初升高数学最值轨迹圆问题【教师版】

第6节轨迹为圆（弧）的动点最值问题

目标层级图

课中讲解

一.动点到定点等于定长：动点到定点的距离不变，则点的轨迹是圆

或者圆弧。

1、沿定点翻折轨迹是圆

例1.已知一个矩形纸片OACB,将该纸片放置在平面直角坐标洗中，点A(11,0),点B

(0,6),点P为BC边上的动点(点P不与点B、C重合)，经过点0、P折叠该纸片,

则CB，的最小值为

答案：V157-6

例2.如图在RSABC中，ZB=90°,ZC=30°,AB=1,D为线段AC上一动点，将ABDC

沿着BD翻折，点C的对应点为F,E为AC的中点，在D从C到A的运动过程中，当EF

最短时，CD=。

2

【解答】解：，叱=90。,ZC=30°,AB=l

..AC=2,BC=^/3,N4=60°

•・•£是4c中点

.'BE—AE—EC—1

折叠

:.BC=BF=^/3,N尸=NC=30。，CD-DF

「•尸是以5为圆心，5c长为半径的圆上

.••当8,E.尸共线时，E尸最短

:EF=”-'

.BE=AE=EC=\

.Z=N/E5=60。

.,.ZF£D=60ofiZF=30o

尸。E=900且E尸二VJ-1

3—^/3

.DF=/

2

^CD-DF-—3—^—

2

故答案为2g

例3.如图，在矩形ABCD中，AB=6,AD=3,M是A£＞边的中点，N是AS边上的一动

点，将A4MV沿MN所在直线翻折得到△A，MV,连接AC.在MN上存在一动点尸.连

接AP、CP,则△APC周长的最小值是-V17--+35/5.

—22—

【分析】分两步讨论：①先确定点P的位置，当A、P、C三点共线时，AP+PC有最

小值，②当M、A、C三点共线时，AC有最小值，确定动点N的位置；再计算此时的周

长即可.

【解答】解：分两步：

①连接AP,则

△4PC周长=AF+PC+A:C=AP+PC+AC,

3

\AP+PC>AC,

当4、P,C三:点共线时，人p+PC有最小值，是4C的长,

所以AC与MN的交点就是点P,

由勾股定理得：AC=V32+62=3>/5,

连接CM,

\AC>CM-AM，

.•.当M、A，、C三点共线时，4c有最小值，

此时，是4）的中点，

.-.AA/=DA/=1.5,

.-.A^C=J62+（-）2=-yfV7,

V22

由折叠得：AM=AM=15

AC=MC-A!M=3=-y/\l-\.5,

2

・•.△A'PC周长的最小值是：-x/17--+3^,

22

【点评】本题考查了轴对称-最短路径问题和矩形的性质，有难度，还考查了两点之间

线段最短，或利用三角形的二边关系米确定动点的位置.

过关检测

1.如图，在4ABC中，ZACB=90°,AB=5,BC=3,P是AB边上的动点（不与点B

重合），将ABCP沿CP所在的直线翻折，得到ABCP,连接BA,则B，A长度的最

小值是o

4

A

22224

【解答】解：在心△48。中，由勾股定理可知：AC=VAB-BC=A/5-3=

由轴对称的性质可知：BC=CB/=3,

当从B'、C三点在一条直线上时，87有最小值，

，，

..BAmin=AC-BC=4-3=\.

故答案为：1.

2.如图，四边形A3CD中，AD//BC,AB_L3C,点P是边4）上一动点，将A48P沿8户

折叠得到她£尸，连接DE,CE,已知AB=4,AD=3,BC=6,则AC。石面积的最小

【分析】如图，过点力作O”_L5C,过点8作5尸_LC£>,可证四边形是矩形,

可得AB=DH=4,AD=BH=3,由勾股定理可求CO的长，由锐角三处函数可求BF的长，

由点E在以B点为圆心，长为半径的圆上，可得当点E在质上E寸，点七到8的距离

最小，即可求解.

