【教无忧】高中数学同步讲义（人教B版2019选择性必修一）第44讲 专题2-9 抛物线性质十一大题型

专题2-9抛物线性质十一大题型汇总题型1抛物线定义 2题型2焦半径 6题型3焦半径二级结论 10题型4焦点弦 14题型5中位线相关 23题型6焦点定比值二级结论 30题型7切线 35题型8最值与取值范围 43题型9抛物线与圆 49题型10抛物线与椭圆 56题型11抛物线与双曲线 63知识点一.抛物线有关知识：1.抛物线定义：|PF|＝|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l于M.2.抛物线的标准方程与几何性质标准方程y2y2x2x2p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O（0，0）对称轴y＝0x＝0焦点FFFF离心率e＝1准线方程x＝－x＝y＝－y＝范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R开口方向向右向左向上向下3．重要公式（1）弦长公式：AB=1+（2）韦达定理：x1+x4.重要结论抛物线y2＝2px（p>0）焦点弦AB，设A（x1，y1）、B（x（1）焦半径问题：①焦半径：|AF|＝|AD|＝x1＋p2，|BF|＝|BC|＝x2②焦点弦：|AB|＝x1+x2＋p＝2psin2α（其中，α为直线AB的倾斜角）；焦半径公式得：AF=p1−cosθ，（2）A、B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x1x2＝p24（3）其他结论：①S△OAB＝p22sinα（其中，α为直线AB的倾斜角）；

题型1抛物线定义【例题1】（23·24上·南阳·期中）已知直线l：y=−x+p2p>0与抛物线C：y2=2px交于A，B两点，且A．y2=2x B．y2=4x C．【答案】C【分析】设出A和B两点的坐标，把l与C联立得到x1+x2，l经过点C的焦点，进而根据【详解】设Ax1,得y=−x−p2则Δ>0，x1+∴AB=x1+∴C的方程为y2故选：C.【变式1-1】1.（22·23上·榆林·期末）已知点Pm,n为抛物线C：y2=4x【答案】2【分析】由抛物线的方程求出抛物线的准线，然后利用抛物线的定义结合已知条件列方程求解即可.【详解】抛物线C:y2=4x的焦点为(1,0)因为点P(m,n)为抛物线C:y所以点P到抛物线C的准线的距离为m+1=3，解得m=2，故答案为：2【变式1-1】2.（23·24上·张掖·阶段练习）已知抛物线x2=2py(p>0)的顶点为O，焦点为F，准线为直线l，点E在抛物线上．若E在直线l上的射影为Q，且Q在第四象限，A．120∘ B．150∘ C．30∘或150∘ 【答案】B【分析】根据抛物线的定义与性质解三角形求对应线段夹角及直线倾斜角即可.【详解】如图所示，易知F0,所以4OF故∠FQE=90又由抛物线定义可知FE=

故直线EF的倾斜角为60∘故选：B.【变式1-1】3.（23·24上·成都·阶段练习）已知动圆M恒过点(1,0)，且与直线x=−1相切，设圆心M的轨迹方程曲线C，直线l1:x−my−5=0与曲线C交于P，Q两点（点P在x轴上方），与直线x=−1交于点R，若A．57 B．37 C．67【答案】C【分析】根据抛物线的定义得到点M的轨迹方程为y2=4x，根据焦半径公式和QF=3得到xQ=2【详解】

由题意得点M到1,0的距离等于到直线x=−1的距离，所以点M的轨迹为抛物线，方程为y2如图所示，∵抛物线y2=4x．|QF|=3=x联立x−my−5=0y2=4x，化为：x则SΔ故选：C．【变式1-1】4.（17·18上·潮州·期末）如果点P1,P2,P3,P4是抛物线C:A．8 B．18 C．10 D．20【答案】B【详解】由抛物线方程可知p=4，由抛物线定义可知：|==10+2p=18，本题选择B选项.点睛：抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题题型2焦半径【方法总结】焦半径问题：①焦半径：|AF|＝|AD|＝x1+p由对称性，可得如下对称结论：（1）焦点F在x轴正半轴，抛物线上任意一点Px0,（2）焦点F在x轴负半轴，抛物线上任意一点Px0,（3）焦点F在y轴正半轴，抛物线上任意一点Px0,（4）焦点F在y轴负半轴，抛物线上任意一点Px0,【例题2】（23·24上·成都·开学考试）已知△ABC的顶点在抛物线y2=2x上，若抛物线的焦点F恰好是△ABC的重心，则A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】易知焦点坐标F12,0【详解】抛物线的焦点F为12,0，由重心的性质有又由抛物线的定义知|FA|=x同理可得|FA|+|FB|+|FC| 又因为xF所以|FA|+|FB|+|FC| 故选：C．【变式2-1】1.（23·24上·昆明·开学考试）已知直线l:y=x+1与抛物线C:y2=2px(p>0)相切于点E，F是CA．6 B．4 C．3 D．2【答案】D【分析】由直线与抛物线相切，联立方程组消元得一元二次方程，利用Δ=0，求解p值和点E坐标，再由抛物线定义化斜为直，将EF【详解】联立方程组y=x+1y整理得x2因为直线与抛物线相切，则Δ=解得p=0（舍去）或p=2.设E(x0,故E1,2，则EF故选：D.【变式2-1】2.（23·24上·盐城·期末）已知F为抛物线C:y2=2pxp>0的焦点，过F且斜率为1的直线交C于A，B两点，若A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】设直线AB的方程为y=x−p【详解】抛物线C的方程为C:y2=2px设直线AB的方程为y=x−p由y=x−p2yΔ=9p2根据抛物线定义，|FA|=x因为FA⋅FB=8所以x即p24+故选：B.【变式2-1】3.（23·24上·江西·开学考试）已知F为抛物线E：y2=4x的焦点，A，B，C为E上的三点，若AF=【答案】6【分析】根据平面向量坐标的线性运算、抛物线的定义求得正确答案.【详解】由题意知F1,0，设A，B，C的横坐标分别为x1，x2由AF=13AB+由抛物线的定义得AF+BF+故答案为：6

