2024-2025学年高一数学同步试题（人教A版2019）5．5 三角恒等变换（十二大题型）

5．5三角恒等变换目录TOC\o"1-2"\h\z\u【题型归纳】 2题型一：两角和与差的正（余）弦公式 2题型二：两角和与差的正切公式 2题型三：二倍角公式的简单应用 3题型四：给角求值 5题型五：给值求值 5题型六：给值求角 6题型七：利用半角公式化简求值问题 8题型八：三角恒等式的证明 9题型九：辅助角公式的应用 10题型十：三角恒等变换与三角函数图象性质的综合 11题型十一：利用两角和与差的余弦进行证明 12题型十二：三角恒等变换在实际问题中的应用 14【重难点集训】 17【高考真题】 28【题型归纳】题型一：两角和与差的正（余）弦公式1．（2024·高一·贵州贵阳·阶段练习）已知锐角的终边过点，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据题意可得，故.故选：B.2．（2024·高一·山东临沂·期中）（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意可得：，所以.故选：D.3．（2024·高一·江苏镇江·阶段练习）计算：（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】.故选：D.题型二：两角和与差的正切公式4．（2024·湖南岳阳·模拟预测）已知，且，则的值等于（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】.故选：A.5．（2024·高一·四川内江·阶段练习）（

）．A． B． C． D．【答案】D【解析】.故选：D6．（2024·高一·甘肃甘南·期末）（

）A． B．2 C．1 D．【答案】A【解析】.故选：A题型三：二倍角公式的简单应用7．（2024·高三·内蒙古锡林郭勒盟·期中）若，则（

）A． B．C．45 D．【答案】B【解析】因为且，将代入得：，，，所以.由，，可得.因为，又，所以，由，可得.将，代入可得：.故选：B.8．（2024·高一·山东淄博·期中）下列各式中，值为的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】选项A，，错误；选项B，，正确；选项C，，原式的值为1，错误；选项D，，错误.故选：B.9．（2024·高一·上海·单元测试）已知是第二象限的角，且，则的值为（

）A． B． C． D．–3【答案】C【解析】因为，所以，又是第二象限的角，所以，所以，所以.故选：C题型四：给角求值10．（2024·高一·河南信阳·阶段练习）.【答案】【解析】.故答案为：.11．（2024·高一·全国·课后作业）．【答案】【解析】由正切的和角公式得若，则，再根据此结论求解即可得答案.∵，，∴，∴．∴故答案为：12．（2024·高一·全国·单元测试）的值为.【答案】【解析】.故答案为题型五：给值求值13．（2024·高一·江苏南通·期中）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】依题意，，则，所以.故选：A14．（2024·全国·模拟预测）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】设，则，，所以，所以.故选：C．15．（2024·高一·江苏淮安·阶段练习）设为锐角，若，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为为锐角，则，因为，所以，所以.故选：D.题型六：给值求角16．（2024·高一·内蒙古鄂尔多斯·开学考试）已知角，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】角，由得，则，又因为在上单调递增，则，而，同理有，所以，且，得.故选：A.17．（2024·高三·贵州铜仁·阶段练习）已知，且和均为钝角，则的值为（

）A． B． C．或 D．【答案】D【解析】∵和均为钝角，∴，．∴．由和均为钝角，得，∴．故选：D18．（2024·高一·全国·课堂例题）已知，，且和均为钝角，则的值为（