5

【解答】解：如图，过点。作。〃_L8C,过点8作8尸_LCD,

•;AD//BC，48_L3C,

..ADA.AB，且DH工BC，AB±BC,

••・四边形AB”D是矩形，

..AB=DH=4,AD=BH=3,

:.CH=BC—BH=3,

:.CD=y/CH2+DH2=的+16=5,

〜口DHBF

,/sinZ.DCH=---=---，

DCBC

4_BF

.•・—_―_---

56

•所-24

5

•・•将战BP沿BP折叠得到MEP，

..AB=BE=4,

.,.点二在以8点为圆心，AB长为半径的圆上，

・•.当点E在班'上时，点E到CD的距离最小，最小值值=*-4=±,

55

14

」.△CDE面积的最小值=-x5x—=2,

25

故答案为：2.

【点评】本题考查了翻折变换，矩形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数等知识,

确定点E的轨迹是本题的关键.

2、有公共端点的线段等长，等同于圆上点与圆心的连线

方法：往往需要画出圆轨迹，利用圆的性质解决问题，类似于四点共圆。

例1.如图，四边形中，AB=AC=ADf若NCAD=80。，则40度.

6

【分析】由A8=AC=A£>,即可得8,C,。在以A为圆心，A8为半径的圆上，从而根

据同弧所对的圆周角等于圆心带的一半求得答案.

【解答】解：•.•A5=AC=4),

BC,。在以A为圆心，为半径的圆上，

.•.NCAD是CO对的圆心角，NC%)是CO对的圆周角;

•.­ZC4D=80°»

:"CBD=-ZC4D=1x80°=40°.

22

故答案为：40.

例2.如图，在AABC中，ZB=45°,ZC=75°,BC=6-26，点p是BC上一动点,

户£)_1_/^于。，庄’47于石，则线段DE的最小值为_退

【分析】当A尸J.8C时，线段上的值最小，利用四点共圆的判定可得：A、D、P、E四

点共圆，且直径为AP,得出ZA皮>=4=45。，有一公共角，根据两角对应相等两三角

形相似得AADESA4c8,PW—=—,设AD=2x,表示出隹和45的长，求出AE与

ABCB

的比，代入比例式中，可求出OE的值.

【解答】解：当AP_L8C时，线段。E的值最小(因为四边形A、D、尸、七四点共圆，PA

是直径，44C=60是定值，所以直径AP最小时，所对范弦最小)

如图1,•.•尸。_1_4?于0,PE_LAC于E,

:.ZADP=ZAEP=9(r，

:.ZADP+ZAEP=\S(r,

:.A.。、P、E四点共圆，且直径为AP,

7

在RtAPBD中，ZB=45°,

.♦.AP皮）是等腰宜角三角形，ZAPD-450,

.•.AAPQ也是等腰直角三角形，

ZPAD=45°,

:.ZPBD=^PAD=45°,

.-.Z4£D=45°,

;.ZAED=NB=45。,

•.ZE4D;NC4B,

:2ED^MBC,

.AEDE

~AB='CB'

设AD=2x,贝ij尸七)=「厉=攵，AP=2-Jlx,

如图1,取AP的中点O,连接区),则4O=OE=OP=缶,

•.•NEAP=NA4C-"AD=60°-45。=15。，

.•.ZEOP=2ZE4O=30°,

过E作£M_LAP于M,贝

2

OM

cos30°=-----,

OE

OM=\{2x^-=—x，

22

A、」A'近20限

22

由勾股定理得：AE=JAM2+EM?=G/5+I)X,

(A/3+l)x_DE

•・

:.ED=g.

则线段OE的最小值为G；

故答案为：石.

8

A

例3.如图，边长为夜的正方形45。的顶点A、B在一个半径为行的圆上，顶点C、D

确定Z.GFE=ZE4C=30°,再利用弧长公式计算即可.

【解答】解：如图所示：

设圆心为O,连接AO,BO,AC,AE,

;AB=&,AO=BO=y[2,

AB=AO=BO»

.•.A4OB是等边三角形，

同理：AE4O是等边三角形，ZFAB=2ZOAB=\20°,

ZE4C=120o-90°=30,ZG^=Z^XZ>=120°-90°=30°,

AD=AB=y/2,

.-.AC=7(\/2)2+(V2)2=2,

当点C第一次落在圆上时，点C运动的路径长为如沱+的土也

180180

故答案为：+

9

【点评】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理

的运用以及弧长公式的运用，题目的综合性较强，解题的关键是正确的求出旋转角的度数.

