFEH=1a+NNHM,

：.NMHN-ZFEH=1a.

【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义的运用，解决问题的关

键是掌握：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；利用角的和差关系进

行推算.

【题型2平行线的判定与性质综合（作平行线）】

【例2】（2020秋•朝阳区期末）【感知】如图①，48〃CQ,N%6=130°,ZPCD=120°,

求NAPC的度数.（提示：过点尸作直线PQ〃AB）

【探究】如图②，AD//BC,点尸在射线。M上运动，NADP=Na,NBCP=N6,

（1）当点P在线段A8上运动时，NC尸。，Na,之间的数量关系为.

（2）当点P在线段A,8两点外侧运动时（点P与点A,B,O三点不重合），直接写出

ZCPD,Na,Zp之间的数量关系

为.

图①图②图③

【分析】过尸作尸。〃48,构造同旁内角，通过平行线性质，可得N4PC=450+55°=

100°.

（1）过P作PE〃AO交C£＞于E,推出AO〃PE〃8C,根据平行线的性质得出Na=N

DPE,NR=NCPE,即可得出答案；

（2）分两种情况：点P在A、"两点之间；点P在B、。两点之间；分别画出图形，根

据平行线的性质得出Na=NOPE,N0=/CPE,即可得出结论.

【解答】解：过P作

*：AB//CD,

：,PQ//AB//CD,

・・・NAPQ=180°-NHB=5(T,NCPQ=180°-NPCD=60°,

・・・NAPC=500+60°=110°；

如图②，过P作PE〃AD交CD于E,

'：AD//BC,

：.AD//PE//BC,

:,/a=/DPE,Zp=ZCPE,

ANCPD=NDPE+NCPE=Za+Zp：

(2)当点P在A、M两点之间时，ZCPD=Zp-Na；

理由：如图③，过?作PE〃4D交8于E,

：.AD//PE//BC,

:・/a=NDPE,N0=NCPE,

・•・/CPD=/CPE-/DPE=ZP-Za；

当点P在5、O两点之间时，ZCPD=Za-Zp.

理由：如图④，过P作PE〃AD交CO于E,

,:AD〃BC,

：,AD//PE//BC,

:.Na=NDPE,NB=NCPE,

：.4CPD=/DPE-ZCPE=Za-Zp.

【点睛】本题考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，解决问题

的关键是作辅助线构造内错角以及同旁内角.

【变式2-1］（2020秋♦内江期末）小明同学在完成七年级上册数学的学习后，遇到了一些问

题，请你帮他解决下.

（1）如图1,已知A8〃CD,则N4EC=NBAE+NOCE成立吗？请说明理由；

（2）如图2,已知AB〃C£>,BE平分NABC,。£平分N4OC.BE、OE所在直线交于点

E,若NE4Q=60°,ZABC=40°,求的度数：

（3）将图2中的点8移到点4的右侧，得到图3,其他条件不变，若N柠1O=a°,Z

ABC=p°,请你求出/8石。的度数（用含a,0的式子表示）.

【分析】（1）如图1中，作E广〃A8,则有E尸〃CD,根据平行线的性质即可得到结论;

（2）先过点E作根据平行线的性质和角平分线的定义，即可得到结论；

（3）过E作EG〃A8,根据平行线的性质和角平分线的定义，即可得到结论.

【解答】解：(1)成立，

理由：如图1中，EF//AB,则有E尸〃CD,

・•・ZAEC=Z1+Z2=ZBAE+ZDCE.

(2)如图2,过点E作EH〃A8,

-：AB//CD,ZMD=60°,

：.ZFAD=ZADC=60°,

•・・OE平分NA£>C,ZADC=60°,

・・・NEDC=*NADC=30。,

平分NA8C,ZABC=40c,

AZABE=|ZA5C=2O°,

•:AB//CD,

：.AB//CD//EHt

：.ZABE=ZBEH=20°,NCDE=NDEH=30°,

:・/BED=NBEH+NDEH=50°.

(3)NBEO的度数改变.

如图3,过点E作EG〃AB,

•••BE平分N4BC,DE平分NAOC,ZABC=n°,ZADC=ZFAD=m°,

iiii

；・NABE=aNABC=衬，ZCDE=^ZADC=，

'：AB//CD,

：.AB//CD//EG,

：.ZBEG=180°-NABE=l8(r，/CDE=NDEG=，

图3

【点睛】本题主要考查了平移的性质，平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解决

问题的关键是正确的作出辅助线.

【变式2-2](2020春•武昌区期末)如图1,A8〃CO,点E在AB上，点”在8上，点F

在直线A8,CO之间，连接EF,FH,ZAEF+ZCHF=\zEFH.

(1)直接写出NEfH的度数为；

(2)如图2,HM平分NC/7F,交尸E的延长线于点M,证明：NFHD-2NFMH=36°；

(3)如图3,点P在尸E的延长线上，点K在AB上，点N在NPE8内，连NE,NK,

NK〃FH,/PEN=2/NEB,则2/尸・3NENK的值为.

【分析】(1)证明NO〃/=N”FM，则N4E尸+NC”尸+NEF”=360°,而N4EP+NCHP=

%/EFH,即可求解；

(2)Z3=ZEFH-4F尸H=1080-NFHD,则NM'/尸=N3=108°-ZF/7D,而

Z1=Z2,则Nl=竺空/也，进而求解；

(3)证明