《自动控制理论》第五章 线性系统的频域分析法

第5章线性系统的频域分析法

，重点与难点

一、基本概念

1.频率特性的定义

设某稳定的线性定常系统，在正弦信号作用下，系统输出的稳态分量为同频率

的正弦函数，其振幅与输入正弦信号的振幅之比4⑦）称为幅频特性，其相位与输

入正弦信号的相位之差火口）称为相频特性。系统频率特性与传递函数之间有着以

下重要关系：

G（网=G（s）岛。

2.频率特性的几何表示

用曲线来表示系统的频率特性，常使用以下几种方法：

（1）幅相频率特性曲线：又称奈奎斯特（Nyquist）曲线或极坐标图。它是以切为

参变量，以复平面上的矢量表示G（，G）的一种方法。

（2）对数频率特性曲线：又称伯德（Bode）图。这种方法用两条曲线分别表示幅

频特性和相频特性。横坐标为,，按常用对数Iga分度。对数相频特性的纵坐标表

示以⑼，单位为”（度）。而对数幅频特性的纵坐标为L（G）=201gA（G）,

单位为dBo

（3）对数幅相频率特性曲线：又称尼柯尔斯曲线。该方法以3为参变量，叭①）为

横坐标，〃①）为纵坐标。

3.典型环节的频率特性及最小相位系统

（1）惯性环节：惯性环节的传递函数为

G（s）=—-

其频率特性G(ja))=G(s)

Tsi+i

1

对数幅频特性La)=201g

Jl+T2G2

(5.1)

其渐近线为

0Tco<l

L(<y)=s(5.2)

八[—201g(TMTCD>\

在丁@=1处，渐近线与实际幅频特性曲线相差最大，为3dB。

对数相频特性

。(⑼=-arctg(T。)(5.3)

其渐近线为

0Teo<0.1

心(8)=<〃+blg(T。)0.1<Teo<10(5.4)

-90°Ta)>10

当TG=0.1时，有

0=<2+/?lg0.1=a-b(5.5)

当77。=10时，有

-90°=a+b\g\0=a+b(5.6)

由式(5.5)、式(5.6)得

Q=T5。b=45°

因此：

0Teo<0.1

心3)二—45。联107切0.1<T6y<10(5.7)

-90°TCD>\Q

(2)振荡环节：振荡环节的传递函数为

G($)=2c2…—0<<1

T2S2+2切+1

其频率特性

1

G(jco)=G(s)|“2J△所+(1-72。2)

对数幅频特性

L((v)=-201gJ(l-72G2)2+4铲7202(5.8)

其渐近线为

0T①<1

(5.9)

一401g(ny)Tco>1

当《＜0.707时，在①T=J-2针处渐近线与实际幅频特性曲线相差最大，为

1

201g

2Mz二

/、2&ofT

对数相频特性夕⑷二-arctg匚行

(3)不稳定环节：不稳定环节的传递函数为

G(s)=—!—

Ts-\

其频率特性G(js)=G(s)上Z=7*_1

L(^)=201g^2=

对数幅频特性

gT?①2

其渐近线为

0Ta)<\

4(。)=

-201g(T6y)Tco>\

对数相频特性为0(。)=-180°+arctJT。)

其渐近线为

-180°Teo<0.1

(ty)=,-180°+45°lg(lOTty)0.1<T^<10

-90°Ta)>10

(4)不稳定环节：不稳定环节的传递函数为

G(s)=)2--------------------------

T2S2-2^TS+1

其频率特性

G(那)=G(s)|~二-----二--------

"川(T-T?①2)_21时

1

对数幅频特性L(。)=201g

7(l-T2ey2)2+4^2T26y2

其渐近线为

0TCD<\

L0(①)=,

-401g(Tty)TG)>\

对数相频特性(p{co)=-360°+arctgjiq

各典型环节的奈奎斯特图，零极点分布图及伯德图分别如图5-1、图5-2及图5-3

所示。表5T给出了典型环节频率特性的汇总。

(5)最小相位系统：开环稳定的系统称为最小相位系统。

4.奈奎斯特稳定性判据

反馈控制系统闭环极点在s的右半平面的个数

Z=P-2N

式中P为系统开环极点在s右半平面的个数；N为开环幅相曲线(g£(0,+8))

