2022年北京市三中初三（上）期中数学试卷及答案

2022北京三中初三（上）期中数学一、选择题（下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的）1.下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A. B. C. D.2.将抛物线先向右平移个单位，再向上平移个单位，得到的抛物线是（）A. B.C. D.3.若关于的一元二次方程有一个根为0，则的值是（）A. B. C. D.或4.二次函数的最小值为（）A.5 B.0 C. D.5.如图，线段AB是⊙O的直径，弦，，则等于（）.A. B. C. D.6.如图，将绕点A逆时针旋转，得到，若点D在线段的延长线上，则的大小为（）A. B. C. D.7.函数y＝ax＋1与y＝ax2＋bx＋1（a≠0）的图象可能是（）A. B.C. D.8.如图，点M坐标为（0，2），点A坐标为（2，0），以点M为圆心，MA为半径作⊙M，与x轴的另一个交点为B，点C是⊙M上的一个动点，连接BC，AC，点D是AC的中点，连接OD，当线段OD取得最大值时，点D的坐标为（）A.（0，） B.（1，） C.（2，2） D.（2，4）二、填空题9.方程x2+2x＝0的解为_____．10.若关于的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是________．11.某种药品经过两次降价，由每盒元调至元，若设平均每次降价的百分率为，则由题意可列方程为________．12.如图，的直径为10，为弦，，垂足为C，若，则弦的长为_________．13.已知二次函数部分图象如图所示，则使得函数值y大于2的自变量x的取值范围是_________．14.关于x的二次函数y=x2﹣kx+k﹣2的图象与y轴的交点在x轴的上方，请写出一个满足条件的二次函数的表达式：_______．15.小明设计了一个魔术盒，当任意实数对(a，b)进入其中时，会得到一个新的实数a2＋2b－3.例如把(2，－5)放入其中就会得到22＋2×(－5)－3＝－9.现将实数对(m，－3m)放入其中，得到实数4，则m＝__________.16.如图，在平面直角坐标系中，点A与点B的坐标分别是与．对于坐标平面内的一动点P，给出如下定义：若，则称点P为线段的“等角点”．若点P为线段在第一象限的“等角点”，且在直线上，则点P的坐标为_______．三、解答题17.解方程：．18.二次函数y＝x2＋bx＋3的图象经过点（4，3）．（1）求b的值；（2）写出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴．19.已知关于x的一元二次方程x2－（m＋3）x＋m＋2＝0（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程两个根的绝对值相等，求此时m的值．20.已知二次函数．（1）将其化成的形式__________；（2）图象与x轴的交点坐标为_______；（3）用五点法画出二次函数的图象；（4）当时，函数值的范围是．21.如图，是⊙的直径，点在⊙上，是中点，若∠＝70°，求∠．下面是小诺的解答过程，请帮她补充完整．∵是中点∴∴∠1＝∠2∵∠BAC＝70°，∴∠2＝35°．∵AB是⊙O直径，∴∠ADB＝90°（）（填推理的依据）．∴∠B＝90°－∠2＝55°．∵A、B、C、D四个点都在⊙O上，∴∠C＋∠B＝180°（）（填推理的依据）．∴∠C＝180°－∠B＝（填计算结果）．22.如图，的顶点坐标分别为．（1）请画出关于点成中心对称的，并写出点的坐标；（2）四边形的面积为．23.如图，四边形内接于，，．（1）求点到的距离；（2）求出弦所对的圆周角的度数．24.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB边上一点（点D与A，B不重合），连结CD，将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，连结DE交BC于点F，连接BE．（1）求证：△ACD≌△BCE；（2）当∠BDE=25°时，求∠BEF的度数．25.为了在校运会中取得更好的成绩，小丁积极训练.在某次试投中铅球所经过的路线是如图所示的抛物线的一部分.已知铅球出手处A距离地面的高度是米，当铅球运行的水平距离为3米时，达到最大高度的B处.小丁此次投掷的成绩是多少米？26.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线．（1）求抛物线的对称轴（用含m的式子表示）；（2）若当时，y的最小值是0，请直接写出m的值；（3）直线与x轴交于点，与y轴交于点B，过点B作垂直于y轴直线l与抛物线有两个交点，在抛物线对称轴左侧的点记为P，当为钝角三角形时，求m的取值范围．27.如图，在中，，是线段延长线上一点，连接，过点作于．（1）求证：；（2）将射线绕点顺时针旋转后，所得的射线与线段的延长线交于点，连接．①依题意补全图形；②用等式表示线段之间数量关系，并证明．28.定义：在平面直角坐标系中，点是某函数图象上的一点，作该函数图象中自变量大于m的部分关于直线的轴对称图形，与原函数图象中自变量大于或等于m的部分共同构成一个新函数的图象，则这个新函数叫做原函数关于点的“派生函数”．例如：图①是函数的图象，则它关于点的“派生函数”的图象如图②所示，且它的“派生函数”的解析式为．（1）直接写出函数关于点的“派生函数”的解析式．（2）点M是函数的图象上的一点，设点M的横坐标为m，是函数G关于点M的“派生函数”．①当时，若函数值范围是，求此时自变量x的取值范围；②直接写出以点为顶点的正方形与函数的图象只有两个公共点时，m的取值范围.

