2024-2025学年高一数学同步试题（人教A版2019）2.2 基本不等式（六大题型）

2．2基本不等式目录TOC\o"1-2"\h\z\u【题型归纳】 2题型一：对基本不等式的理解及简单应用 2题型二：利用基本不等式比较大小 3题型三：利用基本不等式证明不等式 5题型四：利用基本不等式求最值 6题型五：利用基本不等式求解恒成立问题 16题型六：基本不等式在实际问题中的应用 18【重难点集训】 20【高考真题】 28【题型归纳】题型一：对基本不等式的理解及简单应用1．（2024·高一·全国·专题练习）给出下面三个推导过程：①∵a、b为正实数，∴＋＝2；②∵a∈R，a≠0，∴＋a＝4；③∵x、y∈R，xy＜0，∴＋＝－＝－2.其中正确的推导为（

）A．①② B．①③C．②③ D．①②③【答案】B【解析】①，根据基本不等式的知识可知①正确.②，当时，，所以②错误.③，根据基本不等式的知识可知③正确.所以正确的为①③.故选：B2．（2024·高一·全国·课后作业）不等式（x-2y）+≥2成立的前提条件为（

）A．x≥2y B．x>2y C．x≤2y D．x<2y【答案】B【解析】由均值不等式的条件“一正、二定，三相等”，即均值不等式成立的前提条件是各项均为正数，所以不等式成立的前提条件为，即.故选：B.3．（2024·高一·云南玉溪·期末）现有以下结论：①函数的最小值是；②若、且，则；③的最小值是；④函数的最小值为.其中，正确的有（