【变式2-1】4.（22·23下·白银·期末）如图，M是抛物线y2=10x上的一点，F是抛物线的焦点，以Fx为始边、FM为终边的角∠xFM=π

【答案】10【分析】根据∠xFM=π3列方程，求得M点的横坐标，进而求得【详解】依题意2p=10,p=5，过M向x轴作垂线，记垂足为N，如下图所示，设M的横坐标为x0则MF=x0因为∠xFM=π3，所以由x0+52=2故答案为：10

【变式2-1】5.（22·23下·南京·期末）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l，经过点F的直线与抛物线C相交A，B两点，l与x轴相交于点M，若AQ=QM，【答案】4【分析】先判定AB⊥MB，利用垂直关系得出A、B坐标结合抛物线焦半径公式计算即可.【详解】

由题意易知M−1,0，可设l由AQ=QM，可得Q为AM中点，则又由AM=2BQ可得:即∠MBA=90故kAB联立抛物线与直线AB可得x=ky+1所以有y由抛物线定义得AF−故答案为：4题型3焦半径二级结论【方法总结】抛物线y2＝2px（p>0）焦点弦AB，设A（x1，y1）、B（x2焦半径公式：AF=p1−cosθ，【例题3】（21·22·全国·课时练习）若过抛物线y2=x的焦点F的直线l交抛物线于A、B两点，且直线l的倾斜角θ≥π【答案】(【分析】根据给定条件，利用点A的横坐标及cosθ表示FA，再利用抛物线定义结合θ【详解】抛物线y2=x的焦点F(14,0)设点A的横坐标是x0，则有|FA|cosθ=于是得|FA|=12(1−cosθ)，而函数y=cos因此2−2≤2(1−cos所以FA的取值范围是(1故答案为：(【变式3-1】1.（21·22·江苏·单元测试）如图，过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作两条互相垂直的弦AB、CD，若△ACF与【答案】y【分析】设直线AB的倾斜角为锐角θ，则直线CD的倾斜角为θ+π2，利用焦半径公式分别求出AF、BF、CF、DF，并求出△ACF与【详解】解：设直线AB的倾斜角为锐角θ，则直线CD的倾斜角为θ+π由焦半径公式得：AF=BF=CF=DF=∴△ACF的面积为：S△ACF=p=p=p=p同理可得△BDF的面积为：S△BDF令t=sinθ−cosθ=2则△ACF与△BDF面积之和为：p2再令x=t2+1∈1，2p由双勾函数的单调性可知，当x=1时，△ACF与△BDF面积之和取到最小值，即2p2=32，由于p>0因此，抛物线的方程为y2故答案为：y2【点睛】本题考查直线与抛物线的综合问题，考查抛物线的定义，考查计算能力与推理能力，属于难题．【变式3-1】2.（21·22上·泉州·阶段练习）已知抛物线E关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1,2)在抛物线上．(1)求该抛物线E的方程及其准线方程；(2)直线l过抛物线E的焦点F，交该抛物线于A,B两点，且|AF|=3|BF|，求AB的长度．【答案】(1)y2=4x，(2)163【分析】(1)根据题意设抛物线方程，抛物线过P点，将P点坐标代入方程求出参数即可；(2)设直线l的倾斜角，表示出AF和BF，【详解】（1）设抛物线为y2＝ax，∵P(1，2)在抛物线上，∴a＝4，∴抛物线方程为y2（2）根据抛物线的对称性，不设点A在第一象限，直线AB的倾斜角为α(0＜α＜π)，由拋物线定义可知|AF|⋅cos⁡α＋p＝|AF|，即同理BF∵|AF|＝3|BF|，∴p即cos⁡α＝∴|AF|＝2∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝4＋4题型4焦点弦【方法总结】抛物线焦点弦的几个常用结论设AB是过抛物线y2=2pxp>0的焦点F的弦，若Ax（1）x1x2（2）若点A在第一象限，点B在第四象限，则AF=p1−弦长AB=x1+x（3）1|FA|（4）以AB为直径的圆与准线相切；（5）以AF或BF为直径的圆与y轴相切.【例题4】（18·19下·嘉定·期末）已知抛物线y2=2px（p是正常数）上有两点Ax1,甲：x1乙：y1丙：OA⋅丁：1|FA|+1|FB|=A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】先证明必要性：设过抛物线C：y2=2pxp>0的焦点F的直线为：x=my+p2，代入抛物线方程得：y2−2pmy−p2=0，计算y1y2、x1【详解】必要性：设过抛物线C：y2=2pxp>0的焦点F的直线为：代入抛物线方程得：y2由直线上两点Ax1,则有y1x1OA⋅由1＝x1故：甲、乙、丙、丁都是必要条件，充分性：设直线AB方程为：x=my+t，则直线AB交x轴于点t,0，抛物线焦点Fp2,0将直线AB由直线上两点Ax1,对于甲：若x=m可得t=±p2，直线AB不一定经过焦点F.所以甲条件是“直线AB经过焦点对于乙：若y1y2=−p2=−2pt，则t=p2对于丙：OA⋅OB=x1x2+y1y2=−2pt+对于丁：1=x1+x2+pt2+p2综上，只有乙正确，正确的结论有1个.故选：B【变式4-1】1.（22·23·全国·专题练习）过抛物线y=x2的焦点F的一条直线交抛物线于P、Q两点若线段PF与QF的长分别是p、q，则A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】求出抛物线的焦点坐标、准线方程，设出直线PQ的方程，与抛物线方程联立并结合抛物线定义求解作答.【详解】抛物线x2=y的焦点F(0,1显然直线PQ的斜率存在，设为k，则直线PQ的方程为y=kx+1由y=kx+14y=x2设P(x1,y1)，Q(x2,因此1p所以1p故选：D【变式4-1】2.（23·24上·朔州·开学考试）已知P2,4是抛物线C：y2=2pxp>0上一点，过C的焦点F的直线l与C交于A．24 B．28 C．30 D．32【答案】D【分析】求出抛物线方程后，设A(x1,y1),B(x2,【详解】因为P2,4所以42=2p⋅2，故则抛物线方程为y2设A(x1,设直线l的方程为my=x−2，联立y2所以y1x1则AF+9当且仅当x1=9x故AF+9BF的最小值为故选：D【变式4-1】3.（22·23下·南充·三模）已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，直线l:2x+y−6=0与抛物线C交于A,B两点，M是线段AB的中点，过M作y轴的垂线交抛物线C①若l过点F，则C的准线方程为x=−3

