2024秋高中数学第一章常用逻辑用语1.2.2充要条件学案含解析新人教A版选修2-1

PAGE8-1.2.2充要条件自主预习·探新知情景引入曹操赤壁兵败之后欲投南郡，除华容道外，还有一条大路，前者路险，但近50里；后者路平，但远50里．曹操发觉“小路山边有数处起烟，大路并无动静”．曹操推断“诸葛亮多谋，使人于山僻烧烟，他却伏兵于大路，我偏不中计！”哪知这正与诸葛亮的推断吻合：曹操熟读兵书，会搬用“虚则实之，实则虚之”的原理，不如来一个实而实之，以傻卖傻，故燃炊烟，最终使曹操败走华容道．曹操的错误在于把不行靠的臆测作为已知条件，经过推理，得到的结论当然是不行靠的．新知导学充要条件1．假如既有p⇒q，又有q⇒p，则p是q的__充要条件__，记为__p⇔q__.2．假如peq\o(⇒,/)q且qeq\o(⇒,/)p，则p是q的__既不充分也不必要条件__.3．假如p⇒q且qeq\o(⇒,/)p，则称p是q的__充分不必要__条件．4．假如peq\o(⇒,/)q且q⇒p，则称p是q的__必要不充分__条件．5．设与命题p对应的集合为A＝{x|p(x)}，与命题q对应的集合为B＝{x|q(x)}，若A⊆B，则p是q的__充分__条件，q是p的__必要__条件．若A＝B，则p是q的__充要__条件．若AB，则p是q的__充分不必要__条件，q是p的__必要不充分__条件．若Aeq\o(⊆,/)B，则p不是q的__充分__条件，q不是p的__必要__条件．6．p是q的充要条件是说，有了p成立，就__肯定有__q成立．p不成立时，__肯定有__q不成立．预习自测1．(2024·山东潍坊高二期末)设x∈R，则“x>1”是“|x|>1”的(A)A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[解析]由|x|>1，解得x>1或x<－1，故“x>1”是“|x|>1”的充分不必要条件，故选A．2．(2024·浙江卷，5)若a>0，b>0，则“a＋b≤4”是“ab≤4”的(A)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[解析]∵a>0，b>0，若a＋b≤4，∴2eq\r(ab)≤a＋b≤4.∴ab≤4，此时充分性成立．当a>0，b>0，ab≤4时，令a＝4，b＝1，则a＋b＝5>4，这与a＋b≤4冲突，因此必要性不成立．综上所述，当a>0，b>0时，“a＋b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件．故选A．3．设A、B是两个集合，则“A∩B＝A”是“A⊆B”的(C)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件[解析]由题意得，A∩B＝A⇒A⊆B，反之，A⊆B⇒A∩B＝A，故为充要条件，选C．4．设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＝0平行”的(A)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件[解析]本题主要考查充分必要条件．若两直线平行，则a(a＋1)＝2，即a2＋a－2＝0，∴a＝1或－2，故a＝1是两直线平行的充分不必要条件．5．若“x<a”是“x2－2x－3≥0”的充分不必要条件，则a的取值范围是__a≤－1__.[解析]∵x2－2x－3≥0，∴x≥3或x≤－1.∵“x<a”是“x2－2x－3≥0”的充分不必要条件，∴a≤－1.互动探究·攻重难互动探究解疑命题方向❶充要条件的推断典例1设x∈R，则“x>1”是“x3>1”的(C)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件[规范解答]由于函数y＝x3在R上是增函数，∴当x>1时，x3>1成立，反过来，当x3>1时，x>1也成立．故“x>1”是“x3>1”的充要条件，故选C．『规律总结』推断p是q的充分必要条件的两种思路(1)命题角度：推断p是q的充分必要条件，主要是推断p⇒q及q⇒p这两个命题是否成立，若p⇒q成立，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；若q⇒p成立，则p是q的必要条件，同时q是p的充分条件；若二者都成立，则p与q互为充要条件．(2)集合角度：关于充分条件、必要条件、充要条件，当不简单推断p⇒q及q⇒p的真假时，也可以从集合角度去推断，结合集合中“小集合⇒大集合”的关系来理解，这对解决与逻辑有关的问题是大有好处的．┃┃跟踪练习1__■(1)设a、b是实数，则“a＋b>0”是“ab>0”的(D)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[解析]本题采纳特别值法：当a＝3，b＝－1时，a＋b>0，但ab<0，故不是充分条件；当a＝－3，b＝－1时，ab>0，但a＋b<0，故不是必要条件．所以“a＋b>0”是“ab>0”的既不充分也不必要条件，故选D．(2)(2024·全国Ⅱ卷文，7)设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是(B)A．α内有多数条直线与β平行B．α内有两条相交直线与β平行C．