2024-2025学年高中数学第一章常用逻辑用语1.4.1全称量词1.4.2存在量词学案含解析新人教A版选修2-1

PAGE1-1.4.1全称量词1.4.2存在量词[目标]1.理解全称量词、存在量词和全称命题、特称命题的概念.2.能精确地运用全称量词和存在量词符号(即∀，∃)来表述相关的数学内容．[重点]对全称量词与存在量词的理解；能够用全称量词表示全称命题，用存在量词表示特称命题．[难点]全称命题与特称命题的真假推断．学问点一全称量词和全称命题[填一填](1)全称量词：短语“全部的”、“随意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．(2)全称命题：①定义：含有全称量词的命题，叫做全称命题．②一般形式：全称命题“对M中随意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x)，读作“对随意x属于M，有p(x)成立”．其中M为给定的集合，p(x)是一个关于x的命题．[答一答]1．常见的全称量词有哪些？提示：常见的全称量词除了“全部的”“随意一个”，还有“一切”“每一个”“任给”等．2．全称命题中的“x”，“M”与“p(x)”表达的含义分别是什么？提示：元素x可以表示实数、方程、函数、不等式，也可以表示几何图形，相应的集合M是这些元素的某一特定的范围．p(x)表示集合M的全部元素满意的性质．如“随意一个自然数都不小于0”，可以表示为“∀x∈N，x≥0”．3．如何推断全称命题的真假呢？提示：要判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，须要对集合M中每一个元素x，证明p(x)成立；假如在集合M中找到一个元素x0，使得p(x0)不成立，那么这个全称命题就是假命题．学问点二存在量词和特称命题[填一填](1)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．(2)特称命题：①定义：含有存在量词的命题，叫做特称命题．②一般形式：特称命题“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”可用符号简记为∃x0∈M，p(x0)，读作“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”．[答一答]4．常见的存在量词有哪些？提示：常见的存在量词除了“存在一个”“至少有一个”，还有“有些”“有一个”“对某个”“有的”等．5．如何推断特称命题的真假呢？提示：要判定特称命题“∃x0∈M，p(x0)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成马上可；假如在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，那么这个特称命题是假命题．推断一个语句是全称命题还是特称命题时，首先要判定语句是否是命题，然后再分析命题中所含量词，含有全称量词的是全称命题，含存在量词的是特称命题．有些全称命题中虽然不含有全称量词，但我们可依据命题所涉及的意义去推断，如“实数的肯定值是非负数”，省略了“随意”，但它仍旧是全称命题．类型一全称命题与特称命题的判定【例1】推断下列命题是全称命题还是特称命题？(1)凸多边形的外角和等于360°；(2)有的向量方向不定；(3)对随意角α，都有sin2α＋cos2α＝1；(4)有些素数的和仍是素数；(5)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线相互垂直．【分析】首先看命题中是否含有全称量词或存在量词，若含有相关量词，则依据量词确定命题是全称命题或者是特称命题；若没有，要结合命题的详细意义进行推断．【解】(1)可以改写为全部的凸多边形的外角和都等于360°，故为全称命题．(2)含有存在量词“有的”，故为特称命题．(3)含有全称量词“随意”，故为全称命题．(4)含有存在量词“有些”，故为特称命题．(5)若一个四边形是菱形，也就是全部的菱形，故为全称命题．推断一个语句是全称命题还是特称命题的步骤1首先推断语句是否为命题，若不是命题，就当然不是全称命题或特称命题.2若是命题，再分析命题中所含的量词，含有全称量词的命题是全称命题，含有存在量词的命题是特称命题.3当命题中不含量词时，要留意理解命题含义的实质.4一个全称命题或特称命题往往有多种不同的表述方法，有时可能会省略全称量词或存在量词，应结合详细问题多加体会.下列命题中，是全称命题的是①②③，是特称命题的是④(填序号)．①正方形的四条边相等；②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形；③正数的平方根不等于0；④至少有一个正整数是偶数．类型二用量词表示命题【例2】用全称量词或存在量词表示下列语句．(1)有理数都能写成分数形式；(2)整数中1最小；(3)方程x2＋2x＋8＝0有实数解；(4)有一个质数是偶数．【分析】eq\x(分析命题中所述对象的特征)→eq\x(适当添加全称量词或存在量词)【解】(1)随意一个有理数都能写成分数形式．(2)全部的整数中1最小．(3)存在实数x0，使xeq\o\al(2,0)＋2x0＋8＝0成立．(4)存在一个质数是偶数．