2025年华东师大版高三数学下册阶段测试试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年华东师大版高三数学下册阶段测试试卷28考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五总分得分评卷人得分一、选择题(共5题，共10分)1、设G是△ABC内一点，且=2，∠BAC=30°，定义f（G）=（m，n，p）=m+n+p，其中m，n，p分别是△GBC，△GCA，△GAB的面积，当f（G）=（，x，y）时，的最小值是（）A.8B.9C.16D.182、如图，A、B是单位圆与x轴、y轴正半轴的交点，点M在单位圆上，∠AOM=α（0＜α＜π），点C（-3，0），若BC⊥OM，则sin（2α-）=（）A.B.C.D.3、皖西七校高三联考中，理科学生的数学成绩服从正态分布N（98，100）．已知参加本次考试的理科学生约9458人．某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在前多少名左右？（）A.1500B.1700C.4500D.80004、抛物线y2=ax（a≠0）的准线方程是（）

A.x=-

B.x=

C.x=-

D.x=

5、已知集合M={x|≤2x≤4}，N={x|x-k＞0}，若M∩N=∅，则k的取值范围是（）A.（2，+∞）B.[2，+∞）C.（-∞，-1）D.（-∞，-1]评卷人得分二、填空题(共8题，共16分)6、已知不等式mx2+nx+3＞0（m≠0）的解集是{x|-1＜x＜3}，则不等式x2+mx+n＜0的解集是____．7、不等式2-lnx≥0解集是____．8、已知θ∈R，则+的最大值是____．9、若函数f（x）=x3-x2+a在[-1，1]的最小值是1，则实数a，b的值是____．10、有如下几个结论：

①若函数y=f（x）满足：；则2为y=f（x）的一个周期；

②若函数y=f（x）满足：f（2x）=f（2x+1），则为y=f（x）的一个周期；

③若函数y=f（x）满足：f（x+1）=f（1-x）；则y=f（x+1）为偶函数；

④若函数y=f（x）满足：f（x+3）+f（1-x）=2；则（3，1）为函数y=f（x-1）的图象的对称中心．

正确的结论为____（填上正确结论的序号）11、直线l1：（a+3）x+y-3=0与直线l2：5x+（a-3）y+4=0，若l1的方向向量是l2的法向量，则实数a=____．12、已知函数则=____．13、（理）设函数则将y=f（x）的曲线绕x轴旋转一周所得几何体的体积为____．评卷人得分三、判断题(共6题，共12分)14、函数y=sinx，x∈[0，2π]是奇函数．____（判断对错）15、已知函数f（x）=4+ax-1的图象恒过定点p，则点p的坐标是（1，5）____．（判断对错）16、判断集合A是否为集合B的子集；若是打“√”，若不是打“×”．

（1）A={1，3，5}，B={1，2，3，4，5，6}．____；

（2）A={1，3，5}，B={1，3，6，9}．____；

（3）A={0}，B={x|x2+1=0}．____；

（4）A={a，b，c，d}，B={d，b，c，a}．____．17、已知函数f（x）=4+ax-1的图象恒过定点p，则点p的坐标是（1，5）____．（判断对错）18、空集没有子集．____．19、任一集合必有两个或两个以上子集．____．评卷人得分四、其他(共1题，共6分)20、定义：，若已知函数（a＞0且a≠1）满足f（1）=．

（1）解不等式：f（x）≤2；

（2）若f（2t）+mf（t）+4≥0对于任意正实数t恒成立，求实数m的取值范围．评卷人得分五、综合题(共4题，共32分)21、如图；在矩形ABCD中，OA=5，AB=4，点D为边AB上一点，将△BCD沿直线CD折叠，使点B恰好落在OA上的点E处，分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系．

（1）求OE的长及经过O；D，C三点抛物线的解析式；

（2）一动点P从点C出发；沿CB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时动点Q从E点出发，沿EC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当点P到达点B时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，DP=DQ；

（3）若点N在（1）中抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出M点坐标；若不存在，请说明理由．22、已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆焦距为2，离心率为

（1）求椭圆的标准方程。

（2）若直线l过点（1，2）且倾斜角为45°且与椭圆相交于A，B两点，求弦长|AB|．23、设有半径为3km的圆形村落；A；B两人同时从村落中心出发．B一直向北直行；A先向东直行，出村后一段时间，改变前进方向，沿着与村落边界相切的直线朝B所在的方向前进．

（1）若A在距离中心5km的地方改变方向；建立适当坐标系，求：A改变方向后前进路径所在直线的方程

（2）设A、B两人速度一定，其速度比为3：1，且后来A恰与B相遇．问两人在何处相遇？（以村落中心为参照，说明方位和距离）24、已知抛物线C1：y2=4x，圆C2：（x-1）2+y2=1，过抛物线焦点F的直线l交C1于A，D两点（点A在x轴上方），直线l交C2于B；C两点（点B在x轴上方）．

