2025年华师大版高二数学上册月考试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年华师大版高二数学上册月考试卷789考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共7题，共14分)1、若b为实数，且a+b=2，则3a+3b的最小值为（）

A.18

B.6

C.2

D.2

2、椭圆的焦距是（）

A.3

B.6

C.8

D.10

3、已知P为抛物线上的动点，点P在x轴上的射影为M，点A的坐标是则|PA|+|PM|的最小值是（）

A.8

B.

C.10

D.

4、【题文】在各项均为正数的等比数列中，若则等于（）A.5B.6C.7D.85、设F1、F2是椭圆E：=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（）A.B.C.D.6、一个盒子里装有标号为1，2，，10的标签，随机地选取两张标签，若标签的选取是无放回的，则两张标签上数字为相邻整数的概率为（）A.B.C.D.7、已知四棱锥P鈭�ABCD

中，AB鈫�=(4,鈭�2,3)AD鈫�=(鈭�4,1,0)AP鈫�=(鈭�6,2,鈭�8)

则点P

到底面ABCD

的距离为(

)

A.2613

B.2626

C.1

D.2

评卷人得分二、填空题(共8题，共16分)8、奇函数处有极值，则的值为____________．9、【题文】根据2012年初我国发布的《环境空气质量指数AQI技术规定(试行)》；AQI共分为六级：(0，50]为优，(50，100]为良，(100，150]为轻度污染，(150，200]为中度污染，(200，300]为重度污染，300以上为严重污染.2012年12月1日出版的《A市早报》对A市2012年11月份中30天的AQI进行了统计，频率分布直方图如图所示．根据频率分布直方图，可以看出A市该月环境空气质量优；良的总天数为________．

10、【题文】如图是一个算法流程图，则输出的的值是____．

11、【题文】如上页图，一条螺旋线是用以下方法画成：是边长为1的正三角形，曲线分别以为圆心，为半径画的弧，曲线称为螺旋线旋转一圈．然后又以为圆心为半径画弧，这样画到第圈，则所得整条螺旋线的长度______．(用表示即可)12、【题文】tan62°+tan73°-tan62°·tan73°=____.13、用秦九韶算法计算多项式f（x）=5x5+4x4+3x3+2x2+x+1当x=4的值时，乘法运算的次数为____．14、设由不等式表示的平面区域为4，若直线kx-y+1=0（k∈R）平分A的面积，则实数k=______．15、命题“?x隆脢R

使得x2>0

”的否定是______．评卷人得分三、作图题(共8题，共16分)16、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

17、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）18、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）19、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

20、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）21、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）22、分别画一个三棱锥和一个四棱台．评卷人得分四、解答题(共2题，共4分)23、根据抛物线的光学原理：一水平光线射到抛物线上一点，经抛物线反射后，反射光线必过焦点．然后求解此题：抛物线y2=4x上有两个定点A、B分别在对称轴的上、下两侧，一水平光线射到A点后，反射光线会平行y轴，一水平光线射到B点后，反射光线所在直线的斜率为．

（Ⅰ）求直线AB的方程．

（Ⅱ）在抛物线AOB这段曲线上求一点P；使△PAB的面积最大，并求这个最大面积．

24、在中，为锐角，角所对的边分别为且（I）求的值；（II）若求的值.评卷人得分五、计算题(共2题，共20分)25、已知f（x）=∫1x（4t3﹣）dt，求f（1﹣i）•f（i）．26、在（1+x）6（1+y）4的展开式中，记xmyn项的系数为f（m，n），求f（3，0）+f（2，1）+f（1，2）+f（0，3）的值．评卷人得分六、综合题(共4题，共28分)27、如图，在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过AB，C三点的抛物的对称轴为直线l，D为对称轴l上一动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求当AD+CD最小时点D的坐标；

（3）以点A为圆心；以AD为半径作⊙A．

①证明：当AD+CD最小时；直线BD与⊙A相切；

②写出直线BD与⊙A相切时，D点的另一个坐标：____．28、如图，在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过AB，C三点的抛物的对称轴为直线l，D为对称轴l上一动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求当AD+CD最小时点D的坐标；

（3）以点A为圆心；以AD为半径作⊙A．

①证明：当AD+CD最小时；直线BD与⊙A相切；

②写出直线BD与⊙A相切时，D点的另一个坐标：____．29、（2015·安徽）设椭圆E的方程为+=1(ab0),点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足=2直线OM的斜率为30、已知f（x）=﹣3x2+a（6﹣a）x+6．参考答案一、选择题(共7题，共14分)1、B【分析】