）个A． B． C． D．【答案】B【解析】取，可判断①的正误；利用基本不等式可判断②③④的正误.对于①，当时，，①错误；对于②，若，且，说明，，则，当且仅当时取等号，显然成立，②正确；对于③，，当且仅时取等号，即，显然这样的不存在，所以结论不正确，③错误；对于④，因为，所以，函数的最大值为，所以结论不正确，④错误.故选：B.4．（2024·高一·江西南昌·期末）下列各式：①，②，③，④.其中正确的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】由可得，故①错误，当且仅当，即时等号成立，故②正确当时，，当且仅当时等号成立，故③错误，当且仅当，即时等号成立，故④正确故选：C题型二：利用基本不等式比较大小5．（2024·高一·河南南阳·阶段练习）设，，下列不等式正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】对于A，，，由均值不等式，，当且仅当，即时取“”，A错误；对于B，，所以，B错误；对于C，，C错误；对于D，由，，，得，当且仅当时，取“”，D正确.故选：D6．（2024·高一·上海·专题练习）已知，其中，，其中，则之间的大小关系是.【答案】【解析】因为,所以，又因为，所以，当且仅当时取等号，由，得，所以，综上可知.故答案为：7．（2024·高一·上海·专题练习）已知，且，则下列不等式中，恒成立的序号是.①；②；③；④.【答案】④【解析】易知因为对于恒成立，当且仅当时，等号成立，所以①错误；对于②，③，显然时，不等式均不成立，即②和③错误；对于④，因为，所以，由基本不等式可得，当且仅当a=b成立即④正确；故答案为：④8．（2024·高三·全国·专题练习）已知且，下列各式中最大的是.(填序号)①；②；③；④.【答案】④【解析】因为，所以，，，，所以，，当时，由基本不等式可知，所以，由上可知，，，所以四个式子中最大．故答案为：④.题型三：利用基本不等式证明不等式9．设a、，求证：.【解析】因为a、，所以，当且仅当时等号成立，，当且仅当时等号成立，所以，当且仅当时等号成立.10．（1）已知，，求证：；（2）已知，，，且，求证：．【解析】（1）因为，，所以，当且仅当时取等号．（2）∵，，，且，∴，当且仅当时取等号．11．（2024·高一·河南濮阳·阶段练习）（1）已知，，，证明：；（2）证明：当，时，有.【解析】（1），，，，当且仅当，即，时，等号成立，；（2）因为，，所以，，即，，所以，当且仅当或时取等号，所以，则.题型四：利用基本不等式求最值12．（2024·高一·新疆·期末）若正实数、满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为正实数、满足，则，当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为.故选：B.13．（2024·高一·广东惠州·阶段练习）已知，则的最小值为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】因为，所以（当且仅当，即时取等号）.所以的最小值为.故选：C14．（2024·高一·贵州遵义·期中）已知，则的最小值是．【答案】2【解析】因为，所以，当且仅当．即时，等号成立．故答案为：215．（2024·高一·湖南益阳·阶段练习）已知，则函数的最小值是．【答案】【解析】因为，当且仅当，即时，等号成立.所以函数的最小值是故答案为:.16．（2024·高一·上海·随堂练习）若正数a、b满足，则ab的最小值为．【答案】25【解析】，所以，即，当且仅当时等号成立，故答案为：25．17．（2024·高一·安徽合肥·期末）若，，且，则的最小值为．【答案】6【解析】由，得，整理得，当且仅当时等号成立.则，故，解得或（舍去），所以，当且仅当时取等号，即的最小值为6.故答案为：618．（2024·高一·云南·期末）若，则的最大值为．【答案】/0.0625【解析】因为所以，当且仅当时等号成立，因，则，故有，所以，即的最大值为.故答案为:．19．（2024·广西河池·模拟预测）若实数，且，则的最小值为.【答案】4【解析】由可得，因为，所以，即，则，则，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为.故答案为：.20．（2024·高一·全国·竞赛）若且，那么的最小值为．【答案】【解析】，因，，当且仅当时取等号，而当且仅当时取等号，故，当且仅当时取等号，即时，有最小值故答案为：.21．（2024·高一·安徽安庆·期末）已知且，则的最大值为，最小值为．【答案】/0.4【解析】由,可得，当且仅当，即时取到等号,即的最大值为；，可得，当且仅当，即或时取到等号，即的最小值为；故答案为：；22．（2024·高一·江西南昌·期末）已知，则的最小值是．【答案】16【解析】由题意得，解得，等号成立当且仅当，所以的最小值是16.故答案为：16.23．（2024·高一·天津南开·期末）已知，且，则的最小值为．【答案】【解析】因为，所以，即，所以，当且仅当时，即，时等号成立.故的最小值为.故答案为：24．（2024·高一·云南玉溪·阶段练习）已知均为正数，且，则的最小值为.【答案】8【解析】因为均为正数，且，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为8.故答案为：825．（2024·高一·安徽马鞍山·期中）已知且，则的最小值为.【答案】【解析】因为且，所以，所以，当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为.故答案为：26．（2024·全国·模拟预测）已知，，且，则的最小值是．【答案】/．【解析】由，得，因为，，所以，所以，当且仅当，即，时，等号成立，所以的最小值是．故答案为：．27．（2024·高一·黑龙江大庆·开学考试）若正数满足，则的最小值为【答案】6【解析】由得，所以，当且仅当，即时，等号成立.故答案为：6.28．（2024·高一·河北石家庄·开学考试）已知，，，则的最小值为.【答案】【解析】因为，且，所以，所以，当且仅当，即，时等号成立.故的最小值为.故答案为：29．（2024·高一·江苏·开学考试）（1）求函数的最大值；（2）求函数的最小值；（3）若，且，求的最小值.【解析】（1）由，得，因此，当且仅当，即时取等号，所以原函数的最大值为.（2）由，得，因此，当且仅当，即时取等号，所以原函数的最小值为9.（3）因为，且，所以，当且仅当，即时取等号，此时，，所以的最小值为.30．（2024·高一·江苏常州·期中）（1）设，且，求的最小值；（2）设，求的最小值.【解析】（1）因为，所以，当且仅当时等号成立，所以的最小值为1；（2）因为，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立所以的最小值为.31．（2024·高一·江西南昌·阶段练习）（1）已知，，且，求的最小值；（2）求函数的最小值．【解析】（1）∵，，且，所以，则，当且仅当时等号成立，因此的最小值为3．（2）因为，所以，令，所以，所以，当且仅当，即时等号成立；所以函数的最小值为．32．（2024·高一·江苏南通·开学考试）（1）求函数的最小值.（2）已知，，且，求的最小值.【解析】（1），，，当且仅当时，即时，函数有最小值；（2）由题意，，又，，，当且仅当，即是等号成立，结合，知时，有最小值为.33．（2024·高一·安徽芜湖·阶段练习）求解下列各题：（1）求的最大值；（2）求的最小值.【解析】（1）因为，又，所以，所以，当且仅当，即时取等号，故y的最大值为；（2）由题意，，因为，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，故y的最小值为8.34．（2024·高一·全国·课后作业）（1）当时，求的最小值；（2）当时，求的最小值．【解析】（1），当且仅当时，等号成立，即．（2），当且仅当时，等号成立，即．35．（2024·高一·贵州·阶段练习）解答下列各题.(1)若，求的最大值.(2)若正数，满足，求的最小值.【解析】（1）因为，所以，所以，当且仅当时，即x=1时取等号.故的最大值为.（2），且，所以，即的最小值为，当且仅当，即，时取等号36．（2024·高一·天津滨海新·阶段练习）（1）若，求的最大值；（2）求在时的最小值．（3）已知，且，求的最小值．（4）已知正数满足．求的最大值．【解析】（1），，当且仅当，即x=2时等号成立，的最大值为12.（2）,令,则则可化为,当且仅当,即时等号成立,的最小值为.（3），即，解得或(舍),当且仅当且，即时等号武立，的最小值为6.（4）正数a,b,c满足，,即,,，，当且仅当且,即时等号成立,故的最大值为.题型五：利用基本不等式求解恒成立问题37．（2024·高一·河南新乡·阶段练习）若，且恒成立，则的最大值是．【答案】/【解析】由题意知，恒成立，即为恒成立，又，当且仅当即时，等号成立，所以，即m的最大值为.故答案为：.38．（2024·高一·新疆省直辖县级单位·阶段练习）已知，若恒成立，则m的最大值为【答案】9【解析】由，知，，，由，得，又，，当且仅当，即时，取得最小值9，，的最大值为9．故答案为：9.39．（2024·高一·全国·课后作业）对任意，为正实数，都有，则实数a的最大值为.【答案】【解析】因为对任意，为正实数，都有，所以恒成立，也即，因为（当且仅当时，也即时等号成立）所以，则实数a的最大值为，故答案为：.40．（2024·辽宁·模拟预测）若关于的不等式对任意恒成立，则正实数的取值集合为．【答案】【解析】∵，则，原题意等价于对任意恒成立，由，，则，可得，当且仅当，即时取得等号，∴，解得．故正实数的取值集合为.故答案为：．题型六：基本不等式在实际问题中的应用41．（2024·高一·天津北辰·期中）某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为48m2，房屋正面每平方米造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元．如果墙高为3m，且不计房屋背面和地面的费用，那么房屋的总造价最低为元．【答案】【解析】设房屋底面一边长为m，则另一边长为m，所以房屋的总造价为，因为，所以，当且仅当即时等号成立.故答案为：.42．（2024·高一·全国·课后作业）（1）如图是不等式第一节课我们抽象出来的在北京召开第24届国际数学家大会的会标，你还记得我们得出什么样的结论吗？

