数学建模：第六章建模范例三培训课件

基金最佳使用计划1、问题的提出某校基金会有一笔数额为M元的基金，打算将其存入银行或购买国库券。当前银行存款及各期国库券的利率见下表。

银行存款税后年利率（%）国库券年利率（%）活期0.792半年期1.664一年期1.800二年期1.9442.55三年期2.1602.89五年期2.3043.14假设国库券每年至少发行一次，发行时间不定。取款政策参考银行的现行政策。1校基金会计划在年内每年用部分本息奖励优秀师生，每年的奖金额。

请你帮助校基金会在如下情况下设计基金使用方案，

并对万元，年给出具体结果：1）只存款不购国库券；2）可存款也可购国库券

3）学校在基金到位后的第3年要举行百年校庆，基金会希望这一年的奖金比其它年度多20%。

要求每年的奖金额大致相同，且在n年末仍保留原基金数额。校基金会希望获得最佳的基金使用计划，以提高22、问题分析综合分析题（一）

参照存款年利率数据表可知，定期存款年限越长，存款税后年利率越大。因此，在不影响奖金发放的情况下，应尽可能存年限较长的定期存款，这样才能获得较高的利息。所以，此基金的最佳使用计划是：拿出一部分基金存入一年定期，一年后的本息全部用于发放第一年的奖金，再拿出一部分基金存入二年定期，二年后的本息全部用于发放第二年的奖金，以此类推，且每年发放奖金数额相同，最后一年存入银行的款项在发完奖金后仍然为基金总额M。

33模型假设

1）每年发放奖学金一次，且均在年末发放。

2）银行发行国库券时间不固定。3）由于近几年国库券销售市场很好，所以，国库券可在发行当日购买。

4）国库券在没有到期之前，不得进行贴现。4．模型建立

问题一：只存款不购买国库券的情况。定理1一定数额的资金H先存定期年再存定期年和先存定期k年再存定期年，本息和相等。5证明：

设分别为定期年和年的年利率，

则一定数额的资金H先存定期k年再定期m年的本息和为

先存定期m年再存定期k年的本息和为

根据乘法交换律

定理1得证。

6推论1、一定数额的资金H若把存款年限n分成j个存期，

其中

则n年后本息和与存期顺序无关。

定理2、使一定数额的资金H存储n年后本息和最大的存款策略为当n=1时，存定期1年；当n=2时，存定期2年；当n=3时，存定期3年；当n=4时，先存定期3年，然后再存定期1年；当n=5时，存定期5年；7当时，首先存储个5年定期，

剩余年限存储情况与时相同。

证明：

下表中用形如(I,j)的形式表示存款策略，

(I,j)表示先存i年定期，再j年定期。8表1银行存款各种存款策略年均利率存款策略银行存款税后年均利率（%）最佳存款策银行存款税后最佳年均利率（%）一年期（1）1.800(1)1.800二年期（1,1）1.816(2)1.944（2）1.944三年期（1,1,1）1.833(3)2.164(2,1)1.919(3)2.160四年期(1,1,1,1)1.849(3,1)2.099(2,2)1.982(3,1)2.099五年期(1,1,1,1,1)1.866(5)2.304(2,2,1)1.974(3,2)2.124(5)2.304六年期(3,3)2.230(5,1)2.255(5,1)2.2559由上表可得，任何最佳存款策略中不能存在以下的存款策略(1,1),(2,1),(2,2),(3,2)和（3,3）。由1,2,3,5四种定期能够组成的策略（5年定期不重复）只能有（1）,（2）,（3）,（3,1）,(5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,3,1)九种，

