九年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪科版）-重难点专项突破01二次函数的最值（5种题型）（原卷版）

重难点专项突破01二次函数的最值（5种题型）【题型细目表】题型一：利用二次函数的对称性求最短路径题型二：面积最值问题题型三：最大利润问题题型四：线段最值问题题型五：周长最值问题【考点剖析】题型一：利用二次函数的对称性求最短路径一、单选题1．（2020秋·安徽阜阳·九年级统考期中）如图，平面直角坐标系中，已知，，为轴正半轴上一个动点，将线段绕点逆时针旋转，点的对应点为，则线段的最小值是（

）A． B． C． D．2．（2021秋·安徽安庆·九年级校考期中）如图，抛物线y=﹣x2+x+2与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，P为此抛物线对称轴l上任意一点，则△APC的周长的最小值是（）A．2 B．3 C．5 D．+二、填空题3．（2020·安徽安庆·统考模拟预测）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，点C关于抛物线的对称轴的对称点为E，点G，F分别在x轴和y轴上，则四边形EDFG周长的最小值为_____．4．（2022秋·安徽滁州·九年级校考阶段练习）已知二次函数y=-x2-2x+3的图象与x轴分别交于A、B两点（如图所示），与y轴交于点C，点P是其对称轴上一动点，当PB+PC取得最小值时，点P的坐标为__________．5．（2021·安徽·九年级专题练习）已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A(m﹣4，0)和B(m，0)，与直线y＝﹣x+p相交于点A和C(2m﹣4，m﹣6)，抛物线y＝ax2+bx+c与y轴交于点D，点P在抛物线的对称轴上，连PA，PD，当PA+PD的长最短时，点P的坐标为_____．6．（2023春·安徽黄山·九年级统考阶段练习）如图①，是一建筑物造型的纵截面，曲线OBA是抛物线的一部分，该抛物线开口向右、对称轴正好是水平线OH，AC，BD是与水平线OH垂直的两根支柱，AC＝4米，BD＝2米，OD＝2米．（1）如图②，为了安全美观，准备拆除支柱AC、BD，在水平线OH上另找一点P作为地面上的支撑点，用固定材料连接PA、PB，对抛物线造型进行支撑加固，用料最省时点O，P之间的距离是_____．（2）如图③，在水平线OH上增添一张2米长的椅子EF（E在F右侧），用固定材料连接AE、BF，对抛物线造型进行支撑加固，用料最省时点O，E之间的距离是_____．7．（2023春·安徽六安·九年级校联考阶段练习）如图，在矩形中，，，是上一个动点，过点作，垂足为，连接，取中点，连接，则线段的最小值为____________．三、解答题8．（2020·安徽·统考模拟预测）如图，二次函数的顶点的坐标为．(1)求，的值；(2)已知点为抛物线上异于的一点，且点横、纵坐标相等，为轴上任意一点，当取最小值时，求出点坐标和此时的面积．9．（2021秋·安徽黄山·九年级统考阶段练习）如图，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，对称轴为直线x=1,已知：A(-1,0)、C(0,-3)．（1）求抛物线y=ax2+bx+c的解析式；（2）求△AOC和△BOC的面积比；（3）在对称轴上是否存在一个P点,使△PAC的周长最小．若存在，请你求出点P的坐标；若不存在，请你说明理由．10．（2022秋·安徽合肥·九年级合肥市第四十八中学校考阶段练习）如图，抛物线交x轴于点，交y轴于点B，对称轴是直线.（1）求抛物线的解析式；（2）P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.11．（2021·安徽·统考三模）如图所示抛物线过点，点，且（1）求抛物线的解析式及其对称轴；（2）点在直线上的两个动点，且，点在点的上方，求四边形的周长的最小值；（3）点为抛物线上一点，连接，直线把四边形的面积分为3∶5两部分，求点的坐标.12．（2021秋·安徽六安·九年级校考阶段练习）已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过点，它与轴的另一交点为，与轴的交点为.（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；（2）在直线上求点，使的周长最小，并求出的周长.题型二：面积最值问题一、单选题1．（2022秋·安徽安庆·九年级统考期中）如图，将一张边长为1的正方形纸折叠，使得点B始终落在边上，则折起部分面积的最小值为（）A． B． C． D．2．（2022秋·安徽合肥·九年级校联考期中）在中，边的长与边上的高的和为8，当面积最大时，则其周长的最小值为（

）A． B． C． D．3．（2023春·安徽蚌埠·九年级专题练习）如图，在菱形中，，，矩形的四个顶点分别在菱形的四边上，，则矩形的最大面积为（

）A． B． C． D．二、填空题4．（2023春·安徽蚌埠·九年级校联考期中）如图，点E为正方形的边上一点，以点A为圆心，长为半径画弧，交边于点F，已知正方形边长为1．（1）若，则DE的长为________；（2）△AEF的面积为S的最大值是________．5．（2022秋·安徽马鞍山·九年级校考期中）用木料制作成一个如图所示的“目”形长方形大窗框（横档，也用木料，其中，要使窗框的面积最大，则的长为___________m．三、解答题6．（2023·安徽蚌埠·统考三模）如图，矩形是某生态农庄的一块植物栽培基地平面图，现欲修一条笔直的小路（宽度不计）经过该矩形区域，其中，都在矩形的边界上．已知，（单位：百米），小路将矩形分成面积为，（单位：平方百米）的两部分，其中，且点在面积为的区域内，记小路的长为百米．