∵a+b=2，∴3a+3b

故选B

【解析】【答案】3a+3b中直接利用基本不等式，再结合指数的运算法则，可直接得到a+b．

2、B【分析】

中；

∵a2=25，b2=16；

∴c==3；

∴的焦距2c=6．

故选B．

【解析】【答案】中，由a2=25，b2=16，知c==3，由此能求出的焦距．

3、B【分析】

依题意可知焦点F（0，），准线y=-延长PM交准线于H点．则|PA|=|PH|

|PM|=|PH|-=|PA|-

|PM|+|PA|=|PF|+|PA|-我们只有求出|PF|+|PA|最小值即可．

由三角形两边长大于第三边可知；|PF|+|PA|≥|FA|，①

设直线FA与抛物线交于P点，可计算得P（3，），另一交点（-舍去．

当P重合于P时；①可取得最小值，可得|FA|=10．

则所求为|PM|+|PA|=

故选B

【解析】【答案】先根据抛物线的方程求得焦点坐标和准线方程，延长PM交准线于H点推断出|PA|=|PH|，进而表示出|PM|，问题转化为求PF|+|PA|的最小值，由三角形两边长大于第三边可知，|PF|+|PA|＞|FA|，直线FA与抛物线交于P点，可得P，分析出当P重合于P时；①可取得最小值，进而求得|FA|，则|PA|+|PM|的最小值可得．

4、C【分析】【解析】本题考查的是等比数列。由条件可知，又所以原式=应选C。【解析】【答案】C5、C【分析】【解答】解：∵△F2PF1是底角为30°的等腰三角形；

∴|PF2|=|F2F1|

∵P为直线x=上一点。

∴

∴

故选C．

【分析】利用△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，可得|PF2|=|F2F1|，根据P为直线x=上一点，可建立方程，由此可求椭圆的离心率．6、A【分析】解：一个盒子里装有标号为1；2，，10的标签；

随机地选取两张标签；若标签的选取是无放回的；

则基本事件总数n==45；

两张标签上数字为相邻整数包含的基本事件个数m=9；

∴两张标签上数字为相邻整数的概率为：

p==．

故选：A．

求出基本事件总数和两张标签上数字为相邻整数包含的基本事件个数；由此能求出两张标签上数字为相邻整数的概率．

本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．【解析】【答案】A7、D【分析】解：四棱锥P鈭�ABCD

中，AB鈫�=(4,鈭�2,3)AD鈫�=(鈭�4,1,0)AP鈫�=(鈭�6,2,鈭�8)

设平面ABCD

的法向量为n鈫�=(x,y,z)

则{n鈫�鈰�AD鈫�=0n鈫�鈰�AB鈫�=0

可得{鈭�4x+y=04x鈭�2y+3z=0

不妨令x=3

则y=12z=4

可得n鈫�=(3,12,4)

则AP鈫�=(鈭�6,2,鈭�8)

在平面ABCD

上的射影就是这个四棱锥的高h

所以h=|AP鈫�||cos<AP鈫�n鈫�>|=|AP鈫�鈰�n鈫�|n鈫�||=|鈭�18+24鈭�32|13=2

所以该四棱锥的高为2

．

故选：D

．

求出平面ABCD

的法向量；然后利用点到平面的距离公式求解即可．

本题考查空间点到平面的距离公式的应用，向量的数量积的应用，考查计算能力．【解析】D

二、填空题(共8题，共16分)8、略

【分析】【解析】试题分析：因为，奇函数处有极值，所以，a=c=0，=0，故=0.考点：本题主要考查函数的奇偶性，应用导数研究函数的极值。【解析】【答案】09、略

【分析】【解析】空气质量优、良的AQI指数小于等于100，由频率分布直方图知，其频率为(0.002＋0.006)×50＝0.4，所以该市11月份中30天的空气质量优、良的总天数为0.4×30＝12.【解析】【答案】1210、略

【分析】【解析】

试题分析：由程序框图可知又因为所以即

考点：本小题主要考查程序框图.【解析】【答案】240011、略

【分析】【解析】

试题分析：设第n段弧的弧长为由弧长公式，可得。

数列是以为首项、为公差的等差数列.画到第n圈；有3n段弧；

故所得整条螺旋线的长度。

考点：本题主要考查倒靫收莲的概念；求和公式。

点评：中档题，作为等差数列的应用问题，关键在于理解题意，通过分析各段弧长，发现数列特征，应用求和公式计算整条螺旋线的长度。【解析】【答案】n(3n+1)π12、略

【分析】【解析】

试题分析：

tan62°+tan73°-tan62°·tan73°=

考点：两角和的正切公式.

