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文档简介
宁夏高考数学模拟考试卷及答案解析(文科)
班级:姓名:考号:
一、单选题
1.给出下列关系:①兀wR;eQ;③一3更Z;④|一3/N;⑤OEQ,其中正确的个数()
A.1B.2C.3D.4
2.设复数z满足(l-i)z=2+i,则|*=()
A.叵B.|C.x/10D.V5
22
3.现有下面四个推理:
①每个偶函数都有最大值;
②若XAlogQ,则x>log.12;
③如果今天是星期五,那么二十天后是星期四;
④已知函数因为/(1)=0,/⑵=0所以/(3)=0.
其中所有推理正确的序号是()
A.③B.②③C.②④D.@@@
UliUIUI
4.已知OA=(—1,2),OB=(3,若OA1OB,则〃?=()
A.4B.3C.——D.—
22
(1A
5.已知定义域为"的函数满足=—且在(0.+8)单调递减,若a=〃=fe'
c=/[e2则()
A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.c>b>a
6.圆的圆心到直线),="*•的距离是()
A.|B."C.1
D.6
22
7.考查棉花种子经过处理跟生病之间的关系得到如表数据:
项目种子处理种子未处理总计
得病32101133
第1页共20页
不得病192213405
总计224314538
根据以上数据,则()A.种子是否经过处理决定是否生病
B.种子是否经过处理跟是否生病无关
C.种子是否经过处理跟是否生病有关
D.以上都是错误的
8.已知函数/")=3。冰+父3>0)在区间|";杀]上单调递减,则实数出的取值范围为()
k3;144」
A.[o,1]B.(1,2]
C.(OJ]D.(o,:
9.执行如图所示的程序框图,输出的结果为()
S=2020>0
——।
k=k+\
S=S-2k
/输出S/
A.1958B.1960C.1988D.1990
x+y<.6
10.已知变量x,>满足约束条件,3y-xZ2,若目标函数z=ar+〃y(a>0,/?>0)的最小值为2,则2的
ab
x>\
最小值为()
119
A.9B.—C.5D.-
22
11.在58。中,A、B、C所对的边分别为a、b、c,JWC的面积为S,4s=6(/+/—〃)ABBC=-2
第2页共20页
且满足sinA+sinC=2sinB,则该三角形的外接圆的半径R为()
A.走B.毡C.73
D.2
33
12.函数/(x)=lnx+L的零点个数为()
x
A.0B.IC.2I).3
二、填空题
13.请根据矩形图表信息,补齐不等式:回?+正工产之
14.如图是中国古代的太极图,图中的黑色区域和白色区域关于圆心成中心对称,在图中随机取一点,则
此点取自黑色区域的概率是.
15.按如图连接圆上的五等分点,得到优美的“五角星”,图形中含有很多美妙的数学关系式,例如图中点
〃即弦况的黄金分割点,其黄金分割比为殁■:=迎=在二1。0,618,且五角星的每个顶角都为36。等.由此
HEBE2
信息可以求出sin18。的值为.
A
BL-_H\——\E
CD
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16.椭圆c:5+'=15>/,>0)的左,右焦点分别为「,r2f上顶点为A(O,1),离心率为冬直线
产质+〃?(Q0)将△"遂分成面积相等的两部分,贝卜〃的取值范围是.
三、解答题
17.给定三个条件:①生M,%成等比数列,②S=5』,③(〃+1)&=〃%+1,从上述三个条件中,任选一个
补充在下面的问题中,并加以解答.
问题:设公差不为零的等差数列{%}的前〃项和为s“,且s;=6,.
⑴求数列{为}的通项;
⑵若〃=20T,求数列{4。}的前〃项和Tn.
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
18.如图,在四棱锥尸一4BCD中,尸.4J_平面.42CD,AB//CD.且AB=1,CD=2,万,PA=1,ABJ.BC,
N为尸。的中点.
(1)求证:AN//平面PBC;
(2)求二面角8-PC-。的正弦值.
19.某花圃为提高某品种花苗质量,开展技术创新活动,A3在实验地分别用甲、乙方法培训该品种花苗.为
观测其生长情况,分别在实验地随机抽取各50株,对每株进行综合评分,将每株所得的综合评分制成如图
所示的频率分布直方图.记综合评分为80及以上的花苗为优质花苗.
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频率
(1)求图中”的值,并求综合评分的中位数.
(2)填写下面的列联表,并判断是否有9舞的把握认为优质花苗与培育方法有关.
优质花苗非优质花苗合计
甲培优法20
乙培优法10
合计
附:下面的临界值表仅供参考.
