2025年沪科新版高一数学上册阶段测试试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年沪科新版高一数学上册阶段测试试卷409考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共6题，共12分)1、已知数列{an}满足an=nkn(n∈N*，0<k<1)，下面说法正确的是()①当时，数列{an}为递减数列；②当时，数列{an}不一定有最大项；③当时，数列{an}为递减数列；④当为正整数时，数列{an}必有两项相等的最大项.A.①②B.②④C.③④D.②③2、已知是等差数列，则该数列的前10项和A.64B.100C.110D.1203、【题文】设是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是()A.若则B.若则C.若则D.若则4、若将函数(ω>0)的图象向右平移个单位长度后，与函数的图象重合，则ω的最小值为（）A.B.C.D.5、已知α∈（0，2π），sinα＞0，且cosα＜0，则角α的取值范围是（）A.B.C.D.6、直线x=3的倾斜角是（）A.90°B.60°C.30°D.不存在评卷人得分二、填空题(共6题，共12分)7、已知sin（700+α）=则cos（2α）=____.8、设数列的前项和为若则____9、已知a，b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a，b在α上的射影可以是：①两条平行直线；②同一条直线；③一条直线及其外一点．其中正确结论的编号是____10、已知集合B={x|x-1＞0}，则A∩（∁RB）=______．11、已知向量=（3，2），=（0，-1），那么向量3-的坐标是______．12、直线y=mx+（2m+1）（m∈R）恒过一定点，则此点是______．评卷人得分三、解答题(共7题，共14分)13、已知集合若求实数的值。14、已知向量与的夹角为求的值.15、如图，二次函数（）的图象与反比例函数图象相交于点已知点的坐标为点在第三象限内，且的面积为（为坐标原点）①求实数的值；②求二次函数（）的解析式；③设抛物线与轴的另一个交点为点为线段16、【题文】扬州某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边成角为（如图），考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为平方米，且高度不低于米．记防洪堤横断面的腰长为（米），外周长（梯形的上底线段与两腰长的和）为（米）.

⑴求关于的函数关系式；并指出其定义域；

⑵要使防洪堤横断面的外周长不超过米，则其腰长应在什么范围内？

⑶当防洪堤的腰长为多少米时，堤的上面与两侧面的水泥用料最省（即断面的外周长最小）？求此时外周长的值.17、已知向量：=（cosx，sinx），=（cosy，siny），=（sinx，cosx），|-|=．

（1）求cos（x-y）的值；

（2）若函数f（x）=•的图象向左平移m（m＞0）个单位后，得到函数g（x）的图象关干y轴对称，求实数m的最小值．18、已知关于x的不等式（4kx-k2-12k-9）（2x-11）＞0；其中k∈R；

（1）试求不等式的解集A；

（2）对于不等式的解集A，记B=A∩Z（其中Z为整数集），若集合B为有限集，求实数k的取值范围，使得集合B中元素个数最少，并用列举法表示集合B．19、如图，边长为2

的菱形ABCD

中，隆脧A=60鈭�EF

分别是BCDC

的中点，G

为BFDE

的交点，若AB鈫�=a鈫�AD鈫�=b鈫�

．

(1)

试用a鈫�b鈫�

表示AG鈫�

(2)

求BF鈫�鈰�AG鈫�

的值．评卷人得分四、作图题(共3题，共18分)20、如图A、B两个村子在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC=1千米，BD=3千米，且知道CD=3千米，现在要在河边CD上建一水厂，向A、B两村送自来水，铺设管道费用为每千米2000元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设管道的费用最省，并求出其费用．21、作出下列函数图象：y=22、请画出如图几何体的三视图．