②若l过点F，则AF③若NA⋅NB=0，则点F④若NA⋅NB=0【答案】①②④【分析】对于①项，求出点F的坐标即可验证；对于②项，联立方程，由抛物线定义以及韦达定理表示出相应的弦长即可；对于④，联立方程，由韦达定理以及数量积的坐标形式即可求出p的值从而验证；对于③项，由④中分析即可验证；由此即可得解.【详解】如下图所示：

设Ax1,y1,Bx2,y2，对于①故抛物线C的准线方程为x=−3，故①正确；对于②项，由①可得C的方程为y2与l的方程2x+y−6=0联立消去y并整理得x2−9x+9=0，则x1根据抛物线的定义，可得AF=3+x1，BF所以AF⋅所以AF⋅BFAB如下图所示：

对于④，将l的方程2x+y−6=0与C的方程联立，得2x2−p+12x+18=0设Nx0,y0，则y由NA⋅NB=0即5x所以19p2+432p−576=0，所以p=对于③项，由④中分析可知，p=2419，所以焦点F12综上所述：正确的序号是①②④.故答案为：①②④.【点睛】关键点点睛：对于①项的验证比较常规，而熟练联立方程运用韦达定理或者抛物线定义表示弦长，熟练运用数量积的坐标公式以及夯厚的计算功底是正确验证②④项的关键，至于③项的验证，直接由④中分析过程即可验证.【变式4-1】4.（23·24上·南京·阶段练习）设抛物线C：y2=2pxp>0的焦点为F，M∈C，Q在准线上，Q的纵坐标为3p，(1)求抛物线C的方程；(2)过F且斜率为2的直线l与C交于A、B两点，求△ABQ的面积.【答案】(1)y(2)2【分析】（1）根据抛物线的方程的得到Q−p2,3p，Fp（2）联立直线和抛物线方程，利用韦达定理得到AB，根据点到直线的距离公式得到三角形ABQ的高，然后求面积即可.【详解】（1）由题意得Q−p2所以FQ=p2+−所以抛物线的方程为y2（2）由（1）可得Q−1,23，所以直线AB的方程为y=2x−1，即y=2x−2设Ax1,联立y=2x−2y2=4x所以x1+x设点Q到直线AB的距离为d，则d=−2−2−2所以S△ABQ【变式4-1】5.（21·22上·攀枝花·阶段练习）如图所示，已知抛物线C1:y2=2px过点(2,4)，圆C2:x2+y2−4x+3=0A．23 B．42 C．12 D．13【答案】D【分析】由点在抛物线上求出p，焦半径的几何性质有1|PF|+1【详解】由题设，16＝2p×2，则2p＝8，故抛物线的标准方程：y2由直线PQ过抛物线的焦点，则1|PF|圆C2：(x−2)2|PM|+4|QN|=|PF|−1+4(|QF|−1)=|PF|+4|QF|−5=2(|PF|+4|QF|)(1|PF|+当且仅当|PF|=2|QF|时等号成立，故|PM|+4|QN|的最小值为13.故选：D【点睛】关键点点睛：由焦半径的倾斜角式得到1|PF|+1【变式4-1】5.（21·22上·雅安·期末）已知抛物线C：y2=2pxp>0的焦点F到其准线的距离为2，圆M：x−1【答案】4【分析】根据已知条件先求出抛物线的方程，然后将问题转化为计算“|AF|+4|BF|−5”的最小值，通过抛物线的焦半径公式将|AF|+4|BF|−5表示为坐标的形式，采用直线与抛物线联立的思想，根据韦达定理和基本不等式求解出最小值.【详解】因为抛物线的焦点到准线的距离为2，所以p=2，所以抛物线方程为y2如下图，PF=因为|AP|+4|BQ|=|AF|−|PF|设Ax1,所以|AP|+4|BQ|=x设l:x=my+1，所以y2=4xx=my+1，x所以|AP|+4|BQ|=x1+4x2所以|AP|+4|BQ|的最小值为4，故答案为：4.【点睛】结论点睛：本题考查圆与抛物线的综合应用，其中涉及抛物线的焦半径公式的运用.常见抛物线的焦半径公式如下：（p为焦准距）（1）焦点F在x轴正半轴，抛物线上任意一点Px0,（2）焦点F在x轴负半轴，抛物线上任意一点Px0,（3）焦点F在y轴正半轴，抛物线上任意一点Px0,（4）焦点F在y轴负半轴，抛物线上任意一点Px0,题型5中位线相关【例题5】（22·23·开封·模拟预测）已知直线l:x+my−1=0过抛物线C:y2=2px的焦点，直线l与抛物线C相交于A,B两点，若AB的中点M到抛物线C的准线的距离为5A．±2 B．±12 C．1【答案】B【分析】由直线l所过定点及抛物线的焦点所在位置可求p=2，设Ax1,y1,Bx【详解】因为直线l:x+my−1=0过定点1,0，抛物线C:y2=2px的焦点在x所以抛物线的焦点坐标为1,0，所以p2=1，解得所以抛物线C的标准方程为y2联立x+my−1=0y2=4x，消去x，可得y设Ax因为Δ=所以y1所以x1因为AB的中点M到抛物线C的准线的距离为52，且抛物线C的准线方程为x=−1所以xM+1=5所以x1+x22故选:B.

