第4章电路的暂态分析知识课件

第4章电路的暂态分析

4.1电压、电流初始值和终止值的计算4.2一阶电路的零输入响应

4.3一阶电路的零状态响应

4.4阶跃函数和阶跃响应4.5RC电路对矩形脉冲的响应4.6一阶电路的全响应4.7一阶电路的三要素法4.8二阶电路的零输入响应这一章主要讨论RC、RL、RLC电路的暂态分析，即一阶电路和二阶电路分析。一阶电路：只含有一个动态元件的线性电路，用一阶线性、常系数微分方程来描述的电路。二阶电路：用二阶微分方程来描述的电路。

在暂态分析中，要用第一章的内容，即电容电流为有限值时，则电容电压不能突变。电感电压为有限值时，电感电流不能突变。4.1电压、电流初始值和终止值的计算i(0),u(0),du/dt(t=0),di/dt(t=0)例：求开关K闭合1、电流、电压的初始值及2、t=∞的稳态值。已知：K闭合前电容、电感均无贮能。解：由已知条件可得：

uc(0-)=0,i3(0-)=0例2、求t=0，t=∞时各电压、电流。已知：电路原已稳定.解：t=0-时等效电路4.2零输入响应（Zeroinputresponse）零输入响应：电路在没有外加输入时的响应，仅由于非零初始状态所引起的响应。4.2.1RC电路的零输入响应（RC—CircuitZeroinputresponse）假设电容器C在t=0时刻已充满电，且uc（0-）=Uo。即t=0时，K1开，K2闭。这是一个带有初始条件的一阶线性齐次常微分方程。由数学知识可知：该微分方程的解具有下列形式：uc=AestS、A为待定常数将上式代入微分方程RCSAest+Aest=0,Aest（RCS+1）=0∵Aest≠0故有

积分常数A，由初始条件来确定

uc(0)=Aeo=Uo∴A=UoS为特征方程根固有频率由以上可知：uc、uR、ic都是按同样的指数规律变化的，故在R>0时，uc、ic、uR均按指数规律不断衰减，最后到0。t0τ2τ3τ4τ5τ………∞ucUo0.368Uo0.135Uo0.05Uo0.018Uo0.007Uo……0RC电路的零输入响应是电容电压的初始值U0和RC来确定。4.2.2RL电路的零输入响应(RL—CircuitZero—inputResponse)令时间常数(单位为s)

t≥o;t≥o

零输入响应是由非零初状态产生的，它取决于电路的初始状态和电路的特性。4.3零状态响应（ZeroStateResponse）零状态响应即零初始状态响应，这是在零初始状态下，在初始时刻仅由施加于电路的输入所产生的响应。显然，这一响应只与输入有关。（只讨论直流输入）uc（0）=0或iL（0）=0时的响应4.3.1RC电路的零状态响应解：由KCL：ic+iR=Is；齐次解（通解）+特解即：uc（t）=uch+ucp输入为零时的解（齐次解）可设为:τ=RC（特解）即：ucp=K代入微分方程得：K=RIs这是一种方法方法2：求特解可根据t→∞时电路的状态来定∵uc（t）=ucp+uch

t=∞时；uc（∞）=ucp（∞）+0=IsR

故微分方程的完全解为：uc=úch+ucpuc（o）=A+RIs=o∴A=-RIs

由此可知电容电压随时间变化的全貌，它从零值开始按指数规律上升趋向于稳态值RIs。故有：t≥ot≥O;t≥O;t≥O从分析过程中可以看出，在K打开的瞬间，电容器上的电压为0；但电流变化率最大在微分方程的完全解中的齐次解又称为固有响应，特解为强制响应。故：电路的完全响应为==固有响应分量+强制响应分量当R>0，输入为常数或为周期函数时：

完全响应==暂态响应+稳态响应。4.3.2RL电路的零状态响应（请同学们自己看）零状态响应小结：1）一般形式2）f（t）取决于uc（∞），iL（∞）和τ值3）R>0时，响应，（固有+强制=暂态+稳态）4）输入增大K倍，响应增大K倍。