逆时针包围点(-1,j0)的圈数。

N=N十-N一

式中N+为正穿越次数和正半次穿越的和：N一为负穿越次数和负半次穿越的和。

判断：若Z=0,则系统稳定；若Z>0,则系统不稳定。

正穿越：随着切的增大，开环幅相曲线逆时针穿越点（-1,jO）左侧的负实轴，记

为一次正穿越。

负穿越：随着切的增大，开环幅相曲线顺时针穿越点（-1,jO）左侧的负实轴，记

为一次负穿越。

半次穿越：开环幅相曲线起始于（或终止于）点（-1,jO）左侧的负实轴。若沿逆

时针方向离开（或终止于）负实轴，记为半次正穿越；若沿顺时针方向离开（或终

止于）负实轴，记为半次负穿越。半次穿越次数应为1/2。

5.稳定裕量

当开环系统稳定时，系统相对稳定性由下述两个指标来度量：

（1）幅值裕量当系统开环相频特性为・180°时，系统开环频率特性幅值的

倒数定义为幅值裕量，所对应的频率口.称为相角交界频率.即

h=-------5-------

（2）相位裕量y：当系统开环频率特性的幅值为1时，系统开环频率特性相角与

180°的和定义为相位裕量，所对应的频率称为系统截止频率。即

7=180。+/6（血）”（血）

"满足|GC/M）H（JQ）|=1。

6.对数频率稳定性判据

按以下三种情况分别讨论系统的稳定性问题。

1

(a)G(/O)=1NO。G(joo)=OZ-90°⑷")=日

-\/T

"=0

(b)G(s)=

T2s2+26+1(b)G(JO)=1ZO"G(joo)=0Z-180°

\/T

-x-

(c)G(JO)=1Z-18O°G(joo)=0Z-90°

1

(d)G(yO)=1^-360°G(yoo)=0Z-180°

T2s2-2^Ts+1

图57奈奎斯特曲线图图5-2零极点配置图

75-1

图5-3伯德图

(1)开环对数幅频特性与OdB线只有一个交点，且开环传递函数的零点在s

左半平面。假定单位反馈系统的开环传递函数为

G(s)=

u

sB(s)Y\(Tps-l)

P=I

其中，A(s)=0,8(s)=0的根均在s的左半平面，u20,T^0,K20；当u=0

时，K21,A(s),8(s)常数项为1。这时系统的稳定性判据可描述为：闭环系统稳

定的充分必要条件是穿越OdB线的频率”所对应的开环对数相频特性大于・1800。

其相位裕量为7=180°+ZG(j7yJ>0°。

表57典型环节

幅相频率特性幅频特性相位频率特性

典型环节

G(M4⑼

放大环节/K*K0°

111j(V)J_

积分环节一——=一e2-90°

Sj①0)CO

.乃

微分环节Sja)=coe2CD+90"

1

惯性环节

Tjco+1]

1一arctan。⑼

'e，l-arctan(/3)J&&①2—

仆+1Jr%?+i

一阶微分环节

769f+17(<yr)2+larctanfe?r)

75+1

振荡环节

21J—

八2戒

①n

((①十①〃-arctan----------

,2j6r+M%j)1-te)

s+2物〃$+%图］4百

不稳定环节]

]

Tjco-\-1800+arctan(T69)

1।d-180'*arcttn(Tn»)l

W77NT%?+1

Ts-\

表57典型环节

对数幅频特性曲线

幅相频率

对数幅频特性201gA（口）相位频率特性*（。）201gA（0）

特性曲线

相频夕（外）特性曲线

1iL

jlm

201cA3

尸<，-------------A

201gK0"0

0

，b

中

―►

0

卜L

3

Re

0

0I-201gty-90°

4叫-~2

3

0

A。，_6-00------------►

-95,

jlm

4。；-

a)=Q

-

201gG+90"3c

0R9

二|♦

（2）开环对数幅频特性与OdB线只有一个交点（一般情形），单位反馈系统的

开环传递函数可描绘为

叫

K「A（s）n（7>-1）

G（5）=-------------------

⑸立（7>一1）

*1

式中汇20；当u=0时，K>1.