【变式5-1】1.（22·23下·保山·期末）过抛物线C:x2=4y的焦点F且倾斜角为锐角的直线l与C交于A,B两点，过线段AB的中点N且垂直于l的直线与C的准线交于点M，若MNA．3 B．33 C．1 【答案】A【分析】根据题意结合抛物线的定义分析可得2EN=MN，∠NMC=【详解】抛物线C:x2=4y的焦点为0,1如图，过A,B,N作准线的垂线交准线于D,C,E，因为AB=AF+可知AB与x轴的正方向的夹角为60∘，则l的斜率为k故选：A.

【变式5-1】2.（22·23下·周口·阶段练习）已知抛物线y2=−4x，过其焦点F的直线l交抛物线于A、B两点，交准线于点D，且B是线段AD的中点，则A．92 B．72 C．32【答案】A【分析】设点A、B在直线l上的射影点分别为M、E，设BE=mm>0，可得出AB=BD=3m，求出线段DF【详解】易知抛物线y2=−4x的焦点为F−1,0设点A、B在直线l上的射影点分别为M、E，如图所示：

设BE=mm>0，因为B为线段AD的中点，BE⊥l，AM⊥l，则所以，AM=2由抛物线的定义可得AF=AM=2m所以，BD=所以，cos∠EBD=因为BE//x轴，则∠DFO=∠DBE，设直线l交x轴于点N，则N1,0所以，DF=又因为DF=BF+故AB=3m=故选：A.【变式5-1】3.（17·18·南阳·一模）设抛物线y2=4x的焦点为F，过F的直线l交抛物线于A,B两点，过AB的中点M作y轴的垂线与抛物线在第一象限内交于点P，若PF=【答案】2【详解】分析：求出抛物线焦点为F1,0，准线为l:x=−1，设Ax1,y1,Bx2,y2，直线AB方程为y=kx−1详解：∵抛物线方程为y2∴抛物线焦点为F1,0，准线为l:x=−1设Ax因为P在第一象限，所以直线AB的斜率k>0，设直线AB方程为y=kx−1代入抛物线方程消去y，得k2∴x∵过AB的中点M作准线的垂线与抛物线交于点P，设P点的坐标为x0,y∵y∴y得到y0=2∵PF=32，所以k=2，直线方程为y=2x−1，故答案为2x−y−点睛：本题主要考查抛物线的标准方程与简单性质，以及抛物线与直线的位置关系，属于难题.解答直线与抛物线位置关系的问题，其常规思路是先把直线方程与抛物线方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题【变式5-1】4.（17·18上·济宁·期末）抛物线y2=2pxp>0的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=60°【答案】1【分析】设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF．由抛物线定义得2|MN|=a+b，由余弦定理可得|AB|2=（a+b）2﹣3ab，进而根据基本不等式，求得|AB|的取值范围，从而得到本题答案．【详解】设|AF|=a，|BF|=b，由抛物线定义，得AF|=|AQ|，|BF|=|BP|在梯形ABPQ中，∴2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．由余弦定理得，|AB|2=a2+b2﹣2abcos60°=a2+b2﹣ab配方得，|AB|2=（a+b）2﹣3ab，又∵ab≤（a+b2∴（a+b）2﹣3ab≥（a+b）2﹣34（a+b）2=1得到|AB|≥12∴MNAB≤1，即MN故答案为：1．【点睛】本题着重考查抛物线的定义和简单几何性质、基本不等式求最值和余弦定理的应用等知识，属于中档题【变式5-1】5.（22·23下·广元·期中）已知F是抛物线C：y2=4x的焦点，过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，过AB的中点M作y轴的垂线与抛物线在第一象限内交于点P，若|PF【答案】2【分析】求得抛物线的焦点坐标和准线方程，由抛物线的定义求得P的坐标，得到AB中点M的纵坐标，设直线l为y=k(x−1)，代入抛物线的方程y2=4x消去x，利用根与系数的关系求得【详解】抛物线y2=4x的焦点为F(1,0)，准线方程为若|PF|=32，可得即有xPyP可得AB的中点M的纵坐标为2，设A(x1，y1)，则y1若斜率不存在|PF|=p所以过点F的直线l的斜率存在故直线l的方程设为y=k(x−1)，代入抛物线的方程y2ky即有y1解得k=2所以直线l的方程为2x−y−又AB的中点M的纵坐标为2，所以M点的横坐标为2．故答案为：2．题型6焦点定比值二级结论【方法总结】过抛物线的焦点F的弦AB与对称轴的夹角为θ【例题6】（21·22下·湖北·一模）过抛物线y2=px，p>0的焦点F作直线l，交抛物线于A，B两点，若A．30°或150° B．45°或135°C．60°或120° D．与p值有关【答案】C【分析】作出A,B到准线的垂线段，利用抛物线的定义求解．【详解】如图l是抛物线的准线，作AM⊥l，BN⊥l，M,N为垂足，设FB=m，则FA由抛物线定义知AM=3m，BN过B作BC⊥AM，垂足为C，则易得MC=BN=m直角三角形ABC中，cos∠CAB=ACAB此时直线AB倾斜角为60°，由对称性，直线AB倾斜角也可为120°，故选：C．【变式6-1】1.（多选）（23·24上·广州·阶段练习）已知过点F0,1，倾斜角为60∘的直线l与抛物线C:x2=4y相交于A、B两点（点A在第一象限）.过线段AB的中点P作平行于y轴的直线，分别与抛物线CA．PM=MN C．FA=3FB D．直线AN与抛物线【答案】ABD【分析】将直线AB的方程与抛物线的方程联立，求出点P的坐标，进而求出点M、N的坐标，可判断A选项；利用斜率关系判断出NF⊥AB，可判断B选项；求出点A、B的坐标，利用抛物线的焦半径公式，可判断C选项；求出直线AN的方程，将直线AN的方程与抛物线C的方程联立，结合Δ法可判断D选项.【详解】由题意可知，直线l的方程为y=3x+1，设点Ax1,联立y=3x+1x2=4y由韦达定理可得x1+x2=4故点P23,7，所以，直线MN由x=23x2=4y可得抛物线C的准线方程为x=−1，所以，点N2易知点M为线段PN的中点，所以，PM=kNF=−1−123−0=−33解方程x2−43x−4=0可得所以，y1=3y2=3所以，FAFBkAN所以，直线AN的方程为y+1=2+3x−2联立直线AN和抛物线C的方程得y=2+可得x2−42+所以，直线AN与抛物线C相切，D对.故选：ABD.【变式6-1】2.（21·22下·酒泉·模拟预测）已知抛物线C:y2=2px(p>0)，过焦点P的直线交抛物线C于A，B两点，且线段AB的长是焦半径AP【答案】±2【分析】利用抛物线的焦半径公式列方程求得直线AB的倾斜角，即可求得直线AB的斜率【详解】设直线AB的倾斜角为θ，则θ∈(0°,180°)．因为线段AB的长是焦半径AP长的3倍，所以BP=2AP，故当θ∈(0°,90°)时，|AP|=p1+cos则|BP||AP|=1+cosθ1−同理可得当θ∈(90°,180°)时，cosθ=−13，所以直线AB综上，直线AB的斜率为±2故答案为：±2【变式6-1】3.（22·23上·河南·开学考试）已知倾斜角为60°的直线l过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F，且与C交于A，B两点（点A【答案】1【分析】分别过点A，B作准线的垂线，垂足为M，N，过点B作AM的垂线，垂足为【详解】解：如图，分别过点A，B作准线的垂线，垂足为过点B作AM的垂线，垂足为E，设|BF|=x，易得∠ABE=30°，则|AE|=1由抛物线的性质可得|AM|=|AF|，|BN|=|BF|=ME所以，x+12(3+x)=3，解得x=1故答案为：1【变式6-1】4.（19·20下·江门·期中）若M是抛物线y2=4x上一点，F是抛物线的焦点，以Fx为始边、FM为终边的角∠xFM=60°，则【答案】4【分析】首先求出抛物线的焦点坐标与准线方程，设M的坐标y24,y【详解】解：由抛物线的方程y2=4x，可得准线方程为x=−1，焦点坐标为设M的坐标y24,y，y>0又∠xFM=60°，∴y=3y24−1，整理得3所以由抛物线的定义可得FM=故答案为：4【变式6-1】5.（21·22·全国·专题练习）过抛物线y2=px，p>0的焦点F作直线l，交抛物线于A，B两点，若【答案】60°或120°【分析】利用抛物线的性质以及图形中的几何关系推导出ACAB【详解】如图l是抛物线的准线，作AM⊥l，BN⊥l，M,N为垂足，设FB=m，则FA