它们分别对应n=1到9年的最优存款策略，

当时的最佳存款策略只能是首先重复存个定期5年，

剩余年限只能是1、2、3、4,

当=3时，再存3年定期；

当=4时，先存3年定期，再存1年定期。

定理2得证。

10定理3基金M使用n年的情况，首先把M分成n份

其中第份基金

存款期限为年，

那么只有当第份基金按最优年后

策略存款存款的本息和等于当年的奖学金数,

并且第n份基金按最佳存款策略存款n年后的本息和等于

原基金M与当年的奖学金数之和时，每年发放的奖学金才能达到最多。

证明：

当n=1时，即将基金存入银行一年后的所得利息全部用于发放奖学金，此种情况显然成立。

当时，首先需要证明：

第一份基金存入银行1年定期，

到期后本息和正好

等于奖学金数额

即

11下面试用反证法予以证明：假设，可分两种情况：（一）假设，那么基金存入银行1年后，

到期本息和小于奖学金数额为了使每年的奖学金数额尽可能相同，所差资金只能从其它定期存款中按活期存款提前支取，

这样的结果比按存入一年定期（即到期本息和正好

等于奖学金数额），

其它基金均按定期的总利息要少。

为使奖学金数额最大，

所以

≮存款12（二）假设，那么基金存入银行1年，

到期后本息和大于奖学金数额剩余资金再按最优存款策略存k年，这种情况所

得利息显然不比在开始时多余部分资金直接最优

存款策略存年后利息多，

所以≯因此同理可证，为使奖学金数额最大，第i份基金

按最优存款策略存i年后本息和应正好等于奖学金数额。第n份基金为存储n年应按最佳策略存款。

13根据问题条件，第n份基金按最优策略存n年后

所得本息和应为

定理3得证。5．模型的求解由定理1、2及定理3可得n年的最佳存款方案公式一:

其中表示把基金M分成n份中的第i份基金，

p为每年的奖学金数额

1415根据上公式可用求得n=10年，M=5000万元时

基金使用的最佳方案：

奖学金（万元）16表2值及其存i年的最佳存款策略资金数额（万元）最佳存款策略107.875194(1)105.707057(2)103.133872(3)101.310287(3,1)98.472872(5)96.731702(5,1)94.787533(5,2)92.480158(5,3)90.844949(5,3,1)4108.656375(5,5)17M=5000万元，n=10年基金使用最佳方案（单位：万元）

存1年定期存2年定期存3年定期存5年定期取款数额每年发放奖学金数额第一年初107.75194105.707057204.44441594581.97359第一年末109.816947109.816947第二年末109.816947109.816947第三年末107.75194217.692141109.816947第四年末109.816947109.816947第五年末107.75194105.707057204.44441594691.7902815109.816947109.81694718M=5000万元，n=10年基金使用最佳方案（单位：万元）存1年定期存2年定期存3年定期存5年定期取款数额每年发放奖学金数额第六年末109.816947109.816947第七年末109.816947109.816947第八年末107.875194217.692141109.816947第九年末109.816947109.816947第十年末5109.816947109.81694719问题二的求解

我们对可购买国库券也可存款这种情况，考虑到国库券发行日期不定，若准备购买它，则一般需要等待一段时间，因为一年内至少发行一次国库券，有可能上半年发行，也有可能下半年发行，所以我们首先把准备购买国库券的资金全部按半年定期存储，如果上半年未发行国券，7月1日取出本息后再存半年定期，如果下半年的某日比如8月1日发行国库券，则取出资金购买国库券，但这部分资金未到期，只能按活期计息。

如果是购买两年国库券，则两年国库券到期，因未到期末，肯定面对继续采取怎样的存储策略的问题，或者存定期，或者存活期，或者等待购买国库券。

20如果等待购买国库券，因国库券发行时间未定，有可能还要等待将近一年的时间，如果准备存整年定期，那么等到基金使用最后一年的8月1日即可到期，剩下的5个月只能存活期。

根据定理2可得：

推论2购买国库券时，需要存半年的定期和总共半年的活期。一定数量的资金存储n年，存期种类相同，任意改变顺序，本息保持不变，再加上以上分析，如果准备购买两年期国库券可以这样想象：先存半年定期，再存1个月的活期，在8月1日购买两年期的国库券，两年后的8月1日取出国库券本息后，再存5个月的活期，即需要存半年的定期和总共半年的活期。21单位资金购买两年国库券、存入银行半年定期和半年活期后的本息为：