P(Kz^k)
0.150.100.050.0250.0100.0050.001
2.07
k2.7063.8415.0246.6357.87910.828
2
(实考公式:K~=("力)(L)(/c)("")’其中〃…―)
20.已知函数〃x)=aeX-lnx-L
(1)设x=2是“X)的极值点,求“X)的单调区间;
⑵证明:当时/(x)NO.
e
21.已知抛物线。:丁=2内(〃>())的焦点为凡过点尸且垂直于x轴的直线与。交于48两点、,MOB(点
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。为坐标原点)的面积为2.
(1)求抛物线。的方程;
(2)若过点石(0,〃)3>0)的两直线44的倾斜角互补,直线4与抛物线c交于机十两点,直线4与抛物线
。交于R0两点,二与△/PQ的面积相等,求实数〃的取值范围.
22.如图,在平面四边形.488中,AB1AC,ADLCDt4480=408=30。,AC=2.
⑴求cosZJCD:
(2)求80的长.
23.(1)求函数/(求=|2x-l|-3+3|的最大值卬;
(2)若a>l,b>l,c〉l,求卅c=m,求一:一+」一+一!—的最小值.
a-\b-\c-\
参考答案与解析
1.A
【分析】依次判断出各数所属于的数域范围,进而判断出正误.
【洋解】“是实数,①正确;百是无理数,②错误;-3是整数,③错误;1-3|=3是自然数,④错误;0是
有理数,⑤错误,所以正确的个数为1.
故选:A.
2.A
【分析】先由(l-i)z=2+i求出复数z,则可求得其共枕复数,从而可求出其模
【详解】由—+i,得“含=/臀=手
回
~~
3.B
【分析】偶函数不一定有最值:由小范围可推大范围成立可判断②正确:一星期有7天,21天后是周五,
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则20天后是周四;可判断正确;将x=3代入求值可判断④错误
【洋解】因为存在没有最大值的偶函数,所以①错误;
因为logz3>log,2,所以②正确;
如果今天是星期五,那么二十一天后是星期五,所以二十天后是星期四,所以③正确;
若函数/(力=与崇,则/⑶=32;;;:+2他所以④错误.
故选:B
4.D
【分析】根据O41OB及。4、0B的坐标,应用坐标表示向量垂直即可求参数机
LILILILIU
【详解】由OA=(-I,2)04=(3,〃。
有OAOB=-3+2m=0
解得加=]3
故选:D
【点睛】本题考查了向量垂直的坐标表示,利用已知向量坐标及垂直关系有不马+)1乃=。求参数值
5.D
【分析】根据/*-1)=/(1-文)得/")为偶函数,再根据单调性判断即可.
【详解】由定义域为"的函数/W满足/(大-1)=/(1-月得:
函数/(X)是偶函数
所以/1n;)=/(ln4)
因为0<e《<.<l<ln4,又函数/(x)在(°,+8)单调递减
32
所以/(e")>/(e-b>/(ln4)
即:c>b>a
故选:D.
6.A
【分析】根据圆的方程得出圆心坐标(1,0),直接依据点到直线的距离公式可以得出答案.
【详解】圆(%—1>+),2=1的圆心坐标为(1,0)
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・•・圆心到直线y=—x的距离为4二
3
故选:A.
【点睛】本题考查点到直线的距离公式,属于基础题型.
7.C
【分析】根据表格提供的数据作出判断.
【详解】由列联表中的数据可知
种子经过处埋,得病的比例明显降低
种子未经过处理,得病的比例要高些
所以可得结论:种子是否经过处理跟是否生病有关.
故选:C
8.A
【分析】先由周期大于等于单调区间的长度的2倍,求得。的初步范围,然后结合余弦函数的单调性进一
步确定”的范围,得到答案.
【详解】由题意有丁=生之兀,可得0<。42,又由[〈尊+必有学+[<兀,可得
33436439
故选:A
9.A
【分析】根据程序逐行模拟,直到A=5时退出循环,输出S即得.
【详解】彳的初始值为0,S的初始直为2020
%=0+1=1,5=2020-2,=2018.上=1<5;
左=1+1=2,S=2018-22=2014.太=2<5:
Ar=2+l=3.S=2014-23=2006,片=3<5;
k=3+l=4,S=2006-24=1990,片=4<5;
A-=4+l=5,S=1990-25=1958,k=525
成立,故输出的S的值为1958
故选A.