4.4阶跃函数和阶跃响应(StepfunctionandstepResponse)4.4.1单位阶跃函数的意义4.4.2延时单位阶跃函数有了阶跃函数的定义，我们可以把具有t=0时刻的开关变化电路改画成：例：4.4.3单位阶跃响应零状态电路对单位阶跃信号的响应称为单位阶跃响应，用S（t）表示。若设is（t）=Is·1（t）—表示信号在t≥O时刻加上。则：可以写成：uc(t)=Is·S(t)例题：已知：p(t)=Is{1(t)-1(t-to)}=p′(t)+p″(t)显见：p′(t)=Is·1(t);

p″(t)=-Is·1(t-to)4.5RC电路对矩形脉冲的响应根据输入矩形波的脉冲宽度tp和电路的时间常数τ，分为RC微分电路和积分电路。4.5.1RC微分电路：（C上无贮能)电路结构如图所示，构成微分电路的条件：由电路可知：我们需要：u1(t)≈uc(t)u1(t)=uc(t)+uR(t)则要：uc(t)>>uR(t)上式即满足即：要成立∫i(t)·dt>>RC·i(t)∵τ<<tp,即τ很小，RC很小。故：满足.若i(t)=Is,则Istp>>Is·RC∴u1(t)≈uc(t)即uc(t)>>uR(t)则有：成立,一般情况下作用：突出了输入信号变化的部分。4.5.2RC积分电路在零初始条件下：要使：u2与u1成积分关系则有u1≈uR,u1(t)=uc(t)+uR(t)即：uR(t)>>uc(t)只要RC有足够大上式即可满足。故有4.6一阶电路的全响应4.6.1完全响应==零输入响应+零状态响应

此微分方程解为：uc(t)=uch(t)+ucp(t)代入初始条件：A+IsR=Uo∴A=Uo-IsR故可得：t≥0当:Is=0时零输入当:Uo=0时零状态故上式可写成：4.6.2完全响应==固有响应+强制响应（有条件的相等）固有（暂态）+强制（稳态）全响应==零输入+零状态4.7一阶电路的三要素法指数曲线由三个值所确定：a.起点，即参考时间（t=0)的纵坐标f(0+)点。b.终点，即t=∞时指数曲线最终将趋近的值f(∞)点。c.由初始点到终点变化的快慢，即时间常数τ。由零输入响应可得通式:由零状态响应可知：由全响应可知（零输入+零状态）整理得：这就是三要素公式。f=(0+)表示电压、电流的初始值。f(∞)表示电压、电流的稳态值。τ…表示时间常数=RoC或R0----由动态元件看进去的代维南等效电路。例1：已知uc(0)=0，求t≥0时的uc(t)=?代入三要素公式

t≥0例2、（微分方程、三要素法）由KCL（节点a）得：i1=4-iL代入下式得：特征方程：∴S=-7(iLp)K代入微分方程，可知k=4∴i(0)=A+4=0∴A=-4故：t≥0是一个零状态响应。下面用三要素求解：已知：iL(0)=0iL(∞)=4A

由三要素公式：求τ，（求Ro）（外加电压法）例3、已知us(t)=1(t)，且uc(o)=5(v)，求uo(t)，t≥0解：把电路视为二个独立的部分，分别求解：

∵uo(t)=-0.5×2uc(t)先求出uc(t)，利用三要素法：uc(o)=5(V)t≥0=-(0.4+4.6e-0.278t)(v)t≥0

例4、已知i（o）=2A，求t>o，u（t）解：这是一个零输入响应，把电路结构换一下。故：iL(t)=2e-2tAt≥0t≥0例5：若t=0-时，电路处于稳态，试求i(t)及u(t)。t>0解：利用三要素法，依题意先求出t=0-时uc(t)，iL(t)求t=∞时值：开关闭合后，电路变成两个独立的部分，2个τ。RC：τ1=100k×1μF=10-1s，RL：故：uc(t)=45e-10t(v)t≥0