这种存款策略稍劣于存入银行的三年定期，其年利率为：

同理，单位资金购买三年期国库券、存入银行半年定期和半年活期后的本息为：这种存储策略稍优于存入银行的四年定期，其年利率为：

22

单位资金购买五年期国库券、存入银行半年定期和半年活期后的本息为：

这种存储策略稍优于存入银行的六年定期，其年利率为：

在上面的分析中，因购买国库券而带来的总共半年的两次活期存款，其本息是按一次半年活期计算的它与按一次半年活期计算，其本息差别很小，可以忽略不计。所以，可以不考虑购买两年国库券情况。

23

购买三年期国库券再加半年活期和半年定期共四年的平均年利率2.499%大于先存三年定期再存一年定期存款最大的四年平均年利率2.099%。

所以，增加一项定期四年存款，其年利率为2.499%。

购买五年国库券再加半年活期和半年定期共六年的平均年利率2.852%大于先存五年定期再存一年定期存款最大的六年平均年利率2.255%.所以，增加一项定期六年存款，其年利率为2.852%综上分析，可购买国库券的最优银行存款税后利率如下表6-16.24银行存款税后年利率（%）活期0.792半年期1.644一年期1.800二年期1.944三年期2.160四年期2.499六年期2.852当n=1时，因没有一年期国库券，基金只能存入银行，基金使用方案参照问题一。

当n=2时，可以购买国库券，但由于国库券发行日期正好在1月1日的概率非常小，因此，最终国库券到期日可能在第三年的某月，这样就影响了第二年末的奖学金发放，所以，也只能把基金存入二年定期，而不购买国库券。25根据以上的推理，可得n年的最优存储方案公式二为：

26据上公式用可以求得n=10年，M=5000万元时基金使用的最优方案：（单位：万元）每年奖学金：2728问题三求解：方案一：只存款不购买国库券因学校要在基金到位后的第3年举行校庆，所以此年奖金应是其他年度的1.2倍，

计算公式只需把公式一、公式二中：

改为

利用软件求解（程序略）M=5000万元，n=10年基金使用最佳方案：（单位：万元）29M=5000万元，n=10年基金使最佳方案（单位：万元）

存1年定期存2年定期存3年定期存5年定期取款数额（到期本息和）每年发放奖学金数额第一年初105.650679103.527252220.4297054570.392364每一年末107.552392107.552392第二年末107.552392107.552392第三年末105.650679234.713549129.062870第四年末107.552392107.552392第五年末105.650679103.527253220.4297054678.1476025107.7552392107.55239230M=5000万元，n=10年基金使最佳方案（单位：万元）存1年定期存2年定期存3年定期存5年定期取款数额（到期本息和）每年发放奖学金数额第一年初105.650679103.527252220.4297054570.392364第六年末107.552392107.552392第七年末107.552392107.552392第八年末105.650679213.203071107.552392第九年末107.552392107.552392第十年末5107.755232107.55239231方案二，既可存款又可购买国库券当n=1,2时不涉及到校庆问题，分配方案参照问题二。当n=3时，将钱直接存入银行，分配方案参照问题一。当n=4时，执行方案为购买三年期国库券、一个半年定期与一个半年的活期，策略为：

32解得：

根据以上的求解，只需将问题二最优方案中第三年的奖学金数乘以1.2即可得到本方案的最佳使用情况。33

利用Matlab软件求解M=5000万元，n=10年基金使用最优方案：（单位：万元）

每年奖学金：346．模型评价

本模型有以下优点：模型在建立过程中充分考虑到学校基金的特殊性，得出最佳的分配方案。2、利用Matlab软件编程进行求解，所得结果误差小，数据准确合理。

353、利用优化组合法，分组比较，得出一段年限内最大的平均利率。4、该模型实用性强，对现实有很强的指导意义。5、购买国库卷时，证明了发行日期对利率的影响很小，可以忽略不计，使问题简化。

366.10投资的收益和风险一、问题提出

市场上有n种资产（i=1,2……n）可以选择，现用数额为M的相当大的资金作一个时期的投资。这n种资产在这一时期内购买的平均收益率为，风险损失率为，投资越分散，总的风险越小，总体风险可用投资的中最大的一个风险来度量。