由抛物线定义知AM=3m，BN过B作BC⊥AM，垂足为C，则易得MC=BN=m直角三角形ABC中，cos∠CAB=ACAB此时直线AB倾斜角为60°，由对称性，直线AB倾斜角也可为120°.故答案为：60°或120°题型7切线【方法总结】抛物线切线有如下结论与性质：1.过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点.3.点P(x0,y0)是抛物线x²=2my(m≠0)上一点，则抛物线过点P的切线方程是：x0【例题7】（21·22下·河南·模拟预测）已知Ma,3是抛物线C：x2=2pyp>0上一点，且位于第一象限，点M到抛物线C的焦点F的距离为4，过点P4,2向抛物线C作两条切线，切点分别为AA．−1 B．1 C．16 D．−12【答案】B【分析】先通过抛物线的定义求出抛物线的方程，再设Ax1,【详解】如示意图，由抛物线的定义可知点M到抛物线准线y=−p2的距离为4，则3+p2=4⇒p=2设Ax1,y1,Bx由y=x24⇒y'=因为点P4,2在这两条直线上，所以x1⋅4−2⋅2−2y1=0x1⋅4−2⋅2−2于是AF→故选：B.【点睛】本题运算较为复杂，注意要先求出AF→【变式7-1】1.（19·20下·邯郸·一模）过点P作抛物线C:x2=2y的切线l1，l2，切点分别为M，N，若△PMN的重心坐标为(1,1)A．14，0 B．12，0 C．【答案】A【分析】由已知设切点坐标为Mx1,x122，Nx2,x222，利用导数写出切线l1，l2的方程，联立求出交点【详解】设切点坐标为Mx1,由x2=2y，得y=x故直线l1的方程为y−x1同理直线l2的方程为y=联立l1，l2的方程可得x=x设△PMN的重心坐标为x0,y0，则即x1+x2=2x1将P点坐标代入抛物线D:y2=mx，得到(−1)故D的焦点坐标为14故选：A.【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的相切问题，三角形重心的坐标公式以及抛物线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题.【变式7-1】2.（22·23下·开封·模拟预测）已知点P(4,−2)在抛物线C:xA．x−y+2=0 B．2x−y+2=0 C．3x−y+2=0 D．x−2y+4=0【答案】A【分析】根据条件可得抛物线方程，然后求导可得过Ax1,y1【详解】因为抛物线C:x2=2py(p>0)所以−p2=−2故抛物线C:x2=8y设切点为Ax1,y1则切线PA的方程为：y−y1=切线PB的方程为：y−y2=由P(4,−2)是PA、PB交点可知：−2=x1−可得过A、B的直线方程为−2=x−y，即x−y+2=0故选：A.【变式7-1】3.（多选）（22·23下·朝阳·期末）已知抛物线Γ:x2=2pyp>0A．p=4 B．当t=1时，TA⊥TBC．当t=1时，直线AB的斜率为2 D．直线AB过定点0,1【答案】BD【分析】根据Tt,−1为准线上的点列方程−p2=−1，解方程即可得到p可判断A；利用导数的几何意义得到过点Ax1,x124，Bx2,x224的切线斜率，可得到x1，x【详解】因为Tt,−1为准线上的点，所以−p2根据抛物线方程得到y=x24，则y'=则−1−x1241−所以x1，x2为方程x2所以kTA⋅k由B选项得x1+x由B选项得x12−2tx1同理得2y2−tx2故选：BD．