由于叙述的多样性，有些语句不是典型的全称命题或特称命题，但却表达了这两种命题的意思，假如能恰当地引入全称量词或存在量词，即可使题意清楚明白.用量词符号表述全称命题．(1)任一个实数乘以－1都等于它的相反数；(2)对随意实数x，都有x3>x2.解：(1)∀x∈R，x·(－1)＝－x.(2)∀x∈R，x3>x2.类型三全称命题与特称命题的真假推断【例3】推断下列命题的真假．(1)不论实数a为何值，直线(2a＋3)x－(3a－4)y＋a－7＝0恒过定点；(2)存在实数k，使原点到直线kx＋2y－1＝0的距离为1.【分析】先确定命题的形式，再检验或证明命题的真假．【解】(1)由(2a＋3)x－(3a－4)y＋a－7＝0，得(2x－3y＋1)a＋3x＋4y－7＝0，令eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－3y＋1＝0，,3x＋4y－7＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1.))故直线(2a＋3)x－(3a－4)y＋a－7＝0恒过定点(1,1)，所以该命题为真命题．(2)由于原点到直线kx＋2y－1＝0的距离d＝eq\f(1,\r(4＋k2))≤eq\f(1,2)<1，故不存在实数k使原点到直线kx＋2y－1＝0的距离为1，即该命题为假命题．1推断全称命题∀x∈M，px是真命题，要对集合M中的每个元素x，证明px成立；推断全称命题为假命题只须要在集合M中找到一个元素x0，使得px0不成立，即找反例.2推断特称命题∃x∈M，px是真命题，只需在集合M中找到x0，使得qx0成马上可，即举例加以说明；推断特称命题为假命题，须要证明集合M中使得qx成立的元素不存在.下列命题中的假命题是(C)A．∃x∈R，lgx＝0 B．∃x∈R，tanx＝1C．∀x∈R，x3>0 D．∀x∈R,2x>0解析：当x＝1时，lgx＝0，A正确；当x＝eq\f(π,4)时，tanx＝1，B正确；∀x∈R,2x>0，D正确；只有C错误，当x≤0时，x3≤0.故选C.类型四素养提升依据全称命题、特称命题求参数的范围【例4】若∃x0∈R，使cos2x0＋2sinx0＋a＝0，则实数a的取值范围是________．【精解详析】依题意，若∃x0∈R，使cos2x0＋2sinx0＋a＝0，则得a＝－cos2x0－2sinx0＝2sin2x0－2sinx0－1＝2(sinx0－eq\f(1,2))2－eq\f(3,2)，令t＝sinx0，则a＝2(t－eq\f(1,2))2－eq\f(3,2)，－1≤t≤1.由于函数a(t)在－1≤t≤eq\f(1,2)上单调递减，在eq\f(1,2)<t≤1上单调递增，所以当t＝eq\f(1,2)时，取最小值a＝－eq\f(3,2)；当t＝－1时，取最大值a＝3.所以－eq\f(3,2)≤a≤3.故当－eq\f(3,2)≤a≤3时满意条件，所以a的取值范围是[－eq\f(3,2)，3]．[答案][－eq\f(3,2)，3]【解后反思】(1)若含有参数的不等式f(x)≤m在区间D上能成立，则f(x)min≤m；若不等式f(x)≥m在区间D上能成立，则f(x)max≥m.(2)若含有参数的不等式f(x)≤m在区间D上恒成立，则f(x)max≤m；若含有参数的不等式f(x)≥m在区间D上恒成立，则f(x)min≥m.(3)特称命题是真命题，可以转化为能成立问题，全称命题是真命题，可以转化为恒成立问题解决．已知命题p：“∃x0∈R，sinx0<m”，命题q：“∀x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立”，若p∧q是真命题，求实数m的取值范围．解：由于p∧q是真命题，则p，q都是真命题．因为“∃x0∈R，sinx0<m”是真命题，所以m>－1.又因为“∀x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立”是真命题，所以Δ＝m2－4<0，解得－2<m<2.综上所述，实数m的取值范围是(－1,2)．1．“a∥α，则a平行于α内任一条直线”是(B)A．真命题B．全称命题C．特称命题 D．不含量词的命题解析：命题中含有“任一”全称量词，故为全称命题．2．既是特称命题，又是真命题的是(B)A．斜三角形的内角是锐角或钝角B．至少有一个x∈R，使x2≤0C．两个无理数的和是无理数D．存在一个负数x，使eq\f(1,x)>2解析：如x＝0时，x2＝0，满意x2≤0.3．下列命题是假命题的是(B)A．∀x∈R,3x>0 B．∀x∈N，x≥1C．∃x∈Z，x<1 D．∃x∈Q，eq\r(x)∉Q解析：当x＝0时，0∈N，但0<1.故“∀x∈N，x≥1”是假命题．4．下列命题：①偶数都可以被2整除；②角平分线上的任一点到这个角的两边的距离相等；③正四棱锥的侧棱长相等；④有的实数是无限不循环小数；⑤有的菱形是正方形；⑥存在三角形其内角和大于180°.既是全称命题又是真命题的是①②③，既是特称命题又是真命题的是④⑤(填上全部满意要求的序号)．解析：①是全称命题，是真命题；②是全称命题，是真命题；③是全称命题，即：随意正四棱锥的侧棱长相等，是真命题；④含存在量词“有的”，是特称命题，是真命题；⑤是特称命题，是真命题；⑥是特称命题，是假命题，因为随意三角形内角和为180°.5．用符号“∀”或“∃”表