过关检测（lOmins）

1.如图，OO的半径为2,AB,CZ）是互相垂直的两条直径，点?是OO上任意一点（P与

A,B,C,。不重合），过点P作于点M,PNLCD于点N,点。是MN的

中点，当点P沿着圆周转过45。时，点。走过的路径长为_工_.

B

【分析】根据QP的长度不变，始终等于半径，则根据矩形的性质可得OQ=1,再由走

过的角度代入弧长公式即可.

【解答】解：•.•HW_LAS于点FNLCD于点、N,

.♦.四边形是矩形，

又•.•点。为MN的中点，

.•.点。为QP的中点，又OP=2,

则OQ=1,

点Q走过的路径长="江1=%.

1804

故答案为：£.

4

【点评】本题考查了弧长的计算及矩形的性质，解答本题的关键是根据矩形的性质得出

点。运动轨迹的半径，要求同学们熟练掌握弧长的计算公式.

10

2.如图，已知°C的半径为3,圆外一定点。满足OC-5,点P为0c上一动点，经过点。

的直线/上有两点A、B,且。1=。4,NAP8=90°,/不经过点C,则的最小值为

【分析】先连接OP,PC,OC,根据OP+PC.OC,OC=5,PC=3,即可得到当点O,

P,C三点共线时，OP最短，根据QP=5-3=2,可得AB=2QP=4.

【解答】解：如图，连接OP,PC,OC,

•••OP+PC..OC,OC=5,PC=3,

当点O,P,。三点共线时，。尸最短,

如图，\OA=OB,NAP8=90°,

•/OC=5,CP=3,

「.O尸=5—3=2,

11

,.AB=2OP=4f

故答案为：4.

【点评】本题主要考查了几何问题的最值，解题时注意：三角形两边和必大于第三边，两边

差必小于第三边，解题的关键是得到点O,P,C三点共线时，。尸最短.

二.定弦定角（包括直角所对的是直径）

当某条边与该边所对的角是定值时，该角的顶点的轨迹是圆弧.

见直角一找斜边（定长）一想直径一定外心一现“圆”形；

见定角一找对边（定长）一想周角一转心角-现"圆''形；

【一般解题步骤】

①让主动点动一下，观察从动点的运动轨迹，发现从动点的运动轨迹是一段弧。

②寻找不变的张角（这个时候一般是找出张角的补角，这个补角一般为45。、60。或者一个确

定的三角函数的对角等）

③找张角所对的定弦，根据三点确定隐形圆。

④确定圆心位置，计算隐形圆半径。

⑤求出隐形圆圆心至所求线段定点的距离。

⑥计算最值：在此基础上，根据点到圆的距离求最值（最大值或最小值）。

（一）见直角

例1.如图，RtAABC中，ABLBC,A8=6,BC=4,户是AA8C内部的一个动点，且满

足NPAB=NPBC,则线段b长的最小值为o

12

B

【分析】首先证明点P在以AB为直径的＜30上，连接OC与。O交于点P,此时PC最小,

利用勾股定理求出OC即可解决问题.

【解答】解：•.，NABC=90°,

:.ZABP+NPBC=90。,

•;"AB="BC,

ZBAP+ZABP=90°,

.-.ZAPB=90°,

：.OP=OA=OB（直角三角形斜边中线等于斜边一半），

.•.点P在以A△为直径的0。上，连接OC交0O于点P,此时PC最小，

在QABCO中，•.•NQBC=90。，BC=4,OB=3,

..0C=yjB02+BC2=5,

:.PC=OC-OP=5-3=2,

「•PC最小值为2.

例2.（2020•青羊区模拟）如图，在RtAABC中，4CB=90°,ZA=60°,AC=郎,点、P

为边上的一个动点，连接PC,过点尸作PQ_LPC交边于点。，则3Q的最大值为

2.

