《新高考数学大二轮复习课件》专题一-培优点2-导数中的函数构造问题

培优点2

导数中的函数构造问题专题一

函数与导数导数问题中已知某个含f′(x)的不等式，往往可以转化为函数的单调性，根据不等式的形式构造适当的函数是求解问题的关键.例1

(1)(2021·江苏徐州一中模拟)已知函数f(x)在(0,1)上恒有xf′(x)>2f(x)，其中f′(x)为函数f(x)的导数，若α，β为锐角三角形两个内角，则A.sin2βf(sinα)>sin2αf(sinβ)B.cos2βf(sinα)>sin2αf(cosβ)C.cos2βf(cosα)>cos2αf(cosβ)D.sin2βf(cosα)>sin2αf(cosβ)√所以函数g(x)在(0,1)上单调递增.所以sin2α·f(cosβ)<cos2β·f(sinα).(2)(2021·安庆模拟)已知f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，f′(x)是f(x)的导函数，f(1)≠0，且满足f′(x)lnx＋

<0，则不等式(x－1)f(x)<0的解集为A.(1，＋∞) B.(0,1)C.(－∞，1) D.(－∞，0)∪(1，＋∞)√∴g(x)＝f(x)lnx在(0，＋∞)上单调递减，而g(1)＝0，∴在(0,1)上lnx<0，g(x)>0；在(1，＋∞)上lnx>0，g(x)<0，而f(1)<0，∴在(0，＋∞)上f(x)<0，又函数f(x)为奇函数，∴在(－∞，0)上f(x)>0.∴x∈(－∞，0)∪(1，＋∞).解析令F(x)＝xf(x)－lnx，则函数F(x)为常函数，又F(1)＝1×f(1)－ln1＝1，5e解析由xex＝5，两边取以e为底的对数，得x＋lnx＝ln5，即ln5－lnt－t＝0，所以ln5＝lnt＋t，所以f(x)＝x＋lnx在(0，＋∞)上单调递增，由x＋lnx＝ln5以及ln5＝lnt＋t，则x＝t，能力提升构造函数xf(nx)：条件中含“nxf′(nx)＋f(nx)”的形式.跟踪演练1234√√√1234当0<x<e时，f′(x)>0，当x>e时，f′(x)0，所以f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，1234当0<x<e时，g′(x)>0，当x>e时，g′(x)<0，所以g(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，12342.(2021·池州模拟)已知函数f(x)的定义域为R，其导函数为f′(x)，且3f(x)－f′(x)>0在R上恒成立，则下列不等式一定成立的是A.f(1)<e3f(0) B.f(1)<e2f(0)C.f(1)>e3f(0) D.f(1)>e2f(0)√因为3f(x)－f′(x)>0在R上恒成立，所以g′(x)<0在R上恒成立，故g(x)在R上单调递减，12341234√1234解析令g(x)＝f(x)＋sinx，则g(－x)＝f(－x)＋sin(－x)＝f(－x)－sinx.又f(x)＝f(－x)－2sinx，所以f(x)＋sinx＝f(－x)－sinx.故g(－x)＝g(x)，即g(x)为定义在R上的偶函数.当x≥0时，g′(x)＝f′(x)＋cosx>0，所以g(x)在[0，＋∞)上单调递增，又因为g(x)为偶函数，故g(x)在(－∞，0]上单调递减，123412344.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，其导函数为f′(x)，当x≥0时，f(x)＋xf′(x)>1.若对任意的x∈R，不等式g(x)f(g(x))－g(x)＋aex－aexf(aex)≥0恒成立，若g(x)＝e2x＋4，则实数a的取值范围是A.a≤1 B.a≤eC.a≤4 D.a≥1√1234解析因为当x≥0时，f(x)＋xf′(x)>1，所以f(x)＋xf′(x)－1>0，令h(x)＝xf(x)－x，则h′(x)＝f(x)＋xf′(x)－1>0，所以h(x)在[0，＋∞)上单调递增，因为f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)，所以h(－x)＝－xf(－x)＋x＝－[xf(x)－x]＝－h(x)，所以h(x)为奇函数，所以h(x)在R上单调递增，因为g(x)·f(g(x))－g(x)＋aex－aexf(a