这时系统的稳定性判据可描绘为：当州为奇数时闭环系统不稳定；当明为0

或偶数时闭环系环稳定的充分必要条件是穿越OdB线的频率外所对应的开环对数

相频特性大于180。（叫一1）；其相位裕量为7=180。（-叫+1）+0（叫），幅值裕量

为a=-201g|G（八名）H（八%）|。其中，火编）为开环相频特性；3为相频特性

oaAg

与180。(加一1)线的交点。

(3)系统的开环传递函数中有在s右半平面的复数零极点的情形。

当系统的开环传递函数中有在s右半平面的复数零极点时，开环传递函数可写成

叫叫

Ke-srA(s)口(m-1)H(叩/_2&巾+1)

G(Ms)=--------式---------------------------

4s(5)n3s-i)n-2或"+1)

p=\q=\

式中u，0,720；当u=0时，K>1°

判据如下：当州为奇数时系统不稳定，当叫为零或偶数时闭环系统稳定的充

要条件是穿越OdB线频率。，所对应的开环对数相频特性大于180°(/n1+2吗-1)；

系统的相位裕量为y=180。(-g-262+1)+0(@)，幅值裕量为

4=-201g|G(/%)”(/%)|。其中，火⑼为开环相频特性；叫为相频特性与

180。(办+2吠2-1)线的交点。

7.尼柯尔斯曲线

若将开环频率特性表示G(jco)=A(G)/。⑷

闭环频率特性表示为①(/⑪)=⑹

则按下式

八…COS69±JCOS2+W2-1

4201g=201g—~~4---------

M-2-1

做等M曲线。

按下式

201g4M=201gSinS(Mi(⑼]

sin〃(。)

做等a曲线。

8.带宽频率和带宽

201g|①(%)|<201g|中(4)|-3(。>%)

对于I型及I型以上的系统

201gl①(9)|<—3(①>①J

则以称为带宽频率。

9.谐振峰值及频率

若MM）"®⑷

则=M®，）称谐振峰值，?称为峰值频率。

相位裕量/,截止频率叽与M,,。％及4的关系为

s1

------工------

Mrsin/

,（iA

cr=0.16+0.4-------1（35°</<90°）

Ism/；

ts=KTU/CDc

式中

1

K=2+1.5—-1+2.5(35°<y<90°)

(siny)(sin/)

10.在动态误差系数确定中的应用

若系统误差传递函数为

①eG)=52+3；

式中中e/（S）的极点均在$左半平面。

系统单位阶跃输入作用下的动态误差可写成

//G)丫%)

包MISCO1人$

将2电2看作输入的拉氏变换，将色&看作专递函数，求相应的正弦响应便

S+QSCOt

可得到动态误差。

二、基本要求

（1）运用频率特性分析系统的稳态响应。

（2）确定系统的动态误差系数。

（3）做Nyquist曲线图，Bode图。

（4）稳定性判据。

（5）相位裕量、幅值裕量的计算。

（6）闭环频率特性的基本知识和有关指标。

（7）系统指标的近似估算。

（8）用实验数据确定传递函数，由Bode图得到系统的传递函数。

三、重点与难点

1.重点

（1）开环频率特性的绘制（包括极坐标图和对数坐标图）；

（2）奈奎斯特稳定判据；

（3）开环频率特性指标；

（4）闭环频率特性指标。

2.难点

（1）非最小相位系统相频特性；

（2）奈奎斯特路径有变化时奈奎斯特稳定判据的应用；

（3）截止频率0c的计算

纭的确定对于计算系统的相位裕量至关重要，是本章计算内容的重点和难点。”的

计算可按以下步骤进行。

①按分段描述方法，写出对数幅频特性曲线的渐近线方程表达式。

201gA⑻

COQ<CD<CD{

201gA2(a))<CD<CD2

L(①)二«

201g4-(。)%_2W&<

①之①

201gAm(co)m

②按顺序求4（。）=1之解ft/,考查例_］必成立与否；若成立，则”=&",

停止计算；若974。〈例不成立，则令i=i+i,重新解43）=1。

（4）幅值裕量的计算

幅值裕量计算之难点在于的计算。步及了三角方程，求解比较困难，有时只

能采用迭代计算。即先做出相频特性的渐近线，然后再估计迭代初值的区间。

。例题解析

例5-1已知单位反馈控制系统的开环传递函数G(5)=-——~~-

ks(s+3)($+5)

(1)用奈奎斯特判据确定使闭环系统稳定的条件；

(2)用奈奎斯特判据确定使全部闭环极点均位于s左半部，且实部的绝对值都大于

1的条件；

(3)用奈奎斯特判据确定使全部闭环极点均位于s左半部且全部复极点的阻尼系数

都大于走的条件。

2

解：(1)此题是I型系统，取奈奎斯特路径如图57所示，即奈奎斯特路径选取了

由以下各段组成的s平面上的封闭曲线：

①正虚轴：s=js频率由从0,变化到8；

②半径为无穷大的右半圆：s=Re，',R78,6由工变化到一•土；

22

③负虚轴：频率①从一8变化到0;