α，β平行于同一条直线D．α，β垂直于同一平面[解析]若α∥β，则α内有多数条直线与β平行，反之不成立；若α，β平行于同一条直线，则α与β可以平行也可以相交；若α，β垂直于同一平面，则α与β可以平行也可以相交，故A，C，D均不是充要条件．依据平面与平面平行的判定定理知，若一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则两平面平行，反之成立．因此B中条件是α∥β的充要条件．故选B．典例2设p：|x|－3>0，q：x2－eq\f(5,6)x＋eq\f(1,6)>0，则p是q的(A)A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件[规范解答]使p成立的x的集合为A＝{x|x>3或x<－3}，使q成立的x的集合为B＝{x|x>eq\f(1,2)或x<eq\f(1,3)}，∵AB，即若x∈A，则x∈B.但x∈B不肯定有x∈A，∴p为q的充分不必要条件．『规律方法』1.假如条件p与结论q是否成立都与数集有关(例如方程、不等式的解集、参数的取值范围等)，常利用集合法来分析条件的充分性与必要性，将充要条件的探讨转化为集合间的包含关系探讨，可借助数轴等工具进行．2．用集合的关系推断充要条件时，关键抓住已知A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则A⊆B⇔p是q的充分条件，q是p的必要条件．┃┃跟踪练习2__■(1)“x<0”是“ln(x＋1)<0”的(B)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[解析]依据ln(x＋1)<0求出x的取值范围后推断．∵ln(x＋1)<0，∴0<x＋1<0，∴－1<x<0.∴x<0是－1<x<0的必要不充分条件，故选B．(2)(2024·北京理，7)设点A，B，C不共线，则“eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(AC,\s\up6(→))的夹角为锐角”是“|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|>|eq\o(BC,\s\up6(→))|”的(C)A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[解析]因为点A，B，C不共线，由向量加法的三角形法则，可知eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))，所以|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|>|eq\o(BC,\s\up6(→))|等价于|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|>|eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))|，因模为正，故不等号两边平方得eq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\o(AC,\s\up6(→))2＋2|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(AC,\s\up6(→))|cosθ>eq\o(AC,\s\up6(→))2＋eq\o(AB,\s\up6(→))2－2|eq\o(AC,\s\up6(→))|·|eq\o(AB,\s\up6(→))|cosθ(θ为eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(AC,\s\up6(→))的夹角)，整理得4|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(AC,\s\up6(→))|cosθ>0，故cosθ>0，即θ为锐角．又以上推理过程可逆，所以“eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(AC,\s\up6(→))的夹角为锐角”是“|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|>|eq\o(BC,\s\up6(→))|”的充分必要条件．故选C．命题方向❷利用充分条件和必要条件确定参数的取值范围典例3设p：|4x－3|≤1；q：x2－(2a＋1)x＋a2＋a≤0，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．[思路分析]此类题目首先要娴熟应用函数、不等式、方程等学问求解相关范围，再利用充分条件和必要条件与集合间的关系求出参数的取值范围．[规范解答]∵|4x－3|≤1，∴eq\f(1,2)≤x≤1，即p：eq\f(1,2)≤x≤1.由x2－(2a＋1)x＋a2＋a得(x－a)[x－(a＋1)]≤0，∴a≤x≤a＋1，即q：a≤x≤a＋1.∵p是q的充分不必要条件，∴p⇒q，qeq\o(⇒,/)p.