点评：本小题主要是利用两角和的正切公式的变形形式可知到此问题得解.【解析】【答案】-1.13、5【分析】【解答】解：多项式f（x）=5x5+4x4+3x3+2x2+x+1

=（（（（5x+4）x+3）x+2）x+1）x+1不难发现要经过5次乘法5次加法运算．

故答案为5．

【分析】由秦九韶算法的原理，可以把多项式f（x）=5x5+4x4+3x3+2x2+x+1变形计算出乘法与加法的运算次数．14、略

【分析】解：由题意，直线l1：x-y+1=0与直线l2：x+y-1=0的交点为A（0；1）

直线l1：x-y+1=0与直线l3：2x-y-2=0的交点为B（3；4）

直线l2：x+y-1=0与直线l3：2x-y-2=0的交点为C（1；0）

直线kx-y+1=0显然过点A（0；1），若其将三角形ABC分为面积相等的两部分，只需将线段BC平分即可．

设BC的中点为D；可得D的坐标为（2，2）．

代入kx-y+1=0可得k=

故答案为：．

确定三条直线的交点坐标；根据直线kx-y+1=0过（0，1），若其将三角形ABC分为面积相等的两部分，只需将线段BC平分即可，求出BC的中点的坐标代入kx-y+1=0，即可求得k的值．

本题考查线性规划知识，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是将三角形ABC分为面积相等的两部分，只需将线段BC平分即可，属于中档题．【解析】15、略

【分析】解：隆脽

命题“?x隆脢R

使得x2>0

”是特称命题。

隆脿

否定命题为：?x隆脢R

使得x2鈮�0

故答案为：?x隆脢R

使得x2鈮�0

．

根据命题“?x隆脢R

使得x2>0

”是特称命题；其否定为全称命题，即?x隆脢R

使得x2鈮�0

从而得到答案．

这类问题的常见错误是没有把全称量词改为存在量词，或者对于“>

”的否定用“<

”了.

这里就有注意量词的否定形式.

如“都是”的否定是“不都是”，而不是“都不是”.

特称命题的否定是全称命题，“存在”对应“任意”．【解析】?x隆脢R

使得x2鈮�0

三、作图题(共8题，共16分)16、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

17、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．18、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．19、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

20、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．21、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．22、解：画三棱锥可分三步完成。

第一步：画底面﹣﹣画一个三角形；

第二步：确定顶点﹣﹣在底面外任一点；

第三步：画侧棱﹣﹣连接顶点与底面三角形各顶点．

画四棱可分三步完成。

第一步：画一个四棱锥；

第二步：在四棱锥一条侧棱上取一点；从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段；

第三步：将多余线段擦去．

【分析】【分析】画三棱锥和画四棱台都是需要先画底面，再确定平面外一点连接这点与底面上的顶点，得到锥体，在画四棱台时，在四棱锥一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段，将多余线段擦去，得到图形．四、解答题(共2题，共4分)23、略

【分析】

（1）由已知得焦点F（1；0）；

且FA⊥x轴；

∴A（1；2）；

同理

得到B（4；-4）；

所以直线AB的方程为2x+y-4=0．（6分）

（2）法一：设在抛物线AOB这段曲线上任一点P（x，y）；

且1≤x≤4，-4≤y≤2．

则点P到直线AB的距离d=

所以当y=-1时，d取最大值

又（10分）

所以△PAB的面积最大值为

此时P点坐标为．（12分）

法二：

∴

∴△PAB的面积最大值为

此时P点坐标为．

【解析】【答案】（1）由已知得焦点F（1；0），且FA⊥x轴，所以A（1，2），同理得到B（4，-4），由此能求出直线AB的方程．

（2）法一：设在抛物线AOB这段曲线上任一点P（x，y），且1≤x≤4，-4≤y≤2．由点P到直线AB的距离d=由此得到△PAB的面积最大值和此时P点坐标．

法二：由此得到△PAB的面积最大值和此时P点坐标．

24、略

【分析】(I)可以通过求A+B的某一个三角函数值来求角，本小题可以通过求A+B的余弦值，要注意对A+B的范围进行分析，从而确定出A+B的大小.(II)在（I）的基础上，可确定进而可由正弦定理得再结合可求出a,b,c的值（I）∵为锐角，∴∵∴（II）由（I）知∴由得即又∵∴∴∴【解析】【答案】（I）（II）五、计算题(共2题，共20分)25、解：f（x）=（t4+）|1x=x4+﹣2f（1﹣i）=（1﹣i）4+﹣2=+

f（i）=i4+﹣2=﹣1﹣i

f（1﹣i）f（i）=6+5i【分析】【分析】先根据定积分求出函数f（x）的解析式，然后分别求出f（1﹣i）与f（i）即可求出所求．26、解：（1+x）6（1+y）4的展开式中，含x3y0的系数是：C63C40=20．f（3，0）=20；含x2y1的系数是C62C41=60；f（2，1）=60；