④半径为无穷小的右半圆：s=Rg",R-»0,夕由一工变化到工；

22

先求与路径①对应的奈奎斯特图，将5=//代入G^s)

K

G«M=

jco{jco+3)(J<y+5)

K

sM+CD?125十护

/\八八。coco

(p(co)=-90-arctan——arctan—

0(0)=—90°;夕(8)=-270°

—8K

?(助二(9+/)(25+〃)

(D-15)K

Q(⑼=

a)(9+a)2)(25+a)2)

图57

求与实轴的交点，令Q(0)=O,解得刃2=i5,G=±Ji5P±3.87

P(历=一8KK

(9+15)(25+15)120

与路径②对应的奈奎斯特图是半径为无穷小。角度从一27()。逆时针转到270。的圆弧,

由于此段奈奎斯特图与奈奎斯特曲稳定判据应用到闭环系统判稳无关，所以图中略去。

与路径③对应的奈奎斯特图是路径①对应的奈奎斯特图关于实轴的镜像。

与路径④对应的奈奎斯特图是半径为无穷大，角度从90°顺时针转到一90。的圆弧。

画出奈奎斯特图如5-2所示。要使闭环系统稳定，要求。>一工>一1，即当

120

0<K<120时闭环系统稳定。

(2)此时，取奈奎斯特路径如图5-3所示，即奈奎斯特路径选取了由以下各段组成

的s平面上的封闭曲线：

①平行于正虚轴直线：s=jco-\f频率s由0变化到8；

②半径为无穷大的右半圆：s=Re",Rf8,a1J2变化到一工；

22

③平行于正虚轴直线：s=jco-\9频率。由-8变化到0；

先求与路径①对应的奈奎斯特图

K

将S=/口一1代入G(5)=…得

ks(s+3)(5+5)

Gk(j①-1)=G*(j①)=----------------------

k①+4)

注意此时的G&*（"y）已不是I型系统形式，而是非最小相位传递函数

=/厂K_

9(①)=一arctan言-arctan?-(180°-arctanty)

ic八。①co

--180+arctmco-arctan---arctan—

24

9(0)=-180°;°(8)=-270°

»八、—K(8+5①2)

r(CO)=-------------------------z--------T-

(1+/)(4+/)(]6+/)

一阴2力-苏）

。⑻二（1+〃，）（4+。2）（］6+〃）2）

求与实轴的交点，令。（⑼=0,解得。=0,

①3P（0）=-。（扬=-5

olo

画出奈奎斯特图如图5-4所示。

与路径②对应的奈奎斯特图是半径为

无穷小，角度从一270。逆时针转到270。的

圆弧，由于此段奈奎斯特图与奈奎斯特稳

定判据应用到闭环系统判稳无关，所以图

中略去。

与路径③对应的奈奎斯特图是路径①

对应的奈奎斯特图关于实轴的镜像。要使

此图满足稳定的要求-巴＜-1〈-q，即

818

当8vKvl8时满足全部闭环极点均位

于s左半平面且实部绝对值都大于1的条

件。

解二：本题的结果也可以利用劳斯判据来获得，方法是平移坐标轴后再用劳斯判据

判断相对稳定的条件。令s=x-l代入特征方程

A=53+8S2+15S+K=0

整理得A=x3+5x2+2x-8+K=0

列劳斯阵列如下

X312

X25K-8

18—K

X""5-

x°K—8

要使劳斯阵列第一列都大于零,可解得8vK<18。当8vK<18时满足全部闭环

极点均位于s平面左半部且实部的绝对值都大于1的条件，此结果与应用奈奎斯特判据

所得结果完全相同。

（3）此时取奈奎斯特路径如图5-5所示，即奈奎斯特路径选取了由以下各段组成的s

平面上的封闭曲线：

①与负虚轴成45。角的直线：s=-x+jx,频率x由0变化到8；

33

②半径为无穷大的右半圆：s=RW,R.8,6由二变化到——；

44

③与负虚轴成45。角的直线：s=x+/x,频率x由一8变化到0；

3?3兀

④半径为无穷小的右半圆：s=R0",R'-0,夕由一工到二；

44

K

先求与路径①对应的奈奎斯特图，将5=一%+"代入GA（S）=

S(S+3)(54-5)