10.D
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141(14、
【分析】根据约束条件作出可行域,再根据几何意义可得。+人=2,再根据一+工二义一+工(。+。)结合基
ab2\ah)
本不等式即可得解.
x+><6
【详解】解:作出约束条件3),-x22的可行域,如图所示
x>\
则目标函数Z=4X+切(4>0$,0)过点时,取得最小值
所以。+方=2
所以讶+\=;9
=2
当且仅当gI)二与4“,即“=24:时取等号
ab33
所以上1+24的最小值为9:.
ab2
故选:D.
7F
【解析】由三角形的面积公式和余弦公式可求得角8=g,结合平面向量的数量积可求得a=4,利用正弦
定理可得出。+。=给,再利用余弦定理可求得力=2,进而利用正弦定理可求得/?的值.
【详解】由题意4s=6((/+。2一〃),BP4Xacs\nB=\/3x2accosB,得tan8=G
又8«0,乃),所以8=2.
又因为BC=accos(7T-B)=-accosB=--ac=-2所以ac=4.
由余弦定理得b1=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac
又因为sinA+sinC=2sin8,所以a+c=2Z?
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所以力2=(a+c)2-3ac=4/Z—12,所以人=2
b_2_4Gnr
由正弦定理可得2*=而万=一^=亍,所以/?=任
sin—3
3一
故选:B.
【点睛】在处理三角形中的边角关系时,•般全部化为角的关系,或全部化为边的关系.题中若出现边的
一次式•般采用到正弦定理,出现边的二次式•般采用到余弦定理.应用正、余弦定理时,注意公式变式
的应用.解决三角形问题时,注意角的限制范围.
12.A
【分析】利用导数求得函数的单调性与最小值,结合单调性与最小值,即可求解.
【详解】由题意,函数.f(x)=lnx+」的定义域为(0,*o),且八,0=°一4=二!
当m时-a)>o,函数/(X)单调递增;
当0<x<l时八外<0,函数单调递减
所以当x=l时,函数/(“取得最小值,最小值为了⑴=1>0
所以函数/(x)=lnx+,在定义域内没有零点.
x
故选:A.
【点;睹】本题主要考查了利用导数研究函数的零点问题,其中解答中利用导数求得函数的单调性和最值是
解答的关键,着重考查推理与运算能力.
13.^(a+by+(c+J)-
【分析】在直角三角形中利用勾股定理和三角形三边关系即得.
【详解】解:由勾股定理知,A8=勿方+BD,=而++,+
AC=y/a2+c2BC=J及+d?
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如图中的.工8C,根据三角形的两边之和大于第三边,知A8WAC+BC
当且仅当A,B,C三点共线时,等号成立
:.7t/2+c2+\ib2+d2>J(4+.广十(C+")2
故答案为:++(c+d『
"14—2
【分析】由面积比可求得所求概率.
【详解】黑色区域和白色区域关于圆心成中心对称,.••黑色区域的面积是总面积的g
・•・在图中随机取一点,则此点取自黑色区域的概率是g.
故答案为:y.
15.旦
4
【分析】在中,利用正弦定理,结合诱导公式、二倍角公式计算作答.
CEHE
【详解】在中,NC=36,NC〃E=108,由正弦定理得:———而CE=BE
smZ.CHEsinZC
于是得3=笔,即与,因此,sin”"2二红
sin108sin36sin722Csin18cos182BEcosl84
故答案为:苴二1
4
【点睛】关键点睛:条件较隐含的解三角形问题,根据题意设出变量,再选择恰当的三角形,借助正余弦
定理列出方程、方程组是解题的关键.
f,V21]
16.Fa
X/
【分析】根据已知条件求得。,〃,根据直线),=丘+/〃(攵>0)与K轴的交点的位置进行分类讨论,由此列不等
第11页共20页
式来求得〃?的取值范围.