参考答案选择题1.【答案】B【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一点旋转180°后能与原来位置的图形重合，这个图形叫做中心对称图形．【详解】解：A、不是中心对称图形，故该选项错误；B、两者均是，故该选项正确；C、不是中心对称图形，故该选项错误；D、两者均不是，故该选项错误．故选B．【点睛】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的概念，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．2.【答案】D【分析】根据二次函数平移规律“上加下减，左加右减”即可求解．【详解】解：将抛物线先向右平移个单位，得到，再向上平移个单位，得到的抛物线是，故选：D．【点睛】本题考查二次函数的平移，掌握二次函数的平移规律“上加下减，左加右减”是解题的关键．3.【答案】A【分析】根据一元二次方程根的定义以及一元二次方程的定义，将代入方程可得，并使得二次项系数不为0，可得，进而即可求解．【详解】解：∵关于的一元二次方程有一个根为0，∴，∴，故选A．【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义以及一元二次方程的定义，掌握一元二次方程根的定义是解题的关键．4.【答案】C分析】把二次函数解析式整理成顶点式形式，然后求出最小值即可．【详解】解：配方得：，当时，二次函数取得最小值为．故选C．【点睛】本题考查了二次函数的最值．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，熟练掌握知识点是解题的关键．5.【答案】C【分析】先根据垂径定理得到，再根据圆周角定理得∠BOD=2∠CAB=40°，然后利用邻补角的定义计算∠AOD的度数．【详解】∵CD⊥AB，∴，∴∠BOD=2∠CAB=2×20°=40°，∴∠AOD=180°-∠BOD=180°-40°=140°.故答案为C.【点睛】本题考查圆中的角度计算，熟练掌握垂径定理和圆周角定理是关键.6.【答案】A【分析】根据旋转的性质可得出，，再根据等腰三角形的性质：等边对等角，可求出的大小．【详解】解：根据旋转的性质，可得：，，故选：【点睛】本题考查了旋转的性质与等腰三角形的性质结合，利用等腰三角形的性质是解题的关键.7.【答案】C【分析】假设其中一个图象正确，然后根据图象得到系数的取值范围，然后根据系数的取值范围确定另一个图象的位置，看是否和图象相符即可求解．【详解】解：A、根据一次函数图象知道a＜0，与y轴的交点不是（0，1），故选项错误；