13

当QO与AB相切于点P时，圆最小，即直径CQ最小，此时BQ最大。

.••8Q的最大值为2.

故答案为2.

例3.如图，半径为4的0。中，CD为直径，弦AB_LCD且过半径QD的中点，点E为QO

上一动点，于点尸.当点E从点8出发顺时针运动到点。时，点尸所经过的路径

长为。

【解答】解：连接AC,AO,

\AB±CD,

.•.G为45的中点，即4G=BG=，4B,

2

•.•G)O的半径为4,弦且过半径(%＞的中点，

:.OG=2,

.•.在RtAAOG中，根据勾股定理得：AG=y/AO2-OG2=2x/3,

/.AB=2AG=4y/3,

又・CG=CO+GO=4+2=6,

.•.在RtAAGC中，根据勾股定理得：AC=yjAG2+CG2=45/3,

­.CF1AE,

14

.•.AACV始终是直角三角形，点尸的运动轨迹为以AC为直径的半圆，

当E位于点8时，CG±AE,此时"与G重合；当E位于D时，CALAE,此时尸与人重

合，

/.当点E从点B出发顺时针运动到点。时，点尸所经过的路径长AG,

在RtAACG中，tanNACG=&^=走，

CG3

/.ZACG=30°,

.•・AG所对圆心角的度数为60。，

•.•直径4c=4后，

AG的长为纯土8=侦乃，

1803

则当点石从点8出发顺时针运动到点。时，点F所经过的路径长为祖§江.

3

过关检测

1.如图，已知RtAABC中，AC=5,3c=12,ZACB=90°,尸是边A8上的动点，Q是边

8C上的动点，且NCPQ=90。，则线段CQ的取值范围是___.

【解答】解：.RtAABC中，AC=5,BC=\2,ZAC8=90°,

..AB=13,

15

A

B

O;Q

①当半圆。与4?相切时，如图，连接OP,则

OPLAB,且AC=AP=5,

:.PB=AB-AP=13-5=S；

设CO=x,则OP=x,OB=12-x；

在RtAOPB中，OB'nOP?+OB?,

BP(12-X)2=X2+82,

解之得x=

3

..C6=2x=y；

即当C0=¥且点P运动到切点的位置时，AbQ为直角三角形.

②当与<CQ<12时，半圆O与直线有两个交点，当点尸运动到这两个交点的位置

时，ACPQ为直角三角形

③当OvCQcg时，半圆O与直线相离，即点P在边上运动时，均在半圆O外,

NCPQV90。，此时ACPQ不可能为直角三角形.

当与“CQV12时，ACPQ可能为直角三角形.

故答案为：y„C0<12.

(二)见定弦定角

例1.如图，点A是直线y=—x上的动点，点8是1轴上的动点，若AB=2,则AAQ8面积

的最大值为。

16

【分析】作AAOB的外接圆G)C，连接8,C4,CO,过C作CZ)_LA5于。，则C4=,

连接8,则QR,OC+C£>,依据当O,C,。在同一直线上时，8的最大值为

OC+CD=42+\,即可得到A4O8的面积最大值.

【解答】解：如图所示，作A4O4的外接圆℃,连接CB,CA,CO,过。作8_144于

D,则C4=A4,

由题可得NAO8=45。，

.•.ZACB=90°,

:.CD=-AB=\,AC=BC=42=COf

2

连接OD,则O2OC+8,

.•.当O,C,。在同一直线上时，8的最大值为OC+CO=&+1,

此时

.♦.A4Q8的面积最大值为lA5xOD=Lx2(夜+1)=夜+1,

22

当点A在第二象限内，点8在x轴负半轴上时，

同理可得，AAO5面积的最大值为&+1。

过关检测

1.如图，&43C为等边三角形，AH=2.若P为A43C内一动点，且瞒足N/VW=NACP,

则线段如长度的最小值为.

17

c

【分析】由等边三角形的性质得出NABC=4%C=60。，AC=AB=2,求出ZAPC=120°,

当依_LAC时，P8长度最小，设垂足为拉，此时Q4=PC,由等边三角形的性质得出

AD=CD=-AC=\，幺CP=30°，ZABD=-ZABC=30°，求出

22

PD-AD«tan30°=2AD至BD=6AD=&,即可得出答案.