b=\
【详解】依题意,£=*,解得〃=&,c=i
a2
a'=b'+C
所以椭圆C的方程为[■+),2=1
由干|倒=|。制=|。闾=1,欠制=|4周=应,忸闾=2
所以鸟是等腰直角三角形
所以Sf/gxax夜=1
直线AF2的方程为x+),=1,直线M的方程为产"।
设直线y=kx+m(k>0)与AF2的交点为。,与A轴的交点为E
①当E与尸।重合时,Jx2x%=Jxl,%=;,则号=;
乙乙乙乙
0=-k+m
所以11,,解得人=m=]
—=—k+m3
122
②当E在。,"之间时,
所以;x|E段x%=;xl,|E周x%=l
|x+y=lk+m.k+m\-m
\y=kx+ni1+Z\+k1+k
由?=公+,〃令y=0,得4=——
k
所以怛周=1+?,所以fl+r卜*=1
KIKJ1+
整理得女=*_,由2="_>0解得
1—2/n1-2m32
第12页共20页
设直线y=kx+m(k>0)与然的交点为P
y=loc+m\_k-m
由解得x=---i-n--,>>=-------
|y=x+lP'k-l"k-\
因为5„=白1=:
所以;x(l—,〃冈马一温=;,(1—一尝=1
乙乙I•AAI
2(1-/H)2=|A:2-1|,所以0(1-川=小2_"<1
所以1-,m>\-
综上所述,加的取值范围是|1-半,;
14
故答案为:卜-孝,;
【点睛】求解椭圆的方程,关键点是根据已知条件求得/4C是3个未知数,需要3个条件,其中一
个条件是/=巨十C2,另外的两个条件由题目给出,如本题中的A点坐标以及离心率,通过解方程组可求得
ahc,进而求得椭圆的方程.
17.⑴%=〃
⑵7;=1+5-1)x2”
【分析】(1)若选条件①,根据4M4,出成等比数列,得生网,然后利用基本量思想求出叫和",最后
利用等差数列通项公式进行求解;若选条件②或③,直接利用基本量思想求出坊和d,然后利用等差数列
通项公式进行求解;
第13页共20页
(2)根据(1)%的通项公式,代入女中,得应a=〃x2"L然后利用错位相减法求解前〃顶和小
【详解】(1)设等差数列{4}的公差为以"工。).
选条件①:S,=6,生,4,6成等比数列
Sy=3q+3d=6
[(q+3d)"=(4+d)(4+Id)
a,=1/、
解得:=],故数列质}的通项4=〃.
S3=3q+3d=6
选条件②:Sy—6,*.1S&=5〃2,,ici-(,\
4q+64=5(%+d)
解得Cl'故数列{q}的通项〃”=〃.
选条件③:S3=6,(〃+1)%=〃%
53=3q+34=6
(〃+l)[q+(〃-l)d]=+nd)
a.=I/、
解得《一,故数列应}的通项〃“=〃.
Cl—I
⑵由(1)得见也=〃X2"T
所以7;=1x20+2x2/3x22++〃x2”」
可得27;=1x2+2x2?+..+(〃-1)X2"T+〃X2"
两式相减得—7;=2°+2]+2?+•.+2"T-〃xT
所以<=l+(〃-l)x2”.
18.(1)证明见解析
⑵好
3
第14页共20页
【分析】(1)取PC中点为例,连接NM,进而证明四边形NM班为平行四边形即可证明结论;
(2)取。。中点为E,以A为空间直角坐标系原点,A石为1轴,A区为y轴,AP为z轴,建立空间直角坐
标系,利用坐标法求解即可;
【详解】(1)证明:取PC中点为例,连接NM,A弟如图所示
因为M,N分别是PC,PO的中点,所以MW〃DC且NA7=gz)C
又因为ABDCRAB=-DC
2
所以NM〃ABNM=AB
所以四边形NMBA为平行四边形
所以AN〃8M
又因为ATVa平面P8C,3"u平面尸8c
所以AN//平面P8C.
(2)解:取。。中点为£,以A为空间直角坐标系原点,AE为1轴,A3为>轴,AP为z轴,建立空间直
角坐标系,如图所示
则4(0,0,0),尸(001),8(0,1,0),£)(272.-1.0),C(2九Q0)
设平面尸8C的法向量为£=(x.y.二)
因为5户=(0,-1,1),前=(20,0,0)
BP-m=-y+z=0|x=0
所以令y=i,解得1即w=(0,1,1)
BC•m=2\f2x=0
第15页共20页
设平面PDC的法向量为〃=(“〃")
因为尸0=(2夜,一1,一1)DC=(0,2,0)
所以,令a=&,解得/即〃二四。4
记平面PDC与平面P8C夹角为氏0<6?<^
2
则网"辰如小品=悬而=|,simply等
所以二面角8-尸。-。的正弦值为好.