B、根据二次函数的图象知道a＜0，同时与y轴的交点是（0，1），但是根据一次函数的图象知道a＞0，故选项错误；

C、根据图象知道两个函数图象与y轴的交点坐标为（0，1），同时也知道a＞0，故选项正确；

D、根据一次函数图象知道a＜0，根据二次函数的图象知道a＞0，故选项错误．

故选：C．【点睛】此题主要考查了二次函数的图象、一次函数的图象与系数的关系，首先根据一次函数的图象得到系数的取值范围，然后利用系数的取值范围确定函数图象的大致位置即可求解．8.【答案】C【分析】先根据三角形中位线的性质得到当BC为直径（过圆心M）时，OD最大；然后延长BC与圆交于C1点，连接AC1；再由圆周角定理可得∠BAC1=90°，然后由垂径定理得到AB=4、勾股定理可得BM=即BC1=、AC1=4，最后求出线段AC1的中点坐标即可．【详解】解：如图：∵点O是AB的中点，点D是AC的中点∴OD//BC且OD=BC∴BC最大时,即当BC为直径（过圆心M）时，OD最如图：延长BC与圆交于C1点，连接AC1，∵BC1是直径∴∠BAC1=90°∵OB=OM=OA=2∴AB=2OA=4,点C1的横坐标为2，BM=，即BC1=∴AC1=∴点C1的坐标为（2,4）∵AC1的中点D1，A（2,0）∴D1的坐标为（2，2）．故选：C．【点睛】本题属于圆的综合题，主要考查了圆周角定理、垂径定理、三角形的中位线、勾股定理、线段的中点等知识，将求线段OD最大时D的坐标转换成求BC最大时点D的坐标是解答本题的关键．填空题9.【答案】0，﹣2．【分析】本题应对方程进行变形，提取公因式x，将原式化为两式相乘的形式，再根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0”来解题．【详解】x2+2x＝0,x（x+2）＝0,∴x＝0或x+2＝0,∴x＝0或﹣2,故本题的答案是0，﹣2．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．本题运用的是因式分解法．10.【答案】【分析】一元二次方程有实数根，则根据根的判别式可得，由此建立关于m的不等式，即可求出m的取值范围．【详解】解：一元二次方程有实数根，，，解得：，故答案为：【点睛】本题考查了一元二次方程根的情况，熟练使用根的判别式是解题的关键．11.【答案】【分析】本题可设平均每次降价的百分率是x，则第一次降价后药价为60（1﹣x）元，第二次在60（1﹣x）元的基础之又降低x，变为60（1﹣x）（1﹣x）即60（1﹣x）2元，进而可列出方程，求出答案．【详解】设平均每次降价的百分率是x，根据题意得：60（1﹣x）2=52．故答案为60（1﹣x）2=52．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程中增长率与下降率问题，关键是利用公式：“a（1±x）n=b”的应用，理解公式是解决本题的关键．12.【答案】8【分析】利用垂径定理得到，，再利用勾股定理得到，即可得到答案．【详解】解：连接，∵，∴，，∵的直径为10，，∴，∴，∴，故答案为：8．【点睛】此题考查了垂径定理、勾股定理等知识，熟练掌握相关定理是解题的关键．13.【答案】【分析】根据二次函数的对称性和图象性质判断即可；【详解】∵抛物线的对称轴为，∴点关于直线的对称点为，当时，函数值y大于2；故答案是：．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象性质，准确分析判断是解题的关键．14.【答案】y=x2﹣3x+1【详解】∵关于x的二次函数y=x2﹣kx+k﹣2的图象与y轴的交点在x轴的上方，∴k﹣2＞0，解得：k＞2，故答案为：y=x2﹣3x+1（答案不唯一）．15.【答案】7或－1##-1或7【详解】根据题意得，m2+2×（-3m）-3=4，解得m1=7，m2=-1，∴m的值为7或-1．故答案为：7或-116.【答案】【分析】根据P在直线上画图1，作的外接圆C，连接，，可知，的半径为，最后计算的长可得点的坐标．【详解】解：如图，作的外接圆，设圆心为C，连接，，∵点A与点的坐标分别是与，∴，∵，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴，，∵点P在直线上，∴，∴，∵，∴，∴故答案为：【点睛】本题主要考察了坐标和图形的性质，圆周角定理，解题关键是作的外接圆．解答题17.【答案】【分析】运用因式分解法—十字相乘法求解即可．【详解】解：．【点睛】本题考查了求解一元二次方程，解决本题的关键是运用因式分解法—十字相乘法求解．18.【答案】（1）；（2）二次函数的顶点坐标为（2，-1），对称轴为直线【分析】（1）直接把点（4，3）代入到二次函数解析式中进行求解即可；（2）根据（1）所求把二次函数化成顶点式进行求解即可．【详解】解：（1）∵二次函数的图象经过点（4，3），∴，∴；（2）∵，∴二次函数解析式为，∴二次函数的顶点坐标为（2，-1），对称轴为直线．【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，求二次函数的对称轴和顶点坐标，解题的关键在于能够熟练掌握求二次函数解析式的方法．19.【答案】（1）见解析；（2）-3或-1【分析】（1）先求出判别式△的值，再对“△”利用完全平方公式变形即可证明；

