2025年北师大版高三数学下册阶段测试试卷含答案

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年北师大版高三数学下册阶段测试试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共6题，共12分)1、下列问题中；应采用哪种抽样方法（）

①有甲厂生产的30个篮球；其中一箱21个，另一箱9个，抽取10个入样；

②有30个篮球；其中甲厂生产的有21个，乙厂生产的有9个，抽取10个入样；

③有甲厂生产的300个篮球；抽取10个入样；

④有甲厂生产的300个篮球，抽取50个入样．A.分层抽样、分层抽样、抽签法、系统抽样B.分层抽样、分层抽样、随机数法、系统抽样C.抽签法、分层抽样、随机数法、系统抽样D.抽签法、分层抽样、系统抽样、随机数法2、下列各对曲线中，即有相同的离心率又有相同渐近线的是（）A.=1和=1B.=1和y2-=1C.y2-=1和x2-=1D.=1和=13、某大学毕业生参加2013年教师资格考试，他必须先参加四场不同科目的计算机考试并全部过关（若仅有一科不过关则该科有一次补考的机会），然后才能参加教育学考试，过关后就可以获得教师资格，该大学毕业生参加每场考试过关的概率均为，每场考试费用为100元，则他花掉500元考试费的概率是（）A.B.C.D.4、设全集为R，集合A={x||x|≤2}，B={x|＞0}，则A∩B（）A.[-2，2]B.[-2，1）C.（1，2]D.[-2，+∞）5、【题文】已知

等于（）

6、已知f（x）是定义在R上的以3为周期的偶函数，若f（1）＜1，f（5）=则实数a的取值范围为（）A.-1＜a＜4B.-2＜a＜1C.-1＜a＜0D.-1＜a＜2评卷人得分二、填空题(共5题，共10分)7、已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x-2）=f（x），且当x∈[1，2]时，f（x）=x2-3x+2，则f（6）=____；f（）=____．8、已知函数f（x）=4x+（x＞1）在x=a处取得最小值，则a=____．9、椭圆上上存在一点P，使得PF1=4PF2，则离心率e的范围是____．10、已知样本数据x1，x2，xn的方差为4，则数据2x1+3，2x2+3，2xn+3的标准差是____．11、若对任意不等式恒成立，则实数的范围是____评卷人得分三、判断题(共6题，共12分)12、判断集合A是否为集合B的子集；若是打“√”，若不是打“×”．

（1）A={1，3，5}，B={1，2，3，4，5，6}．____；

（2）A={1，3，5}，B={1，3，6，9}．____；

（3）A={0}，B={x|x2+1=0}．____；

（4）A={a，b，c，d}，B={d，b，c，a}．____．13、函数y=sinx，x∈[0，2π]是奇函数．____（判断对错）14、函数y=sinx，x∈[0，2π]是奇函数．____（判断对错）15、已知函数f（x）=4+ax-1的图象恒过定点p，则点p的坐标是（1，5）____．（判断对错）16、已知A={x|x=3k-2，k∈Z}，则5∈A．____．17、若b=0，则函数f（x）=（2k+1）x+b在R上必为奇函数____．评卷人得分四、简答题(共1题，共9分)18、如图，在直角梯形ABCD中，AD//BC，当E、F分别在线段AD、BC上，且AD=4，CB=6，AE=2，现将梯形ABCD沿EF折叠，使平面ABFE与平面EFCD垂直。1.判断直线AD与BC是否共面，并证明你的结论；2.当直线AC与平面EFCD所成角为多少时，二面角A—DC—E的大小是60°。评卷人得分五、解答题(共4题，共12分)19、已知曲线C1的参数方程为（t为参数）．曲线C2的极坐标方程化为ρ=2cosθ+6sinθ．

（I）将曲线C1的参数方程化为普通方程，将曲线C2的极坐标化为直角坐标方程；

（Ⅱ）曲线C1，C2是否相交，若相交，请求出弦长，若不相交，请说明理由．20、设函数f（x）是定义在[-1，0）∪（0，1]上的奇函数，当x∈[-1，0）时，（a为实数）．

（1）若；求a的值；

（2）当x∈（0；1]时，求f（x）的解析式；

（3）当a＞2时，试判断f（x）在（0，1]上的单调性，并证明你的结论．21、一位同学分别参加了三所大学自主招生笔试（各校试题各不相同），如果该同学通过各校笔试的概率分别为且该同学参加三所大学的笔试通过与否互不影响．