评卷人得分五、计算题(共4题，共12分)23、关于x3-ax2-2ax+a2-1=0只有一个实数根，则a的取值范围是____．24、方程组的解为____．25、已知α、β是方程x2-x-1=0的两个实数根，则代数式α2+α（β2-2）的值为____．26、计算：（）﹣log32×log427+（lg+lg）．评卷人得分六、综合题(共1题，共7分)27、已知点A（-2，0），点B（0，2），点C在第二、四象限坐标轴夹角平分线上，∠BAC=60°，那么点C的坐标为____．参考答案一、选择题(共6题，共12分)1、C【分析】试题分析：选项①：当时，有则即数列不是递减数列，故①错误；选项②：当时，因为所以数列可有最大项，故②错误；选项③：当时，所以即数列是递减数列，故③正确；选项④：当为正整数时，当时，当时，令解得数列必有两项相等的最大项，故④正确.所以正确的选项为③④.考点：数列的函数特征.【解析】【答案】C2、B【分析】【解析】

因为根据已知条件可知12d=24,d=2,首项为1，因此数列的前10项和为10+109=100,选B【解析】【答案】B3、B【分析】【解析】

试题分析：A.若则此命题错误，要判断需要垂直于平面内的两条相交直线；

B.若则此命题正确。这是线面垂直的性质定理；

C.若则此命题错误，与m可能平行；可能异面；

D.若则此命题错误，与m可能平行；可能异面；也可能相交。

考点：点；线、面的位置关系；

点评：我们要熟练掌握线面垂直、平行的性质定理和判定定理，并能灵活应用。【解析】【答案】B4、D【分析】【解答】的图象向右平移得到的图象，与重合，得故∴的最小正值为．选D.5、B【分析】解答：由sinα＞0，且cosα＜0可知，角α是第二象限角，又α∈（0，2π），故α∈故选B．

分析：由sinα＞0，且cosα＜0可知，角α是第二象限角，又α∈（0，2π），从而得到角α的取值范围．6、A【分析】解：∵直线方程为x=3；直线与x轴垂直；

∴直线的倾斜角为90°．

故选：A．

直接通过直线方程；求出直线的倾斜角即可．

本题考查直线的方程求解直线的倾斜角的方法，考查基本知识的应用，是基础题．【解析】【答案】A二、填空题(共6题，共12分)7、略

【分析】【解析】试题分析：∵sin（700+α）=∴cos（α-200）=∴cos（2α）==考点：本题考查了二倍角公式的运用【解析】【答案】8、略

【分析】【解析】

因为数列的前项和为若因此数列为公比为2，等比数列，首项为1，因此128【解析】【答案】1289、①③【分析】【解答】解：不妨以正方体为例，A1D与BC1在平面ABCD上的射影互相平行；①正确；