（2）根据求根公式得出x1=m+2，x2=1，再由方程两个根的绝对值相等即可求出m的值．详解】解：（1）∵，∴方程总有两个实数根；（2）∵，∴，.∵方程两个根的绝对值相等，∴.∴或-1.【点睛】本题考查的是根的判别式及解一元二次方程，在解答（2）时得到方程的两个根是解题的关键．20.【答案】（1）（2）和（3）见解析（4）【分析】（1）由配方可求解；（2）令可求得与x轴交点坐标；（3）先求出该函数图像上五个点的坐标，再用描点法画出图象即可；（4）由图象可求解．【小问1详解】由题意可得：；故答案为：；小问2详解】由题意得，令，可得，解得，∴图象与x轴的交点坐标为和；故答案为：和；【小问3详解】∵，∴顶点坐标，对称轴为，由（2）可得，图象与x轴的交点坐标为和，令，得，∴图象与y轴的交点坐标为，∵对称轴为，∴当时，，∴该函数经过，，，，，如图：【小问4详解】由图象可得：．故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．21.【答案】直径所对的圆周角是直角；圆内接四边形对角互补；125°【分析】根据圆周角定理，圆内接四边形的性质，求出∠B即可解决问题．【详解】∵是中点∴∴∠1＝∠2∵∠BAC＝70°，∴∠2＝35°．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°（直径所对的圆周角是直角）∴∠B＝90°－∠2＝55°．∵A、B、C、D四个点都在⊙O上，∴∠C＋∠B＝180°（圆内接四边形对角互补）∴∠C＝180°－∠B＝125°．故答案是：直径所对的圆周角是直角；圆内接四边形对角互补；125°【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质等知识，熟练掌握这些基本知识是解决本题的关键．22.【答案】（1）画图见解析，；（2）【分析】（1）根据中心对称图形的特征即可画出，进而可得点的坐标；（2）易判断四边形是平行四边形，再根据平行四边形的面积公式求解即可．【详解】解：（1）如图所示：点的坐标是；（2）四边形的面积=4×4=．故答案为：16．【点睛】本题考查了中心对称作图和四边形面积的计算，属于常考题型，熟练掌握中心对称图形的特征是解题关键．23.【答案】（1）（2）∠B=45°，∠D=135°．【分析】（1）连接OA，作OH⊥AC于H，根据勾股定理的逆定理得到∠AOC=90°，根据等腰直角三角形的性质解答；（2）根据圆周角定理求出∠B，根据圆内接四边形的性质计算，得到答案．【小问1详解】连接OA，作OH⊥AC于H，∵，，∴，，∴OA2+OC2=AC2，∴△AOC为等腰直角三角形，又∵，∴，∴OH=AC=，即点O到AC的距离为；【小问2详解】∠B=∠AOC=45°，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠D=180°-45°=135°．综上所述：弦所对的圆周角∠B=45°，∠D=135°．【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质，圆周角定理，勾股定理的逆定理，掌握圆内接四边形对角互补是解本题的关键．24.【答案】（1）见解析；（2）∠BEF=65°【分析】（1）由旋转的性质可得CD=CE，∠DCE=90°=∠ACB，由“SAS”可证△ACD≌△BCE，可得BE=AD，∠CBE=∠CAD=45°，可得结论；（2）由全等三角形的性质以及三角形内角和定理可求解．【小问1详解】证明：∵将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，∴CD=CE，∠DCE=90°=∠ACB，∴∠ACD=∠BCE，∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠CAB=∠CBA=45°，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS）；【小问2详解】解：∵△ACD≌△BCE，∴∠CBE=∠CAD=45°，∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=90°，∵∠BDE=25°，∴∠BEF=65°．【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．25.【答案】小丁此次投掷的成绩是8米.【分析】如图建立直角坐标系，可得顶点坐标为（3，），A点坐标为（0，）根据顶点坐标设二次函数解析式为y=a(x-3)2+，把A点坐标代入即可求出a值，可得二次函数解析式，令y=0，求出x的正值即为铅球投掷的成绩.【详解】如图建立直角坐标系，∵铅球出手处距离地面的高度是米，当铅球运行的水平距离为3米时，最大高度为米，∴A（0，），B（3，），设二次函数的解析式为y=a(x-3)2+，∴(0-3)2a+=，解得：a=，∴二次函数的解析式为y=(x-3)2+，当y=0时，(x-3)2+=0，解得：x1=8，x2=-2（舍去），∴小丁此次投掷的成绩是8米.【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，如知道二次函数的顶点可设二次函数解析式为顶点式，求出二次函数解析式是解题的关键．26.【答案】（1）（2）或（3）或【分析】根据对称轴为直线，计算即可；分三种情况，m≤1，1≤m≤2或m≥2．由二次函数的性质分别列方程求解即可；当为钝角三角形时，则或，分别求解即可．【小问1详解】解：∵抛物线，∴对称轴为直线；【小问2详解】解：∵抛物线，∴抛物线顶点坐标为，∴的取值范围应分三种情况，或．若时函数取得最小值，∴，解得或（舍去），若，函数取得最小值为，不合题意．若，函数取得最小值，∴，解得或（舍去），综上所述，的值为0或3．【小问3详解】解：把点代入表达式并解得：，则，直线的表达式为：，如图，在直线上，当时，点P与B重合，当时，，则