iL(t)=-60+[-15+60]e-10+4t(mA)t≥0t≥0t≥04.8二阶电路的零输入响应用二阶微分方程来描述的电路称为二阶电路。有三种类型：看一个RLC串联电路(RLC—SriveseCircuitZeroinputresponse)在电路中以uc为求解对象由数学知识可知：此二阶方程的解由其特征方程根来定故有特征方程为：显见这一方程有二个根S1、S2

由于R、L、C参数不同，S1、S2可能出现三种不同的情况。先讨论第一种情况（过阻尼）1、过阻尼：时；即：时S1.S2为不相等的负实数微分方程的解答为：其中K1、K2由初始条件确定解得：设初始条件uc(0)=Voi(0)=0则有：;

t≥0t≥0由：（韦达定理）*tm的大小决定于电路的参数。在t=tm时，→uL=0由uL的表达式：故有：(t=tm)取对数：

电流的最大值出现在换路的瞬间。整个过程，能量的转换可以用下图表示。2.Criticallydamped临界阻尼当S1.S2为相等的负实数时，当时固有频率为相等的负实数。微分方程解为：∴uc(t)=(K1+K2t)est积分常数由初始条件确定：uc(0)=Vo,i(0)=0，uc(0)=K1=Vo故有：K1=Vo,K2=-VoSt≥0t≥0t≥0；t≥0由电路各式可以看出，它们均单调衰减而最后趋于0，所以仍属于非振荡类型。但这是一个临界点。（振荡和非振荡）所以它们的变化曲线类似。3、欠阻尼(Underdamped)∴S1.2=-а±jωduc(t)=e-аt(AConωdt+BSinωdt)其中：A=K1+K2B=j(K1-K2)式中：；A、B、可由初始条件确定。uc(0)=Voi(0)=0uc(0)=A=Vo[uc(t)=e-аt(AConωdt+BSinωdt)]uc(t)的曲线如下：

当电路中R较小时，符合这一条件时是振荡性的，称为欠阻尼情况。理想情况R=0。无损耗的：а=0这时两个特征方程根是虚数S1=jωo

S2=-jωouc(t)=KCon(ωot-φ)是一个等幅振荡。由贮能元件确定ωo称电路的谐振角频率。а为衰减系数。ωd——衰减振荡的角频率。

习题课1、求网络结构已知：电源作用一阶网络时所到的响应如图所示。解：（1）看波形：由数学上可知：满足这种关系的电路是一个纯电容元件(2)由波形可知，充放电过程。设想一种结构（3）从波形上看，输出电压在此0点↑3V。能满足此要求是电感。

∵电感电压可以跃变.0≤t≤1i(t)=1Au(0+)=3(v)由波形可知∵τ=1s可取R=3Ω；取L=3H

t>1时i(t)=0电感放电。通过R上电流反向。由负方向衰减到0∵放电时，通过R上电流反向（电感放电以电流的形式）2、求t>0时uo(t)的响应，零输入零状态全响应。解：uo(t)=uc(t)显见：uo(0-)=uc(0-)=V2τ=RoC=(1+β)R2·C由三要素法：t≥03、开关t=0时闭合，闭合前电路处于稳态。在t=100ms时打开。求uab(t)解：t=0-时，电容稳态开路。故uab(0+)=37.5mA×1k+150=187.5(v)t=∞时：100ms≥t≥0显见100ms>>τ1当t=100ms时，由于100ms>τ1，故电路已处于稳态。由前面可知：uc(0.1)=uc(∞)=60(v)把电路化简：由ab端看入代维南等效电路uab(∞)=uc(∞)=150(v)；τ2=(1.5+2)103×5×10-6=17.5mst≥100ms4、网络N是线性和纯电阻的，单位阶