（I）求该同学至少通过一所大学笔试的概率；

（II）设该同学通过笔试的大学所数为ξ；求ξ的分布列和数学期望．

22、已知A={1,x,y},B={x,x2,xy}且A=B,求x、y;评卷人得分六、作图题(共3题，共9分)23、若一个n面体有m个面时直角三角形，则称这个n面体的直度为，则四面体A1-ABC的直度的最大值为____．24、作出函数y=cos（x-）的大致图象．25、如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，AA1=BC=2AC=2．

（Ⅰ）若D为AA1中点，求证：平面B1CD⊥平面B1C1D；

（Ⅱ）在AA1上是否存在一点D，使得二面角B1-CD-C1的大小为60°．参考答案一、选择题(共6题，共12分)1、C【分析】【分析】如果总体和样本容量都很大时，采用随机抽样会很麻烦，就可以使用系统抽样；如果总体是具有明显差异的几个部分组成的，则采用分层抽样；从包含有N个个体的总体中抽取样本量为n个样本，总体和样本容量都不大时，采用随机抽样．【解析】【解答】解：总体容量较小；用抽签法；总体由差异明显的两个层次组成，需选用分层抽样；总体容量较大，样本容量较小，宜用随机数法；总体容量较大，样本容量也较大，宜用系统抽样；

故选C．2、D【分析】【分析】求解各个选项的离心率以及渐近线方程，排除不符号条件的选项，然后推出结果．【解析】【解答】解：对于A，=1的离心率e=，渐近线方程为：y=；

=1的离心率e=，渐近线方程为：y=；不满足题意；A不正确．

对于B，=1的离心率e=，渐近线方程为：y=；

y2-=1的离心率e=2，渐近线方程为：y=；不满足题意；B不正确．

对于C，y2-=1的离心率e=2，渐近线方程为：y=；

x2-=1的离心率e=2，渐近线方程为：y=；不满足题意；C不正确．

对于D，=1的离心率e=，渐近线方程为：y=；

=1的离心率e=，渐近线方程为：y=；满足题意；D正确．

故选：D．3、A【分析】【分析】若他四科计算机考试全部通过，并参加了教育考试，则他一定花费500元，求得此时的概率．若他四科计算机考试有一科补考，且补考也没有通过，则他一定花费500元，求得此时的概率，再把这2个概率相加，即得所求．【解析】【解答】解：若他四科计算机考试全部通过；并参加了教育考试，则他一定花费500元；

概率为×××=．

若他四科计算机考试有一科补考；且补考也没有通过，则他一定花费500元；

概率为••（1-）=．

综上，他+=；

故选：A．4、C【分析】【分析】分别求出集合A和集合B中不等式的解集，求出两个解集的公共部分即为两个集合的交集．【解析】【解答】解：由集合B可知x-1＞0即x＞1；由集合A可知|x|≤2即-2≤x≤2．

所以B∩A={x|1＜x≤2}

故选C．5、C【分析】【解析】此题考查二项式定理的知识。

答案C【解析】【答案】C6、A【分析】解：∵f（x）是定义在R上的以3为周期的偶函数；

∴f（5）=f（5-6）=f（-1）=f（1）；

∴由f（1）＜1，f（5）=得f（5）=＜1；

即-1=

解得：-1＜a＜4；

故选：A．

根据函数的奇偶性和周期性将条件进行转化；利用不等式的解法即可得到结论．

本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和周期性进行转化是解决本题的关键．【解析】【答案】A二、填空题(共5题，共10分)7、略

【分析】【分析】可以想着将自变量的值6，变到所给区间[1，2]上，然后带入该区间上的f（x）解析式：由已知条件知f（x）的周期为2，从而f（6）=f（2+4）=f（2）=0，而f（）=f（）=-f（）=．【解析】【解答】解：由f（x-2）=f（x）知；f（x）是周期为2的周期函数；

∴f（6）=f（2+2•2）=f（2）=0；

f（x）为R上的奇函数；

∴．

故答案为：0，．8、略

【分析】【分析】由题意可得x-1＞0，故函数f（x）=4x+=4（x-1）++4，再利用基本不等式求得它的最小值．【解析】【解答】解：由于x＞1；∴x-1＞0；

故函数f（x）=4x+=4（x-1）++4≥2+4=8；

当且仅当4（x-1）2=1，即x=时；等号成立；

故x=时函数取得最小值为8．

故答案为：9、略

【分析】【分析】设椭圆方程为+=1（a＞b＞0），焦点F1（-c，0），F2（c，0），运用椭圆的定义和椭圆上一点到焦点的距离的范围，结合离心率公式和范围，即可得到所求范围．【解析】【解答】解：设椭圆方程为+=1（a＞b＞0）；