两条直线是异面直线，∴a，b在α上的射影不会是平行线；否则是共面直线，②不正确；

DD1与BC1在平面ABCD上的射影是一条直线及其外一点；③正确．

故答案为：①③．

【分析】以正方体为例，找出满足题意的两条异面直线，和平面α，然后判断选项的正误．10、略

【分析】解：由A中不等式变形得：2x＞=2-1；

解得：x＞-1；即A={x|x＞-1}；

由B中不等式解得：x＞1；即B={x|x＞1}；

∴∁RB={x|x≤1}；

则A∩（∁RB）={x|-1＜x≤1}；

故答案为：{x|-1＜x≤1}

求出A与B中不等式的解集分别确定出A与B；找出A与B补集的交集即可．

此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．【解析】{x|-1＜x≤1}11、略

【分析】解：∵=（3，2），=（0；-1）；

∴向量3-=3（0；-1）-（3，2）=（-3，-5）

故答案为：（-3；-5）

由已知中向量=（3，2），=（0，-1），根据数乘向量坐标运算公式，及向量加法坐标运算公式，可求出向量3-的坐标．

本题考查的知识点是平面向量的坐标运算，熟练掌握数乘向量坐标运算公式，及向量加法坐标运算公式，是解答本题的关键．【解析】（-3，-5）12、略

【分析】解：直线y=mx+（2m+1）（m∈R）化为：m（x+2）+（-y+1）=0；

直线恒过的交点（-2；1）；

直线y=mx+（2m+1）（m∈R）恒过一定点（-2；1）．

故答案为：（-2；1）．

直接利用直线系方程；求解即可．

本题考查直线系方程的应用，基本知识的考查．【解析】（-2，1）三、解答题(共7题，共14分)13、略

【分析】【解析】试题分析：∵∴而∴当这样与矛盾；6分当符合∴12分考点：本题主要考查集合的运算。【解析】【答案】14、略

【分析】本试题主要是考查了向量的数量积的性质的运用求解模长的值，以及向量的夹角的运用。手续爱你根据坐标得到模长，然后利用数量积公式得到最后解得。【解析】

【解析】【答案】215、略

【分析】

①②【解析】略【解析】【答案】16、略

【分析】【解析】

试题分析：（1）将梯形高、上底和下底用或表示，根据梯形面积的计算得到和的等式，从而解出使问题得以解答，但不要忘记根据题目条件确定函数的定义域；（2）由（1）可得解这个不等式的同时不要忽略了函数的定义域就可得到结果；（3）即求（1）中函数的最小值，可以用导数判断函数的单调性后再求解，也可利用基本不等式求最小值.

试题解析：⑴其中

∴得由得

∴6分。

⑵得∵∴腰长的范围是10分。

⑶当并且仅当即时等号成立．

∴外周长的最小值为米，此时腰长为米。16分。

考点：函数的应用、基本不等式、函数的最值.【解析】【答案】（1）（2）（3）外周长的最小值为米，此时腰长为米.17、略

【分析】

（1）运用平方法；结合向量的数量积的坐标表示和性质，向量的平方即为模的平方，再由两角的差的余弦公式，计算即可得到所求值；

（2）运用向量的数量积的坐标表示，利用二倍角的正弦可得f（x）=2cosxsinx=sin2x，再利用三角函数的平移变换可得f（x+m）=sin（2x+2m），其图象关于y轴对称，可求得m=+（k∈Z）；又m＞0，从而可得答案．

本题考查斜率的数量积的坐标表示和性质，向量的平方即为模的平方，考查二倍角的正弦及函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，考查余弦函数的对称性，属于中档题．【解析】解：（1）=（cosx，sinx），=（cosy，siny），|-|=

可得2=2=1，•=cosxcosy+sinxsiny=cos（x-y）；

由（-）2=即为1+1-2cos（x-y）=

解得cos（x-y）=

（2）∵f（x）=•=cosxsinx+sinxcosx=sin2x；

∴f（x+m）=sin[2（x+m）]=sin（2x+2m）；

∵y=sin（2x+2m）的图象关于y轴对称；

∴2m=kπ+∴m=+（k∈Z）；又m＞0；

∴mmin=．18、略

【分析】

（1）对k分类讨论；利用一元二次不等式的解法即可得出．

（2）根据B=A∩Z（其中Z为整数集）；集合B为有限集，即可得出．

本题考查了一元二次不等式的解法，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．【解析】解：（1）①当k＜0，A={x|}；

②当k=0，A={x|x}；

③当0＜k＜1或k＞9，A={x|x或x＞}；

④当1≤k≤9，A={x|x＜或x＞}；

（2）B=A∩Z（其中Z为整数集）；集合B为有限集；

只有k＜0，B={2，3，4，5}．19、略

【分析】

(1)

利用向量的加法以及三角形的重心坐标关系推出结果即可．

(2)

表示出向量；利用数量积化简求解即可．

本题考查向量的数量积的应用，向量在三角形中的应用，考查计算能力．【解析】解：(1)