（2）现在我们讨论一种特别的情况，如果，，我们用，分别替换上式中的a，b，能得到什么样的结论？（3）问题2中得的结论是否对所有的，都能成立？请给出证明．【解析】（1）正方形的边长，故正方形的面积为，而四个直角三角形的面积为2ab，故有，当且仅当时，等号成立．实际上该不等式对任意的实数a，b都能成立．（2）用，分别替换上式中的a，b可得到，当且仅当时，等号成立．我们习惯表示成．（3）方法一

（作差法），即，当且仅当时，等号成立．方法二

（几何法）如图，AB是圆的直径，点C是AB上一点，，，过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD，BD，故有，故，由于CD小于或等于圆的半径，故用不等式表示为，由此也可以得出圆的半径不小于半弦．43．（2024·高一·上海·随堂练习）某造纸厂拟造一座占地面积为的矩形二级污水处理池，池的深度一定，池的外周墙壁建造单价400元/m，中间一条隔离壁建造单价为100元/m，池底建造单价为60元/（墙壁厚忽略不计）．污水处理池的长为多少时可使总造价最低？总造价最低为多少？【解析】设污水处理池的宽为米，则长为米．则总造价，当且仅当，即时，取等号．此时，所以当长为15米时，总造价最低为36000元．44．（2024·高一·河南开封·期末）如图，一份印刷品的排版（阴影部分）为矩形，面积为32，它的左、右两边都留有宽为2的空白，上、下两边都留有宽为1的空白.记纸张的面积为S，排版矩形的长和宽分别为x，y.(1)用x，y表示S;(2)如何选择纸张的尺寸，才能使纸张的面积最小?并求最小面积.【解析】（1）由题意，，.（2），当且仅当，即时等号成立，所以纸张的长和宽分别为12，6时，纸张的面积最小，最小面积为72.【重难点集训】1．（2024·高一·云南文山·阶段练习）若，，，则ab的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因为，，由基本不等式可得，即，解得或（舍去），即，当且仅当，即时，等号成立，故ab的取值范围是．故选：D．2．（2024·高一·全国·课后作业）若，则的最小值为（

）A．4 B．6 C．8 D．无最小值【答案】C【解析】若，则，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为8．故选：C．3．（2024·高三·全国·阶段练习）若正实数满足，则的最小值为（