焦点F1（-c，0），F2（c；0）；

由椭圆的定义可得PF1+PF2=2a；

又PF1=4PF2；可得。

PF2=a；

由a-c≤a≤a+c；

可得c≥a；

即有e=≥；

由于0＜e＜1，即有≤e＜1．

故答案为：[，1）．10、略

【分析】【分析】首先设原数据的平均数为，则新数据的平均数为2+3，然后利用方差的公式计算得出答案，求出标准差即可．【解析】【解答】解：设原数据的平均数为，则新数据的平均数为2+3，

则其方差为[（x1-）2+（x2-）2++（xn-）2]=4，

则新数据的方差为：[（2x1+3-2-3）2+（2x2+3-2-3）2++（2xn+3-2-3）2]

=4×[（x1-）2+（x2-）2++（xn-）2]

=16．

故数据2x1+3，2x2+3，2xn+3的标准差是：4．

故答案为：4．11、略

【分析】【解析】试题分析：x=0时，恒成立；x＞0时，3x2﹣2ax≥x﹣可化为2a≤3x+﹣1，∵3x+≥2=3，∴2a≤3﹣1，∴a≤1；x＜0时，3x2﹣2ax≥﹣x﹣可化为﹣2a≤（﹣3x）﹣﹣1，∵﹣3x﹣≥3，∴﹣2a≤3﹣1，∴a≥﹣1∴﹣1≤a≤1．考点：函数恒成立问题，等式的解法．【解析】【答案】三、判断题(共6题，共12分)12、√【分析】【分析】根据子集的概念，判断A的所有元素是否为B的元素，是便说明A是B的子集，否则A不是B的子集．【解析】【解答】解：（1）1；3，5∈B，∴集合A是集合B的子集；

（2）5∈A；而5∉B，∴A不是B的子集；

（3）B=∅；∴A不是B的子集；

（4）A；B两集合的元素相同，A=B，∴A是B的子集．

故答案为：√，×，×，√．13、×【分析】【分析】根据奇函数的定义进行判断即可得到答案．【解析】【解答】解：∵x∈[0；2π]，定义域不关于原点对称；

故函数y=sinx不是奇函数；

故答案为：×14、×【分析】【分析】根据奇函数的定义进行判断即可得到答案．【解析】【解答】解：∵x∈[0；2π]，定义域不关于原点对称；

故函数y=sinx不是奇函数；

故答案为：×15、√【分析】【分析】已知函数f（x）=ax-1+4，根据指数函数的性质，求出其过的定点．【解析】【解答】解：∵函数f（x）=ax-1+4；其中a＞0，a≠1；

令x-1=0，可得x=1，ax-1=1；

∴f（x）=1+4=5；

∴点P的坐标为（1；5）；

故答案为：√16、×【分析】【分析】判断5与集合A的关系即可．【解析】【解答】解：由3k-2=5得，3k=7，解得k=；

所以5∉Z；所以5∈A错误．

故答案为：×17、√【分析】【分析】根据奇函数的定义即可作出判断．【解析】【解答】解：当b=0时；f（x）=（2k+1）x；

定义域为R关于原点对称；

且f（-x）=-（2k+1）x=-f（x）；

所以函数f（x）为R上的奇函数．

故答案为：√．四、简答题(共1题，共9分)18、略

【分析】

1.是异面直线，（1分）法一（反证法）假设共面为．．又．这与为梯形矛盾．故假设不成立．即是异面直线．（5分）法二：在取一点M，使又是平行四边形．则确定平面与是异面直线．2.法一:延长相交于N，AE=2，AD=4，BC=6，设则△NDE中，平面平面平面．过E作于H，连结AH，则．是二面角的平面角，则．（8分）此时在△EFC中，．（10分）又平面是直线与平面所成的角,．（12分）即当直线与平面所成角为时，二面角的大小为法二：面面平面．又．故可以以E为原点，为x轴，为轴，为Z轴建立空间直角坐标系，可求设．则得平面的法向量则有可取．平面的法向量．．（8分）此时，．设与平面所成角为则．即当直线AC与平面EFCD所成角的大小为时，二面角的大小为．（12分）【解析】略【解析】【答案】五、解答题(共4题，共12分)19、略

【分析】【分析】（I）运用代入法，可得曲线C1的普通方程，由ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，即可得到曲线C2的直角坐标方程；