【点睛】解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略：1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量k）；②利用条件找到k过定点的曲线F(x,y)=0之间的关系，得到关于k与x，y的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标；2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.【变式7-1】4.（2023·遂宁·三模）已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F，准线为l，点Q(2,y0)在抛物线上，点K为l与y轴的交点，且【答案】1【分析】根据题目条件，先求出抛物线的标准方程，然后求出直线AB的方程，联立消y，利用韦达定理即可求得本题答案.【详解】把点Q(2,y0)，代入抛物线C:x2作QH⊥l，垂直为H，设QF=t，所以QK=2t，在Rt△QHK中，因为QH2+HK所以QH=2p+p设A,B两点的坐标分别为(x因为x2=4y，所以y=14x所以切线PA的直线方程为：y−14x因为经过点P(4,2)，所以2x1−所以点A,B的坐标满足方程2x−y−2=0，即直线AB的方程为2x−y−2=0，x2=4y2x−y−2=0联立消y所以，x1所以AF=5故答案为：1.【点睛】关键点睛：因为A(x1,y1),B(x2,y2【变式7-1】5.（22·23·铜仁·二模）从抛物线C：x2=2pyp>0外一点P作该抛物线的两条切线PA，PB（切点分别为A，B），分别与x轴相交于点C，D，若AB与y轴相交于点Q，点M(1)求抛物线C的方程；(2)求证：四边形PCQD是平行四边形．【答案】(1)x(2)证明见解析【分析】（1）根据抛物线的定义可得MF=4+p2（2）根据导数的几何意义得到切线PA，PB的方程，联立得到Px1+x2【详解】（1）因为MF=4+p2=6，所以（2）证明：由x2=8y得y=x设Ax1,直线PA的方程为y−x1则直线PB的方程为y−x2由①和②解得：x=x1+x22，y=x由x2=8yy=kx+t，得x2−8kx−8t=0所以P4k,−t在①中，令y=0解得x=x12，所以C所以线段CD的中点坐标为x1+x24,0，即即线段CD被线段PQ平分．因此，四边形PCQD是平行四边形．【点睛】方法点睛：求抛物线切线方程得方法：（1）设切线方程，与抛物线方程联立，令Δ=0（2）求导，利用导数的几何意义求切线方程.题型8最值与取值范围【方法总结】抛物线线段型最值，可转化为：1.利用定义和焦半径公式，把到焦点距离转化为到准线距离，或者把到准线距离转化为到焦点距离2.设抛物线上点坐标，结合题意构造距离函数式求范围最值【例题8】（18·19下·铜陵·期中）已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，P为抛物线C上一动点，MA．4 B．1+22+13 C．3+2【答案】D【分析】由题意得ΔPMF的周长为|PM|+|PF|+|MF|，然后将|PF|转化为点P到抛物线准线的距离，并根据三点共线得到|PM|+|PF|【详解】由题意得抛物线y2=4x的准线方程为l:x=−1，焦点坐标为过点P作PN⊥l于N，根据抛物线的定义可得|PF|=又ΔPMF的周长为|PM|+|PF|+|MF|=|PM|+|PN|+|MF|结合图形可得，当M,P,N三点共线时，|PM|+|PN|最小，且最小值为3−(−1)=4，所以|PM|+|PN|+|MF|的最小值为4+22即△PMF的周长最小值为4+22故选D.【点睛】高考中对抛物线定义的考查有两个层次，一是当已知曲线是抛物线时，抛物线上的点M满足定义，它到准线的距离为d，则|MF|=d，有关距离､最值､弦长等是考查的重点；二是利用动点满足的几何条件符合抛物线的定义，从而得到动点的轨迹是抛物线.【变式8-1】1.（23·24上·淮安·期中）设抛物线x2=4y上一点P到x轴的距离为d，点Q为圆(x−4)2A．25−1 B．2 C．3【答案】C【分析】根据抛物线定义结合圆外一点到圆上一点最值问题即可得到答案.【详解】因为x2=2×2y，则抛物线焦点坐标为0,1，准线方程为则d+1=PF，即d=所以d+PQ=PF因为圆(x−4)2+(y+2)2=1所以d+PQ故选：C.【变式8-1】2.（17·18上·虹口·期末）P为抛物线C:y2=4x上一动点，F为C的焦点，平面上一点A(3,m)，若PF【答案】m∈【分析】根据抛物线的定义可以转化为求P点到抛物线准线和A点问题之和最小问题,根据三点共线以及最小值可以求出实数m的取值范围.【详解】抛物线C:y2=4x的准线方程为：l:x=−1,设PB⊥l,垂足为B.设P点坐标为(y24,y).根据抛物线的定义有PF+PA故答案为m∈【点睛】本题考查了抛物线的定义,考查了转化思想,考查了数学运算能力.【变式8-1】3．（23·24上·盐城·期中）已知动点P在抛物线y2=4x上，过点P引圆C：x−32+y【答案】142/【分析】根据题意，利用四边形APBC的面积等于2S△APC和圆的切线长公式，得到AB=21−1【详解】由圆C:x−32+y2则四边形APBC的面积为S=1所以AB=在直角△PAC中，可得AP=所以AB=设P(x0,当x0=1时，PC2所以AB的最小值为21−故答案为：142