购买时要付交易费，(费率)，当购买额不超过时，交易费按购买计算。另外，假定同期，既无交易费又无风险。（=5%）给定值银行存款利率是已知n=4时相关数据如下：37（%）（%）（%）（元）S1282.51103S2211.52198S3235.54.552S4252.66.540试给该公司设计一种投资组合方案，即用给定资金M，有选择地购买若干种资产或存银行生息，使净收益尽可能大，使总体风险尽可能小。二、基本假设和符号规定基本假设：投资数额M相当大,为了便于计算，假设M=1；2．投资越分散，总的风险越小；3．总体风险用投资项目中最大的一个风险来度量；384．n种资产之间是相互独立的；5．在投资的这一时期内,ri,pi,qi，r0为定值，不受意外因素影响；6．净收益和总体风险只受ri,pi,qi影响，不受其他因素干扰。符号规定：Si——第i种投资项目，如股票，债券ri,qi,pi----分别为Si的平均收益率,交易费率，风险损失率，ui----Si的交易定额

-------同期银行利率xi-------投资项目Si的资金

a-----投资风险度39Q----总体收益ΔQ----总体收益的增量三、模型的建立与分析1.总体风险用所投资的Si中最大的一个风险来衡量,即max{qixi|i=1，2,…n}2．购买Si所付交易费是一个分段函数,即

pixixi>ui交易费=piuixi≤ui而题目所给定的定值ui(单位:元)相对总投资M很小,piui更小,可以忽略不计,这样购买Si的净收益为(ri-pi)xi403．要使净收益尽可能大，总体风险尽可能小,这是一个多目标规划模型:

目标函数

MAX

MINmax{qixi}约束条件

xi≥0i=0,1,…n4.模型简化：1)在实际投资中，投资者承受风险的程度不一样，若给定风险一个界限a，使最大的一个风险qixi/M≤a，可找到相应的投资方案。

41这样把多目标规划变成一个目标的线性规划。

模型1固定风险水平，优化收益目标函数：

Q=MAX

约束条件：

≤a

xi≥0i=0，1，…n2)若投资者希望总盈利至少达到水平k以上，在风险最小的情况下寻找相应的投资组合。模型2固定盈利水平，极小化风险42目标函数：R=min{max{qixi}}约束条件：

xi≥0i=0，1，…n3)投资者在权衡资产风险和预期收益两方面时，希望选择一个令自己满意的投资组合。因此对风险、收益赋予权重s（0＜s≤1)，s称为投资偏好系数.模型3

目标函数：mins{max{qixi}}-（1-s）约束条件=M，xi≥0i=0,1,2,…n43四、模型1的求解模型1固定风险水平，优化收益目标函数：

Q=MAX

约束条件：

≤a

xi≥0i=0，1，…n模型1为:

minf=(-0.05,-0.27,-0.19,-0.185,-0.185)(x0x1x2x3x4x0+1.01x1+1.02x2+1.045x3+1.065x4=10.025x1≤a0.015x2≤a0.055x3≤a0.026x4≤axi≥0(i=0,1,…..4)44由于a是任意给定的风险度，到底怎样给定没有一个准则，不同的投资者有不同的风险度。我们从a=0开始，以步长△a=0.001进行循环搜索，编制程序如下：a=0;while(1.1-a)>1c=[-0.05-0.27-0.19-0.185-0.185];Aeq=[11.011.021.0451.065];beq=[1];A=[00.025000;000.01500;0000.0550;00000.026];b=[a;a;a;a];vlb=[0,0,0,0,0];vub=[];[x,val]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub);ax=x'Q=-valplot(a,Q,'.')axis([00.100.5])holdona=a+0.001;endxlabel('a'),ylabel('Q')45计算结果如图6.20.部分计算结果如下：风险度ax0x1x2x3x4收益Q0.00300.49490.12000.20000.05450.11540.12660.006000.24000.40000.10910.22120.20190.008000.32000.53330.127100.21120.010000.40000.5843000.21900.020000.80000.1882000.25180.040000.99010000.267346五、结果分析1.风险大，收益也大。2.当投资越分散时，投资者承担的风险越小，这与题意一致。即:冒险的投资者会出现集中投资的情况，保守的投资者则尽量分散投资。3.曲线上的任一点都表示该风险水平的最大可能收益和该收益要求的最小风险。对于不同风险的承受能力，选择该风险水平下的最优投资组合。474.在a=0.006附近有一个转折点，在这一点左边，风险增加很少时，利润增长很快。在这一点右边，风险增加很大时，利润增长很缓慢，所以对于风险和收益没有特殊偏好的投资者来说，应该选择曲线的拐点作为最优投资组合，大约是a*=0.6%，Q*=20%，所对应投资方案为:风险度收益x0x1x2x3x40.00600.201900.24000.40000.10910.2212486.11钢管订购和运输优化模型一、问题的提出要铺设一条的输送天然气的主管道,如图所示。经筛选后可以生产这种主管道钢管的钢厂有图中粗线表示铁路，单细线表示公路，49A13258010103120124270108810706270302020304501043017506061942052016804803002202104205006003060195202720690520170690462160320160110290115011001200A2A3A4A5A6A11A711A11A8A11A911A11A10A11A12A13A14A15S1S2S3S4S5S6S7图一双细线表示要铺设的管道(假设沿管道或者原来有公路，或者建有施工公路)，圆圈表示火车站，每段铁路、公路和管道旁的阿拉伯数字表示里程(单位km)。50为方便计，1km主管道钢管称为1单位钢管。一个钢厂如果承担制造这种钢管，至少需要生产500个单位。钢厂在指定期限内能生产该钢管的最大数量为个单位，钢管出厂销价1单位钢管为万元，如下表：

1234567800800100020002000200030001601551551601551501601单位钢管的铁路运价如下表：里程(km)≤300301～350351～400401～450451～500运价(万元)202326293251里程(km)501～600601～700701～800801～900901～1000运价(万元)37445055601000km以上每增加1至100km运价增加5万元。公路运输费用为1单位钢管每公里0.1万元（不足整公里部分按整公里计算）。钢管可由铁路、公路运往铺设地点（不只是运到点，而是管道全线）。请制定一个主管道钢管的订购和运输计划，使总费用最小（给出总费用)。52二、基本假设：1、沿铺设的主管道以有公路或者有施工公路。2、在主管道上，每公里卸1单位的钢管。3、公路运输费用为1单位钢管每公里0.1万元（不足整公里部分按整公里计算）4、在计算总费用时，只考虑运输费和购买钢管的费用，而不考虑其他费用。5、在计算钢厂的产量对购运计划影响时，只考虑钢厂的产量足够满足需要的情况，即钢厂的产量不受限制。6、假设钢管在铁路运输路程超过1000km时，铁路每增加1至100km，1单位钢管的运价增加5万元。53三、符号说明：：第个钢厂；

：第个钢厂的最大产量；：输送管道（主管道）上的第个点；：第个钢厂1单位钢管的销价；：钢厂向点运输的钢管量；

：在点与点之间的公路上，运输点向点方向铺设的钢管量；

：1单位钢管从钢厂运到结点即公路运费﹑铁路运费和钢管销价之和；

的最少总费用，54：与点相连的公路和铁路的相交点；：相邻点与之间的距离；四、模型的建立与求解问题：讨论如何调整主管道钢管的订购和运输方案使总费用最小。由题意可知，钢管从钢厂到运输结点的费用钢管的销价﹑钢管的铁路运输费用和钢管的输费用。包括公路运在费用最小时，对钢管的订购和运输进行分配，可得出本问题的最佳方案。551、求钢管从钢厂运到运输点的最小费用1）将图一转换为一系列以单位钢管的运输费用为权的赋权图。由于钢管从钢厂运到运输点要通过铁路和公路运输，而铁路运输费用是分段函数，与全程运输总距离有关。56又由于钢厂直接与铁路相连，所以可先求出钢厂到铁路与公路相交点的最短路径。如图