（Ⅰ）求|AB|•|CD|的值；

（Ⅱ）设直线OA、OB、OC、OD的斜率分别为m、n、p、q，且满足m+n+p+q=3，并且|AB|，|BC|，|CD|成等差数列，求出所有满足条件的直线l的方程．参考答案一、选择题(共5题，共10分)1、D【分析】【分析】由向量的数量积公式得|•||cos∠BAC=2，即有||•||=4，由题意得，x+y=1-=.+=2（5++）≥2（5+2），即可得答案．【解析】【解答】解：∵=2；∠BAC=30°；

所以由向量的数量积公式得|•||cos∠BAC=2；

∴||•||=4；

∵S△ABC=||•||sin∠BAC==1；

由题意得，x+y=1-=；

则+=2（x+y）（+）

=2（5++）≥2（5+2）=2×9=18；

等号在x=，y=取到；所以最小值为18．

故选D．2、A【分析】【分析】由BC坐标，求出直线BC的斜率，进而根据BC⊥OM，可得OM的斜率，即α的正切值，进而利用同角三角函数基本关系式，求出sinα，cosα，进而利用倍角公式和差角公式，可得答案．【解析】【解答】解：由图知B（0；1），C（-3，0）；

所以；

而∠AOM=α（0＜α＜π）且BC⊥OM；

从而kOM=tanα=-3；

则；

；

；

故选A；3、A【分析】【分析】将正态总体向标准正态总体的转化，求出概率，即可得到结论．【解析】【解答】解：∵考试的成绩ξ服从正态分布N（98；100）．∵μ=98，σ=10；

∴P（ξ≥108）=1-P（ξ＜108）=1-Φ（）=1-Φ（1）≈0.1587；

即数学成绩优秀高于108分的学生占总人数的15.87%．

∴9458×15.87%≈1500

故选A．4、A【分析】

（1）当a＞0时；

焦点在x轴上；且2p=a；

∴

∴抛物线的准线方程是

（2）同理；当a＜0时，也有相同的结论．

故选A．

【解析】【答案】利用抛物线的标准方程；求得2p，从而可求抛物线的准线方程．

5、B【分析】解：M={x|≤2x≤4}={x|-1≤x≤2}；N={x|x-k＞0}={x|x＞k}；

结合图象

∵M∩N=∅；

∴k值所对应的点必须要在2的右侧或与2重合；即k≥2

故选B．

化简集合M；N，要使M∩N=∅，可借助于数轴解决．

本题主要考查了集合运算中参数的取值问题，借助于数轴形象，直观，容易得到正确的结果．此类题目易错点在于端点值是否取到．须特别注意．【解析】【答案】B二、填空题(共8题，共16分)6、略

【分析】【分析】先根据韦达定理求出m，n的值，再解不等式即可．【解析】【解答】解：∵不等式mx2+nx+3＞0（m≠0）的解集是{x|-1＜x＜3}；

∴m＜0，且-1+3=-，-1×3=；

解得m=-1；n=2；

∴不等式x2+mx+n＜0化为x2-x+2＜0；

∵△=1-8＜0；

∴不等式x2-x+2＜0的解集为∅．

故答案为：∅7、略

【分析】【分析】直接由对数函数的单调性求解对数不等式得答案．【解析】【解答】解：由2-lnx≥0；得lnx≤2；

解得：0＜x≤e2．

∴不等式2-lnx≥0的解集是（0，e2]．

故答案为：（0，e2]．8、略

【分析】【分析】设y=+，平方由三角函数的最可得．【解析】【解答】解：设y=+；

平方可得y2=1+sin2θ+1+cos2θ+2

=3+2=3+2

=3+2；

∴当sin2θ=±1时；上式取到最大值6；

∴y=+有最大值

故答案为：9、略

【分析】【分析】3次函数闭区间上的最值问题，一般利用导数法求最值，原函数求导，得到f′（x）=3x2-2x，再令导数为0，然后求出极小值，再与端点值作比较，取最小的那个，便是这个函数的最小值．【解析】【解答】解：f′（x）=3x2-2x=x（3x-2）=0，解得x=0，或x=x∈（0，）时，f′（x）＜0，x∈（，1）时，f′（x）＞0，所以f（）=a-；