得

G(-x+jx)=G*(")=

kk(r+jx)(3一x+jx)(5-x+jx)

4⑷=

42X^(3-X)2+X27(5-X)2+X2

XX

(p{co)=-1350-arctan-----arctan----

3-x5-x

e(0)=一135°;火3)=-281.31°;^(5)=一336.8°;08)=-405°

(2/一15水________

P(x)=

24(3-x)2+X2][(5+X)2+X2]

(-2X2+1615)K

O(x)=

24(3-X)2+X2][(5+X)2+X2]

求与实轴的交点，令。*）=0,解得尢=4土叵」他915（与正实轴的交点频率，与负

21.085（与负实轴的交点频率

实轴的交占P（4—叵）=（215）K=—』—

2（）22）22V3449734-272

2X[3-X+X][[5+X+X]A=4一,

土栏,。(栏)为与虚轴的交点值。

再求与虚轴的交点，令P(x)=O,解得X=

与路径②对应的奈奎斯特图是半径为无穷小，角度从-405。逆时针转到405。的弧，由

于此段奈奎斯特图与奈奎斯特稳定判据应用到闭环系统判稳无关，所以，图中略去。

与路径③对应的奈奎斯特图是路径①对应的奈奎斯特图关于实轴的镜像。

与路径④对应的奈奎斯特图是半径为无穷大，角度从135。顺时针转到735。的圆弧。

画出奈奎斯特图如图5-6所示，由图可知，满足全部闭环极点均位于s左半部且实

部的绝对值都大于1的条件是

—K

0<<-1

49734-272

即当0<K<49后一272之13.7时满足要

求。

解二：此题可用根轨迹法来求，画出根轨迹

如图5-7所示，满足题示要求即是要求出根轨迹

与阻尼角为45。的射线所夹部分根轨迹增益的范

围。

令s=%(1+j),则

/=2x2j,s3=x\-\+j)

代入特征方程

图5-7

A=?+852+155+7C

可得实部方程

—2d+15尤+K=0

和虚部方程

2X3+16X2+15X=0

市臃汨八知一回卜6.915(与正反馈根轨迹的交点

可解得x=0和％=-4±---=

21-1.085(与负反馈根轨迹的交点

A：=(2X3-15X)|_+叵=49取一272al3.7

结合根轨迹图可知，当OVKV13.7满足使全部闭环极点均位于s平面左半部且全

部复极点的阻尼系数都大于正的要求。

2

例5-2已知开环传递函数G(s)”(s)=：G+2),画出与完整的奈奎斯特路径相

s'+3s+1

对应的奈奎斯特图。

(1)确定相对于G(s)"(s)平面的原点的MP和Z的值。从而判断开环系统是否稳

定。

(2)求取相对于一1点的N,P和Z的值。从而判断闭环系统是否稳定。

解一：(1)首先要确定开环零，极点的位置，由于本题开环零点以确定，而分母是

以多项式形式给出，所以只要确定开环极点的位置。方法由三种：

a)劳斯判据法对开环特征方程$3+3s+1=0,列劳斯阵列如下

$313

5201

51-00

5°1

由劳斯判据可判断开环特征方程有一个左根和两个右根，没有虚轴上的根。

b)根轨迹法对开环特征方程1+3s+i=0,可改写为

1K

1+V—=1+Y—=0于是J+3s+l=0的根可看作在等效开环传递函数为

+35(52+3)5

1\=1

G/=——的根轨迹上，取K=1时的点，此时根轨迹如图5-9所示。由根轨迹可知,

(S2+3)5

当K=1时开环特征方程i+3s+1=°有一个负实根和一对实部为正的共枕复根。

c）奈奎斯特判据法此法是题中要求的方法。即画出完整的奈奎斯特曲线，求出该

曲线对G^s）平面对原点包围的次数No,若此时开环右零点数及已知，则开环右极点数

Po=Zo-No,此法可与闭环系统稳定性判别同时进行。

（2）下面画出与完整的奈奎斯特路径相对应的奈奎斯特图。

为了确定奈奎斯特路径，必须先确定开环传递函数是否有虚轴上的极点。

设

1=3$+1=($+〃)(/+bs+c)=53+(ab+c)s+QC=O

因为QC=1W0,所以awO,cwO,

因为。+/?=0，所以Z?=—awO

因为〃w0，Z?wO和cwO,所以开环传递函

数没有虚轴上的极点。

此题是0型系统，取奈奎斯特路径如图5-8

所示，即奈奎斯特路径选取了由以下各段组成的s

平面上的封闭曲线：

①正虚轴:S=,频率G由0变化到00；

②半径为无穷大的右半圆：

,a兀兀

s=Re",/?-8,6由5变化到-不；

③负虚轴：S=j①,频率S由-8变化到0；

先求与路径①对应的奈奎斯特图，将s=

代入Gq（s）得

、3(2+/O)3[2+(3-02)02]+3(24-5)勾

1+(3-苏=应----------------Z1=+-(--3-----0--2--)---2--。---2------------I--------------------