（Ⅱ）求得圆C2的圆心和半径，求得圆心到直线的距离，判断直线和圆相交，运用弦长公式计算即可得到弦长．【解析】【解答】解：（I）曲线C1的参数方程为（t为参数）；

消去t；可得y=x-1；

曲线C2的极坐标方程化为ρ=2cosθ+6sinθ；

即有ρ2=2ρcosθ+6ρsinθ；

即有x2+y2-2x-6y=0；

（Ⅱ）曲线C2表示圆心为（1，3），半径为的圆；

由圆心到直线的距离d==＜；

则曲线C1，C2相交；

弦长为2=2=．20、略

【分析】【分析】（1）根据f（x）是奇函数，可得；解方程求得a的值．

（2）设x∈（0，1]，则-x∈[-1，0），故有；根据奇函数的定义解出f（x）．

（3）当a＞2时，f（x）在（0，1]上单调递减，设x1，x2∈（0，1]且x1＜x1，可证得f（x1）-f（x2）＞0；

可得结论成立．【解析】【解答】解：（1）∵f（x）是奇函数，∴∴，∴．

（2）设x∈（0，1]，则-x∈[-1，0），∴；∵f（x）是奇函数；

∴f（-x）=f（x），∴．

（3）当a＞2时；f（x）在（0，1]上单调递减．

证明：设x1，x2∈（0，1]且x1＜x2；

则=；

∵x1，x2∈（0，1]，∴，x1x2•（x1+x2）∈（0；2）；

当a＞2时，x1x2•（x1+x2）-a＜0，∴f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）；

∴当a＞2时，f（x）在（0，1]上单调递减．21、略

【分析】

（I）如果该同学通过各校笔试的概率分别为

且该同学参加三所大学的笔试通过与否互不影响．

由题意知该同学至少通过一所大学的对立事件是一所大学也没有通过；

∴要求的概率是P=1-=1-=

（II）通过大学考试的所数ξ的可能取值为0；1，2，3，那么。

P（ξ=0）=P（ξ=1）=

该同学恰好通过两所大学笔试包括三种情况；且这三种情况是互斥的；

∴该同学恰好通过两所大学笔试的概率是P（ξ=2）==

P（ξ=3）=

∴通过大学考试的所数ξ的分布列为。

。ξ0123P通过大学考试的所数ξ的数学期望为：0×+1×+2×+3×=

【解析】【答案】（I）该同学参加三所大学的笔试通过与否互不影响．由题意知该同学至少通过一所大学的对立事件是一所大学也没有通过；根据对立事件的概率写出结果．

（II）通过大学考试的所数ξ的可能取值为0；1，2，3，然后分别求出其概率，列出分布列，求出数学期望．

22、略

【分析】主要考查集合相等的概念。因为A=B，所以1B，因此应考虑x,x2,xy分别为1的三种情况，但x=1时,必有x2=1，与集合中元素的互异性矛盾，故只需讨论x2=1，xy=1两种情况。解法一:由集合元素的互异性知x≠y,x≠1,y≠1.∵A=B,∴x2=1或xy=1.(1)x2=1时,取x=-1,此时A={1,-1,y},B={-1,1,-y}.由A=B,有y=-y,从而y=0.(2)xy=1时,即x=此时A={1,y},B={1}.由A=B,有=y,从而y=1,但与y≠1矛盾,应舍去.综上知x=-1,y=0.解法二:∵A=B,∴即由集合元素的互异性,有x≠1,x≠0.∴∴x=-1,y=0.【解析】【答案】x=-1,y=0.六、作图题(共3题，共9分)23、略

【分析】【分析】由题画出图形，得到四面体中直角三角形最多有4个，则答案可求．【解析】【解答】解：如图；

四面体A1-ABC有4个面，当A1A⊥底面ABC；且∠ABC为直角时；

其中的直角三角形最多有4个，则四面体A1-ABC的直度的最大值为=1．

故答案为：1．24、略

【分析】【分析】利用五点作图法作出f（x）的简图．【解析】【解答】解：用五点作图法作出f（x）的简图．

列表：

。x-0π2πx-y=cos（x-）01210函数的在区间[-，]上的图象如下图所示：

25、略

【分析】【分析】法一（Ⅰ）D为AA1中点，推出平面B1CD内的直线CD，垂直平面B1C1D内的两条相交直线DC1，B1C1可得CD⊥平面B1C1D；即可得到

平面B1CD⊥平面B1C1D；

（Ⅱ）在平面ACC1A1内过C1作C1E⊥CD，交CD或延长线或于E，连EB1，则EB1⊥CD，可得∠B1EC1为二面角B1-CD-C1的平面角；设AD=x；

△DCC1的面积为1求出x，在AA1上存在一点D满足题意．

法二：（Ⅰ）建立空间直角坐标系．计算，推出CD⊥平面B1C1D，可得平面B1CD⊥平面B1C1D．

（Ⅱ）设AD=a，则D点坐标为（1