又f（-1）=a-2，显然a-2＜a-；

所以a-2=1；所以a=3；

故答案为：3．10、略

【分析】【分析】根据已知分析函数的周期性，可判断①②；分析函数的奇偶性，可判断③；分析函数的对称性，可判断④．【解析】【解答】解：①；

∴f（x+1）=-；

∴f（x）=f（x+2）；则2为y=f（x）的一个周期，故正确；

②f（2x）=f（2x+1）；

令t=2x；

∴f（t）=f（t+1）；

∴f（x）=f（x+1）；则1为y=f（x）的一个周期，故错误；

③y=f（x+1）为偶函数；

∴f（-x+1）=f（x+1）；故正确；

④若函数y=f（x）满足：f（x+3）+f（1-x）=2；

令t=x+3；则x=t-3，1-x=4-t；

即f（t）+f（4-x）=2；

即函数y=f（x）的图象关于（2；1）点对称；

则函数y=f（x-1）的图象的对称中心为（0；0），故错误；

故正确的结论为：①③

故答案为：①③11、略

【分析】【分析】先分别求出两直线的方向向量，然后根据l1的方向向量是l2的法向量，则两直线的方向向量垂直，最后根据互相垂直的向量的数量积为0，从而求出所求．【解析】【解答】解：∵直线l1：（a+3）x+y-3=0与直线l2：5x+（a-3）y+4=0；

∴直线l1的方向向量为=（1；-（a+3））；

直线l2的方向向量为=（1，）；

∵l1的方向向量是l2的法向量；

∴两直线的方向向量垂直，即•=1×1+（-a-3）×=0；解得a=-2；

∴实数a=-2．

故答案为：-2．12、略

【分析】

∵数∴f（）=＞＞-1，且f（）＜0；

∴f（f（））====

故答案为．

【解析】【答案】先求出t=f（）的值，并判断t的范围，写出f（f（））=f（t）的解析式；应用对数的运算公式求出f（t）的值．

13、略

【分析】

由题意可知函数则将y=f（x）的曲线绕x轴旋转一周所得几何体。

是由一个半球与一个圆锥组成；球的半径为：1，圆锥的底面半径为1，高为1；

所以所求几何体的体积为：=π．

故答案为：π

【解析】【答案】根据题意；这旋转一周所得旋转体是由一个半球与一个圆锥组成，求出半球的体积与圆锥的体积即可得到结果．

三、判断题(共6题，共12分)14、×【分析】【分析】根据奇函数的定义进行判断即可得到答案．【解析】【解答】解：∵x∈[0；2π]，定义域不关于原点对称；

故函数y=sinx不是奇函数；

故答案为：×15、√【分析】【分析】已知函数f（x）=ax-1+4，根据指数函数的性质，求出其过的定点．【解析】【解答】解：∵函数f（x）=ax-1+4；其中a＞0，a≠1；

令x-1=0，可得x=1，ax-1=1；

∴f（x）=1+4=5；

∴点P的坐标为（1；5）；

故答案为：√16、√【分析】【分析】根据子集的概念，判断A的所有元素是否为B的元素，是便说明A是B的子集，否则A不是B的子集．【解析】【解答】解：（1）1；3，5∈B，∴集合A是集合B的子集；

（2）5∈A；而5∉B，∴A不是B的子集；

（3）B=∅；∴A不是B的子集；

（4）A；B两集合的元素相同，A=B，∴A是B的子集．

故答案为：√，×，×，√．17、√【分析】【分析】已知函数f（x）=ax-1+4，根据指数函数的性质，求出其过的定点．【解析】【解答】解：∵函数f（x）=ax-1+4；其中a＞0，a≠1；

令x-1=0，可得x=1，ax-1=1；

∴f（x）=1+4=5；

∴点P的坐标为（1；5）；

故答案为：√18、×【分析】【分析】根据空集的性质，分析可得空集是其本身的子集，即可得答案．【解析】【解答】解：根据题意；空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集；

即空集是其本身的子集；则原命题错误；

故答案为：×．19、×【分析】【分析】特殊集合∅只有一个子集，故任一集合必有两个或两个以上子集错误．【解析】【解答】解：∅表示不含任何元素；∅只有本身一个子集，故错误．

故答案为：×．四、其他(共1题，共6分)20、略

【分析】【分析】（1）根据f（1）=；可求a的值，根据所给定义，分类讨论化简函数，分别解不等式，即可得到结论；

（2）表示出相应函数，将不等式等价变形，利用换元法，再分离参数，利用函数的单调性，确定函数的最值，即可求得实数m的取值范围．【解析】【解答】解：（1）由题意，f（1）=a-=，∴a=2或-（舍）；（1分）