含x1y2的系数是C61C42=36；f（1，2）=36；

含x0y3的系数是C60C43=4；f（0，3）=4；

∴f（3，0）+f（2，1）+f（1，2）+f（0，3）=120【分析】【分析】由题意依次求出x3y0，x2y1，x1y2，x0y3，项的系数，求和即可．六、综合题(共4题，共28分)27、略

【分析】【分析】（1）由待定系数法可求得抛物线的解析式．

（2）连接BC；交直线l于点D，根据抛物线对称轴的性质，点B与点A关于直线l对称，∴AD=BD．

∴AD+CD=BD+CD；由“两点之间，线段最短”的原理可知：D在直线BC上AD+CD最短，所以D是直线l与直线BC的交点；

设出直线BC的解析式为y=kx+b；可用待定系数法求得BC直线的解析式，故可求得BC与直线l的交点D的坐标．

（3）由（2）可知，当AD+CD最短时，D在直线BC上，由于已知A，B，C，D四点坐标，根据线段之间的长度，可以求出△ABD是直角三角形，即BC与圆相切．由于AB⊥l，故由垂径定理知及切线长定理知，另一点D与现在的点D关于x轴对称，所以另一点D的坐标为（1，-2）．【解析】【解答】解：

（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）．（1分）

将（0；3）代入上式，得3=a（0+1）（0-3）．

解；得a=-1．（2分）∴抛物线的解析式为y=-（x+1）（x-3）．

即y=-x2+2x+3．（3分）

（2）连接BC；交直线l于点D．

∵点B与点A关于直线l对称；

∴AD=BD．（4分）

∴AD+CD=BD+CD=BC．

由“两点之间；线段最短”的原理可知：

此时AD+CD最小；点D的位置即为所求．（5分）

设直线BC的解析式为y=kx+b；

由直线BC过点（3；0），（0，3）；

得

解这个方程组，得

∴直线BC的解析式为y=-x+3．（6分）

由（1）知：对称轴l为；即x=1．

将x=1代入y=-x+3；得y=-1+3=2．

∴点D的坐标为（1；2）．（7分）

说明：用相似三角形或三角函数求点D的坐标也可；答案正确给（2分）．

（3）①连接AD．设直线l与x轴的交点记为点E．

由（2）知：当AD+CD最小时；点D的坐标为（1，2）．

∴DE=AE=BE=2．

∴∠DAB=∠DBA=45度．（8分）

∴∠ADB=90度．

∴AD⊥BD．

∴BD与⊙A相切．（9分）

②∵另一点D与D（1；2）关于x轴对称；

∴D（1，-2）．（11分）28、略

【分析】【分析】（1）由待定系数法可求得抛物线的解析式．

（2）连接BC；交直线l于点D，根据抛物线对称轴的性质，点B与点A关于直线l对称，∴AD=BD．

∴AD+CD=BD+CD；由“两点之间，线段最短”的原理可知：D在直线BC上AD+CD最短，所以D是直线l与直线BC的交点；

设出直线BC的解析式为y=kx+b；可用待定系数法求得BC直线的解析式，故可求得BC与直线l的交点D的坐标．

（3）由（2）可知，当AD+CD最短时，D在直线BC上，由于已知A，B，C，D四点坐标，根据线段之间的长度，可以求出△ABD是直角三角形，即BC与圆相切．由于AB⊥l，故由垂径定理知及切线长定理知，另一点D与现在的点D关于x轴对称，所以另一点D的坐标为（1，-2）．【解析】【解答】解：

（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）．（1分）

将（0；3）代入上式，得3=a（0+1）（0-3）．

解；得a=-1．（2分）∴抛物线的解析式为y=-（x+1）（x-3）．

即y=-x2+2x+3．（3分）

（2）连接BC；交直线l于点D．

∵点B与点A关于直线l对称；

∴AD=BD．（4分）

∴AD+CD=BD+CD=BC．

由“两点之间；线段最短”的原理可知：

此时AD+CD最小；点D的位置即为所求．（5分）

设直线BC的解析式为y=kx+b；

由直线BC过点（3；0），（0，3）；

得

解这个方程组，得

∴直线BC的解析式为y=-x+3．（6分）

由（1）知：对称轴l为；即x=1．

将x=1代入y=-x+3；得y=-1+3=2．

∴点D的坐标为（1；2）．（7分）

说明：用相似三角形或三角函数求点D的坐标