【变式8-1】4.（20·21下·哈尔滨·二模）若B点的坐标为3,2，点P为抛物线C：y2=6x上的动点，F是拋物线C的焦点，当△PBF周长取得最小值时A．32 B．92 C．7【答案】C【分析】当△PBF的周长最小时，BP垂直准线，此时可得点P的坐标，从而就容易计算面积了.【详解】如图，由抛物线方程可得，F32,0点B3,2在抛物线内部，过B作BM交抛物线于P，连接PF，此时△PBF的周长最小，yPxP=2PB=3−23=7∴△PBF的面积为S=1故选：C.【变式8-1】5.（22·23上·陕西·期末）已知P为抛物线C:x2=−16y上一点，F为焦点，过P作C的准线的垂线，垂足为H，若△PFHA．−∞,−5 C．−∞,−2 【答案】A【分析】如图，设点P的坐标m,n，准线与y轴的交点为A，根据抛物线的定义和勾股定理可得△PFH的周长为44−n+24−n，令t=【详解】如图，设点P的坐标为m,nn≤0，准线y=4与y轴的交点为A，则PF=所以△PFH的周长为44−n得44−n+24−n≥30n≤0有2t2+4t−30≥0，即t2+2t−15≥0所以4−n≥3，由n≤0解得n≤−5故选：A.【变式8-1】6.（18·19下·安庆·模拟预测）已知F为抛物线4y2=x的焦点，点A,B都是抛物线上的点且位于x轴的两侧，若OA·OB=15(A．652 B．52 C．54【答案】A【分析】首先设出直线方程，代入抛物线方程，利用根系关系及平面向量数量积坐标公式得到m=4，再计算ΔABO和ΔAFO的面积之和，利用均值不等式求其最小值即可.【详解】设直线AB的方程为x=ty+m，A(x1,4y2OA·解得：y1y2因为A,B位于x轴的两侧，所以y1即：y1y2设点A在x轴的上方，则y1>0，y2S=当且仅当6532y1=2所以ΔABO和ΔAFO的面积之和的最小值为652故选：A【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，同时考查了均值不等式求最值，属于难题.题型9抛物线与圆【方法总结】抛物线与圆的综合题型，多从以下几方面入手：1.圆外一点与圆上一点距离，多转化为与圆心的距离2.抛物线上点与焦点（或者准线）距离，多转化为与准线（或焦点）的距离.3.利用圆的方程与抛物线的方程，可以设点坐标计算.【例题9】（23·24上·江门·阶段练习）已知圆x2+y2=4与x轴相交于E，F两点，与抛物线C:y2=2px(p>0)相交于A，B两点，若抛物线C的焦点为F，直线A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【分析】利用抛物线定义化斜为直，借助平面几何性质建立等量关系，求解方程即可.【详解】圆x2+y2=4所以F2,0，则p2=2如图，过点A和点D分别作AA'和易知AF=BF=设∠BFE=∠AFE=θ，则BF=则AA即4cosθ+4cos解得cosθ=−5所以AF=DD则DD解得DF=所以DF−故选：D.

【变式9-1】1.（22·23下·成都·期中）已知M为抛物线y2=2x准线上一点，过M作圆：A．212 B．214 C．52【答案】A【分析】根据切线长定理，求出点M到圆的圆心距离最小值即可作答.【详解】抛物线y2=2x准线方程为x=−12，圆x−22因此点M与圆心C距离的最小值为|MC|

令过点M向圆C所作切线的切点为D，于是|MD|=|MC|2所以切线长最短为212故选：A【变式9-1】2.（23·24上·浙江·阶段练习）已知抛物线x2=6y的焦点为F，圆M与抛物线相切于点P，与y轴相切于点F，则【答案】2【分析】首先得到抛物线的焦点坐标与准线方程，不妨令M在第一象限，设Ma,32，则圆M的半径r=a，即可得到圆M的方程，设Px0,16x02，利用导数求出抛物线在点P处的切线的斜率，依题意可得MP【详解】抛物线x2=6y的焦点为F0,32依题意不妨令M在第一象限，设Ma,32，则圆M的半径r=a，设P则圆M的方程为x−a2由x2=6y，可得y=16x2，则依题意可得MP与抛物线在点P处的切线垂直，所以16x02又点P在圆M上，所以x0则x02所以x0整理可得x04+6x0所以16x02=