）A． B． C．或 D．【答案】D【解析】∵和均为钝角，∴，．∴．由和均为钝角，得，∴．故选：D题型七：利用半角公式化简求值问题19．（2024·高一·上海·课后作业）已知，，则，，.【答案】【解析】因为，所以，，所以，同理，所以，从而.故答案为：.20．（2024·高一·上海徐汇·阶段练习）已知，则．【答案】【解析】依题意，．故答案为：.21．（2024·高三·河北石家庄·期末）已知，则.【答案】【解析】因为，且，所以，故答案为：.题型八：三角恒等式的证明22．（2024·高一·全国·课后作业）已知，求证：．【解析】证明：由已知，得，∴，∴，，∴．23．（2024·高一·广东湛江·期末）证明下列等式：(1)(2).【解析】（1）左边右边，得证；（2）左边右边，得证.24．（2024·高二·四川成都·开学考试）（1）已知，，求的值；（2）证明：.【解析】（1）因为，，所以，可知，则，.（2）证明：，即.题型九：辅助角公式的应用25．（2024·高三·福建南平·阶段练习）函数3在上的最大值是．【答案】2【解析】，因为，所以，所以，所以，所以在上的最大值为2.故答案为：2.26．（2024·高一·上海松江·期末）设函数对任意的实数均满足，则．【答案】【解析】因为，又因为，所以函数为偶函数，即，，，所以，.故答案为：.27．（2024·高三·上海杨浦·期中）已知函数，当取得最大值时，.【答案】32/【解析】由函数，其中，当取得最大值，则，解得，此时.故答案为：.题型十：三角恒等变换与三角函数图象性质的综合28．（2024·高一·山东青岛·期中）设函数.(1)求的单调递增区间；(2)当时，求函数的最大值和最小值.【解析】（1）依题意，，由，得，所以函数的单调递增区间为.（2）由（1）知，，由，得，当，即时，函数取最小值，最小值为；当，即时，函数取最大值，最大值为.所以函数的最大值和最小值分别为和.29．（2024·高一·广西崇左·期末）已知函数.(1)求的单调递减区间；(2)求在区间上的值域.【解析】（1）由题意可得，令，解得，故的单调递减区间为.（2）因为，所以.当，即时，取得最大值，最大值为当，即时，取得最小值，最小值为.故在区间上的值域为.题型十一：利用两角和与差的余弦进行证明30．如图，在直角坐标系中，角、以为始边，其终边分别交单位圆于点、.（1）已知角以为始边，终边交单位圆于点，试在图中作出点（写明作法），并写出点的坐标；（2）根据图示，推导两角差的余弦公式：；（3）由两角差的余弦公式推导两角和的正弦公式：.【解析】（1）以为始边顺时针作角，其终边交单位圆于点，如图所示，则，由三角函数的定义，可得.（2）设单位圆与轴正半轴交于点，因为，所以，又因为，，，所以，，则整理得.（3）因为，又因为，所以.31．如图，在平面直角坐标系xOy中，角的始边为Ox，终边与单位圆交于点P，角的始边为OP，终边与单位圆交于点Q．试利用勾股定理推导出角与角的和与差的四个正弦与余弦公式．【解析】①如图，将△OPQ旋转到OAB位置，即绕着O点，将△OPQ旋转到OP边在x轴上，则PQ＝AB.，，由两点间距离式得：，又，由勾股定理得：，,即，即.②.③===.④==.题型十二：三角恒等变换在实际问题中的应用32．（2024·高一·四川成都·期中）如图，在扇形OAB中，半径，圆心角，F是扇形弧上的动点，矩形CDEF内接于扇形，设，则矩形CDEF的面积的最大值为．【答案】【解析】连结，设，则，，，，矩形的面积，，，因为，则，当，即时，面积取得最大值.故答案为：33．（2024·高一·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在扇形中，半径，圆心角.是扇形圆弧上的动点，矩形内接于扇形，记.(1)将矩形的面积表示成关于的函数的形式；(2)求的最大值，及此时的角.【解析】（1）在中，，，，，，，（）；（2），，，因为，，当，即时，取得最大值.34．某工人要从一块圆心角为的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1m，求割出的长方形桌面的最大面积（如图）．【解析】如图，连接OC，设，则，因,则则，故．因，则，故当，即当时，即割出的长方形桌面的最大面积为．【重难点集训】1．已知，且，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，则，，，由，易知，解得，由，，且，则，可得，所以，当时，，，此时，则，由，，则，易知，解得，此时；当时，，，此时，则，由，，则，易知，解得，；故选：B.2．已知为锐角，且，，则角等于（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，∴，∴，又因为为锐角，所以.故选：C.3．若，，且，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因，所以.又，所以.根据，得，同时也能确定.因为，，，所以..将转化为.所以因为，，所以.在这个区间内，时，.故选：C.4．若，，，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，，，，所以，，所以，则．故选：D.5．若，，并且均为锐角，且，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由可得，易知得，，则又因为，所以.故选：C6．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，再由，可知，即，则.故选：D.7．已知，，则的值为（

）A．－8 B．－6 C．6 D．8【答案】A【解析】，，所以，所以，故选：A8．古希腊的数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用表示.若实数满足，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，，因为，，，所以，所以的值为.故选：D9．（多选题）已知，且，，则（

）A． B． C． D．【答案】BCD【解析】因为，所以，所以，解得，故A错误，B正确；又因为，故C正确；因为，且，所以，所以，故D正确；故选：BCD.10．（多选题）计算下列各式的值，其结果为2的有（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】对于选项A：，故A正确；对于选项B：，故B错误；对于选项C：，故C正确；对于选项D：，故D错误.故选：AC.11．（多选题）已知，其中，为参数，若对，恒为定值，则下列结论中正确的是（

）A． B．C． D．满足题意的一组，可以是，【答案】ACD【解析】依题意，，而恒为定值，则，两式平方相加得，C正确；因此，A正确；对于D，当时，，，D正确；对于B，当时，成立，而，B错误.故选：ACD12．已知，且，则的最大值为.【答案】【解析】因为，则，，所以，又，所以，当时，，则；当时，，当且仅当，即时，等号成立，此时，所以；综上，的最大值为.故答案为：.13．若，，＝，＝，则＝.【答案】/【解析】∵，∴，故由，得.又∵，∴，＝，∴，则，故答案为：.14．若，则.【答案】【解析】令，则，即，所以，；因此.故答案为：15．已知.(1)记，求在上的最大值和最小值；(2)求的值.【解析】（1），因为，则，故，从而，即，所以在上的最大值为，最小值为；（2），16．（1）化简；（2）证明：.【解析】（1）原式.（2）左边右边.所以原等式成立.17．已知，，且，，求的值.【解析】∵，，∴.又∵，，∴，.∴，∴.18．阅读下面材料：解答问题：(1)用表示；(2)根据恒等式，求的值；(3)若函数，，求的值域．【解析】（1）；即得证；（2）令，由等式知，，即，显然，所以，即，解得：，又，所以，即（3）令，则，且令，，又函数开口向下，对称轴为，所以函数在上单调递减；因此，即，由二次函数图象得值域为19．已知函数(1)求的值；(2)求函数的递增区间；(3)求函数在区间上的值域．【解析】（1）则；（2）令：，解得的单调递增区间为：,；（3）由（2）可得，函数在区间上单调递增，在区间上的值域为：．【高考真题】1．（2024年上海秋季高考数学真题）下列函数的最小正周期是的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】对A，，周期，故A正确；对B，，周期，故B错误；对于选项C，，是常值函数，不存在最小正周期，故C错误；对于选项D，，周期，故D错误，故选：A．2．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，所以，，所以，故选：B.3．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知，则（

）．A． B． C． D．【答案】B【解析】因为