由题意若AB鈫�=a鈫�AD鈫�=b鈫�

．

推出：AE鈫�=AB鈫�+BE鈫�=a鈫�+12b鈫�

BF鈫�=BC鈫�+CF鈫�=鈭�12a鈫�+b鈫�

E；F

分别是BCDC

的中点，G

为BFDE

的交点；

所以G

为鈻�BCD

的重心，隆脿BG鈫�=23BF鈫�

AG鈫�=AB鈫�+BG鈫�=a鈫�+23(鈭�12a鈫�+b鈫�)=23a鈫�+23b鈫�.(3

分)

(2)

若AB鈫�=a鈫�AD鈫�=b鈫�

．

BF鈫�=BC鈫�+CF鈫�=鈭�12a鈫�+b鈫�

AG鈫�=23a鈫�+23b鈫�

．

隆脿BF鈫�鈰�AG鈫�=(鈭�12a鈫�+b鈫�)(23a鈫�+23b鈫�)

=鈭�13a鈫�2+13a鈫�鈰�b鈫�+23b鈫�2

=鈭�13|a鈫�|2+13|a鈫�||b鈫�|cos60鈭�+23|b鈫�|2

=鈭�43+23+83=2.(6

分)

四、作图题(共3题，共18分)20、略

【分析】【分析】作点A关于河CD的对称点A′，当水厂位置O在线段AA′上时，铺设管道的费用最省．【解析】【解答】解：作点A关于河CD的对称点A′；连接A′B，交CD与点O，则点O即为水厂位置，此时铺设的管道长度为OA+OB．

∵点A与点A′关于CD对称；

∴OA′=OA；A′C=AC=1；

∴OA+OB=OA′+OB=A′B．

过点A′作A′E⊥BE于E；则∠A′EB=90°，A′E=CD=3，BE=BD+DE=3+1=4；

∴在Rt△A′BE中，A′B==5（千米）；

∴2000×5=10000（元）．

答：铺设管道的最省费用为10000元．21、【解答】幂函数y={#mathml#}x32

{#/mathml#}的定义域是[0；+∞），图象在第一象限，过原点且单调递增，如图所示；

【分析】【分析】根据幂函数的图象与性质，分别画出题目中的函数图象即可．22、解：如图所示：

【分析】【分析】由几何体是圆柱上面放一个圆锥，从正面，左面，上面看几何体分别得到的图形分别是长方形上边加一个三角形，长方形上边加一个三角形，圆加一点．五、计算题(共4题，共12分)23、略

【分析】【分析】先把方程变形为关于a的一元二次方程的一般形式：a2-（x2+2x）a+x3-1=0，然后利用求根公式解得a=x-1或a=x2+x+1；于是有

x=a+1或x2+x+1-a=0，再利用原方程只有一个实数根，确定方程x2+x+1-a=0没有实数根，即△＜0，最后解a的不等式得到a的取值范围．【解析】【解答】解：把方程变形为关于a的一元二次方程的一般形式：a2-（x2+2x）a+x3-1=0；

则△=（x2+2x）2-4（x3-1）=（x2+2）2；

∴a=，即a=x-1或a=x2+x+1．

所以有：x=a+1或x2+x+1-a=0．

∵关于x3-ax2-2ax+a2-1=0只有一个实数根；

∴方程x2+x+1-a=0没有实数根；即△＜0；

∴1-4（1-a）＜0，解得a＜．

所以a的取值范围是a＜．

故答案为a＜．24、略

【分析】【分析】①+②得到一个关于x的方程，求出x，①-②得到一个关于y的方程，求出y即可．【解析】【解答】解：；

①+②得：2x=6；

∴x=3；

①-②得：2y=8；

∴y=4；

∴方程组的解是．25、略

【分析】【分析】根据所求代数式为α、β的非对称式，通过根的定义、一元二次方程的变形转化后即可得出答案．【解析】【解答】解：∵α、β是方程x2-x-1=0的两个实数根；

∴α+β=1，αβ=-1，α2-α-1=0，β2-β-1=0；

∴α2=α+1，β2=β+1

∴α2+α（β2-2）=α+1+α（β+1