57依据钢管的铁路运价表，算出钢厂到铁路与公路相交点的最小铁路运输费用，并把费用作为边权赋给从钢厂到的边。

再将与相连的公路、运输点铺设管道的线路（也是公路）添加到图上，根据单位钢管在公路上的运价规定，得出每一段公路的运费，并把此费用作为边权赋给相应的边。以为例得图四及其与之相连的要

图四钢管从钢厂运到各运输点的铁路运输与公路运输费用权值图582）计算单位钢管从到的最少运输费用据图四，可求最短路的方法求出单位钢管从到的最少运输费用依次为：

170.7，160.3，140.2，98.6，38，20.5，3.1，21.2，64.2，92，96，106，121.2，128，142（单位：万元）。59加上单位钢管的销售价，得出从钢厂购买单位的最小费用依次为：

钢管运输到点330.3，320.3，300.2，258.6，198，180.5，163.1，181.2，224.2，252，256，266，281.2，288，302（单位：万元）。60同理，可用同样的方法求出钢厂﹑﹑﹑﹑﹑到点的最小费用，从而得出钢厂到点的最小总费用（单位：万元）为：61表一

到点最小费用

a2a3a4a5a6a7a8a9a10a11a12a13a14a15s1320.3300.2258.6198180.5163181.2224.2252256266281.2288302s2360.3345.2326.6266250.5241226.2269.2297301311326.2333347s3375.3355.2336.6276260.5251241.2203.2237241251266.2273287s4410.3395.2376.6316300.5291276.2244.2222211221236.2243257s5400.3380.2361.6301285.5276266.2234.2212188206226.2228242s6405.3385.2366.6306290.5281271.2234.2212201195176.2161178s7425.3405.2386.6326310.5301291.2259.2237226216198.2186162622、建立模型运输总费用可分为两部分：运输总费用=钢厂到各点的运输费用+铺设费用。