3
19.(1)。=0.040;综合评分的中位数为82.5
⑵填表见解析;有99舟得到把握任务优质花苗与培育方法有关
【分析】(1)根据频率分布直方图中所有小矩形的面枳之和为1得到方程,即可求出。,再根据中位数计算
方法求出中位数;
(2)完善列联表,计算出卡方,即可判断;
(1)
解:由直方图的性质可知:0.005xl0+0.010xl0+0.025xl0+10rt4-0.020x]0=l
解得〃=0.040
因为(0.02+0.04)xl()=0.6>0.5,所以中位数位于[80,90)之间
设中位数为X,则有0020x10+0.040x(90一力=0.5,解得x=82.5
故综合评分的中位数为82.5;
(2)
解:根据笫一问,优质花苗的频率为0.6,样本中优质花苗的数量为60
得如下列联表:
优质花苗非优质花苗合计
甲培优法203050
乙培优法401050
第16页共20页
合计6040100
100x(20xl0-30x40)2
所以K?*16.667>6.635,
60x40x50x50
所以有99%得到把握任务优质花苗与培育方法有关;
20.(1)减区间为(0,2),增区间为(2,+oo);
(2)证明见解析.
【分析】(D根据/'(2)=0求出a的值,根据导数/'(司的正负判断f(x)单调区间即可;
⑵电时,山)之。0?—令3)党-…,判断人)单调性,证明其最小值式…。
即可.
⑴
函数/3=f/e'-lnx-l..,.x>O,/,(r)=-g
•・r=2是/(x)的极值点,.•/⑵=ae2T=0,解得。=工
22e
/(x)=点e'TnX-1r(x)=与e一
NLND人
显然广(x)在(0,+8)上单调递增,而厂(2)=表e?-:=0
当0vx<2时/'(力<0,当x>2时,,/^x)>0
\/(x)的减区间为(0,2),增区间为(2,+oo);
(2)
当“之」时,/(x)>--ln.r-1,设g(x)=2--lnx-1>则g'(x)=J
eeeex
由--1=0,得x=i,且g'(力在(0,y)上单调递增
ex
・••当Ovxvl时g'(x)<0,g(x)单调递减,当x>l时,g'(x)>0,g⑺单调递增
「.)=1是g(x)的极小值点,也是最小值点
故当x>0时,g(x)Ng(l)=0
第17页共20页
...当〃2:,/(力20.
21.(1)y2=4.r;(2)(O1)U(1,回
【分析】⑴根据题意可得A8的坐标分别为名,〃吗,-p),则%^=2,解得〃的值,即可求得抛物线
的方程;
(2)设直线心-〃),点的小义),联立椭圆的方程,可得/11>0,结合韦达定理可得乂+%,乂,2,
由弦长公式可得|阴,由点到直线的距离公式可得焦点到直线4的距离d,得SFMN,同理可得
2
SAfPQ=2ylt+at\ta-\\\,由=S0,得至解出〃的取值范围.
【详解】⑴由题意,抛物线。:'2=2/.(〃>0)的焦点叱,0)
所以44的坐标分别为(多p),(多-〃)
所以S*M=/x2px^=2,解得p=2
所以抛物线的方程为V=4x.
(H)由题意可知直线4,4的斜率存在,且不为0,设直线4:x=«.y-a)
设点MQ,M),N(x2,y2)
联立方程组厂v~=,41,整理得y_4/),+4a=0
x=t(y-a)
所以Ai=16J-16c〃>0,且y+%=4/,乂为=4a
2?
所以|MN\=V1+/1>1->'2|=J1+JJ16(/2-a/)=+ryjr-ai
焦点尸到直线《的距离d==2yjr-at|1+/«|=2〃
所以S...=x471+Z2VZ2-^x=2yjt2-at\\+ta\
2Vl+r
设直线〃的方程为x=T(.V-a)
r2A.
联立方程组,=A,整理得/+旬,+4〃=。,可得△2=16/+16C”>0
x=-t(y-a)
将/用T代换,可得SAFPQ=2yl尸+af\ta-1|
山,△卜MN=»可得2-Jt~—at|1十回=+at—1|
第18页共20页
化简可得居愣,两边平方得/二不二
2—。
所以2-/>0,解得0<〃<血
乂由4>0且4>0,可得r〈T或可知产>/
所以.即(“27)2>0,所以。工1
所以实数”的取值范围是(0』)U(l,a).
【点睛】直线与圆锥曲线的综合问题的求解策略:
对于直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用问题,通常联立直线方程与圆锥曲线方程,应用一元二次方程
根与系数的关系,以及弦长公式等进行求解,此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足,导致错解-能
较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力.
22.(1)cosZACD=^-
7
⑵吁双
7
【分析】(1)记NACO=a,根据题意用。表示相关未知量,在△8CO中,利用正弦定理结合三角恒等变
换运算求解:
(2)法一:利用两角和公式求sin4。。=诙,在△88中,利用正弦定理运算求解;法二:先求CO=生自,
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在也?。。中,利用余弦定理运算求解.
■AC
【详解】(1)丁Z4BC=30°AC=2:.BC=---------=4
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