33

【解答】解：:AABC是等边三角形，

7ARC=7RAC=60°.AC=AR=?.,

,ZPAB=ZACP,

.'.Z/<4C+ZACP=60o，

.-.ZAPC=120°,

.,.点P的运动轨迹是AC,

当。、?、8共线时，依长度最小，设08交AC于。，如图所示：

此时R1=PC,OBLAC,

则AZ)=CO=，AC=1,ZPAC=ZACP=30°,ZABD=-ZABC=30°f

22

?.PD=AD»tan300=—AD=—；BD=6AD=6,

33

:.PB=BD-PD=y/3--=—.

33

故答案为：空.

3

学习任务

18

1.平行四边形A6CZ）中，ZA=60°,AB=BC=2M是边的中点，N是45边上的一

动点，将A4MN沿所在直线朝折得到△连接4C,则4c长度的最小值是

D.1

【考点】L5：平行四边形的性质；KH：等腰三角形的性质；即：翻折变换（折叠

问题）

【专题】67：推理能力；558：平移、旋转与对称；555：多边形与平行四边形

【分析】如图连接MC,过点M作ME_L8,交8的延长线于点E,首先求出线段

ME、OE的长度；运用勾股定理求出MC的长度，即可解决问题.

【解答】解：如图，连接MC，过点M作M£_LCO,交C£＞的延长线于点E,

•.•四边形ABC。为平行四边形，

:.CD//AB,AD=BC=2,

•.•点M为4）的中点，ZA=60°,

：.DM=MA=1,ZA/£>E=ZA=60°,

:.DE=-,ME=­

22f

由勾股定理得：CM2=ME2+CE\

'CM=&$力'

将A4MV沿MN所在直线翻折得到△A:MN,

,\MA=MA=\,

.•.点A'在以点M为圆心，1为半径的圆上，

.•.当A'在MC上时，AC的长度最小，

.•.4。长度的最小值=。〃-4加="一1.

19

2.如图，在RtAABC中，NC-90。，AC-6,BC-8,点尸在边4c上，并月.C"-2,点E

为边8C上的动点，将ACfiF沿直线所翻折，点C落在点尸处，则点尸到边回距离的最

小值是1.2.

【分析】如图，延长尸P交A5于当口_LAB时，点夕到的距离最小，利用

WNSAABC,得到丝=型■求出RW即可解决问题.

ABBC

【解答】解：如图‘延长"P交4A干M,当。，4?时,点P到AA的距直最小.（点

P在以厂为圆心C尸为半径的圆上，当即_L4?时，点尸到的距离最小）

•••NA=NA,ZAA/F=ZC=90°,

.•.△A/IMSMBC,

AFFM

・・-，

ABBC

•/CF=2,4C=6,8c=8,

,-.AF=4,AB=y/AC2+BC1=10,

4FM

：.一=---，

108

:.FM=3.2,

•：PF=CF=2,

..PM=1.2

.•.点P到边AB距离的最小值是1.2.

故答案为1.2.

【点评】本题考查翻折变换、最短问题、相似三角形的判定和性质、勾股定理.垂线段

20

最短等知识，解题的关键是正确找到点P位置，属于中考常考题型.

3.如图，E,F是正方形ABC。的边4)上的两个动点，满足越=。f，连接C尸交切)于

点G,连接破交AG于点”.若正方形的边长为4,则线段长度的最小值是—.

【分析】根据正方形的性质可得AB=4)=CD,NBAD=NCDA,/4DG=NC£)G,然后

利用“边角边''证明AABE和ADC户全等，根据全等三角形对应角相等可得Nl=N2,利用

“SAS”证明AADG和△CDG全等，根据全等三角形对应角相等可得N2=N3,从而得到

Z1=Z3,然后求出N4〃B=90。，取AB的中点O,连接OD,根据直角三角形斜

边上的中线等于斜边的一半可得0"=4AB=2,利用勾股定理列式求出。D,然后根据

三角形的三边关系可知