2024-2025学年高一数学同步试题（人教A版2019）1．2 集合间的基本关系（大题型）

1．2集合间的基本关系目录TOC\o"1-2"\h\z\u【题型归纳】 2题型一：写出给定集合的子集、真子集以及个数问题 2题型二：韦恩图及其应用 2题型三：由集合间的关系求参数的范围 4题型四：集合间的基本关系 5题型五：判断两集合是否相等 6题型六：根据两集合相等求参数 7题型七：空集的性质 8【重难点集训】 10【高考真题】 18【题型归纳】题型一：写出给定集合的子集、真子集以及个数问题1．（2024·高三·广东佛山·阶段练习）满足集合为的子集且的集合的个数是（）A．6 B．7 C．8 D．15【答案】C【解析】因为集合，则集合可以为,，，，，，，共8个，故选：C2．（2024·高三·湖南长沙·阶段练习）设集合，则集合的真子集个数为（

）A．7 B．8 C．15 D．16【答案】C【解析】由且可知，可以取，则可取，即，故集合的真子集个数为.故选：C.3．（2024·高一·山东济宁·期中）已知集合，若，请写出集合A的所有子集．【解析】当时，，集合A的所有子集有，，，．题型二：韦恩图及其应用4．（2024·高一·全国·课后作业）能正确表示集合M＝{x|x∈R且0≤x≤1}和集合N＝{x∈R|x2＝x}关系的Venn图是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】N＝{x∈R|x2＝x}＝{0,1}，M＝{x|x∈R且0≤x≤1}，∴NM.故选：B5．（2024·高一·四川成都·开学考试）已知全集，能表示集合与关系的图是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】，因为，所以C正确．故选：C6．（2024·高一·上海·专题练习）已知集合U=R，则正确表示集合M={-1，0，1}和N={x|x2-x=0}关系的文氏图是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】N={x|x2-x=0}={0，1}，M={-1，0，1}，所以N⊆M，所以选B.故选：B题型三：由集合间的关系求参数的范围7．（2024·高一·上海·随堂练习）若集合，，且，求满足的条件．【解析】由可知是的子集，①当时，，所以；②当时，，所以，解得；③当时，所以，解得；④当时，，所以，解得；综上可知，满足的条件为或或或.8．（2024·高一·广东佛山·期末）设集合(1)若，试判断集合与的关系；(2)若⫋，求的值组成的集合．【解析】（1）当时，，所以B是A的真子集．（2）．若，则，是真子集成立；若，则，因为是A真子集，或，所以或．所以的值组成的集合．9．（2024·高一·广东广州·阶段练习）集合．(1)若，存在集合M使得，求出这样的集合M；(2)试问P能否成为Q的一个子集？若能，求b的取值或取值范围；若不能，请说明理由．【解析】（1）若，，因为，所以；（2）方程的判别式为，当时，即时，，此时显然P是Q的一个子集，当时，即时，，此时显然P不是Q的一个子集，当时，即时，要想P是Q的一个子集，中必有二个元素是集合P中元素，根据一元二次方程根与系数关系，这两个根之和为，显然中没有两个数的和为，所以此时P不可能是Q的一个子集，综上所述：P能成为Q的一个子集，此时b的取值范围为.题型四：集合间的基本关系10．（2024·高三·湖北荆门·阶段练习）如果集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】集合，，．故选：C．11．（2024·高一·贵州六盘水·期末）已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，所以，，，故正确的只有A.故选：A12．（多选题）（2024·高三·浙江·开学考试）已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】ACD【解析】易知方程无解，所以，所以选项A正确，因为，所以选项B错误，因为集合是以为元素的集合，由元素与集合间的关系，知选项C正确，又空集是任何集合的子集，所以选项D正确，故选：ACD.13．（2024·高一·全国·课后作业）已知集合，，，则下列的关系正确的是（