(1)如图1，已知，设百米．①若，求的大小；②求的最大值；(2)若，点在边上，点在边上，求的取值范围．7．（2023春·安徽宿州·九年级统考阶段练习）如图，在中，，，点在边上，、分别为、的中点，连接．过点作的垂线，与、分别交于、两点，连接，交于点．(1)的度数为；(2)与存在怎样的位置关系与数量关系？请说明理由；(3)连接，求的面积的最大值．8．（2023·安徽滁州·校联考一模）如图（1），一块钢板余料截面的两边为线段，，另一边曲线为抛物线的一部分，其中点为抛物线的顶点，于，以边所在直线为轴，边所在直线为轴，建立平面直角坐标系，规定一个单位代表1米．已知米，米，米．(1)求曲线所在抛物线的函数表达式；(2)若在该钢板余料中截取一个一边长为3米的矩形，设该矩形的另一边长为米，求的取值范围；(3)如图（2），若在该钢板余料中截取一个，其中点在抛物线上，记的面积为，求的最大值．9．（2022秋·安徽池州·九年级统考期末）如图，在中，．若动点D从点B出发，沿线段运动到点A为止，运动速度为每秒2个单位长度．过点D作交于点E，设动点D运动的时间为x秒，的长为y．(1)求出y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；(2)当x为何值时，的面积有最大值，最大值为多少？10．（2022秋·安徽合肥·九年级校联考期中）如图，矩形窗户边框由矩形，矩形，矩形组成，其中．已知制作此窗户边框的材料的总长是6米，设（米）；窗户边框的面积为S（米）．(1)用含x的代数式表示．(2)求当S取得最大值时，的长．11．（2022秋·安徽安庆·九年级安庆市第四中学校考阶段练习）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和．(1)求反比例函数的解析式．(2)请直接写出不等式组的解集是___________；(3)点是线段上一点，过点作轴于点，连接，若的面积为，求的最小值．12．（2022秋·安徽合肥·九年级合肥38中校考期中）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点B的坐标为，点C的坐标为．(1)求抛物线的表达式：(2)点P为直线BC上方抛物线上的一个动点，当的面积最大时，求点P的坐标．题型三：最大利润问题一、解答题1．（2023·安徽六安·校考模拟预测）某水产养殖户进行小龙虾养殖．已知每千克小龙虾养殖成本为6元，在整个销售旺季的80天里，销售单价P（元/千克）与时间第t（天）之间的函数关系为：，日销售量y（千克）与时间第t（天）之间的函数关系如图所示：(1)求日销售量y与时间t的函数关系式？(2)哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？(3)在实际销售的前40天中，该养殖户决定每销售1千克小龙虾，就捐赠元给村里的特困户，在这前40天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求m的取值范围．2．（2023·安徽安庆·统考二模）“龙池香尖”是怀宁县一款中国国家地理标志产品，素有：“扬子江心水，蒙山顶上茶”的美誉．某茶庄以的价格收购一批龙池香尖，为保护消费者的合法权益，物价部门规定每千克茶叶的利润不低于元，且不超过进价的，经过试销发现，日销量与销售单价满足一次函数关系，部分数据统计如表：……(1)根据表格提供的数据，求出关于的函数关系式．(2)在销售过程中，每日还需支付其他费用元，当销售单价为多少时，该茶庄日利润最大，并求出最大利润．3．（2023·安徽滁州·统考二模）牛草山奶牛养殖场如今达到了日产鲜奶千克的规模．根据以前市场销售经验，如果鲜奶售价为元/千克，每天可售出鲜奶千克，鲜奶售价每提高1元，日销售鲜奶数量将减少千克，每天没能销售的鲜奶全部按元/千克的价格廉价卖给奶制品加工厂．养殖场研究决定将鲜奶的售价提高到x元/千克，而当地物价部门结合本地收入与消费水平规定鲜奶售价不超过元/千克，设养殖场每天鲜奶总销售收入为y元．(1)求y与x之间的函数表达式，并直接写出自变量x的取值范围；(2)鲜奶售价定为多少时，养殖场每天鲜奶销售总收入最多？养殖场每天鲜奶销售总收入最多是多少元？4．（2023春·安徽淮北·九年级淮北一中校联考阶段练习）某商场试销一款玩具，进价为20元/件，商场与供货商约定，试销期间利润不高于，且同一周内售价不变．从试销记录看到，当售价为22元时，一周销售了80件该玩具；当售价为24元时，一周销售了60件该玩具．每周销量（件）与售价（元）符合一次函数关系．(1)求每周销量（件）与售价（元）之间的关系式；(2)若商场一周内销售该玩具获得的利润为210元，则该玩具的售价为多少元(3)商场将该玩具的售价定为多少时，一周内销售该玩具获得利润最大最大利润为多少元5．（2023·安徽·模拟预测）小明同学利用寒假天时间贩卖草莓，了解到某品种草莓成本为元/千克，在第x天的销售量与销售单价如下（每天内单价和销售量保持一致）销售量m（千克）销售单价n（元/千克）当时，当时，设第x天的利润w元．(1)请计算第几天该品种草莓的销售单价为元/千克；(2)这天中，该同学第几天获得的利润最大？最大利润是多少？【注：利润（售价成本）销售量】(3)在实际销售的前天中，草莓生产基地为刺激销售,鼓励销售商批发草莓,每多批发1千克就发给元奖励，通过销售记录发现，前8天中，每天获得奖励后的利润随时间x（天）的增大而增大，试求a的取值范围．6．（2022秋·安徽芜湖·九年级芜湖市第二十九中学校考期中）某超市经销一种销售成本为每件40元的商品，据市场调查分析，如果按每件50元销售，一周能售出500件，若销售单价每涨1元，每周销量就减少10件，设销售单价为x元，一周的销售量为y件，(1)写出y与x的函数关系式（标明x的取值范围）；(2)设一周的销售利润为S，写出S与x的函数关系式，并确定当单价是多少时利润最大；(3)在超市对该种商品投入不超过12000元的情况下，使得一周销售利润不低于8000元，销售单价应在什么范围内？7．（2022秋·安徽六安·九年级校考期末）某企业设计了一款工艺品，每件的成本是元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是元时，每天的销售量是件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．(1)求出每天的销售利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式；(2)求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？(3)如果该企业要使每天的销售利润不低于元，且每天的总成本不超过元，那么销售单价应控制在什么范围内？（每天的总成本每件的成本每天的销售量）8．（2022秋·安徽合肥·九年级合肥市庐阳中学校考期中）某商店销售一种商品，经市场调查发现：在实际销售中，售价x为整数，且该商品的月销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价x（元/件）．月销售量y（件）．月销售利润w（元）的部分对应值如表：售价x（元/件）4045月销售量y（件）300250月销售利润w（元）30003750注：月销售利润＝月销售量×（售价－进价）(1)求该商品的成本价，并求出y关于x的函数表达式；(2)若用w（元）表示该商品的月销售利润，求w关于x的函数解析式；(3)当该商品的售价是多少元时，月销售利润最大？并求出最大利润．题型四：线段最值问题一、填空题1．（2023·安徽蚌埠·统考三模）如图，点是线段上一动点，，均为等边三角形，，连接．