）A．9 B．6 C．3 D．2【答案】C【解析】由为正实数，且则利用基本不等式可得：，当且仅当，即时等号成立.因此的最小值为3.故选：C.4．（2024·高一·江苏·假期作业）负实数、满足，则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为负实数、满足，则，可得，由基本不等式可得，当且仅当时，即当时，等号成立，所以的最小值为.故选：A.5．（2024·甘肃张掖·模拟预测）已知，若成立，则实数的最小值为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】令，，则，因为，所以，因为，所以，则，当且仅当时取等号，所以的最小值为.故选：C.6．（2024·高一·湖北·阶段练习）已知，且，则的最小值为（

）A． B． C．4 D．6【答案】D【解析】因为，且，又，所以，当且仅当时取最小值，此时，故所求为6.故选：D.7．（2024·高二·湖南·学业考试）已知，，，若不等式恒成立，则实数的最大值为（

）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】C【解析】因为，，所以，即，所以，当且仅当，即时等号成立，故.故选：C8．（2024·高一·浙江·期中）若实数，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，当且仅当，即时，等号成立.故选：D9．（多选题）（2024·高一·江西上饶·开学考试）下列不等式恒成立的是（

）A． B．C． D．【答案】ABCD【解析】对于选项A：因为，当且仅当时，等号成立，整理可得，故A正确；对于选项B：由选项A可知：，整理可得，即，且，则，所以，故B错误；对于选项C：因为，若，则，可得，即，故C正确；对于选项D：因为，则，则，当且仅当，即时，等号成立，所以，故D正确；故选：ABCD.10．（多选题）（2024·高一·四川内江·阶段练习）设正实数，满足，则（

）A．有最小值4 B．有最小值C．有最大值 D．有最小值【答案】ACD【解析】选项A：，当且仅当时等号成立，故A正确；选项B：，当且仅当时等号成立，故B错误；选项C：，当且仅当时等号成立，故C正确；选项D：，当且仅当时等号成立，故D正确；故选：ACD11．（多选题）（2024·高一·安徽芜湖·开学考试）已知正数a，b满足，则下列说法正确的是（）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】对于A，因为，故，当且仅当,即时等号成立，故A正确;对于B，当时,，显然错误;对于C，因为，当且仅当时等号成立，故C正确;对于D，由可得,即,所以当且仅当，即时等号成立，故D正确.故选：ACD.12．（2024·高一·江苏常州·期中）已知正实数满足，则的最小值为.【答案】/【解析】因为，所以由，得，因为，所以，当且仅当，即，即时取等号，所以，当且仅当时取等号，故答案为：13．（2024·高三·江苏南京·阶段练习）设正实数满足，且，则的最小值为.【答案】/【解析】，由于是正实数，且，所以，当且仅当，即，所以时等号成立，则的最小值为2，所以，当且仅当，即时等号成立，则最小值为.故答案为：.14．（2024·高一·上海·课后作业）已知，则的最大值和最小值分别为．【答案】9，1【解析】当时，，当且仅当时取等号．当时，，当且仅当时取等号．当时，也存在满足的情况，所以，由，得，所以，由，得，所以，当时取得最小值，当时取得最大值，所以的最大值和最小值分别为9和1.故答案为：9，115．（2024·高一·福建莆田·阶段练习）运货卡车以每小时千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制（单位:千米/时），假设汽油的价格是每升6元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时18元.(1)求这次行车总费用关于的表达式;(2)当为何值时，这次行车的总费用最低?最低费用是几元?【解析】（1）运货卡车行驶的时间为，则有，，即.（2）由（1）得，当且仅当，即时取等号，即当时，这次行车总费用最低为元.16．（2024·高一·江苏南京·期中）已知正数a，b满足．(1)求的最小值；(2)求的最小值．【解析】（1）因为，，且，则，所以，当且仅当，即，即，时等号成立，故的最小值为．（2）因为，，且，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为18．17．（2024·高一·江苏苏州·阶段练习）《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法．阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入：（4）整体求和等．例如，，求证：．

证明：原式．波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个藤菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”类似问题，我们有更多的式子满足以上特征．阅读材料二：基本不等式（，），当且仅当时等号成立，它是解决最值问题的有力工具．例如：在的条件下，当为何值时，有最小值，最小值是多少？，，，即，，当且仅当，即时，有最小值，最小值为2．请根据以上阅读材料解答下列问题：(1)已知，求的值．(2)若，解关于的方程．(3)若正数，满足，求的最小值．【解析】（1）由题意得；（2）由，故原方程可化为：，即：，，即，解得：；（3）由，则有，，当且仅当，即，时，等号成立，有最小值，此时有最大值，从而有最小值，即有最小值．【高考真题】1．（2001年普通高等学校招生考试数学（理）试题（京蒙皖））若实数，满足，则的最小值是（

）A．18 B．6 C． D．【答案】B【解析】由基本不等式得：，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值是6故选：B2．（2006