∴eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)≤x≤1)))){x|a≤x≤a＋1}．故有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋1≥1,a≤\f(1,2)))，解得0≤a≤eq\f(1,2).所以a的取值范围是0≤a≤eq\f(1,2).『规律总结』充要条件中的含参数问题，往往是通过集合的包含关系解答．┃┃跟踪练习3__■已知“p：(x－m)2>3(x－m)”是“q：x2＋3x－4<0”成立的必要不充分条件，则实数m的取值范围为(B)A．m>1或m<－7B．m≥1或m≤－7C．－7≤m≤1D．－7<m<1[解析]由题意知，p：x>m＋3或x<m；q：－4<x<1，由于p是q成立的必要不充分条件，所以{x|－4<x<1}是{x|x>m＋3或x<m}的真子集，从而有m≥1或m＋3≤－4，即m≥1或m≤－7，故选B．命题方向❸充要条件的证明典例4已知x，y都是非零实数，且x>y，求证：eq\f(1,x)<eq\f(1,y)的充要条件是xy>0.[思路分析]充要条件的证明可用其定义，即条件⇒结论且结论⇒条件．假如每一步的推出都是等价的(⇔)，也可以把两个方面的证明合并在一起，用“⇔”写出证明．[规范解答]证法1：(充分性)由xy>0及x>y，得eq\f(x,xy)>eq\f(y,xy)，即eq\f(1,x)<eq\f(1,y)，(必要性)由eq\f(1,x)<eq\f(1,y)，得eq\f(1,x)－eq\f(1,y)<0，即eq\f(y－x,xy)<0.因为x>y，所以y－x<0，所以xy>0.所以eq\f(1,x)<eq\f(1,y)的充要条件是xy>0.证法2：eq\f(1,x)<eq\f(1,y)⇔eq\f(1,x)－eq\f(1,y)<0⇔eq\f(y－x,xy)<0.由条件x>y⇔y－x<0，故由eq\f(y－x,xy)<0⇔xy>0.所以eq\f(1,x)<eq\f(1,y)⇔xy>0，即eq\f(1,x)<eq\f(1,y)的充要条件是xy>0.『规律总结』(1)充要条件的证明要确定命题中的条件和结论，要从两个方面进行证明，证充分性就是证原命题成立，证必要性就是证原命题的逆命题成立．(2)证明“充要条件”一般应分两个步骤，即分别证明“充分性”与“必要性”，但千万要留意“谁”是“谁”的充分条件，“谁”是“谁”的必要条件．尽管证明充要条件问题中，前者可以是后者的充分条件，也可以是必要条件，但还是不能把步骤颠倒了，一般地，证明“p成立的充要条件为q”时，在证充分性时应以q为“已知条件”，p是该步中要证明的“结论”，即q⇒p；证明必要性时则是以p为“已知条件”，q是该步中证明的“结论”，即p⇒q.┃┃跟踪练习4__■求关于x的方程ax2＋x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件．[解析]①当a＝0时，解得x＝－1，满意条件；②当a≠0时，明显方程没有零根，若方程有两异号实根，则a<0；若方程有两个负的实根，则必需满意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)>0，,－\f(1,a)<0，,Δ＝1－4a≥0，))⇒0<a≤eq\f(1,4).综上，若方程至少有一个负的实根，则a≤eq\f(1,4).反之，若a≤eq\f(1,4)，则方程至少有一个负的实根．因此，关于x的方程ax2＋x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a≤eq\f(1,4).学科核心素养充要条件的探求探求一个命题成立的充要条件一般有两种处理方法：①先由结论找寻使之成立的必要条件，再验证它也是使结论成立的充分条件，即保证充分性和必要性都成立．②变换结论为等价命题，使每一步都可逆，干脆得到使命题成立的充要条件．典例5已知方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0，求使方程有两个大于1的实数根的充要条件．[思路分析]方程有两个实数根，则Δ≥0，两根均大于1，则相应二次函数图象的对称轴在x＝1的右侧，且x＝1时对应的函数值大于0，建立不等式组求解．[规范解答]令f(x)＝x2＋(2k－1)x＋k2，方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0有两个大于1的实数根等价于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝2k－12－4k2≥0，,－\f(2k－1,2)>1，,f1>0，))解得k<－2.因此k<－2是使方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0有两个大于1的实数根的充要条件．『规律总结』求解本题时简单出现以下错误：①把“有两个大于1的实数根”理解为“有两个大于1的不等实数根”，从而将Δ≥0错写为Δ>0；②只考虑判别式Δ≥0和f(1)>0，却忽视了对称轴所在的区间．┃┃跟踪练习5__■设集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|y＝eq\r(3－xx－22)}，则A⊆A∩B的充要条件为__a≤9__；A⊆A∩B的一个