（1）若，则__________；（2）长度的最小值为__________．二、解答题2．（2023·安徽合肥·统考三模）如图，抛物线经过点，，点是抛物线的对称轴上一点，点在抛物线上，且点的横坐标为．(1)求抛物线的函数关系式；(2)若，求点到直线的距离的最大值；(3)若、、、四个点为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标．3．（2023·安徽合肥·统考二模）如图，某数学兴趣小组以楼梯为场景设计的小球弹射实验示意图，楼梯平台宽为3，前方有六个台阶（各拐点均为90°），每个台阶的高为2，宽为2，楼梯平台到x轴距离，从y轴上的点C处向右上方弹射出一个小球P（小球视为点），飞行路线为抛物线，当点P落到台阶后立即弹起，其飞行路线是与L形状相同的抛物线．(1)通过计算判断小球P第一次会落在哪个台阶上；(2)若小球P第二次的落点在台阶中点M上，求小球P第二次飞行路线的解析式；(3)若小球P再次从点M处弹起后落入x轴上一圆柱形小球接收装置（小球落在圆柱形边沿也为接收），接收装置最大截面为矩形，点E横坐标为16，，，求出小球第三次飞行路线的顶点到x轴距离最小值．4．（2023·安徽阜阳·统考二模）如图1，抛物线的顶点坐标为，与y轴交于点C，与x轴交于点A和点B．(1)求抛物线的解析式．(2)若M为y轴上一点，当的值最小时，求点M的坐标．(3)如图2，若P是第一象限内抛物线上的一个动点，求的面积的最大值．5．（2023·安徽合肥·校联考一模）如图，抛物线经过，，三点，D为直线上方抛物线上一动点，过点D作轴于点Q，与相交于点M．于E．(1)求抛物线的函数表达式；(2)求线段长度的最大值；(3)连接，是否存在点D，使得中有一个角与相等？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．6．（2023秋·安徽六安·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标中，是直角三角形，，，，，抛物线经过、两点，抛物线的顶点为．(1)求该抛物线的解析式；(2)点是直角三角形斜边上一动点（点A、除外），过点作轴的垂线交抛物线于点，当线段的长度最大时，求点的坐标；(3)在（2）的条件下：在抛物线上是否存在一个点，使是以为直角边的直角三角形?若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．7．（2023秋·安徽合肥·九年级校考期末）如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作直线轴于点D，交直线BC于点E．(1)求抛物线的解析式；(2)求线段的最大值；(3)当时，求点的坐标．8．（2022秋·安徽芜湖·九年级校考阶段练习）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，且点B的坐标为，与y轴交于点C，抛物线对称轴为直线．连接，点P是抛