故答案为：2【点睛】关键点睛：本题解答的关键是抛物线在点P的切线同时也是圆M在点P的切线，结合导数的几何意义及圆的切线的性质得到方程组.【变式9-1】3.（23·24上·永州·一模）已知点Na,23(a>0)在抛物线C:y2=2px(0<p<2a)上，F为抛物线C的焦点，圆N与直线x=p2相交于A、B两点，与线段NF相交于点R，且AB=2【答案】y【分析】设|NF|=4t(t>0)，表示出|RF|=t,AB=25【详解】由C:y2=2px(0<p<2a)设|NF|=4t(t>0)，则|RF|=t,AB则|NR|=3t，故(a−p2)2又点Na,23(a>0)故|NF|=a+p2=4t②，且12=2pa，即②联立得12a2−20ap+3p2由于0<p<2a，故2a=3p，结合pa=6③，解得p=2，故抛物线方程为y2故答案为：y【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于要结合抛物线的定义以及圆的弦长的几何性质，找出参数a,p间的等量关系，从而列出方程组，即可求解.【变式9-1】4.（22·23下·枣庄·二模）已知点A1,2在抛物线y2=2px【答案】x+3y+3=0【分析】根据给定的条件，求出抛物线的方程，设出圆的切线方程并求出切线的斜率，再设出点B，C的坐标并求出，即可求出直线方程作答.【详解】因为点A1,2在抛物线y2=2px上，则22=2p×1显然过点A作圆x−22+y2=2于是|k+2|k2+1=2不妨令直线AB,AC的斜率分别为k1,k2，于是同理y2=42−6−2，直线直线BC的方程为y+−262+故答案为：x+3y+3=0【点睛】结论点睛：点A(x1,y1),B(x2,y2),(x1【变式9-1】5.（22·23下·安康·期中）已知点M0,4，点P在抛物线x2=8y上运动，点Q在圆x【答案】4【分析】由已知可得|PM|2|PQ|【详解】设圆心为F，则F为抛物线x2=8y的焦点．设P(x,y),y≥0，则要使|PM|2|PQ|最小，则需|PQ|最大，|PQ∴|PM|当且仅当y+3=25y+3，即∴|PM|故答案为：4．

【变式9-1】6.（22·23·景德镇·三模）首钢滑雪大跳台是冬奥史上第一座与工业旧址结合再利用的竞赛场馆，它的设计创造性地融入了敦煌壁画中飞天的元素，建筑外形优美流畅，飘逸灵动，被形象地称为雪飞天.中国选手谷爱凌和苏翊鸣分别在此摘得女子自由式滑雪大跳台和男子单板滑雪大跳台比赛的金牌.雪飞天的助滑道可以看成一个线段PQ和一段圆弧QM组成，如图所示.在适当的坐标系下圆弧QM所在圆的方程为x+102+y−32=128，若某运动员在起跳点M以倾斜角为45

A．x2=−4y+4C．x2=−32y−1【答案】A【分析】将直线CM方程与圆的方程联立可求得M点坐标，根据在M点的切线斜率和点M坐标可求得抛物线方程中的a,c，整理可得抛物线方程.【详解】由题意知：kCM=−1，又∴直线CM方程为：y−3=−x+10，即x+y+7=0由x+y+7=0x+102+y−32即M−2,−5或M∵M为靠近y轴的切点，∴M−2,−5设飞行轨迹的抛物线方程为：y=ax2+c∵在点M处的切线斜率为1，∴−4a=1，解得：a=−1∴−5=−14×4+c，解得：c=−4即抛物线方程为：x2故选：A.题型10抛物线与椭圆【例题10】（23·24上·贵阳·阶段练习）椭圆E：x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为F1，F2，现已知F2与抛物线yA．5+12 B．3−12 C．【答案】C【分析】由抛物线得到F21,0，a2−b2=1，结合幂函数所过点坐标，得到解析式，设点Q的坐标x0,x0【详解】由题意，抛物线y2=4x的焦点坐标为F21,0，则又因为幂函数fx=xα过点P4,2，故4设点Q的坐标为x0,x则过Q的切线为y−x0=12故−x0=12而Q在椭圆上，则1a2+可得a2=3+52故选：C.【变式10-1】1.（22·23下·呼和浩特·模拟预测）已知椭圆C1:x236+y2b2=1的焦点分别为F1,A．78 B．57 C．711【答案】B【分析】利用椭圆和抛物线的定义及几何性质求解.【详解】由椭圆的定义可知PF∵PF1=7，过点P作PQ垂直于抛物线的准线，垂足为Q，由抛物线的定义可知PQ=∴cos∠P故选：B.【变式10-1】2.（21·22上·连云港·期中）已知点F为抛物线C：y2=4x的焦点，点F'−1,0，若点Р为抛物线C上的动点，当A．12 B．22 C．3−1【答案】D【分析】过点P引抛物线准线的垂线，交准线于D，根据抛物线的定义可知|PF'||PF|=|PF【详解】如图，易知点F'−1,0在抛物线C的准线x=−1上，作PD垂直于准线，且与准线交于点D，记∠DPF由抛物线定义可知，PF'PF=|PF'||PD|k2x2+2k2−4x+k2=0，于是，椭圆的长轴长2a=22+2⇒a=2+1，半焦距故选：D.【变式10-1】3.（22·23·全国·专题练习）已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为F1、F2，抛物线y2=4x的焦点与椭圆的右焦点重合，点P为抛物线与椭圆在第一象限的交点，且PF1=73.过F2作两条斜率不为0且互相垂直的直线分别交椭圆于【答案】4【分析】设点Px0,y0，其中x0>0，y0>0，且y02=4x0，利用两点间的距离公式可求得x0的值，利用抛物线的定义求出PF2的值，由椭圆的定义可求得a的值，进而可求得b【详解】抛物线焦点为F21,0，故a2设点Px0,y0，其中xPF1=即3x0−23x0+20所以2a=PF1+P因此椭圆的方程为x2设直线AB的方程为x=my+1，其中m≠0，设点Ax1,联立x=my+1xΔ=36所以y1x1+x同理可得点N4所以kMN所以直线MN的方程为y+3m即y=7m因此直线MN过定点47故答案为：47【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择