2024秋高中数学第一讲不等式和绝对值不等式1.1.1不等式的基本性质课堂演练含解析新人教A版选修4-5

PAGE1-第一讲不等式和肯定值不等式1.1不等式1.1.1不等式的基本性质A级基础巩固一、选择题1．已知m，n∈R，则eq\f(1,m)>eq\f(1,n)成立的一个充要条件是()A．m>0>n B．n>m>0C．m<n<0 D．mn(m－n)<0解析：eq\f(1,m)>eq\f(1,n)⇔eq\f(1,m)－eq\f(1,n)>0⇔eq\f(n－m,mn)>0⇔mn(n－m)>0⇔mn(m－n)<0.答案：D2．已知a，b，c，d为实数，且c>d，则“a>b”是“a－c>b－d”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－c>b－d，,c>d))⇒a>b；而当a＝c＝2，b＝d＝1时，满意eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>b，,c>d，))但a－c>b－d不成立，所以“a>b”是“a－c>b－d”的必要不充分条件．答案：B3．已知实数a，b，c满意c<b<a且ac<0，那么下列选项中肯定成立的是()A．ab>ac B．c(b－a)<0C．ab2>cb2 D．a(a－c)<0解析：由题意，知a>0，c<0，b的符号不确定．不等式两端同乘以一个正数，不等号的方向不变更．答案：A4．设a，b为正实数，则“a<b”是“a－eq\f(1,a)<b－eq\f(1,b)”成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件解析：若a<b且a>0，b>0，则eq\f(1,a)>eq\f(1,b)⇒－eq\f(1,a)<－eq\f(1,b)，所以a－eq\f(1,a)<b－eq\f(1,b).若a－eq\f(1,a)<b－eq\f(1,b)，且a>0，b>0⇒a2b－b<ab2－a⇒a2b－ab2－b＋a<0，ab(a－b)＋(a－b)<0⇒(a－b)(ab＋1)<0⇒a－b<0⇒a<b.答案：C5．已知x，y∈R，且x＞y＞0，则()A.eq\f(1,x)－eq\f(1,y)＞0 B．sinx－siny＞0C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(y)＜0 D．lnx＋lny＞0解析：函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)在(0，＋∞)上为减函数，所以当x＞y＞0时，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)＜eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(y)，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(y)＜0，故C正确；函数y＝eq\f(1,x)在(0，＋∞)上为减函数，所以由x＞y＞0⇒eq\f(1,x)＜eq\f(1,y)⇒eq\f(1,x)－eq\f(1,y)＜0，故A错误；函数y＝sinx在(0，＋∞)上不单调，当x＞y＞0时，不能比较sinx与siny的大小，故B错误；x＞y＞0xy＞1ln(xy)＞0lnx＋lny＞0，故D错误．答案：C二、填空题6．已知0＜a＜1，则a，eq\f(1,a)，a2的大小关系是________．解析：因为a－eq\f(1,a)＝eq\f(（a＋1）（a－1）,a)＜0，所以a＜eq\f(1,a).又因为a－a2＝a(1－a)＞0，所以a＞a2，所以a2＜a＜eq\f(1,a).答案：a2＜a＜eq\f(1,a)7．若1＜a＜3，－4＜b＜2，那么a－|b|的取值范围是______．解析：因为－4＜b＜2，所以0≤|b|＜4，所以－4＜－|b|≤0.又1＜a＜3，所以－3＜a－|b|＜3.答案：(－3，3)8．设a＞0，b＞0，则eq\f(b2,a)＋eq\f(a2,b)与a＋b的大小关系是________．解析：eq\f(b2,a)＋eq\f(a2,b)－(a＋b)＝eq\f(（a＋b）（a2－ab＋b2）,ab)－(a＋b)＝eq\f(（a＋b）（a－b）2,ab).因为a＞0，b＞0，所以a＋b＞0，ab＞0，(a－b)2≥0.所以eq\f(b2,a)＋eq\f(a2,b)≥a＋b.答案：eq\f(b2,a)＋eq\f(a2,b)≥a＋b三、解答题9．已知1≤a＋b≤5，－1≤a－b≤3，求3a－2b的取值范围．解：设3a－2b＝x(a＋b)＋y(a－b)，则3a－2b＝(x＋y)a＋(x－y)b.从而eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝3，,x－y＝－2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2)，,y＝\f(5,2).))所以3a－2b＝eq\f(1,2)(a＋b)＋eq\f(5,2)(a－b)．因为1≤a＋b≤5，－1≤a－b≤3，所以eq\f(1,2)≤eq\f(1,2)(a＋b)≤eq\f(5,2)，－eq\f(5,2)≤eq\f(5,2)(a－b)≤eq\f(15,2)，所以－2≤3a－2b≤10.10．已知a＞b＞0，比较eq\f(a,b)与eq\f(a＋1,b＋1)的大小．解：eq\f(a,b)－eq\f(a＋1,b＋1)＝eq\f(a（b＋1）－b（a＋1）,b（b＋1）)＝eq\f(a－b,b（b＋1）).因为a＞b＞0，所以a－b＞0，b(b＋1)＞0.所以eq\f(a－b,b（b＋1）)＞0.所以eq\f(a,b)＞eq\f(a＋1,b＋1).B级实力提升1．(2024·全国卷Ⅰ)若a＞b＞1，0＜c＜1，则()A．ac＜bc B．abc＜bacC．alogbc＜blogac D．logac＜logbc解析：法一由0＜c＜1知y＝xc在(1，＋∞)上单调递增，故由a＞b＞1知ac＞bc，A错；因为0＜c＜1，所以－1＜－c＜0，所以y＝xc－1在x∈(0，＋∞)上是减函数，所以bc－1＞ac－1，又ab＞0，所以ab·bc－1＞ab·ac－1，即abc＞bac，B错；易知y＝logcx是减函数，所以0＞logcb＞logca，所以logbc＜logac，D错；由logbc＜logac＜0，得－logbc＞－logac＞0，又a＞b＞1＞0，所以－alogbc＞－blogac＞0，所以alogbc＜blogac，故C正确．法二依题意，不妨取a＝10，b＝2，c＝eq\f(1,2).易验证A、B、D均是错误的，只有C正确．答案：C2．若a，b∈R，且a＞b，下列不等式：①eq\f(b,a)＞eq\f(b－1,a－1)；②(a＋b)2＞(b＋1)2；③(a－1)2＞(b－1)2.其中不成立的是________．解析：①eq\f(b,a)－eq\f(b－1,a－1)＝eq\f(ab－b－ab＋a,a（a－1）)＝eq\f(a－b,a（a－1）).因为a－b＞0，a(a－1)的符号不确定，①不成立；②取a＝2，b＝－2，则(a＋b)2＝0，(b＋1)2＝1，②不成立；③取a＝2，b＝－2，则(a－1)2＝1，(b－1)2＝9，③不成立．答案：①②③3．已知eq\f(c,a)＞