运输费用：

若运输点向钢厂订购单位钢管，则钢管从钢厂运到运输点所需的费用为由于钢管运到必须经过，所以可不考虑，那么所有钢管从各钢厂运到各运输点上的总费用为：63铺设费用：

当钢管从钢厂运到点后，钢管就要向运输点的两边段和段运输（铺设）管道。

设向段铺设的管道长度为，则向段的运输费用为（万元）；

由于相邻运输点与之间的距离为，那么向段铺设的管道长为所对应的铺设费用为（万元）。

64所以，主管道上的铺设费用为：总费用为：

它等于点向两边铺设钢管量总和，即65又因为一个钢厂如果承担制造钢管任务，至少需要生产500个单位，钢厂在指定期限内最大生产量为个单位，故

或

因此本问题可建立如下的非线性规划模型：66

3、模型求解：由于MATLAB不能直接处理约束条件：或，我们可先将此条件改为，

得到如下模型：67

用MATLAB求解，分析结果后发现购运方案中钢厂的生产量不足500单位，

下面我们采用不让钢厂生产和要求钢厂不小于500个单位两种方法计算：

的产量

1）不让钢厂生产

计算结果：1278632（万元）（此时每个钢厂产量都满足条件）。2）要求钢厂的产量不小于500个单位计算结果：

1279664(万元)（此时每个钢厂产量都满足条件）。

68比较这两种情况，得最优解为，

=1278632（万元）具体的购运计划如表：

订购量A2A3A4A5A6A7A8A9A10A11A12A13A14A15S18000201133200266000000000S28001791114295003000000000S31000139111860006640000000S4000000000000000S5101503582420000004150000S6155600000000035186333621165S7000000000000000696.12矿山运输问题一、问题的提出某露天铁矿里有若干个石料堆，每堆称为一个铲位，每个铲位已预先根据铁含量将石料分成矿石和岩石。每个铲位的矿石、岩石数量，以及矿石的平均铁含量都是已知的。有若干个卸矿石及卸岩石的卸货地点（以下简称卸点），在一个工作班次中每个卸点都有各自的产量要求且矿石卸点的矿石平均铁含量有一定限制。每个铲位至多能安置一台电铲，电铲的平均装车时间和卡车的平均卸车时间是一定的。原则上在安排时不应发生卡车等待的情况,电铲和卸点都不能同时为两辆及两辆以上卡车服务.为了降低运输成本,试研究在一个工作班次中，出动卡车的数量，卡车的具体调度安排等使总运量Q（吨公里）最小.70二、基本假设与符号说明1.基本假设为了便于问题的研究，我们对问题中的一些因素作一些约定和假设。（1）露天铁矿里有铲位，个卸点，其中前F个为个是岩石卸点，电铲在一个班次内不分钟。矿石卸点，后改变铲位，也就是说每台电铲在一个班次内只在一个铲位上工作，电铲装一车的时间为（2）一个班次内矿石卸点的矿石平均铁含量为。（3）卡车每次运输都按载重量因颠簸而使岩石或矿石减少的情况。另外卡车运输始终以的平均速度行驶，卡车卸载的时间为满载运输，并不考虑分钟.71(4)发动和刹车所占用的时间忽略不计。（5）同一班次中每辆卡车所走的路线是不定的，即卡车选择哪条路线是随机的，无堵车现象发生。2、符号的说明：从i卸点到j铲位的路程；

：所需卡车的总量；

:i号卸点的需求量；

j号铲位矿石的铁含量百分比

:j号铲位矿石的供应量。

:j号铲位岩石的供应量。

:在一个班次内j铲位到i卸点单向路径上通过总车次；72：一个班次内i卸点到j铲位单向路径上通过的总车次；三、问题的分析及模型的准备通过直观的分析可知，本问题是一个较复杂的运输系统调度问题。问题要求分别满足运输原则的条件下建立一个班次运输方案安排的数学模型，并且要给出出动卡车的数量，卡车的具体调度安排等，目标函数是要求总运量最小，同时出动的卡车最少。为了建立数学模型，我们还需对问题作进一步的分析。运输矩阵的建立卡车运输路线的选择是双向、随机的，当多辆卡车同时运输时，他们所形成的运输网错综复杂。为了便于描述卡车在一个班次的调动状态，我们先规定了两个运输方向，我们把从铲位到卸点的方向称为前进（Go）方向，而将从卸点到铲位的方向称为返回(Return)方向。73由于有m个卸点，n个铲位，我们构建以下矩阵描述Go其中表示在一个班次内从j铲位到i卸点单向路径上所。方向的运输状态：通过的总车次，同理，我们可得到Return矩阵：其中表示在一个班次内从i卸点到j铲位单向路径上所通过的总车次。我们将Go矩阵和Return矩阵统称为调度矩阵。742、数学建模分析要求总运量最小，同时出动的卡车数量最少，这实际上是要求运输成本最小。这里的总运量我们理解为卡车所装载的货物总量（吨）与卡车在装载状态下所行的路程之积。其数学表达式为表示从铲位到卸点之间的路程，为卡车满载时的载重。75当卡车从卸点返回时，此时虽然卡车所走的路程不为零，但此时卡车所装载货物的质量为零，所以返回时卡车的运量为零，所以卡车的总运输指的是从铲位到卸点也即Go方向上的总运量。问题要求在同一班次内出动卡车的数量最少。卡车最少的运输状态有以下两个特点：1）卡车得到最大限度的利用，即卡车几乎没有等待时间（闲置时间）。2）卡车充分地工作，恰能完成运输问题，或者超额的部分并不多。对于多辆卡车的装、运、卸的时间我们很难确定，但根据特点1），我们在宏观上很容易找到卡车数量与其他因素之间的关系。76由于所有卡车几乎一直在工作，即对每辆卡车来说在一个班次内都处于装、运、卸三个时间状态，所以我们将所有卡车的工作时拆合成一辆卡车的工作时，便有其中T为生产周期，即一个班次的时间，为在一个班次内所有卡车的总等待时间，