）A．⫋ B．⫋C．⫋⫋ D．⫋⫋【答案】B【解析】由，而为奇数，为整数，又，所以⫋故选：B.题型五：判断两集合是否相等14．（2024·高一·河北石家庄·阶段练习）下面选项中的两个集合相等的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】A.两个集合都是点集，两个集合的元素不相同，所以不是相等集合，故A错误；B.集合表示数集，有2个元素，分别是1和0，集合是点集，只有1个元素，为，所以不是相等集合，故B错误；C.，得，即，故C正确；D.集合是空集，但集合是非空集，里面有1个元素，所以不是相等集合，故D错误.故选：C15．（2024·高一·全国·专题练习）已知集合，则与集合相等的集合为（）A． B．C． D．【答案】D【解析】对A，，故A错误；对B，中，解得，故，故B错误；对C，，故C错误；对D，，故D正确.故选：D.16．（2024·高一·山东济宁·阶段练习）下列各组集合中表示同一集合的是A．， B．，C．， D．，【答案】B【解析】由集合为点集，集合为数集，所以不是同一集合；根据集合的表示方法，可得集合和集合表示同一个集合；由集合表示数集，集合为点集，所以不是同一集合；又由集合和元素不相同，所以不是同一集合.故选：B.题型六：根据两集合相等求参数17．（2024·高一·河南郑州·阶段练习）已知集合，则．【答案】【解析】由题意得得．故答案为：18．（2024·高一·山东临沂·期末）集合，，且，则实数．【答案】【解析】由题意得，则，解得.故答案为：.19．（2024·高一·湖南岳阳·阶段练习）若集合，实数的值为【答案】【解析】令,,，,,，,,，，，若，则，则,,，,,，满足要求；若，则，而中元素，矛盾；若，则，则,,，,,，满足要求；故实数的值为.故答案为：20．（2024·高一·湖南·阶段练习）已知集合，，若，则.【答案】【解析】因为集合，，，所以，解得，从而.故答案为：.题型七：空集的性质21．（2024·高一·新疆·阶段练习）在下列格式中错误的个数是（

）①；②；③；④；⑤.A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【解析】，，，，即，所以①③⑤对，②④错.故选：B22．（2024·高一·山西太原·阶段练习）下列六个关系式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中正确的个数为（

）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【答案】B【解析】对于①，由集合间的关系和集合中元素的无序性知，故①正确；对于②，由集合中元素的无序性知，故②正确；对于③，是没有任何元素的集合，而集合中有元素，所以，故③错误；对于④，是集合的元素，所以，故④正确；对于⑤，是集合的子集而非元素，故⑤错误；对于⑥，是集合的子集，即，故⑥正确；综上知，正确的个数为4个.故选：B.23．（2024·高一·重庆沙坪坝·阶段练习）下列说法中正确的个数为（

）①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】对于①，正确；对于②，是元素，是没有元素的集合，故②错误；对于③⑤，正确，即③对，错误，即⑤错；对于④，表示集合中有一个元素，表示集合中有一个元素，研究对象不同，故④错误；对于⑥，，故⑥错误；对于⑦，正确；对于⑧，表示不同的集合，错误.①③⑦正确.故选：B24．（2024·高一·四川广安·期中）若集合，则实数a的值的集合为．【答案】【解析】当时，满足题意；当时，应满足，解得；综上可知，a的值的集合为．故答案为：．【重难点集训】1．（2024·高三·全国·专题练习）如果集合，则（）A．ST B．T⊆S C．S＝T D．ST【答案】A【解析】由，令，则，所以，由于NZ，故.故选：A.2．（2024·高一·北京·期末）已知集合、，其中，且．满足以上条件的全部有序数对的个数为（

）．A．6 B．8 C．20 D．36【答案】B【解析】依题意，当时，，有序数对有4个；当时，，有序数对有4个；全部有序数对的个数为8个.故A，C，D错误.故选：B.3．（2024·高一·四川资阳·期中）满足的集合M共有（

）A．16个 B．15个C．8个 D．7个【答案】C【解析】集合M满足，所以集合M可以为：共有8个.故选：C4．（2024·高一·山西大同·期中）对于非空数集，，其所有元素的算术平均数记为，即.若非空数集B满足下列两个条件：（1）；（2）.则称B为A的一个“保均值子集”.据此推理，集合的“保均值子集”有（

）A．5个 B．6个 C．7个 D．8个【答案】C【解析】非空数集中，所有元素的算术平均数，在所有子集中选出平均数为的子集即可，所以集合的“保均值子集”有，，，，，，共7个：故选：C．5．（2024·高一·甘肃白银·期中）已知集合，集合，若，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】集合，集合，因为，所以，解得.故选：A.6．（2024·高一·吉林通化·阶段练习）已知，则集合M的子集的个数是（

）A．8 B．16 C．32 D．64【答案】B【解析】因为，所以，又，所以，所以集合，所以集合的子集个数为个．故选：B．7．（2024·高一·安徽铜陵·阶段练习）若集合有且仅有2个子集，则满足条件的实数m组成的集合是（

）A． B． C．或 D．【答案】B【解析】由题设集合有2个子集，则集合中仅含一个元素，所以有且仅有一个解，当，则，满足要求；当，则，满足要求；综上，满足条件的实数m组成的集合是.故选：B8．（2024·高一·江苏镇江·阶段练习）若集合恰有1个真子集，则的取值是（

）A．-1 B． C． D．或【答案】D【解析】因为集合恰有1个真子集，则集合有且只有一个元素，当时，即，则，符合题意；当时，即，则关于的方程只有一个实数解，则，解得；综上所述，或.故选：D9．（多选题）（2024·高一·全国·课后作业）已知，则的值可以为（