当x＞0时，f（x）=≤2，∴0＜x≤；（3分）

当x=0时，f（0）=20-=1≤2；∴x=0，（4分）

当x＜0时，f（x）=2x-=2x+1≤2；∴x≤0；

因为x＜0；所以x＜0，（6分）

综上所述，不等式的解集为（-∞，]．（7分）

（2）因为t＞0，所以f（t）=2t+，f（2t）=22t+；

∴f（2t）+mf（t）+4=22t++m（2t+）+4≥0恒成立；（8分）

令u=2t+（t＞0）∈[0；+∞），（9分）

则22t++m（2t+）+4=u2-2+mu+4=u2+mu+2≥0恒成立；

∴m≥-（u+）（u∈[0；+∞））恒成立；

∴m≥[-（u+）]max（u∈[0；+∞）），（11分）

∵[-（u+）]max（u∈[0，+∞））=-2；（13分）

综上所述，m≥-2．（14分）五、综合题(共4题，共32分)21、略

【分析】【分析】（1）由折叠的性质可求得CE；CO；在Rt△COE中，由勾股定理可求得OE，设AD=m，在Rt△ADE中，由勾股定理可求得m的值，可求得D点坐标，结合C、O两点，利用待定系数法可求得抛物线解析式；

（2）用t表示出CP；BP的长；可证明△DBP≌△DEQ，可得到BP=EQ，可求得t的值；

（3）可设出N点坐标，分三种情况①EN为对角线，②EM为对角线，③EC为对角线，根据平行四边形的性质可求得对角线的交点横坐标，从而可求得M点的横坐标，再代入抛物线解析式可求得M点的坐标．【解析】【解答】解：（1）∵CE=CB=5；CO=AB=4；

∴在Rt△COE中；OE=3；

设AD=m；则DE=BD=4-m；

∵OE=3；

∴AE=5-3=2；

在Rt△ADE中，由勾股定理可得AD2+AE2=DE2，即m2+22=（4-m）2，解得m=；

∴D（-；-5）；

∵C（-4；0），O（0，0）；

∴设过O；D、C三点的抛物线为y=ax（x+4）；

∴-5=-a（-+4），解得a=；

∴抛物线解析式为y=x（x+4）=x2+x；

（2）∵CP=2t；

∴BP=5-2t；

在Rt△DBP和Rt△DEQ中，；

∴Rt△DBP≌Rt△DEQ（HL）；

∴BP=EQ；

∴5-2t=t；

∴t=；

（3）∵抛物线的对称为直线x=-2；

∴设N（-2；n）；

又由题意可知C（-4；0），E（0，-3）；

设M（m；y）；

①当EN为对角线；即四边形ECNM是平行四边形时；

则线段EN的中点横坐标为=-1，线段CM中点横坐标为；

∵EN；CM互相平分；

∴=-1；解得m=2；

又M点在抛物线上；

∴y=×22+×2=16；

∴M（2；16）；

②当EM为对角线；即四边形ECMN是平行四边形时；

则线段EM的中点横坐标为，线段CN中点横坐标为=-3；

∵EN；CM互相平分；

∴=-3；解得m=-6；

又∵M点在抛物线上；

∴y=×（-6）2+×（-6）=16；

∴M（-6；16）；

③当CE为对角线；即四边形EMCN是平行四边形时；

则M为抛物线的顶点，即M（-2，-）．

综上可知，存在满足条件的点M，其坐标为（2，16）或（-6，16）或（-2，-）．22、略

【分析】【分析】（1）根据焦点在x轴上的椭圆焦距为2，离心率为，可得c=1，=；求出几何量，可得椭圆的标准方程；

（2）直线l的方程为y=x+1，代入椭圆方程，消去y可得7x2+8x-8=0，利用弦长公式可得结论．【解析】【解答】解：（1）∵焦点在x轴上的椭圆焦距为2，离心率为；

∴c=1，=；

∴a=2；

∴b2=a2-c2=3；

∴所求椭圆方程为；

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）；则。

∵直线l过点（1；2）且倾斜角为45°；

∴直线l的方程为y=x+1；

代入椭圆方程，消去y可得7x2+8x-8=0；

∴x1+x2=-，x1x2=-

∴|x1-x2|==

因此，|AB|=•|x1-x2|=．23、略

【分析】【分析】（1）建立坐标系；设出直线方程，利用圆心到直线的距离等于5，即可求得直线方程；

（2）先确定PQ的斜率，设出直线方程，利用PQ与圆O相切，直线PQ在y轴上的截距就是两个相遇的位置，即可求得结论．【解析】【解答】解：（1）建立如图坐标系；则P（5，0）；

设直线方程为y=k（x-5）（k＜0），由圆心到直线的距离等于5，可得

∴k=±，∵k＜0，∴k=-

∴A改变方向后前进路径所在直线的方程为；

（2）由题意可设A；B两人速度分别为3v千米/小时