于是有由于整个运输过程中原则上不应存在等待时间，所以的值应近似为零或就是零。773.等待时间的控制我们在安排运输方案时,原则上不应存在等待时间,但不排除一定存在等待时间的情况,所以我们安排运输时应尽可能避免出现等待时间的情况。根据参考文献，卡车在进行调度时可以根据“最小饱和度”调度准则（MSD），以尽可能地避免发生等待现象。这一准则的实质，是将卡车调往具有最小“饱和”程度的路线：78式中卸点的待发车所选择的将去铲位表示由卸点到j铲位的饱和度，表示由铲位到卸点的饱和度。

choice(j)：处于j铲位的待发车所选择的将去卸点的代号；choice(i)：处于的代号；和的具体表达式为：79其中为估计的剩余时间，表示到第号铲位的卡车数，包括正装及待装卡车，表示到卸点的卡车数，包括正卸及待卸卡车。80四数学模型的建立与求解1、模型的建立由上面问题的分析，我们给出了成本的数学表达式，再经过对目标函数约束条件的分析后，我们建立以下双目标线性规划模型：81约束条件（1）是为保障在一个班次内要满足各卸点的需求；（2）是对铲位搭配的约束，即在同一班次内所有矿石的卸点都要达到品味要求的限制；（3）,（4）是基于铲位的岩石和矿石的储量都是有限的而进行的约束，即从任何铲位所输出的产量不应超过该铲位的储量；82（5）（6）是对和其上限不应超过，；

约束，（7）描述了等待时间的情形，说明了可以存在等待时间，但尽量应使等待时间为0；（8）给出了Go和Return矩阵元素之间的逻辑关系；83（9）是对目标函数中和的约束，这是由它们的现实意义而定的。条件（10）和条件（11）是为了保证尽量避免等待现象而进行的实时调度的约束。将约束条件综合如下:84852、模型的求解上面的数学模型是典型的大型的双目标规划问题，即使在约束条件下对两个目标分别求解，也是困难的，困难在于模型中的变量太多，尤其是模型的约束条件中包含了实时调度的限制，这种限制使模型变成非线性，而且不易控制的复杂的数学模型。因此不易直接由计算机进行搜索求解，只能另辟途径。（1）模型算法的理论分析模型的求解要求给出一个班次内出动卡车的数量及卡车的路线分配。模型的目标函数为总运量最小，同时要求出动的卡车也是最少，但也要满足运输要求，所以我们先不考虑出动卡车的台数，直接以总运量最小为目标，求解模型。求解出运输方案后，卡车数量即可给出。86直接的求解很复杂，为此我们采取分步求解的方法：第一步：用线性规划的方法求出从每个铲位到每个卸点所发的车次，从而给出了Go矩阵。第二步：从Go矩阵判断铲位分配。第三步：依据Go矩阵提供的信息，用线性规划方法求出由每个卸点返回到每个铲位的车次，从而给出了Return矩阵。第四步：依据Go矩阵和Return矩阵，根据卡车的充分利用条件求出在一个班次内所需卡车的数量。（2）分步求解的实现Go矩阵的求解:单目标线性规划法：87为求解Go矩阵，我们先要求出从每个铲位到每个卸点的岩石或矿石的运量。为此，我们以总运量最小为目标函数，供应约束、需求约束、品位限制为约束条件，建立如下单目标线性规划数学模型。88我们利用Mathematic中的ConstrainedMin函数可求出一组解，由于该函数求出的解并非整数，所以我们用手工改动的方法对求出的结果进行优化处理，处理原则是对所得结果进行取整或取整再加1，并在满足限制条件下使目标函数尽可能的大，这样我们便得到矩阵.Return矩阵的求解由于卡车返回时所选的路线是随机的，但它选择的路线应使总路程最短，所以卡车返回时我们仍用线性规划模型求解。此时卡车看成都集中在卸点，我们的任务是给出卡车的从卸点到铲位的最佳分配方案，使总路程最短。89此时卸点相当于供求点，铲位相当于需求点，我们可以以总路程最短为目标函数，以卸点的供求限制，铲位的需求限制为约束条件，建立以下单目标线性规划模型：

（12-2）s.t其中表示所有卡车返回时所走的总路程。求解此模型可得Return矩阵的具体元素，由此得到从卸点到铲位的运输方案.90五、具体实例某露天矿里有铲位10个，每个铲位至多能安置一台电铲，电铲的平均装车时间为5分钟。卸点5个，前3个卸点卸矿石且需要的铁含量平均为2