尸@)=3[2十8-叱)。]

1+(3—①2)2①2

2302—5）①

Q\（o）---------------

1+8-"）202

P（o）=6,。（0）=0,P（8）=0,Q（8）=0

求与实轴的交点，令Q（0）=O,解得0=0和G=±J55；A

解得P（0）=6,P（后）=6再求与虚轴的交点，W

令4-

尸（口）=0,可得方程编4—3。2-2=03-

解得

1-

\/1

图5-9

71

其次求与路径②对应的奈奎斯特图，将S=代入G*(s).其中R—00,夕由不变化到

71

--•

2，

得limG/s)=lim二=0xe-j2G

…28s5=Re〃

这表明与路径②对应的奈奎斯特图是连接GK+oo)和GHY。)的半径为无穷小，角

度从-180。逆时针转到180。的圆弧，如图5T0中原点附近的虚线小圆弧所示。此段奈奎

斯特图与用奈奎斯特稳定判据对闭环系统稳定性判断无关，但与用奈奎斯特稳定判据对

开环系统稳定性判断有关。

与路径③对应的奈奎斯特图是路径

①对应的奈奎斯特图关于实轴的镜像。

画出极坐标图如5-10所示。此时，

奈奎斯特曲线对G^s)平面原点的包围

次数M)=-2,已知开环右零点数Zo=0,于是

开环右极点数P=Z)-M)=0-(-2)=2.又由奈

奎斯特图可知奈奎斯特曲线对(-1,jO)

的包围次数N=0,于是Z=N+P=2,闭

环系统不稳。

上面仅根据实频特性和虚频特性画图5—10

图，对终点的相角无法确定。为画图准确起见，需求出幅频特性和相频特性。这里假设

、/+3s+1=(s+a)(s-Z?+jc)(s-h-jc)

其中a>0,b>0,c>0

于是G(s)"(s)=；"+2)=----------曳主义---------

d+3$+1(s+a)(s-b+jc)(s-b-jc)

3“十02

Jl+(30-tw，/

/\69C)八c八。69+C、八c八c(O-C.

(p(co)-arctan---arctan---(180-arctan-----)-(180-arctan----)

2abb

“八。cococoiccoc

=-360+arctan---arctan—+arctan-----+arctan-----

2abb

^(0)=-360°;^(oo)=-180

这也表明与奈奎斯特路径中无穷大右半圆对应的奈奎斯特图是连接GM”)和

G&(-o。)的半径为无穷小，角度从-180。逆时针转到180。的圆弧。若仅从奈奎斯特图上看,

可能会认为例0)=0°,8(+8)=180°,因而可能得出与奈奎斯特路径中无穷大右半圆对应

的奈奎斯特图是连接G式+8)和GA.(-8)的半径为无穷小，角度从180。顺时针转到-180。

的圆弧的错误结果，如果是这样的话，就不能正确的应用奈奎斯特稳定判据判断开环系

统和闭环系统的稳定性。由此可见非最小相位系统的相频特性的计算很重要。

解二：此题开环极点位置未知，应用逆奈奎斯特判据则比较容易。此时

G(s)H(s)-3(s+2)

没有虚轴上的开环极点，所以奈奎斯特路径可以选最简形式。

厂*/.\1+(3-2+(3—CO2)692+(5—2co2)coj

5徉(j①)=----------------------=----------------------------z-----------------

3(2+»3(4+/)

(5-2O)2)GJ

3(4+d)

求与实轴的交点，令Q*(o)=0,解得0=0和&=±后，于是尸*(0)='；

6

尸x(J51)=_l.再求与虚轴的交点，令尸*(0)=0,可得方程刃4一3/2-2=0

6

解得

2_3±Vn_13.56

一2一—［一0.56(略)

co=±±1.887

Q*(「二)会—0.177

对应奈奎斯特路径中无穷大右半圆的

映射为

图5-11

y2

limGk*(5)=lim—=ooe^