）A．1 B．6 C．8 D．10【答案】AC【解析】当时，由得，满足，所以；当时，由得，满足，所以；当时，由得，不满足；综上，则或.故选：AC.10．（多选题）（2024·高一·山西朔州·阶段练习）已知集合，，，由实数a组成集合C，则下列选项中正确的是（

）A．集合C的所有非空真子集个数是2 B．集合C的所有非空真子集个数是6C．集合C的所有子集个数是4 D．集合C的所有子集个数是8【答案】BD【解析】由题意，，因为，所以，当时，，合题意，当时，，，因为，所以或，所以或，故．集合C的子集个数为，D选项正确，C选项错误，集合C的非空真子集个数为，B选项正确，A选项错误.故选：BD.11．（多选题）（2024·高一·重庆渝中·阶段练习）对于一个非空集合，如果满足以下四个条件：①，②，③，若且，则，④，若且，则，就称集合为集合A的一个“偏序关系”，以下说法正确的是（

）A．设，则满足是集合A的一个“偏序关系”的集合共有3个B．设，则集合是集合A的一个“偏序关系”C．设，则含有四个元素且是集合A的“偏序关系”的集合共有6个D．是实数集R的一个“偏序关系”【答案】ACD【解析】A选项，，则，通过分析②可知，，分析③可知，和只能二选一，或两者均不能在中，取，或，或，故满足是集合A的一个“偏序关系”的集合共有3个，A正确；B选项，集合，且，但，故②不成立，故B错误；C选项，，通过分析②可知，，结合③和④，可再添加一个元素，即中任选一个，即取，或，或，或，或，或，共6个，C正确；D选项，是R的子集，满足①，且当时，，满足②，当时，满足③，，若且，则，所以，则，满足④，故是实数集R的一个“偏序关系，D正确.故选：ACD12．（2024·高一·上海·课后作业）设集合，，则、之间的关系为．【答案】【解析】因为，所以集合中的元素是的奇数倍，又因为集合中的元素是的整数倍，所以.故答案为：.13．（2024·高三·全国·单元测试）若一个正整数各数位上的数字从左到右依次递增或递减，则称此数为“好数”，如7是一位“好数”，12与21是两位“好数”……，则所有的“好数”有个.【答案】1524【解析】由题意可知，“好数”的各数位上的数字各不相同.构造集合与集合，取的一个元子集，将这个元素从高数位到低数位按从大到小的顺序排列，则形成一个位“好数”，因为，所以这样从左到右依次递减的“好数”有个；同理取的一个元子集，将这个元素从高数位到低数位按从小到大的顺序排列，形成一个位“好数”，于是递增的“好数”有个.又公共的1元子集算了2次，所以符合要求的“好数”共有（个）.故答案为：1524.14．（2024·高一·全国·竞赛）已知集合，且，给出下列命题：①满足的集合的个数为；②满足⫋的集合的个数为；③满足⫋的集合的个数为；④满足⫋⫋的集合的个数为．其中正确的是．（填上你认为正确的所有命题序号）【答案】①③【解析】①满足的集合的个数为的子集的个数，即；②满足⫋的集合的个数为的非空子集的个数，即；③满足⫋的集合的个数为的真子集的个数，即；④满足⫋⫋的集合的个数为的非空真子集的个数，即．故答案为：①③.15．（2024·高一·上海·课堂例题）已知集合.是否存在这样的实数a，使得集合A有且仅有两个子集？若存在，求出实数a的值及对应的两个子集；若不存在，说明理由.【解析】要使集合有且仅有两个子集，即集合有且只有一个元素，即方程只有一个根或有两个相等实根，当，即时，方程化为，得，，对应的两个子集：.当，即时，，解得，此时，对应的两个子集：.综上，当时，集合对应的两个子集为：；当时，集合对应的两个子集为：.16．（2024·高一·全国·课后作业）已知集合.(1)判断8，9，10是否属于集合A；(2)集合,证明：B是A的真子集.【解析】（1）∵，，∴，，假设，m，，则，且，∵，或，显然均无整数解，∴，∴，，.（2）∵集合，则恒有，∴，∴即一切奇数都属于A，故B是A的子集.又∵，，所以B是A的真子集.17．（2024·高一·安徽滁州·阶段练习）已知集合，，(1)若，求实数的取值范围；(2)若，求实数的取值范围.【解析】（1）因为，当时：，即符合题意；当时，，，综上所述：.（2）因为，当时，，，解得，无解，当时，或，，综上所述：.18．（2024·高一·北京·阶段练习）已知集合为非空数集，定义：(1)若集合，请直接写出集合：(2)若集合，且，求证：；【解析】（1）因为，，所以；（2）证明：由，得，则可取，又因为，所以，剩下的元素满足，所以.【高考真题】1．（2023·全国·高考真题）设集合，